Bilangan Kompleks [PDF]

Citation preview

Gabungan antara himpunan REAL dan IMAJINER adalah himpunan BILANGAN KOMPLEKS.



Lingkaran yang paling besar itu menunjukkan himpunan bilangan kompleks, memperlihatkan betapa luasnya himpunan bilangan kompleks.



BAGIAN I DEFINISI BILANGAN KOMPLEKS Dari prakata di atas, kita tahu bahwa bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan Real dengan bilangan Imajiner. Sekilas tentang bilangan imajiner. Bilangan imajiner adalah bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif. Misalnya, , ,c , dan masih banyak lagi.. Lalu, di sini kita akan berurusan dengan bilangan . Kita definisikan bahwa = , maka: Oleh karena itu, dapat kita tulis juga menjadi , maka dapat ditulis sebagai . Banyak sekali orang yang keliru mengoperasikan bilangan imajiner. Misalnya: = = = 5. (ini salah!!) (KENAPA?) Seharusnya: = = 5. = ( 1).5 = 5 Untuk menghindari kesalahan, selalu konversikan bilangan imajiner ke dalam bentuk (ini dinamakan sebagai bentuk standar). Simbol mempunyai sifat = ngotak-ngatik. = = . Lalu,



= 1. Untuk pangkat yang lebih tinggi, kita tinggal = = 1.



NOTASI Bilangan kompleks (z) terdiri dari gabungan bilangan Real dan Imajiner. Oleh karena itu, dapat kita notasikan dengan hubungan penjumlahan. z=x+y Notasi di atas menunjukkan bahwa x adalah bagian REAL, sedangkan y adalah bagian imajiner murni. Bilangan x dan y, keduanya adalah bilangan REAL. Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks, dan suatu bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks. (Lebih mudahnya, ini seperti menggambar titik pada koordinat x dan y, di mana x merupakan bagian REAL, sedangkan y adalah bagian IMAJINER.) Contoh Soal 1: Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan z1, z2, z3, dan z4. z1 = 3 + 6 . z2 = -3+2 . z3 = -2-2 . z4 = 4 - 3 . Gambarkan titik-titik z1, z2, z3, dan z4 di bidang kompleks! Jawab: Kita buat koordinat x dan y, di mana z=x + y . 4 titik itu digambar sebagai berikut.



Contoh Soal 2: Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y ). Jika z = kompleks!



, tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang



Jawab: Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.. ^^ z= z= z= z= z= Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y = Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:



.



Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.



Contoh Soal 3 (pemahaman): Bisakah kamu memberi contoh bilangan yang bukan bilangan kompleks? Jawab: Bilangan yang bukan kompleks adalah bilangan yang mengandung bilangan yang tidak imajiner dan tidak real juga.. Misalnya , , dan masih banyak lagi.. Tapi, ini yang masih menjadi kendala.. Apakah , , dan sebagainya itu masih bisa disebut bilangan?? Contoh Soal 4 (pemahaman): Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y ). Tentukan nilai x dan y dari bilangan: (i) 0 (ii)5 (iii) Jawab: (i) 0 = 0+ o . Jadi, x=0 dan y=0. (ii) 5 = 5+0 . Jadi, x=5 dan y=0. (iii) = 0+ . Jadi, x=0 dan y=



.



Contoh Soal 5: Jika z1 = z2 = z3. z1 = c + a . z2 = b + 2c . z3 = a+2 - d . Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3! Jawab: Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+s dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s. Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.. ^^ z1 = z2 = z3 c + a = b + 2c = a+2 - d . c = b = a+2 ... (i) a = 2c = -d ... (ii) c= a+2 Substitusikan nilai c ke persamaan 2 a = 2(a+2) a = 2a + 4 a = -4 Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa) Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4 .



===================================================================== ====



BAGIAN II OPERASI BILANGAN KOMPLEKS Di sini akan dijelaskan operasi bilangan kompleks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.. Langsung ke contoh soal. Contoh Soal 6 (penjumlahan): (3+2 )+(-2+7 ) =.... Jawab: (3+2 )+(-2+7 ) = 3 + 2 -2 + 7 = 1 + 9 . Contoh Soal 7 (pengurangan): (2-3 )-(8-2 )=.... Jawab: Dikerjakan sama seperti penjumlahan.. (2-3 )-(8-2 ) = 2 -3 -8 +2 = -6 - . Contoh Soal 8 (perkalian): (3+4 )(2-5 ) = .... Jawab: Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu. (3+4 )(2-5 ) = 6 -15 + 8 -20 . Lalu ubah menjadi 1. (3+4 )(2-5 ) = 6 -15 + 8 +20 = 26 -7 . Contoh Soal 9 (pembagian): = .... Jawab: Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah). = ====-= ====-= ====-= ====-=



Contoh Soal 10 (pemangkatan Sederhana): Jika z = 3- . Tentukan . Jawab: Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa. = (3- )(3- )(3- ) = (9-6 -1)(3- )=(8-6 )(3- )=24-8 -18 -6=18-27 . ===================================================================== ==== Note: bilangan kompleks jika digunakan di koordinat polar dapat menjadi sangat fleksibel dan *luar biasa*.. Di sini, akan muncul "Dalil Moivre" juga. Rumus-rumus euler dapat diturunkan dari definisi bilangan kompleks di koordinat polar. Namun, karena hari sudah malam dan ikan sudah bobo (~.~"), post ini diakhiri sampai sini dulu. Baca lanjutannya mengenai "Bilangan Kompleks ...(ii) Dalil De Moivre".. ^^ Sumber: Kalkulus I (Wikaria Gazali, dosen tercinta di Universitas Bina Nusantara). Penerbit: Graha Ilmu, Schaum Outline: Matematika Universitas.



