Derivatif Tingkat Tinggi PDF [PDF]

Citation preview

DERIVATIF TINGKAT TINGGI Oleh karena derivatif fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), pada umumnya, masih merupakan fungsi x, maka berarti, masih dapat di-defferensialkan ke-𝑥 lagi. Andai diketahui : 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥



𝑑



= 𝑦′ = 𝐷𝑦 dimana 𝐷 = 𝑑 dan disebut DEFFERENSIAL OPERATOR. 𝑥



disebut derivatif tingkat (orde) satu atau derivatif pertama ke-𝑥. 𝑑𝑦



𝑑2𝑦



𝑥



𝑑𝑥2



(𝑑 ) =



= 𝑦′′ = 𝐷2 𝑦 disebut derivatif tingkat dua ke-𝑥.



𝑑2𝑦



𝑑3𝑦



𝑥2



𝑑𝑥3



(𝑑 ) =



= 𝑦′′′ = 𝐷3 𝑦 disebut derivatif tingkat tiga ke-𝑥.



Bila cara ini dilakukan terus sampai –n kali, terdapat: 𝑑 𝑑𝑥



𝑑 𝑛−1 𝑦



(𝑑



𝑥𝑛−1



)=



𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛



= 𝑦 (𝑛) = 𝐷𝑛 𝑦 disebut derivatif tingkat n ke-𝑥.



Contoh Soal dan Penyelesaiannya 1. Tentukan:



𝒅𝟓 𝒚 𝒅 𝒙𝟓



dan



𝒅𝟔 𝒚 𝒅𝒙𝟔



dari 𝒚 = 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑



Penyelesaian:



𝑑4𝑦 = 120𝑥 − 48 𝑑𝑥 4 𝑑5𝑦 = 120 = 5 . 4! 𝑑𝑥 5



𝑑𝑦 = 5𝑥 4 − 8𝑥 3 + 12𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 = 20𝑥 3 − 24𝑥 2 + 24𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑3𝑦 = 60𝑥 2 − 48𝑥 + 24 𝑑𝑥 3 2. Tentukan:



𝒅𝟑 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙𝟑



= 𝑓 ′′′ (𝑥)



𝑑6𝑦 𝑑𝑥6



= 0.



dari 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟏𝟔



Penyelesaian:



𝑓 ′ (𝑥) =



1 √𝑥 2 +16



𝑓 ′′ (𝑥)



𝑥



𝑥 √𝑥 2 + 16 = 𝑥 2 + 16 2 𝑥 + 16 − 𝑥 2 16 = = 3 3 2 2 2 ( ) 𝑥 + 16 2 (𝑥 + 16) √𝑥 2 + 16 − 𝑥 .



5 3 . (𝑥 2 + 16)−2 . 2𝑥 2 −48𝑥



𝑓 ′′′ (𝑥) = 16 . − =



5



(𝑥 2 + 16)2



Higher order derivatives……



1



𝒅𝒏 𝒚



3. Tentukan:



dari 𝒚 =



𝒅𝒙 𝒏



𝟏+𝒙 𝟏−𝒙



Penyelesaian: (1 − 𝑥) . 1 − (1 + 𝑥) . −1 2 = 2 (1 − 𝑥) (1 − 𝑥)2 2 .2! 𝑦 ′′ = 2 . −2 (1 − 𝑥)−3 . −1 = (1 − 𝑥)3 2 .2! . 3 2 . 3! 𝑦 ′′′ = 2 . 2!. −3 (1 − 𝑥)−4 . −1 = = 4 (1 − 𝑥) (1 − 𝑥)4 2 .3! . 4 2 . 4! 𝑦 (4) = 2 . 3!. −4 (1 − 𝑥)−5 . −1 = = (1 − 𝑥)5 (1 − 𝑥)5 ……………… dan seterusnya ……………… 𝑦′ =



Jadi:



𝟐 .𝒏!



