18 0 277 KB
Contoh Bukan Grup: Tunjukkan bahwa {πΊ = [
π₯ 0
0 ] , π₯ β π
, π₯ β 0} bukan merupakan grup untuk (G,Γ) 0
Bukti: Sifat tertutup π₯ 0 π₯ 0 Ambil π₯, π¦ β π2Γ2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] 0 0 0 0 π₯ 0 π₯ 0 Maka [ 1 ]Γ[ 2 ] 0 0 0 0 π₯ π₯ 0 =[ 1 2 ] , π₯1 π₯2 β π
0 0 π₯ π₯ 0 =[ 1 2 ] 0 0 Karena terbukti hasil kalinya menghasilkan nilai bilangan real maka telah terbukti ini operasi tertutup. Sifat asosoatif π₯ 0 π₯2 0 π₯ 0 Ambil π₯, π¦, π§ β π2Γ2 , sebut [ 1 ],[ ]&[ 3 ] 0 0 0 0 0 0 Adit π₯ Γ (π¦ Γ π§) = (π₯ Γ π¦) Γ π§ π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 ([ 1 ] Γ ([ 2 ]Γ[ 3 ])) = (( [ 1 ]Γ[ 2 ]) Γ [ 3 ]) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 π₯ 0 π₯ π₯ 0 π₯ π₯ 0 π₯ 0 ([ 1 ] Γ ([ 2 3 ])) = (( [ 1 2 ]) Γ [ 3 ]) 0 0 0 0 0 0 0 0 π₯ π₯ π₯ 0 π₯ π₯ π₯ 0 [ 1 2 3 ]=[ 1 2 3 ] , π₯1 π₯2 π₯3 β π
0 0 0 0 Dari hasil diatas didapatkan bahwa hasil perkaliannya sama sehingga berlsku untuk sifat asosiatif. Identitas π₯ 0 Untuk matriks πΊ = [ ] tidak memiliki identitas untuk operasi perkslian sebab entri yang 0 0 1 0 dapat diubah hanya π₯ sedangkan matriks identitas memerlukan πΊ = [ ] 0 1 Contoh Grup: Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi +. Sistim ini dilambangkan dengan < Q ,+ > dengan Q = { a/b | a, b Z dan b 0}. Operasi penjumlahan didefinisikan dengan aturan a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) akan dibuktikan bahwa Q grup berdasarkan sifatsifat bilangan bulat. Bukti: Hukum tertutup Misalkan a/b, c/d Q. Berdasarkan definisi operasi penjumlahan pada bilangan rasional didapat (ad + bc)/(bd). Karena operasi perkalian dan penjumlahan dalam bilangan bulat bersifat tertutup maka pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat. Karena b dan d tidak nol maka bd juga tidak nol. Berarti penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup. Hukum assosiatif. Misalkan a/b, c/d dan e/f Q. Akan ditunjukkan bahwa sifat assosiatif berlaku. (a/b + c/d) + e/f = (ad + bc)/(bd) + e/f = [(ad + bc)f + (bd)e] / (bd)f = [(ad)f + (bc)f + (bd)e] / (bd)f = [a(df) + b(cf) + b(de)] / b(df) = a/b + (cf+de) / (df) = a/b + (c/d + e/f).