10 comments: rani said... Begini... kalo ada bilangan kompleks z, lalu P menggambarkan posisi z pada diagram argand. Misalkan z memenuhi [z-4]=6 (*[] maksudnya mutlak). Kan berarti P-nya itu lingkaran dengan pusat (4,0) dengan jari-jari 6. Nah, yang mau kutanya adalah...lingkaran itu tuh namanya P atau z-4 ? February 20, 2009 9:54 PM hendry_dext said... Modulus nya 6 |z-4|=6 |x-4+yi| = 6 Akar((x-4)^2+y^2) = 6 ==> lingkaran dengan pusat (4,0) dan r=6 ==> u/ memastikan... :P Karena P merupakan gambaran dari z-4, maka jika kita mengatakan bahwa P itu lingkaran maka jelas benar. Dan sebaliknya pula, jika kita mengatakan lingkaran itu P maka juga benar, karena lingkaran dan P keduanya merupakan gambar. Apakah z-4 itu lingkaran? Jawabannya TIDAK. Lingkaran itu hanyalah GAMBARAN posisi z-4. Jadi, z-4 itu bukan lingkaran. Bagaimana kalo pertanyaannya dibalik? Apakah lingkaran itu z-4? Karena lingkaran itu merupakan gambaran dari z-4, sesungguhnya



tidaklah salah jika kita mengatakan bahwa lingkaran itu z-4.. Namun, akan lebih baik jika dikatakan bahwa lingkaran itu adalah GAMBARAN POSISI dari z-4. Sebenarnya bukan masalah besar. Namun, saya punya pertanyaan yang serupa: Jika saya berteman dengan A dan A berteman dengan B, maka apakah B berteman dengan A atau dengan saya? Merupakan hubungan yang tidak langsung.. ^^ Ada pendapat lain? February 21, 2009 10:51 AM sofia said... ada soal-soal sama pembahasan kalkulus 2 ga??kalo ada publish donk....... March 27, 2009 12:00 PM hendry_dext said... Kalkulus 2 itu tentang apa ya? Tentang pers diferensial atau tentang deret fourier atau Laplace.??? Yang pasti, materi itu buanyak banget n susah banget diposting di blog.. Mungkin kalo ada, kapan-kapan bakal dipost (kalau ada waktu kurang lebih 1 tahun untuk bisa membahas tuntas).. ~_~ March 27, 2009 2:02 PM Anonymous said... (cos3x+i sin3x)^5(cos4x-i sin4x)^4 ----------------------------------(cos5x-i sin5x)^3(cos6x+i sin6x)^2 penyederhanaannya gmn? October 11, 2009 2:03 PM hendry_dext said... (cos3x+i sin3x)^5(cos4x-i sin4x)^4 ---------------------------------------(cos5x-i sin5x)^3(cos6x+i sin6x)^2 Kita ubah ke dalam bentuk polar. (cis 3x)^5(cis (-4x))^4 ------------------------------(cis (-5x))^3(cis 6x)^2



Ingat hukum pemangkatan moivre (cis 15x)(cis (-16x)) ------------------------------(cis (-15x))(cis 12x) Ingat hukum untuk perkalian bilangan kompleks dalam polar. (cis (15x - 16x)) -----------------------(cis (-15x + 12x)) (cis (-x)) -----------------------(cis (-3x)) Ingat hukum untuk pembagian bilangan kompleks dalam polar. cis (-x -(-3x) cis 2x Done.



BILANGAN KOMPLEKS



A. Pengertian Bilangan Kompleks



Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini.



Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagian imajener (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal i yang didefinisikan sebagai : ……………………………………..(1)



System bilangan kompleks merupakan perluasan dari system bilangan riil. Misalkan, saat kita memerlukan solusi dari persamaan x2 = - 25, tak ada bilangan riil yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, kita perlu mendefinisikan bilangan kompleks. Bilangan kompleks ditulis sebagai pasangan terurut dua bilangan riil, z = x + i y, dimana x = Re z (bagian riil dari bilangan kompleks), y = Im z (bagian imajener dari bilangan kompleks). Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana, yaitu dari persamaan kuadrat ……………………….(2) Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus …………………….(3) ……………………..(4) Untuk nilai diskriminan D≥0, tidak ada masalah, karena akar-akar persamaannya bersifat riil menurut persamaan (3). Untuk kasus D