Prinsip Induksi Matematika [PDF]

Citation preview

Prinsip Induksi Matematika Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika 1. P(1) benar, dan 2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.



Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah: Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar) Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi) Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi. Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k). Soal 1: Pendahuluan Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut. 1. P(k): Sk = [k²(k + 1)²]/4 2. P(k): Sk = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3) 3. P(k): k + 3 < 5k²



4. P(k): 3k ≥ 2k + 1 Pembahasan 1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).



2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.



3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh



4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).



Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa Sk + 1 = Sk + ak + 1, di mana ak + 1 adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.



Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus



untuk semua bilangan bulat n ≥ 1. Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda. 1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena



2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus



bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.



Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1. Soal 3: Menggunakan Induksi Matematika Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n,



Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Kita akan menunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n. 1. Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1) menyatakan



dan pernyataan ini dengan jelas bernilai benar. 2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah



Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu



Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.



Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita telah melakukan langkah induksi. Setelah membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.



Rangkuman berikut ini memberikan rumus-rumus untuk jumlah pangkat dari n bilangan bulat positif pertama. Rumus-rumus ini sangat penting dalam kalkulus. Rumus 1 telah kita buktikan dalam Contoh 2. Rumus-rumus yang lain juga dapat dibuktikan dengan mengunakan induksi matematika.



Soal 4: Menggunakan Induksi Matematika Buktikan bahwa



untuk semua bilangan bulat positif n. Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) = [n(n + 1) (n + 2)]/3. 1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan



yang bernilai benar. 2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.



Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan



Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.



Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah membuktikan langkah induksi. Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Soal 5: Menggunakan Induksi Matematika Buktikan bahwa



untuk semua bilangan bulat positif n.



Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2² + 3 ∙ 23 + … + n ∙ 2n = 2[1 + (n – 1)2n] 1. Pertama kita buktikan bahwa P(1) benar. Pernyataan ini menyatakan



yang dengan jelas bernilai benar. 2. Selanjutnya, kita anggap bahwa P(k) bernilai benar dan menghasilkan hipotesis induksi sebagai berikut.



Hipotesis induksi tersebut akan kita gunakan untuk membuktikan kebenaran P(k + 1). Pernyataan P(k + 1) mengatakan



Kita mulai dari ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk yang berada di ruas kanan.



Sehingga pada Langkah 2 ini kita telah membuktikan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar. Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n. Sering terjadi bahwa pernyataan P(n) bernilai salah untuk beberapa bilangan bulat positif pertama, tetapi bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif selanjutnya. Sebagai contoh, mungkin kita ingin membuktikan P(n) benar untuk n ≥ 5. Perhatikan bahwa jika kita telah membuktikan P(5) benar, maka fakta ini, bersama dengan langkah induksi, akan mengakibatkan kebenaran P(5), P(6), P(7), …. Kasus ini merupakan variasi dari Prinsip Induksi Matematika. Model lain dari induksi matematika ini disebut sebagai Prinsip Induksi Matematika yang Diperluas. Contoh berikutnya mengilustrasikan hal ini. Soal 6: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika Buktikan bahwa 4n < 2n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5. Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan pernyataan 4n < 2n. 1. P(5) adalah pernyataan 4 ∙ 5 < 25, atau 20 < 32, yang bernilai benar. 2. Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah



Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu



Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita mendapatkan



Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita telah melakukan langkah induksi. Setelah kita membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5. Soal 7: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika Buktikan bahwa



untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3. Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan (n + 1)² < 2n². 1. Pernyataan P(3), yaitu



dengan jelas bernilai benar. 2. Anggap P(k): (k + 1)² < 2k² bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar, yaitu [(k+1) + 1]² < 2(k + 1)². Untuk k ≥3, kita memperoleh



Sehingga kita telah menunjukkan kebenaran pernyataan jika P(k) benar maka P(k + 1). Oleh karena itu, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3. Soal 8: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika Buktikan bahwa n! > 2n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4. Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan n! > 2n. 1. Pertama kita harus menunjukkan bahwa P(4) benar. Padahal P(4) menyatakan bahwa



Karena 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 dan 24 = 16, maka P(4) benar. 2. Kita anggap bahwa P(k): k! > 2k benar. Kita akan tunjukkan P(k + 1): (k + 1)! > 2k + 1 juga bernilai benar.



