Critical Book Review Kalkulus [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Mata kuliah kalkulus diperguruan tinggi merupakan sumber nilai dan pedoman dalam pengembangan dan penyelenggaraan program studi,guna mengantarkan mahasiswa memantapkan kepribadiannya. Kalkulus adalah mata kuliah yang berguna untuk membantu mahasiswa agar secara konsisten mampu mewujudkan nilai-nilai dasar matematika untuk menerapkan,mengembangkan bakat dan keahlian , karena ilmu ini bisa membawa kita menuju masa depan yang cerah dan mempunyai rasa tanggung jawab dan bermoral.



B. Tujuan Mengkritik materi buku kalkulus untuk diberikan kelemahan serta kelebihan buku C. Manfaat a. Untuk menambah wawasan tentang kalkulus b. Untuk mengetahui pembagian dari materi kalkulus.



BAB II 1



RINGKASAN BUKU A. Identitas buku 1.Buku utama Judul buku : Kalkulus dan Geometri Analitis



No. ISBN Pengarang Alih Bahasa



: 24-00-065-5 : Edwin J Purcell dan Dale Varberg : Drs. I Nyoman Susila,M.Sc Bana Kartasasmita Ph.D Drs.Rawuh Penerbit : Erlangga Tahun terbit : 1998 2.Buku kedua (pembanding) Judul buku : Diktat Kalkulus



No. ISBN Pengarang



::Drs. Manangkap Silitingo, M, Pd. Drs. Jongga Manullang, M. Pd. Tahun terbit :2018



BAB 1 SISTEM BILANGAN RIIL 2



Bilangan-bilang riil merupakan sekumpulan bilangan (rasional dan tak irasional)yang dapat mengukur panjang,bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan-bilangan riil. Bilangan riil memiliki sifat yang disebut sifat medan yaitu : 1. 2. 3. 4.



Hukum Komutatif : x + y = y+x dan xy = yx Hukum Asosiatif : x + (y+z)+z dan x(xy)=(xy)z Hukum Distribusi : x(y+z)=xy+xz Elemen-elemen identitas.Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 =x dan x.1 = x 5. Balikan (Invers).Setiap bilangan x memenuhi balikan aditif (disebut juga negatif),-x, yang memenuhi x + (-x) = 0.Juga,setiap bilangan x kecuali 0 memenuhi balikan perkalian (disebut juga kebalikan) x-1, yang memenuhi x.x-1 = 1 Urutan bilangan-bilangan riil bukan nol secara baik dipisahkan menjadi dua himpunan terpisah,bilangan-bilangan riil positif dan bilangan-bilangan riil negative.Sehingga relasi urutan < (dibaca “kurang dari”) yaitu X < y ↔ y – x positif



Ketaksamaan Mencari ketaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat ketaksamaan berlaku.Cara menyelesikan ketaksamaan : 1. Menambahkan bilangan yang sama pada kedua pihak suatu ketaksamaan 2. Mengalikan kedua pihak suatu ketaksamaan dengan suatu bilangan positif 3. Mengalikan kedua pihak dengan suatu bilangan negative,tetapi kemudian harus membalikkan arah tanda ketaksamaan. Nilai mutlak,Akar kuadrat,Kuadrat Sifat-sifat nilai mutlak 1. |ab | = |a| |b| ¿ ¿ 2. ¿ a∨ ¿ b∨¿ ¿ ¿ = ¿ a∨ ¿ b∨¿ ¿ ¿ 3. | a+ b | ≤|a|+ ¿ b∨¿ 4. |a-b| ≥∨|a|−¿ b∨¿



3



Rumus jarak Ini didasarkan pada teorema Phytagoras,yang mengatakan jika a dan b merupakan ukuran dua kali suatu segitiga siku-siku dan c merupakan ukuran sisi miringnya. D(P,Q) = √ (x 2−x 1)2 +( y 2− y 1)2 Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).Secara umum,lingkaran beerjari-jari r dan berpusat (h,k) mempunyai perasaan. (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Garis lurus Garis lurus adalah yang paling sederhana dari semua kurva.Sebuah garis adalah obyek geometri Grafik Persamaan Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik di bidang yang koordinatkoordinat (x,y) –nya memenughi persamaan artinya membuat suatu persamaan yang benar.



