Contoh Soal Induksi Matematika [PDF]

Citation preview

Contoh Soal Induksi Matematika & Jawaban [+Pembahasan Lengkap] Soalkimia.com



Contoh Soal Induksi Matematika dan Kunci Jawaban - Bank Soal Induksi Matematika dan Kunci Jawaban beserta Pembahasan untuk Siswa yang berjumlah 25 butir. Soal yang telah kami rangkum ini sering keluar dalam ulangan ataupun ujian nasional, jadi insyaallah sangat bermanfaat untuk siswa pelajari.



Pengertian Induksi Matematika Induksi matematika merupakan metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku didalam matematika. Induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk menemukan formula.



Prinsip Induksi Matematika Error! Filename not specified.Induksi matematika memiliki beberapa prinsip, Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli.  Pernyataan P(n)benar jika memenuhi langkah berikut ini: 1. Langkah Awal (basic Step): P(1) benar. 2. Langkah Induksi (induction Step): jika P(k) benar, 3. maka P(k+1)benar, untuk setiap k bilangan asli. Pada proses pembuktian dengan prinsip Induksi Matematika, untuk langkah awal tidak selalu dipilih untuk n=1, n= 2, dan n= 3, tetapi dapat dipilih sembarang nilai n sedemikian hingga dapat mempermudah supaya langkah awal terpenuhi.



1 - 10 Soal Induksi Matematika dan Jawaban Beserta Pembahasannya 1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 



bernilai benar untuk setiap n bilangan asli. Pembahasan :



2. Buktikan bahwa



untuk n bilangan asli. Pembahasan :



3. Buktikan dengan induksi matematika bahwa



bernilai benar untuk semua n bilangan asli. Pembahasan :



4. Buktikan dengan induksi matematika bahwa Pn : 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2n − 1 ) = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli. Pembahasan :



5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa



bernilai benar untuk setiap n bilangan asli. Pembahasan :



Baca Juga : 20+ Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pilihan Ganda & Kunci Jawaban 6. Buktikan dengan induksi matematika bahwa



berlaku untuk setiap n bilangan asli. Pembahasan :



7. Tunjukkan bahwa dalam barisan aritmetika berlaku Sn = ½n ( 2a + ( n − 1 ) b ) , n ≥ 1 , n ∈ N dengan a dan b berturut-turut adalah suku pertama dan beda/selisih tiap suku yang berdekatan dalam barisan itu. Pembahasan :



8. Tunjukkan bahwa dalam barisan geometri berlaku



dengan r adalah rasio barisan.  Pembahasan :



9. Buktikan bahwa



untuk semua n ∈ N Pembahasan :



10. Buktikan bahwa untuk n ∈ N , berlaku



Pembahasan :



Baca Juga : 15+ Soal Persamaan Nilai Mutlak Pilihan Ganda & Jawab [+Pembahasan]



11 - 25 Contoh Soal Induksi Matematika dan Kunci Jawaban 11. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 1³ + 3³ + 5³ + ⋯ + ( 2n − 1 ) 3 = n² ( 2n² − 1 ) untuk setiap n bilangan asli. Pembahasan :



12. Buktikan dengan induksi matematika bahwa



Pembahasan :



13. Buktikan dengan induksi matematika bahwa persamaan berikut ini benar untuk



Pembahasan :



14. Temukan rumus dengan bukti untuk penjumlahan berikut.



Pembahasan :



15. Buktikan dengan induksi matematika bahwa



berlaku untuk setiap n bilangan asli. Pembahasan :



Baca Juga : 20+ Soal Matriks, Determinan, dan Invers Pilihan Ganda [+Pembahasan] 16. Buktikan bahwa 1 + 2 + 2² + 2³ + ⋯ + 2^n = 2^n+1 − 1 untuk setiap n bilangan cacah.



