Contoh Soal Plane Truss - Matriks [PDF]

Citation preview

ANALISIS STRUKTUR DENGAN METODE MATRIX



CONTOH SOAL PLANE TRUSS



Oleh : KARYADI (NIP 131672017)



UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL Maret 2018



Soal !!! Hitunglah Displacement Nodal, Reaksi Tumpuan, dan Gaya Batang dari Struktur Plane Truss seperti gambar di bawah ini dengan Metode Matrix.



200 cm 5t



200 cm



2 2



1 Y



100 cm 30°



1 X



30° 3



200√3 cm



Untuk setiap batang : E = 2100 t/cm2 A = 35 cm2



3



Jawab !!! Langkah : 1. Beri nomor semua joint, mulai dari 1 sampai n. 2



1



3



2. Beri nomor semua batang, mulai dari 1 sampai m. 2



1



3



3. Tentukan sistem koordinat global struktur. Sumbu global struktur dinyatakan dengan huruf besar (sumbu X dan sumbu Y). 2 1



2



Y 3



1 X



3



4. Tentukan koordinat setiap joint dengan referensi sistem koordinat global. Nodal/joint X Y



1 0 0



2 100√3 100



3 200√3 0



5. Untuk setiap batang (mulai dari batang 1 sampai m) kerjakan langkah-langkah berikut: a. Tentukan ujung i dan ujung j batang. b. Tentukan arah sumbu lokal batang sesuai langkah (5a ). Sumbu lokal batang dinyatakan dengan huruf kecil (sumbu x dan sumbu y), dengan sumbu x lokal searah/sejajar batang dan sumbu y lokal tegak lurus batang. c. Tentukan sudut kemiringan batang berdasarkan langkah ( 5a ) dan ( 5b ). Dengan cara tarik garis searah sumbu X global pada nodal i, kemudian dari garis tersebut tarik garis berlawanan arah jarum jam menuju garis batang, maka akan dapat diketahui sudut kemiringan batang tersebut. d. Hitung matrix kekakuan batang dalam koordinat lokal.



 AE L  0 Dengan menggunakan rumus →  k l    AE  L   0



0  AE L 0 0 AE 0 L 0 0



0 0 0  0



e. Hitung matrix transformasi batang.  cos   sin  Dengan menggunakan rumus → T    0   0



sin  cos  0 0



f. Hitung matrix kekakuan global batang. T Dengan menggunakan rumus →  k g   T    k l   T 



0 0 cos   sin 



0  0  sin    cos  



Batang 1 i=1;j=2



x



j 2



1 y 30°



i 1



k    1



l



T    1



2100 0  35200 0 0 352100 0 200 0 0



2100  35200  0   352100  200   0



 cos 30  sin 30   0  0 



sin 30 cos 30 0 0



0  367.5 0  0  0  367.5   0  0



0 0 cos 30  sin 30



0  367.5 0 0 0 367.5 0 0



0   0.87 0   0.5  sin 30   0   cos 30  0



0 0 0  0 0 0 0.87  0.5



0  0  0.5   0.87



0  0.87 0  0.5 0  0  0  0



0.5 0.87 0 0



0.5 0.87 0 0



k   T   k   T  (1)



(1) T



g



(1)



(1)



l



0.87  0.5   0   0



 0.5 0.87 0 0



 275.61  159.13   275.61    159.13



0 0 0.87 0.5



159.13 91.88  159.13  91.88



0   367.5 0   0  0.5  367.5  0.87   0  275.61  159.13 275.61 159.13



0 0 0 0



 367.5 0 367.5 0



 159.13  91.88  159.13   91.88 



0 0 0.87  0.5



0  0  0.5   0.87 



Batang 2 i=2;j=3 y



330°



i 2



2



j 3



k  ( 2)



l



T  ( 2)



2100 0  35200 0 0 2100 0 35200 0 0



2100  35200  0   352100  200   0



 cos 330  sin 330   0  0 



sin 330 cos 330 0 0



x



0  367.5  0  0  0  367.5   0  0 0 0 cos 330  sin 330



0  367.5 0 0 0 367.5 0 0



0  0.87   0.5 0  sin 330   0   cos 330  0



0 0 0  0  0.5 0.87 0 0



0 0 0.87 0.5



0  0   0.5  0.87 



k   T   k   T  ( 2)