Sehingga pada langkah induksi ini kita dapat melihat bahwa kebenaran P(k) mengakibatkan P(k + 1). Jadi, dari Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 4. Soal 9: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika



Buktikan bahwa



untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2. Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi dari pernyataan 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√n > √n. 1. Kita tunjukkan bahwa P(2) benar, yaitu



Karena 1/√1 + 1/√2 ≈ 1,707 dan √2 ≈ 1,414 maka P(2) bernilai benar. 2. Anggap bahwa P(k) benar maka kita memperoleh hipotesis induksi seperti berikut.



Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan menggunakan hipotesis tersebut. P(k + 1) menyatakan bahwa



Dengan menggunakan hipotesis induksi, kita ubah bentuk ruas kiri di atas menjadi bentuk yang ada di ruas kanan. Untuk k ≥ 2,



Sehingga kita telah menunjukkan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 2. Soal 10: Membuktikan Faktor Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4n – 1 untuk semua bilangan bulat positif n. Pembahasan 1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena



Sehingga, 3 adalah faktor bentuk di atas. 2. Anggap bahwa 3 adalah faktor dari 4k – 1, kita harus menunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari 4k + 1 – 1. Untuk melakukan hal ini, kita tulis seperti berikut.



Karena 3 adalah faktor dari 4k ∙ 3 dan 3 juga merupakan faktor 4k – 1, maka 3 adalah faktor dari 4k + 1 – 1. Dengan menggabungkan hasil pada Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa 3 adalah faktor 4n – 1 untuk semua bilangan bulat positif n. Buktikan bahwa x – y adalah faktor dari xn – yn untuk semua bilangan bulat positif n. [Petunjuk: xk + 1 – yk + 1 = xk(x – y) + (xk – yk)y.] Pembahasan 1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena



Sehingga x – y adalah faktor dari bentuk di atas. 2. Anggap bahwa x – y merupakan faktor dari xk – yk untuk sebarang bilangan bulat positif k. Kita harus menunjukkan bahwa x – y merupakan faktor dari xk + 1 – yk + 1. Perhatikan bahwa



Karena x – y faktor dari x – y dan xk – yk (berdasarkan hipotesis induksi), maka kita dapat menyimpulkan bahwa x – y merupakan faktor dari xk + 1 – yk + 1. Jadi, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa x – y adalah faktor dari xn – yn untuk semua bilangan bulat positif n. Soal 12: Membuktikan Faktor Buktikan bahwa salah satu faktor dari (n3 + 3n² +2n) adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n. Pembahasan



1. Untuk n = 1, bentuk di atas menjadi



Sehingga benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk tersebut. 2. Anggap bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif k, 3 merupakan salah satu faktor dari (k3 + 3k² +2k). Kita harus menunjukkan bahwa 3 juga merupakan faktor dari (k + 1)3 + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Pertama kita tulis (k + 1)3 + 3(k + 1)² + 2(k + 1) seperti berikut.



Karena 3 merupakan faktor dari k3 + 3k² + 2k dan 3(k² + 3k + 2), maka 3 merupakan faktor dari (k + 1)3 + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari (n + 1)3 + 3(n + 1)² + 2(n + 1) untuk semua bilangan bulat positif n. Soal 13: Membuktikan Faktor Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, salah satu faktor dari 22n + 1 + 1 adalah 3. Pembahasan 1. Untuk n = 1 bentuk di atas menjadi



Sehingga, benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari 9. 2. Kita anggap bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif k, Salah satu faktor 22k + 1 + 1 adalah 3. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor 22(k +



1) + 1



+ 1.