Berarti sifat assosiatif berlaku. Hukum identitas Elemen 0/1 merupakan identitas karena 0/1 + a/b = (0.b + 1.a) / (1.b) = (0 + a) / b = a/b. Pada sisi lain, a/b + 0/1 = (a.1 + b.0) / (b.1) = (a + 0) / b = a/b. Hukum invers Untuk sebarang elemen a/b Q akan ditunjukkan bahwa (-a)/b merupakan inversnya. Jelas bahwa (-a)/b Q. Elemen (-a)/b merupakan invers a/b karena a/b + (-a)/b = ab + b(-a)/(bb) = (ab + (-a)b / (bb) = 0.b / (bb) =0/b = 0 / 1. Terbukti Q grup. Contoh Grup dan termasuk abelian π₯ 0 Tunjukkan bahwa {πΊ = [ ] , π₯ β π
, π₯ β 0} bukan merupakan grup untuk (G,+) 0 0 Bukti: Sifat tertutup π₯ 0 π₯ 0 Ambil π₯, π¦ β π2Γ2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] 0 0 0 0 π₯ 0 π₯ 0 Maka [ 1 ]+[ 2 ] 0 0 0 0 π₯ +π₯ 0 =[ 1 2 ] , π₯1 + π₯2 β π
0 0 π₯ +π₯ 0 =[ 1 2 ] 0 0 Karena terbukti hasil penjumlahannya menghasilkan nilai bilangan real maka telah terbukti ini operasi tertutup. Sifat asosoatif π₯ 0 π₯2 0 π₯ 0 Ambil π₯, π¦, π§ β π2Γ2 , sebut [ 1 ],[ ]&[ 3 ] 0 0 0 0 0 0 Adit π₯ + (π¦ + π§) = (π₯ + π¦) + π§ π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 ([ 1 ] + ([ 2 ]+[ 3 ])) = (( [ 1 ]+[ 2 ]) + [ 3 ]) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 π₯ + π₯3 0 π₯ +π₯ 0 π₯ 0 ] + ([ 2 ])) = (( [ 1 2 ]) + [ 3 ]) 0 0 0 0 0 0 0 π₯ +π₯ +π₯ 0 π₯ +π₯ + π₯3 0 [ 1 2 3 ]=[ 1 2 ] , π₯1 +π₯2 +π₯3 β π
0 0 0 0 Dari hasil diatas didapatkan bahwa hasil penjumlahannya sama sehingga berlsku untuk sifat asosiatif. Identitas π₯ 0 Ambil π β π2Γ2 , sebut [ 1 ] 0 0 0 0 π=[ ] 0 0 ([
π₯1 0
Adit: π + π = π π₯ 0 0 0 Maka [ 1 ]+[ ] 0 0 0 0 π₯ +0 0 =[ 1 ] , π₯1 β π
0 0 π₯ 0 =[ 1 ] 0 0 Dengan cara yang sama π+π =π π₯ 0 0 0 Maka [ ]+[ 1 ] 0 0 0 0 0 + π₯1 0 =[ ] , π₯1 β π
0 0 π₯ 0 =[ 1 ] 0 0 Karena π β π2Γ2 β π + π = π + π = π Invers: π₯ 0 Ambil π β π2Γ2 , sebut [ 1 ] 0 0 β1 β1 Adit: π + π = π + π = π βπ₯ 0 πβ1 = [ 1 ] 0 0 π + πβ1 = πβ1 + π = π π₯ 0 βπ₯ 0 βπ₯ 0 π₯ 0 [ 1 ]+[ 1 ]=[ 1 ]+[ 1 ] 0 0 0 0 0 0 0 0 π₯ β π₯1 0 βπ₯ + π₯1 0 [ 1 ]=[ 1 ] 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ]=[ ] 0 0 0 0 Karena π β π2Γ2 β : π + πβ1 = πβ1 + π = π Komutatif: π₯ 0 π₯ 0 Ambil π₯, π¦ β π2Γ2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] 0 0 0 0 Adit: π₯ + π¦ = π¦ + π₯ π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 π₯ 0 Maka [ 1 ]+[ 2 ]=[ 2 ]+[ 1 ] 0 0 0 0 0 0 0 0 π₯ +π₯ 0 π₯ +π₯ 0 [ 1 2 ]=[ 2 1 ] 0 0 0 0 π₯ +π₯ 0 π₯ +π₯ 0 [ 1 2 ]=[ 1 2 ] 0 0 0 0 Karena penjumlahan π₯ + π¦ = π¦ + π₯ memiliki nilai yang sama sehingga himpunan ini bersifat komutatif. Contoh Grup tetspi bukan termasuk abelian π₯ 0 Tunjukkan bahwa {πΊ = [ ] , π₯, π¦ β π
