Deret Kompleks [PDF]

Citation preview

5. Deret Kompleks



5. DERET KOMPLEKS Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga dikenal istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent). Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan deret bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan. Setelah membaca Bab 5, mahasiswa diharapkan dapat : 



mengerti



definisi



barisan



dan



deret



pangkat



beserta



sifat



kekonvergenannya. 



Menyajikan fungsi analitik dalam deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent.



49



5. Deret Kompleks



5.1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks 5.1.1 Barisan Bilangan Kompleks Barisan bilangan kompleks :



Definisi Barisan Bilangan Kompleks



•



merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n dengan suatu bilangan kompleks. Notasi barisan bilangan kompleks : zn



Kekonverg • enan Barisan • Contoh 1



atau



{ z n } = { z1 , z 2 , z 3 ,  , z n } ,



Barisan



zn



n≥ 1.



z ∈C



konvergen jika ada



sehingga



lim z n = z . n →∞ Jika n ≥n0 .



∀ε > 0 , ∃n0 ∈N



Tunjukkan barisan z n = −2 +



sehingga



zn − z 1, ∑z n divergen n =1   L =1, uji gagal  



7. Deret Geometri ∞



Bentuk umum :



∑q



n



= 1 + q + q 2 +



n =1



Jika Jika



q 1 ), ∞



zn



∑n n =1



3



Jadi, z



konvergen pada z



=1



dan z



∞



zn



∑n n =1



konvergen . Sehingga



3



=1 .



konvergen pada



z



≤1



dan divergen pada



>1 .



5.3 Deret Taylor dan MacLaurin Suatu fungsi f (z ) tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat dengan pusat deret yang sama. Apabila



f (z ) dapat dinyatakan dalam deret



pangkat dengan pusat z 0 , maka deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat. Apabila f (z ) analitik di dalam lingkaran C maka f ( z ) dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret MacLaurin bergantung pada



pusat deretnya.



C r0



f (z ) analitik di dalam C



• z0



Gambar 5.1 Lingkaran C dengan pusat deret z 0



Deret Taylor



Jika f (z ) analitik di dalam lingkaran C yang berpusat di z 0 dan berjari-jari r0 ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik z di dalam C berlaku ∞



f ( n) ( z 0 ) ( z − z0 ) n . n! n =1



f ( z) = f ( z0 ) + ∑



(5.1)



Persamaaan (5.1) disebut deret Taylor dari f ( z ) di sekitar titik z0 .



Deret MacLaurin



Jika pada persamaan (5.1), z 0 = 0 maka untuk setiap titik dalam C berlaku ∞



f ( n ) (0) n z . n! n =1



f ( z ) = f (0) + ∑



Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari f (z ) . Beberapa contoh deret MacLaurin.



54



z



(5.2)



di



5. Deret Kompleks



z 1. e = 1 + z +



∞ z2 z3 zn + + = ∑ , 2 ! 3! n =0 n !



2. sin z = z −



∞ z3 z5 z 2 n +1 + − = ∑(−1) n , 3! 5! ( 2n +1) ! n =0



3. cos z =1 −



∞ z2 z4 z 2n + − = ∑(−1) n , 2! 4! ( 2 n) ! n =0



z