Karena 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk-bentuk 3 ∙ 22k + 1 dan 22k + 1 + 1 maka 3 adalah faktor dari 22(k + 1) + 1 + 1. Jadi kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa salah satu faktor dari 22n + 1 + 1 adalah 3. Walaupun menentukan satu rumus yang berdasarkan beberapa pengamatan saja tidak menjamin kebenaran rumus tersebut, tetapi mengenali pola adalah hal yang penting. Ketika kita mendapatkan pola atau rumus yang kita pikir benar, kita dapat membuktikan kebenaran pola atau rumus tersebut dengan menggunakan induksi matematika.



Menemukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan Untuk menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan, perhatikan petunjuk berikut. 1. Hitung beberapa suku pertama dari barisan yang diberikan. Biasanya sangat membantu jika kita menulis suku-suku tersebut ke dalam bentuk sederhana dan bentuk faktor. 2. Cobalah untuk menemukan pola dari suku-suku yang telah kita hitung dan tulis rumus suku ke-n barisan tersebut. Rumus ini merupakan hipotesis atau konjektur kita. Mungkin kita perlu mencoba untuk menghitung satu atau dua suku selanjutnya dalam barisan tersebut untuk menguji hipotesis kita. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan hipotesis yang kita dapatkan.



Soal 14: Menemukan Rumus untuk Barisan Terhingga Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.



Pembahasan Kita mulai dengan menuliskan beberapa penjumlahan pertama.



Dari barisan ini, tampak bahwa rumus penjumlahan k suku pertama adalah



Untuk membuktikan kebenaran hipotesis ini, kita gunakan induksi matematika. Perhatikan bahwa kita telah menguji rumus ini untuk n = 1, sehingga kita mulai dengan menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk n = k dan mencoba untuk menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.



Jadi, berdasarkan induksi matematika hipotesis tersebut benar. Soal 15: Menemukan Rumus untuk Barisan Terhingga Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.



Pembahasan Kita tulis beberapa penjumlahan pertama sebagai berikut.



Berdasarkan pola di atas, kita dapat melihat bahwa rumus jumlah k suku pertama adalah



Kita gunakan induksi matematika untuk membuktikan konjektur tersebut. Karena kita sudah menunjukkan kebenaran rumus tersebut untuk n = 1, kita mulai pembuktian ini dengan menganggap bahwa rumus ini benar untuk n = k, dan mencoba untuk menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.



Jadi, berdasarkan induksi matematika konjektur kita tersebut benar. Soal 16: Membuktikan Keterbagian Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa 5n – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n. Pembahasan 1. Untuk n = 1,



yang sangat jelas habis dibagi 4. 2. Kita anggap 5k – 1 habis dibagi 4 untuk sebarang bilangan bulat positif k. Akan kita tunjukkan 5k + 1 – 1 juga habis dibagi 4.



Karena 4 ∙ 5k dan 5k – 1 habis dibagi 4 maka 5k + 1 – 1 habis dibagi 4. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa 5n – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n. Soal 17: Bilangan Ganjil Buktikan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n. Pembahasan 1. Untuk n = 1,



merupakan bilangan ganjil. 2. Kita anggap untuk sebarang bilangan bulat positif k, k² – k + 41 merupakan bilangan ganjil. Selanjutnya kita harus menunjukkan bahwa (k + 1)² – (k + 1) + 41 adalah bilangan ganjil.



Karena k² – k + 41 adalah bilangan ganjil dan 2k adalah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut, yaitu (k + 1)² – (k + 1) + 41 merupakan bilangan ganjil. Jadi, dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat meyimpulkan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n. Soal 18: Membuktikan Keterbagian Buktikan bahwa 32n – 1 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat positif n. Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan “ 32n – 1 habis dibagi 8.”



1. Pertama kita tunjukkan bahwa P(1) benar. Karena



yang habis dibagi 8, maka P(1) terbukti benar. 2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita menyatakan bahwa 32k – 1 habis dibagi 8. Selanjutnya kita akan tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar.