( 2) T



g



( 2)



( 2)



l



 0.87  0.5   0   0



0.5 0.87 0 0



 275.61   159.13   275.61   159.13



0 0 0.87  0.5



 159.13 91.88 159.13  91.88



0   367.5 0   0 0.5   367.5  0.87   0  275.61 159.13 275.61  159.13



0 0 0 0



 367.5 0 367.5 0



159.13   91.88   159.13  91.88 



0 0.87 0  0.5 0  0  0  0



 0.5 0.87 0 0



0 0 0.87 0.5



0  0   0.5  0.87 



Batang 3 i=1;j=3 y 3 360°



j



i 1



k  ( 3)



l



T  ( 3)



3



2100 0  35200 3 0 0 2100 0 35200 3 0 0



2100  35200 3  0   352100  200 3   0



 cos 360  sin 360   0  0 



sin 360 cos 360 0 0



0  212.2  0  0  0  212.2   0  0 0 0 cos 360  sin 360



0  212.2 0 0 0 212.2 0 0



0  1  0 0  sin 360  0   cos 360 0



0 1 0 0



0 0 0  0 0 0 1 0



k   T   k   T  (3)



( 3) T



g



( 3)



( 3)



l



1 0  0  0



0 1 0 0



0 0 1 0



 212.2  0   212.2  0 



0  212.2 0  0 0  212.2  1  0



0 0 0 0



 212.2 0 212.2 0



0 0 0  0



0 0 0 0



 212.2 0 212.2 0



0 1 0 0 0  0  0  0



0 1 0 0



0 0 1 0



0 0 0  1



6. Bentuklah matrix kekakuan seluruh struktur (overall stiffnes matrix).



0 0 0  1



x



Matrix kekakuan seluruh struktur dapat ditentukan dengan menggabungkan seluruh matrik kekakuan batang dalam koordinat global dengan memilah-milah sesuai dengan perpindahan global yang terjadi. U1 275.61*) 212.2**) 159.13 0 -275.61 0 -159.13 0 0 -212.2 0 0



Keterangan:



V1 159.13 0 91.88 0 -159.13 0 -91.88 0 0 0 0 0



U2 -275.61 0 -159.13 0 275.61 275.61 159.13 -159.13 -275.61 0 159.13 0



V2 -159.13 0 -91.88 0 159.13 -159.13 91.88 91.88 159.13 0 -91.88 0



U3 0 -212.2 0 0 0 -275.61 0 159.13 275.61 212.2 -159.13 0



V3 0 0 0 0 0 159.13 0 -91.88 -159.13 0 91.88 0



U1 V1 U2 V2 U3 V3



*) Berasal dari batang 1 **) Berasal dari batang 3



HASIL PENJUMLAHAN MASING-MASING CELL U1 478.81***) 159.13 -275.61 -159.13 -212.2 0



V1 159.13 91.88 -159.13 -91.88 0 0



U2 -275.61 -159.13 551.22 0 -275.61 159.13



V2 -159.13 -91.88 0 183.76 159.13 -91.88



U3 -212.2 0 -275.61 159.13 487.81 -159.13



V3 0 0 159.13 -91.88 -159.13 91.88



U1 V1 U2 V2 U3 V3



Keterangan: ***) Penjumlahan dari *) dan **) Jadi, matrix kekakuan tersebut adalah  487.81  159.13   275.61    159.13   212.2  0 