BAB II FUNGSI DAN LIMIT a. Fungsi Fungsi (f) adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan,yang disebut daerah asal,dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua.Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut. b. Operasi pada fungsi Fungsi bukanlah bilangan. Bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a+ b ,demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g . c. Fungsi Trigonometri Definisi andaikan t menentukan titik P(x,y) maka sin t = y dan cos t = x Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus |sin t| ≤ 1∨cos t∨≤ 1 Empat fungsi Trigonometri lainnya 4



Tan t =



sin t cos t



cot t =



cos t sin t



Sec t =



1 cos t



csc t =



1 sin t



Limit a. Defenisi Limit f ( x )=L berarti (Pengertian secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa lim x →c bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c,maka f(x) dekat ke L b. Teorema Limit  Teorema Limit utama lim k=k x →c



lim x =c x →c



lim kf ( x ) =k lim f ( x ) x →c



x→ c







Teorema Substitusi. Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional ,asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol. lim f ( x )=f (c) x →c







Teorema Apit. Andaikan f,g,h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g (x)≤ h( x) untuk f ( x )=¿ lim h ( x )=L , ¿ maka semua x dekat c,kecuali mungkiin di c.Jika lim x →c x→ c lim g ( x )=L x →c



BAB III TURUNAN 



Masalah pertama yang sudah dipermasalahkan sejak ilmuan besar Yunani Archimedes yaitu masalah garis singgung. Garis singgung sebagai suatu garis yang memotong suatu kurva pada satu titik,benar untuk lingkaran-lingkaran tetapi sama sekali tidak memuaskan untuk kebanyakan kurva-kurva lain. 5



Garis singgung jika tidak tegaklurus : m sec = lim f ( c+ h )−f (c ) Mtan =lim h→ 0 h h→ 0 



Masalah yang kedua muncul dari percobaan Kepler,Galileo,Newton dan yang lainnnya untuk melukiskan kecepatan sebuah benda bergerak yaitu masalah kecepatan seesaat.Defenisi kecepatan sesaat : lim f ( c+ h )−f (c ) v rata-rata = h → 0 V = lim h→ 0 h



Defenisi Turunan fingsi f adalah fungsi lain fʹ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c (asalakn limit ini ada) adalah f ( c+ h )−f (c ) fʹ (c) = lim h h→ 0 Aturan pencarian turunan Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari defenisi turunanyakni dengan menyusun hasil bagi selisih. f ( x+ h )−f ( x ) h Aturan fungsi konstanta Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, fʹ (x) = 0 yakniD(k) = 0 Aturan Pangkat Jika f(x) = xn,dengan n bilangan-bilangan bulat positif,maka fʹ (x) = nxn-1 Aturan fungsi Identitas Jika fʹ (x) = x,maka fʹ (x) = 1 yakni D(x) = 1 Aturan Kelipatan konstanta Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensisasikan,maka (kf)’(x) =k. fʹ (x) yakni D[k.f(x)] = k. Df(x) Aturan jumlah Jika f dan g fungsi-fungsiyang terdiferensialkan,maka (f+g)’(x) = f(x)+g(x) yakni D[f(x)+g(x)] = Df(x) + Dg(x) 6



Aturan selisih Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka (f-g)’(x) = f’(x)-g’(x) yakni D[f(x)-g(x)] = Df(x) – Dg(x) Aturan hasil kali Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka (f ∙ g)’(x) = f(x)g(x)f’(x) yakni D[f(x)g(x)] = f(x)Dg(x)+ g(x)Df(x) Aturan hasil bagi Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,dengan g(x)≠0,maka f (x ) g ( x ) Df ( x )−f ( x) Dg( x) D = g ( x) g 2(x)



BAB IV PENGGUNAAN TURUNAN 



Maksimum dan Minimum



Defenisi 1. f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)≥f(x) untuk semua x di s 2. f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c)≤ f ( x ) untuk semua di s 3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum. Teorema A (Teorema Eksistensi Maks-min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum. Teorema B (Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim,maka c haruslah suatu titik kritis yakni c berupa satu: 1. titik ujung dari I 2. titik stasioner dari f(f’( c) = 0) 3. titik singular dari f(f’(c )tidak ada).



7



BAB V INTEGRAL 



Anti turunan (Integral tak tentu)



Defenisi  f suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I yakni,jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I,F’(x)hanya perlu berupa turunan satu sisi).