Karena 8 ∙ 32k dan 32k – 1 habis dibagi 8 maka 32(k + 1) – 1 habis dibagi 8. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 32n – 1 habis dibagi dengan 8 untuk semua bilangan bulat positif n. Pada bagian awal pembahasan ini kita telah dikenalkan dengan induksi matematika yang selanjutnya digunakan untuk membuktikan beberapa pernyataan pada Contoh 1 – 18. Selanjutnya kita akan belajar bentuk lain dari induksi matematika, yang disebut sebagai induksi matematika kuat, yang sering digunakan ketika kita mengalami kesulitan untuk membuktikan suatu pernyataan dengan menggunakan induksi matematika biasa. Dalam induksi matematika kuat juga memiliki dua langkah, yaitu langkah dasar dan langkah induksi. Akan tetapi, pada langkah dasar memuat pembuktian-pembuktian untuk beberapa nilai awal, dan dalam langkah induksi kebenaran dari pernyataan P(n) diasumsikan tidak hanya untuk satu nilai n tetapi untuk semua nilai sampai k, dan kemudian kebenaran P(k + 1) dibuktikan.



Prinsip Induksi Matematika Kuat



Misalkan P(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar, 1. P(a), P(a + 1), …, dan P(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) 2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka P(k + 1) benar. (langkah induksi) Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, P(n) benar. (Asumsi bahwa P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa P(a), P(a + 1), …, P(k) semuanya bernilai benar.)



Pada contoh berikutnya kita akan mencoba untuk membuktikan suatu teorema keterbagian oleh bilangan prima. Teorema ini menyatakan bahwa semua bilangan bulat yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Soal 19: Keterbagian oleh Bilangan Prima Buktikan bahwa sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan: “Untuk semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.” 1. Pertama, kita tunjukkan bahwa P(2) bernilai benar. Karena 2 habis dibagi 2 dan 2 adalah bilangan prima, maka P(2): “2 habis dibagi oleh suatu bilangan prima” bernilai benar. 2. Misalkan k adalah sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 2 dan kita anggap bahwa i habis dibagi oleh suatu bilangan prima untuk semua bilangan bulat i mulai dari 2 sampai k. Kita harus tunjukkan bahwa k + 1 juga habis dibagi bilangan prima. Kasus 1 (k + 1 adalah bilangan prima): Pada kasus ini k + 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima, yaitu bilangan itu sendiri.



Kasus 2 (k + 1 bukan bilangan prima): Pada kasus ini k + 1 = ab di mana a dan b adalah bilangan bulat dengan 1 < a < k + 1 dan 1 < b < k + 1. Sehingga, dengan kata lain, 2 ≤ a ≤ k, dan berdasarkan hipotesis induksi, a habis dibagi oleh suatu bilangan prima p. Dan karena k + 1 = ab, maka k + 1 habis dibagi a. Oleh karena itu, karena k + 1 habis dibagi a dan a habis dibagi p, maka dengan keterbagian transitif, k + 1 habis dibagi oleh bilangan prima p. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Soal 20: Membuktikan Sifat Barisan dengan Induksi Matematika Kuat Suatu barisan s0, s1, s2, … didefinisikan sebagai berikut:



untuk semua bilangan bulat k ≥ 2. Diduga bahwa untuk setiap bilangan bulat n ≥ 0, suku ke-n barisan ini memiliki nilai sama dengan 5n – 1. Dengan kata lain, dugaan ini menyatakan bahwa semua suku barisan tersebut memenuhi persamaan sn = 5n – 1. Buktikan bahwa dugaan ini benar. Pembahasan Misalkan s0, s1, s2, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai s0 = 0, s1 = 4, dan sk = 6ak – 1 – 5ak – 2 untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, dan misalkan P(n) menotasikan pernyataan



Kita akan menggunakan induksi matematika kuat untuk membuktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n ≥ 0, P(n) bernilai benar. 1. Untuk membuktikan bahwa P(0) dan P(1) benar, kita harus menunjukkan bahwa



Akan tetapi, sesuai definisi barisan s0, s1, s2, …, kita memiliki s0 = 0 dan s1 = 4.



