Sifat-Sifat Bilangan Kompleks [PDF]

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SIFAT-SIFAT BILANGAN KOMPLEKS Misalkan z 1 z 2 z 3 ∈, dengan z 1=a1 +b 1 i ; z 2=a 2+b 2 i ; z 3=a 3+ b3 i dan a 1 , a2 , a3 , b1 ,b 2 , b3 ∈ 1. Komutatif terhadap penjumlahan z 1+ z2 =( a1 +b1 i ) + ( a2 +b 2 i ) ¿ ( a 1+ a2 ) + ( b 1+b 2 ) i ¿ ( a 2+ a1 ) + ( b 2+b 1 ) i ¿ ( a 2 + b2 i ) + ( a1 + b1 i ) ¿ z 2+ z 1 ∈ 2. Sifat Komutatif perkalian z 1 z 2=( a1+ b1 i ) + ( a2 +b2 i ) ¿ a1 a2 +a 1 b 2 i+ b1 a2 i b1 b2 ¿ a1 a2 +b 1 a 2 i+ a1 b2 i b1 b2 ¿ a2 (a1+ b1 i)+b2 i(a1 +b1 i) ¿ ( a 2+ b2 i ) ( a 1+b 1 i ) ¿ z2 z1 3. Bilangan kompleks Asosiatif terhadap penjumlahan ( z 1 + z 2) + z 3 =( ( a 1+ a2 ) + ( b1 +b 2 ) i ) +(a3 + b3 i) ¿ ( a 1+ a2+ a3 ) + ( b1+ b2 +b3 ) i ¿¿ ¿ ( a 1+ b1 i ) +( ( a2 +a 3 ) + ( b2 +b 3 ) i) ¿ z 1+ ( z2 + z 3 ) 4. Asosiatif perkalian ( z 1 z 2 ) z 3=[ ( a 1+ b1 i ) ( a 2+b 2 i ) ] (a3 +b3 i) ¿ ( a 1+ b1 i ) ( a2 +b 2 i ) a3 +(a1 +b1 i)(a 2+ b2 i)b3 i ¿¿ ¿( a1 +b1 i) [ ( a2 a3 +b 2 a 3 i ) +( a2 b3 i b2 b3 ) ]



¿( a1 +b1 i)¿ ¿( a1 +b1 i) [ ( a2 +b 2 i ) (a 3+ b3 i) ] ¿ z1 ( z2 z3 ) 5. Distributive Terhadap operasi ¿ memenuhi sifat distributive z 1 ( z 2 + z 3 )=(a ¿ ¿ 1+b1 i) [ ( a 2+ b2 i ) +(a3 +b 3 i) ] ¿



¿( a1 +b1 i)(a 2+ a3 +b2 i+ b3 i) ¿ a1 a2 +a 1 a 3+ a1 b 2 i+a1 b3 i+ b1 a2 i +b 1 a3 i+b1 b2 b1 b3 ¿ ( a 1 a 2+ a1 b 2 i+b1 a2 ib1 b2 ) +(a1 a3 +a 1 b 3 i+b1 a3 ib 1 b3 ) ¿ [ a 1 ( a 2+ b2 i ) +b 1 i(a 2+ b2 i) ]+ [ a1 ( a3 +b 3 i ) +b 1 i(a3 +b 3 i) ] ¿ ( a 1+ b2 i ) ( a 2+b 2 i ) +(a1 +b2 i)( a3+ b3 i)



¿ z 1 z 2 + z1 z 3



6. Bilangan kompleks tertutup terhadap penjumlahan z 1+ z2 =( a1 +b1 i ) +(a2+ b2 i) ∈ 7. Terdapat identitas penjumlahan bilangan kompleks Terdapat 0 z=0+0 i∈, sehingga z 1+ 0 z=( a 1+ b1 i ) + ( 0+ 0i ) =( a1 +0 ) + ( b1 +0 ) i=a1+ b1 i=z1 , untuk setiap z 1 ∈ 8. Bilangan kompleks memiliki invers penjumlahan Untuk setiap z 1=a1 +b 1 i ∈ , z 1=( a1 +b1 )i ∈ terdapat sedemikian sehingga z 1+ ( z1 ) =( a 1+b 1 i ) + ( ( a1 +b1 i ) ) ¿ a1 +b 1 i+ ( a1 ) +(b1 i) ¿( a ¿ ¿ 1+(a1))+(b 1 i+(b 1 i))¿ ¿ 0+ ( b1 + ( b 1) ) i ¿ 0+0 i 9. Identitas perkalian Terdapat z 1 ∈ , dengan z 1 ≠0 , yang memenuhi z 1 z 2=z 2 z 1=z 2 z 1 z 2=(a1 +b1 i)(a2+ b2 i) ¿ a2 +b 2 i a 1 a2 b1 b2 + ( a 1 b 2+ b1 a2 ) i ¿ a2 +b 2 i a1 a2 b1 b2=a2|× b2 a1 b2 +b1 a2 =b2|×a 2 a 1 a2 b2 b1 b22=a2 b 2 a1 a2 b2 b1 a22=a2 b2 −¿ b1 b 22+ b1 a22=0 b 1 ( b 22 a22 )=0 b 1=0 Dengan melakukan substitusi b 1=0 diperoleh a 1=1 , sehingga z 1=1+0 i adalah elemen identitas dari system bilangan kompleks 10. Memiliki invers terhadap perkalian untuk setiap z 2 ∈ , terdapat z 1 ∈ sedemikian sehingga z 1 z 2=1 z 1 z 2=1



( a 1+ b1 i ) ( a 2+ b2 i ) =1 a 1 a2 b1 b2 ¿+ ( b 1 a 2+ a1 b 2 ) i=1+ 0i a1 a2 b1 b2=1|× b2 a1 b2 +b1 a2 =0|×a 2 a 1 a2 b2 b1 a22=b2 a1 a2 b2 b1 a22=0 −¿ 2 2 b1 b2 +b 1 a 2=b2 b 1 ( b 22 a22 )=b 2 b 1=



b2 b 22+ a22



Selanjutnya dilakukan substitusi untuk mendapatkan a 1 a 1 a2 b1 b2=1 b22 a 1 a2 + 2 2 =1 b2 +a 2 b22 a 1 a2 =1 2 2 b2 +a 2 b 22+ a22 b22 a 1 a2 = 2 2 2 2 b 2+ a2 b2 +a2 a22 ¿ 2 2 b2 +a2 a 1=



a2 b 22+ a22



Diperoleh invers z 2 adalah z 1=¿ a2 2 2



b2 2 2



2 2



b +a b + a22



i∈