; , π₯, π¦ β 0} bukan merupakan grup untuk (G,Γ) 0 π¦ Bukti: Sifat tertutup π π1 π π2 Ambil π₯, π¦ β π2Γ2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] π1 π1 π2 π2 π π1 π π2 Maka [ 1 ]Γ[ 2 ] π1 π1 π2 π2 π π + π1 π2 π1 π2 + π1 π2 =[ 1 2 ] π1 π2 + π1 π2 π1 π2 + π1 π2
Karena terbukti hasil perkaliannya menghasilkan nilai bilangan real maka telah terbukti ini operasi tertutup. Sifat asosoatif π π3 π π1 π2 π2 Ambil π₯, π¦, π§ β π2Γ2 , sebut [ 1 ]β²[ ]&[ 3 ] π1 π1 π2 π2 π3 π3 Adit π₯ Γ (π¦ Γ π§) π π3 π π1 π π2 = ([ 1 ] Γ ([ 2 ]Γ[ 3 ])) π1 π1 π2 π2 π3 π3 π π + π2 π3 π2 π3 + π2 π3 π π1 = ([ 1 ] Γ ([ 2 3 ])) π1 π1 π2 π3 + π2 π3 π2 π3 + π2 π3 =[
π1 (π2 π3 + π2 π3 ) + π1 (π2 π3 + π2 π3 ) π1 (π2 π3 + π2 π3 ) + π1 (π2 π3 + π2 π3 )
π1 (π2 π3 + π2 π3 ) + π1 (π2 π3 + π2 π3 ) ] π1 (π2 π3 + π2 π3 ) + π1 (π2 π3 + π2 π3 )
Dengan cara yang sama = (π₯ Γ π¦) Γ π§ = (( [
= (([
π1 π1
π1 π ]Γ[ 2 π1 π2
π1 π2 + π1 π2 π1 π2 + π1 π2
π π2 ]) Γ [ 3 π2 π3
π3 ]) π3
π π1 π2 + π1 π2 ]) Γ [ 3 π1 π2 + π1 π2 π3
π3 ]) π3
(π1 π2 + π1 π2 )π3 + (π1 π2 + π1 π2 )π3 (π1 π2 + π1 π2 )π3 + (π1 π2 + π1 π2 )π3 ] (π1 π2 + π1 π2 )π3 + (π1 π2 + π1 π2 )π3 (π1 π2 + π1 π2 )π3 + (π1 π2 + π1 π2 )π3 Dari hasil diatas didapatkan bahwa hasil perkaliannya sama sehingga berlaku untuk sifat asosiatif. Identitas π π1 Ambil π β π2Γ2 , sebut [ 1 ] π1 π1 1 0 π=[ ] 0 1 Adit: π Γ π = π π π1 1 0 Maka [ 1 ]Γ[ ] π1 π1 0 1 π Γ 1 π1 Γ 1 =[ 1 ] π1 Γ 1 π1 Γ 1 π π1 =[ 1 ] π1 π1 Dengan cara yang sama πΓπ =π π π1 1 0 Maka [ ]Γ[ 1 ] π1 π1 0 1 π Γ 1 π1 Γ 1 =[ 1 ] π1 Γ 1 π1 Γ 1 π π1 =[ 1 ] π1 π1 Karena π β π2Γ2 β π Γ π = π Γ π = π =[
Invers: π1 π1 ] π1 π1 Adit: π Γ πβ1 = πβ1 Γ π = π π βπ1 1 πβ1 = π π βπ π [ 1 ] βπ π1 1 1 1 1 1 π Γ πβ1 = π β1 Γ π = π 1 1 π π1 π π1 π βπ1 π βπ1 [ 1 ]Γ [ 1 ]= [ 1 ]Γ[ 1 ] π1 π1 π1 π1 π1 π1 β π1 π1 βπ1 π1 π1 π1 β π1 π1 βπ1 π1 π π β π1 π1 π1 π1 β π1 π1 1 [ 1 1 ] = π1 π1 β π1 π1 βπ1 π1 + π1 π1 π1 π1 βπ1 π1 π1 π1 β π1 π1 π1 π1 β π1 π1 1 [ ] π1 π1 βπ1 π1 π1 π1 β π1 π1 βπ1 π1 + π1 π1 1 0 1 0 [ ]=[ ] 0 1 0 1 β1 β1 Karena π β π2Γ2 β : π Γ π = π Γ π = π Komutatif: π π1 π π2 Ambil π₯, π¦ β π2Γ2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] π1 π1 π2 π2 Adit: π₯ Γ π¦ = π¦ Γ π₯ π π1 π π2 π π2 π π1 Maka [ 1 ]Γ[ 2 ]=[ 2 ]Γ[ 1 ] π1 π1 π2 π2 π2 π2 π1 π1 π π + π1 π2 π1 π2 + π1 π2 π π + π2 π1 π2 π1 + π2 π1 [ 1 2 ]=[ 2 1 ] π1 π2 + π1 π2 π1 π2 + π1 π2 π2 π1 + π2 π1 π2 π1 + π2 π1 Karena perkalian π₯ Γ π¦ = π¦ Γ π₯ memiliki nilai yang tidak sama sehingga himpunan ini bersifat tidak bersifat komutatif. Ambil π β π2Γ2 , sebut [