Karena 50 – 1 = 1 – 1 = 0 dan 51 – 1 = 4, nilai-nilai s0 dan s1 sama dengan nilai-nilai yang diberikan oleh rumus yang diberikan. 2. Misalkan k adalah sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 1 dan anggap bahwa si = 5i – 1 untuk semua bilangan bulat i dengan 0 ≤ i ≤ k. Kita harus menunjukkan bahwa



Akan tetapi karena k ≥ 1, kita peroleh bahwa k + 1 ≥ 2, sehingga



Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(i) dalam langkah induksi. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0. Soal 21: Membuktikan Sifat Barisan Misalkan a1, a2, a3, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.



untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan bahwa an adalah bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat n ≥ 1. Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan bahwa an adalah bilangan ganjil. Kita akan membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.



1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) dan P(2) benar. Karena menurut definisi barisan a1, a2, a3, … nilai a1 = 1 dan a2 = 3 yang keduanya merupakan bilangan ganjil, maka P(1) dan P(2) benar. 2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) bernilai benar untuk 1 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah bahwa ai merupakan bilangan ganjil. Kita akan menggunakan ini untuk menunjukkan bahwa P(k +1) benar, yaitu ak + 1 juga merupakan bilangan ganjil. Perhatikan bahwa



Menurut hipotesis induksi, ak – 1 dan ak merupakan bilangan ganjil. Padahal 2ak merupakan bilangan genap. Hasilnya, penjumlahan bilangan ganjil dan bilangan genap, ak – 1 + 2ak, adalah suatu bilangan ganjil. Sehingga P(k + 1) bernilai benar. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1. Soal 22: Membuktikan Sifat Barisan Misalkan b0, b1, b2, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.



untuk semua bilangan bulat k ≥ 2. Buktikan bahwa bn = 3 ∙ 2n + 2 ∙ 5n untuk semua bilangan bulat n ≥ 0. Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan yang menyatakan bahwa



Akan kita tunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0. 1. Pertama, akan kita tunjukkan bahwa P(0) dan P(1) benar, yaitu



Sesuai definisi, b0 = 5 dan b1 = 16. Sedangkan 3 ∙ 20 + 2 ∙ 50 = 3 + 2 = 5 dan 3 ∙ 21 + 2 ∙



51 = 6 + 10 = 16. Sehingga nilai-nilai b0 dan b1 sama dengan nilai-nilai yang diperoleh dari rumus yang diberikan. Oleh karena itu, P(0) dan P(1) benar. 2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 1, misalkan P(i) benar untuk 0 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah



untuk semua bilangan bulat 0 ≤ i ≤ k. Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu



Karena k ≥ 1 maka k + 1 ≥ 2, dan kita dapat menuliskan



Sehingga kita telah membuktikan bahwa jika P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kuat, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0. Soal 23: Membuktikan Sifat Barisan Misalkan c0, c1, c2, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.



untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan cn ≤ 3n untuk semua bilangan bulat n ≥ 0. Pembahasan Misalkan P(n) menotasikan pernyataan



Akan kita tunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0. 1. Pertama kita akan tunjukkan bahwa P(0), P(1), dan P(3) benar. Sesuai definisi barisan tersebut, c0 = 1, c1 = 2, dan c2 = 3, kita dapat melihat bahwa c0, c1, dan c2 secara berturut-turut kurang dari sama dengan 30 = 1, 31 = 3, 3² = 9. Sehingga P(0), P(1), dan P(2) bernilai benar. 2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) benar untuk 0 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah



untuk 0 ≤ i ≤ k. Dengan menggunakan hipotesis ini kita akan menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu



Untuk k ≥ 2 yang mengakibatkan k + 1 ≥ 3, kita memperoleh



Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2 kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.