Pembahasan :



17. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n , berlaku



Pembahasan :



18. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n , berlaku



Pembahasan :



19. Buktikan bahwa jika n ∈ N , maka n > 0 . Pembahasan : Basis Induksi: Misalkan Pn : n > 0 dengan n bilangan asli. Ambil n = 1 , sehingga didapat P 1 : 1 > 0 . Pernyataan ini jelas benar ( 1 lebih besar dari 0 ). Jadi, P n benar untuk n = 1 . Basis induksi selesai. Langkah induksi: Misalkan P k : k > 0 dengan k bilangan asli. Asumsikan P k benar dan harus ditunjukkan bahwa P k + 1 : k + 1 > 0 juga benar. Perhatikan bahwa k > 0 (berdasarkan asumsi) menunjukkan k elemen bilangan positif P , atau ditulis k ∈ P . Ini juga sama untuk 1 > 0 , berarti 1 ∈ P . Untuk itu, berdasarkan definisi kepositivan bilangan: Jika a , b ∈ P , maka a + b ∈ P , ini berarti terbukti bahwa k + 1 > 0 . Jadi,



dapat disimpulkan bahwa kebenaran P k mengimplikasikan kebenaran P k + 1 . Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P n benar untuk n bilangan asli. ■ 20. Buktikan bahwa P n : 2^n > n + 20 bernilai benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5 . Pembahasan :



Baca Juga : 20+ Soal Fungsi Komposisi dan Invers Pilihan Ganda [+Pembahasan] 21. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n , berlaku



Pembahasan :



22. Jika diberikan a > 1 , buktikan bahwa a n > 1 untuk n bilangan asli. Pembahasan : Misal proposisi (yang berbentuk implikasi: jika maka) di atas dinyatakan sebagai P n : Jika a > 1 , maka a n > 1 Ambil n = 1 , sehingga diperoleh P 1 : Jika a > 1 , maka a 1 = a > 1 Pernyataan di atas jelas benar (kesimpulan diambil persis seperti hipotesisnya). Dengan kata lain, P n benar untuk n = 1 . Basis induksi selesai. Langkah Induksi: Misalkan n = k , berarti proposisi di atas dapat dinyatakan kembali sebagai P k : Jika a > 1 , maka a k > 1 Asumsikan P k bernilai benar, maka harus ditunjukkan bahwa P k + 1 juga bernilai benar, dengan P k + 1 : Jika a > 1 , maka a k + 1 > 1



Terdapat suatu teorema (dalam bidang kajian Analisis Real) yang menyatakan bahwa bila a > b dan x > y , maka a x > b y untuk a , b , x , y ∈ R . Diketahui bahwa a > 1 dan juga dari asumsi bahwa a k > 1 . Dengan menggunakan teorema tersebut, didapat a.ak>1×1⇔ak+1>1 Jadi, kita dapatkan a k + 1 > 1 . Dengan kata lain, P k + 1 bernilai benar. Ini berarti, kebenaran P k mengimplikasikan kebenaran P k + 1 . Berdasarkan Prinsip Induksi Matematis, P n benar untuk setiap n bilangan asli. 23. Diketahui 0 < a < 1 . Buktikan 0 < a n < 1 untuk n bilangan bulat positif. Pembahasan : Misal proposisi (yang berbentuk implikasi: jika maka) di atas dinyatakan sebagai P n : Jika 0 < a < 1 , maka 0 < a n < 1 Ambil n = 1 , sehingga diperoleh P 1 : Jika 0 < a < 1 , maka 0 < a 1 = a < 1 Pernyataan di atas jelas benar (kesimpulan diambil persis seperti hipotesisnya). Dengan kata lain, P n benar untuk n = 1 . Basis induksi selesai. Langkah Induksi: Misalkan n = k , berarti proposisi di atas dapat dinyatakan kembali sebagai P k : Jika 0 < a < 1 , maka 0 < a k < 1 Asumsikan P k bernilai benar, maka harus ditunjukkan bahwa P k + 1 juga bernilai benar, dengan P k + 1 : Jika 0 < a < 1 , maka 0 < a k + 1 < 1 Terdapat suatu teorema (dalam bidang kajian Analisis Real) yang menyatakan bahwa bila 0 < a < b dan 0 < x < y , maka 0 < a x < b y untuk a , b , x , y ∈ R . Diketahui bahwa 0 < a < 1 dan juga dari asumsi bahwa 0 < a k < 1 . Dengan menggunakan teorema tersebut, didapat 0