𝒚(𝒏) = (𝟏−𝒙)𝒏+𝟏 4. Hitung:



𝒅𝟐 𝒚 𝒅 𝒙𝟐



untuk n = 1, 2, 3, …



𝟑



dari



𝒚 = √𝒙𝟐 + 𝟒 untuk 𝒙 = 𝟐



Penyelesaian: 1



3



𝑦 = √𝑥 2 + 4 = (𝑥 2 + 4)3 Dicari dalam bentuk 𝑑𝑦 =⋯ 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 =⋯ 𝑑𝑥 2



𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒙𝟐



silahkan dicoba sendiri !!!



Untuk 𝑥 = 2, terdapat: 𝒅𝟐 𝒚 𝟏 ⌋ = 𝟐 𝒅𝒙 𝒙=𝟐 𝟏𝟖 5. Tentukan:



𝒅𝒏 𝒚 𝒅 𝒙𝒏



,



lni adalah hasil akhirnya, silahkan diperiksa jawaban anda, apakah sudah benar?



bila 𝒚 = √



𝟏 𝟏−𝒙



Penyelesaian: 3 3 𝑑𝑦 1 1 = − . (1 − 𝑥)−2 . −1 = (1 − 𝑥)−2 𝑑𝑥 2 2 2 5 5 𝑑 𝑦 1 3 1 .3 𝑦 ′′ = = . − . (1 − 𝑥)−2 . −1 = 2 . (1 − 𝑥)−2 𝑑𝑥 2 2 2 2 3 𝑑 𝑦 𝑦 ′′′ = 3 = ⋯ 𝑑𝑥 𝑑4𝑦 dan seterusnya……… 𝑦 (4) = 4 = ⋯ 𝑑𝑥 silahkan dicoba sendiri sampai diperoleh polanya 5 𝑑 𝑦 𝑦 (5) = 5 = ⋯ 𝑑𝑥



𝑦′ =



Higher order derivatives……



2



Selanjutnya akan diperoleh hasil sebagai berikut.



𝒚



(𝒏)



𝒅𝒏 𝒚 𝟏 . 𝟑 . 𝟓 . 𝟕 … (𝟐𝒏 − 𝟏) 𝟏 𝟐𝒏+𝟏 = = . √( ) 𝒅𝒙𝒏 𝟐𝒏 𝟏−𝒙



lni adalah hasil akhirnya, silahkan diperiksa jawaban anda, apakah sudah benar?



untuk n = 1, 2, 3, …



6. Tentukan:



𝒅𝟐 𝒚



dan



𝒅𝒙𝟐



Penyelesaian:



𝒅𝟑 𝒚 𝒅𝒙𝟑



dari bentuk



…………



𝒚 = 𝒙 𝒂𝒓𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + √𝟏 − 𝒙𝟐



silahkan dicoba sendiri !!! ………………



Hasil akhirnya adalah:



𝒚



′′′



𝒅𝟑 𝒚



7. Tentukan:



lni adalah hasil akhirnya, silahkan diperiksa jawaban anda, apakah sudah benar?



𝑿



= 𝒅𝒙𝟑 =



√(𝟏−𝑿𝟐 )𝟑



𝒅𝟏𝟑 𝒚



dari 𝒚 = 𝒙 𝐥𝐧 𝒙



𝒅𝒙𝟏𝟑



Penyelesaian: …………



silahkan dicoba sendiri !!! ………………



Hasil akhirnya adalah:



𝒅𝟏𝟑 𝒚 𝒅𝒙𝟏𝟑



=−



lni adalah hasil akhirnya, silahkan diperiksa jawaban anda, apakah sudah benar?



𝟏𝟏! 𝒙𝟏𝟐



𝑦 (𝑛) dari bentuk 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥



8. Tentukan:



Penyelesaian: …………



silahkan dicoba sendiri !!! ………………



Hasil akhirnya adalah: (𝒏)



𝒚



=



𝒅𝒏 𝒚 𝒅𝒙𝒏



𝒙



= (𝒙 + 𝒏) 𝒆



lni adalah hasil akhirnya, silahkan diperiksa jawaban anda, apakah sudah benar?



Higher order derivatives……



3