Contoh Grup siklik: Diberikan grup (π6 , +) dengan π6 = {0,1,2,3,4,5} Bukti: 1 = 1 ......................... 1 = 11 1+1=2 ....................... 2 = 12 1+1+1=3 .................. 3 = 13 1+1+1+1=4 .............. 4 =14 1+1+1+1+1=5 .......... 5 = 15 1+1+1+1+1=6 .......... 0 = 16 1 adalah generator karena membangkitkan semua elemenπ6 = {0,1,2,3,4,5} yang berarti π6 = 1 2 = 2 ......................... 2 = 21 2+2=4 ....................... 4 = 22 2+2+2=0 .................. 0 = 23 2+2+2+2=2 .............. 2 = 24 2+2+2+2+2=4 .......... 4 = 25 2+2+2+2+2+2=0 ...... 0 = 26 2 bukan merupakan generator dari π6 karena hanya membangkitkan 0,2,4 3 = 3 ......................... 3 = 31 3+3=0 ....................... 0 = 32 3+3+3=3 .................. 3 = 33 3+3+3+3=0 .............. 0 = 34 3+3+3+3+3=3 .......... 3 = 35
3+3+3+3+3+3=0 ...... 0 = 36 3 bukan merupakan generator dari π6 karena hanya membangkitkan 0 dan 3 4 = 4 ......................... 4 = 41 4+4=2 ....................... 2 = 42 4+4+4=0 .................. 0 = 43 4+4+4+4=4 .............. 4 = 44 4+4+4+4+4=2 .......... 2 = 45 4+4+4+4+4+4=0....... 0 = 46 4 bukan merupakan generator dari π6 karena hanya membangkitkan 0, 2, dan 4 5 = 5 ........................ 5 = 51 5+5=10 ..................... 4 = 52 5+5+5=15................. 3 = 53 5+5+5+5=20 ............ 2 = 54 5+5+5+5+5=25 ........ 1 = 55 5+5+5+5+5+5=0....... 0 = 56 5 merupakan generator dari π6 karena membangkitkan semua elemen π6 ={0,1,2,3,4,5} yang berarti π6 = 5 Jadi (π6 , +) dengan π6 = {0,1,2,3,4,5} memiliki dua generator yaitu 1 dan 5 . Contoh Grup permutasi: Dalam π3 , dimana |π3 | = 3! = 6, himpunan permutasi genap adalah A3 = {π0 = elemen identitas, π1 = (1 2 3), π2 = (1 3 2)}. Bukti: Terlihat ada tepat sebanyak 3 pemutasi genap, jadi banyaknya permutasi ganjil dalam π3 adalah 6 β 3 = 3. Selanjutnya dalam π4 dimana |π4 | = 4! = 24. Bila elemen di π΄4 ditulis sebagai produk sikel-sikel yang saling asing, didapat tiga permutasi yang yang mengubah semua elemen, yaitu π1 = (1 2)(3 4) π2 = (1 3)(2 4) π3 = (1 4)(2 3). Untuk i dengan 1 β€ i β€ 4 ada dua permutasi di π΄4 yang membuat i tetap. Sehingga ada delapan permutasi di π΄4 yang membuat tepat satu elemen tidak berubah (tetap) yaitu π1 = (2 3 4) π12 = (2 4 3) 1 tetap π2 = (1 3 4) π22 = (1 4 3) 2 tetap 2 π3 = (1 2 4) π3 = (1 4 2) 3 tetap π4 = (1 2 3) π42 = (1 3 2) 4 tetap. Dalam π΄4 tidak ada permutasi yang membuat tetap dua elemen, elemen-elemen ini adalah sikel-2 yang tidak di π΄4 . Satu lagi elemen di A4 adalah elemen identitas. Jadi ada dua belas elemen di π΄4 : π΄4 = {π0 = elemen identiats, π1 , π12 , π2 , π22 , π3 , π32 , π4 , π42 , π1 , π2 , π3 }. Pada pembahasan π΄3 dalamπ3 dan π΄4 dalamπ4 tepat separuh dari permutasinya adalah permutasi genap. Hal ini berlaku secara umum untuk ππ dengan n β₯ 3.