Aturan pangkat x '+1 ∫ x dx= r+ 1 +c Teorema B '



∫ sin x dx=−cos x +C ∫ cos x dx=sin x+C Teorema C Kelinearan dari ʃ .. . dx.Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta.Maka: ʃkf(x) dx = k ʃ f(x) dx; ʃ[f(x) + g(x)]dx = ʃf(x)dx + ʃg(x)dx; dan tak tentu ʃ[ʃ(x)- g(x)]dx = ʃ f(x) dx - ʃg(x)dx Teorema D Aturan pangkat yang yang diperumum.Andaika g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1.Maka ʃ[g(x)]rgʹ(x) dx = ¿ ¿ + C Integral Tentu 8



Defenisi andaikan f suatu fungsi yang didefenisikan pada selang tutup [a,b].Maka secara simbolik b



∫ f ( x )dx= A



–Abawah



atas



a



Fungsi-fungsi yang dapat diintegralkan Teorema Keintegralan.Jika f terbatas pada [a,b] dan ia kontinu kecuali pada sejumlah terhingga tiitk,maka f terintegralkan pada [a,b].Khususnya jika f kontinu pada seluruh selang [a,b],maka ia terintegralkan pada [a,b]. Sebagai konsekuensi dari teorema ini,,fungsi-fungsi berikut adalah terintegralkan pada setiap selang tertutup [a,b]. Fungsi-fungsi polinom 1. Fungsi-fungsi sinus dan kosinus 2. Fungsi-fungsi rasional,asalkan selang [a,b] tidak mengandung titik-titik yang mengakibatkan suatu penyebut 0. Teorema Dasar Kalkulus Teorema dasar kalkulus.Andaikan f kontiniu (karenanya terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F sebarang anti dari f disana maka: b



∫ f ( x )dx = F(b) – F(a) a



Kelinearan integral tentu : b



1.



∫ f ( x )dx = k∫ f (x )dx a b



2.



a



b



b



∫ [f ( x )+ g ( x ) ] dx = ∫ f (x )dx + ∫ g( x)dx dan tak tentu a b



3.



b



a b



a b



∫ [f ( x )−g ( x ) ]dx = ∫ f (x )dx - ∫ g( x)dx a



a



a



Sifat-sita integral tentu lebih lanjut : Sifat penambahan selang.Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b, c, maka



9



c



b



c



∫ f ( x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f ( x )dx a



a



b



Sifat pembandingan.Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] dan jika f(x)0



Daerah definisinya adalah himpunan bilangan riil positif. Turunan logaritma asli 1 Dx ln x = , x > 0 x



Sifat logaritma asli Apabila a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional,maka 1. ln 1 = 0 2. ln ab = ln a + ln b a 3. ln = ln a – ln b b 4. ln ar = r ln a  Fungsi Invers dan Turunannya Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya D dengan nilai tunggal y dalam daerah hasilnya R. 11



Eksistensi Fungsi Invers Teorema A  apabila f monoton murni pada daerah asalnya,maka f memiliki invers.Teorema A mudah digunakan , sebab untuk menentukan apakah f monoton,yang perlu diperhatikan adalah dari f’. Apabila f memiliki invers f-1 maka f-1 juga memiliki invers,yaitu f.Jadi dapat dikatakan bahwa f dan f-1 merupakan pasangan fungsi invers.Dirumuskan f-1(f(x)) = x



dan



f(f-1(y)) = y



Turunan fungsi Invers Teorema fungsi invers Andaikan f dapat diturunkan dan monoton murni pada selang I. Apabila f’(x) ≠ 0 pada sesuatu x dalam I, maka f-1 dapat diturunkan di titik y = f(x) pada daerah hasil f dan berlakulah (f-1)̍ (y) =



1 f '( x ) 



dapat juga ditulis



dx 1 = dy dy /dx



Fungsi Eksponen



Definisi  Invers ln disebut eksponen asli dan ditulis sebagai exp yaitu = ln x dan diperoleh : 1.. exp (ln x) = x 2. ln (exp y) = y



x = exp y ↔ y



x>0 untuk semua y



Sifat fungsi eksponen Defenisi  bilangan e adalah bilangan riil positif yang bersifat ln e = 1 Teorema A  andaikan a dan b bilangan rasional,maka eaeb = ea+b dan ea/eb = ea-b Fungsi Eksponen umum Defenisi  untuk a > 0 dan x bilangan riil sebarang ax = ex ln a Sifat-sifat nya 1. axay = ax+y



12



ax 2. y = ax-y a 3. (ax)y = ax-y 4. (ab)x = axbx Fungsi loga Defenisi  Andaikan a bilangan positif dan a≠ 1.Maka y = loga x ↔ x = ay dan dapat disimpulkan loga x =



ln x ln a



 Fungsi Trigonometri Invers Defenisi  untuk memperoleh invers dari sinus dan kosinus,harus batasi daerah asal fungsi-fungsi itu pada selang [-π/2 , π/2] dan [0,π] X = sin-1 y



↔



X = cos-1y



↔



−π π ≤x ≤ 2 2 y = cos x dan 0≤ x ≤ π y = sin x dan



Invers Tangen x = tan-1 y ↔ y = tan x dan



−π π