159.13 91.88  159.13  91.88



 275.61  159.13 551.22 0



 159.13  91.88 0 183.76



 212.2 0  275.61 159.13



0 0



 275.61 159.13



159.13  91.88



487.81  159.13



0   0  159.13    91.88   159.13  91.88 



7. Bentuklah vektor beban luar berdasarkan applied forces dan kondisi tumpuan.  F1  G   1  5    0 0    G3  



8. Bentuklah vektor displacement berdasarkan kondisi kekangan joint dan tumpuan. 0 0   U 2       V2  U 3     0 



9. Bentuk matrix keseimbangan struktur.



 P   K   U   F1  G   1  5    0 0    G3  



159.13  275.61  159.13  212.2 0  487.81  0   159.13  0  91.88  159.13  91.88 0 0     275.61  159.13 551.22 0  275.61 159.13   U 2      0 183.76 159.13  91.88  V2    159.13  91.88   212.2 0  275.61 159.13 487.81  159.13 U 3     0 0 159.13  91.88  159.13 91.88    0  



10. Lakukan rearrangement pada matrix keseimbangan struktur agar siap ditentukan solusinya.  P1  a b  U 1       P2   c d  U 2  5 0    0    F  1 G1     G3  



0  275.61  551.22  0 183.76 159.13   275.61 159.13 487.81   275.61  159.13  212.22   159.13  91.88 0   91.88  159.13  159.13



 275.61  159.13 159.13  U 2    159.13  91.88  91.88   V2   212.22 0  159.13  U 3     487.81 159.13 0 0    0  159.13 91.88 0   0 0 91.88   0  



11. Tentukan solusi matrix keseimbangan struktur yang telah di- rearrangement untuk memperoleh displacement setiap nodal dan reaksi tumpuan Menghitung Displacement



0  275.61 U 2  5  551.22      0 183.76 159.13  V2  0   0  275.61 159.13 487.81  U      3  0  275.61 U 2   551.22    0 183.76 159.13  V2    U   275.61 159.13 487.81   3    0.00299    0.00204  0.00235



 0.00204 0.00897  0.00408



1



5   0 0  



0.00235  5    0.00408 0  0.00471   0



 0.01496      0.01020   0.01178   



Menghitung Reaksi Tumpuan  F1   275.61  159.13  212.221  0.01496       0.01020 0 G1     159.13  91.88   G   159.13   91.88  159.13   0.01178   3    4.999      1.443   1.443   



12. Tentukan gaya-gaya pada ujung batang (mulai batang 1 sampai m). Batang 1



 f1  g   1 (1) (1)    T  k g  U   f2   g 2 



 



 0.87  0.5   0   0







0.5 0.87 0



0 0 0.87



0



 0.5



  275.61   159.13    275.61  0.87   159.13 0 0 0.5



159.13 91.88  159.13



 275.61  159.13 275.61



 91.88



159.13



 159.13  0      91.88   0    159.13   0.01496   91.88    0.01020 



 2.887   0       2.887     0 



Batang 2



 f2  g   2 ( 2) (2)    T  k g  U   f3   g 3 



 



0.87  0.5   0   0







 0.5 0.87 0



0 0 0.87



0



0.5



0   275.61 0    159.13  0.5  275.61  0.87   159.13



 159.13 91.88 159.13



 275.61 159.13 275.61



 91.88



 159.13



 2.887   0       2.887     0 



Batang 3



 f1  g   1 ( 3) ( 3)    T  k g  U   f3   g 3 



 



1 0  0  0



0 1 0 0







0 0 1 0



0  212.2 0  0 0  212.2  1  0



0 0 0 0



 212.2 0 212.2 0



0  0     0  0    0 0.01178   0  0  



159.13   0.01496    91.88    0.01020    159.13  0.01178    91.88   0  



 2.5  0       2.5    0  



13. Tentukan gaya-gaya dalam (internal forces) setiap batang batang. Untuk struktur Truss, gaya dalam setiap batang sama dengan gaya-gaya pada ujung batang. 14. Gambarkan gaya-gaya dalam (internal forces) pada setiap batang. ( unit : ton ) Batang 1 terjadi tarik 2.887 2



1 y x 1 -2.887



Batang 2 terjadi tekan y 2.887 2



2 x -2.887 3



Batang 3 terjadi tarik y 3 -2.500



1



x



3



15. Gambarkan gaya-gaya luar (external forces) pada struktur. ( unit : ton )



5



2.887



2.887 2.500



5.000 -1.443



16. Selesai.



1.443



2.500