Turunan Tingkat Tinggi [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kalkulus lanjut merupakan mata kuliah lanjutan dari kalkulus I yang telah dipelajari sebelumnya. Proses perkuliahan di kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup, sehingga mahasiswa sangat dituntut untuk memiliki keterampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan demikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun dituntut aktif mencari bahan materi yang dipelajari. Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukan diskusi diskusi dalam perkuliahan. Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan.Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diberikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak. Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.



1



Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran. Melihat seberapa besar penting persamaan diferensial dari berbagai macam ilmu, Maka kami menulis makalah yang berjudul “Turunan Parsial Tingkat Tinggi” B. Rumusan Masalah Rumusan masalah dalam makalah ini adalah: a. Apakah definisi dari turunan parsial tingkat tinggi? b. Apakah definisi dari aturan rantai? c. Bagaimana cara memecahkan permasalahan terkait turunan parsial tingkat tinggi? d. Apa definisi turunan berarah? C. Tujuan Penulisan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui apakah defenisi dari turunan parsial tingkat tinggi, apa yang dimaksud dengan aturan rantai dan bagaimana cara menurunkan turunan parsial tingkat tinggi.



2



BAB II ISI TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI Mari kita ingat kembali defenisi turunan parsial. Defenisi formal dari turunan parsial fungsi z= f(x,y) adalah : f x ( x , y )=lim h →0



f ( x +h , y )−f (x , y) f ( x , y +h )−f (x , y) dan f y ( x , y )=lim h h h →0



Dengan f x ( x , y ) adalah turunan parsial terhadap x dan f y ( x , y ) adalah turunan parsial terhadap y. Notasi diatas dapat disederhanakan menjadi : f x ( x , y )=f x =



∂f ∂ = ( f ( x , y ) )=z x =D x f ∂ x ∂x



f y ( x , y )=f y =



∂f ∂ = ( f ( x , y ) )=z y =D y f ∂y ∂y



Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n



¿ 2. Turunan parsial tersebut



dinamakan turunan parsial tingkat tinggi. Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat kedua, ketiga dan seterusnya. Jadi, andaikan z=f ( x , y ) maka turunan parsial tingkat dua dari fungsi tersebut memiliki 4 kemungkinan. Notasi yang dapat disajikan bentuk mengekspresikan 4 kemungkinan tersebut yakni sebagai berikut:



∂ f ∂2 f (f x )x =f xx = ∂ = ∂ x ∂ x ∂ x2



∂ f ∂2 f ∂ (f x )y =f xy= = ∂ y ∂ x ∂ y∂ x



∂ f ∂2 f ∂ (f y )x =f yx= = ∂x ∂ y ∂x∂ y ∂f ∂2 f ∂ (f y ) y =f yy = = ∂ y ∂ x ∂ y2 Turunan parsial tingkat dua dan tiga sering disebut dengan turunan parsial campuran karena kita menurunkan lebih dari satu variabel. Kita harus



3



f xy maka



memperhatikan notasi yang kita gunakan, untuk notasi turunan



penurunan fungsi f bergerak dari kiri ke kanan. Maksud dari pernyataan tersebut adalah fungsi tersebut harus diturunkan terlebih dahulu terhadap variabel x 2



∂f kemudian diturunkan lagi terhadap variabel y. Sedangkan untuk notasi ∂ y ∂x ,



kita bergerak dari kanan ke kiri yaitu dengan notasi



∂ ∂f ∂ y ∂x artinya kita harus



menurunkan fungsi f terhadap variabel x terlebih dahulu kemudian terhadap variabel y.



Contoh 1: 2 5y



Tentukanlah turunan tingkat kedua dari f (x , y )=cos(2 x )−x e +3 y



2



Penyelesaian : Pertama kita tentukan turunan pertama yaitu:



f x ( x , y )=−2 sin(2 x )−2 xe 5 y



f y ( x , y )=−5 x 2 e 5 y +6 y Kemudian dapat kita tentukan 4 bentuk turunan keduanya yaitu:



f xx ( x , y )=−4 cos(2 x)−2e 5 y



f xy ( x , y )=−10 xe



5y



f yx ( x, y)=−10 xe 5 y f yy ( x, y )=−25 x 2 e5 y +6 Contoh 2: ∂2 z ∂2 z xy Tentukan 2 dan 2 dari fungsi z= x− y ∂x ∂y Jawab:



z=



xy ∂ z y ( x− y )−xy (1) = ( x− y )2 x− y , diperoleh ∂ x



4



2



=



−y ( x− y )2



∂ z x( x− y )−xy(−1) = ∂y ( x− y )2 2



=



x ( x− y )2 2



∂ z ∂ ∂z = 2 Sehingga ∂ x ∂ x ∂ x − y2 = ∂ ∂ x ( x− y )2



(



( )



)



2



2



0( x− y ) −(− y )(2 )( x− y )(1) = ( x− y )4 2



=



2 xy −2 y ( x− y ) 4



Dan



3



∂2 z ∂ x2 = ∂ y 2 ∂ y ( x− y )2



(



)



0( x− y )2−x 2 (2)( x− y )(−1) = ( x− y )4 3



=



−2 x − yx ( x− y )4



∂2 z 2 2. Tentukan ∂ x Jawab :



2



x y ∂2 z z= 2 − 2 2 y x dan ∂ y dari fungsi



∂z 1 2y = 2+ 3 ∂ x y x Dari,diperoleh ∂z 2x 1 =− 3 − 2 ∂y y x ∂2 z ∂ ∂ z = 2 ∂x ∂ x ∂ x Sehingga



( )



5



1 2y = ∂ 2+ 3 ∂x y x



(



=



)



−6 y x4 2



dan



∂ z ∂ −2 x 1 = − ∂ y2 ∂ y y3 x2



(



)



=



6x y4 2



Dengan cara yang sama dapatdicari



2



∂z ∂z dan ∂ x∂ y ∂ y∂x



Dari hasil turunan orde dua di atas dapat kita lihat bahwa



f xy = f yx . Hasil



tersebut bukan suatu kebetulan. Fungsi tersebut merupakan kasus yang harus kita amati dengan baik. Teorema berikut akan menjelaskan kepada kita tentang kasus di atas. Theorema Clairaut’s Misalkan f terdefinisi pada daerah asal D yang memuat titik (a,b). Jika fungsi



f yx kontinu di daerah D maka: f xy (a,b) = f yx (a,b)



−x Contoh 3: Verifikasi Theorema Clairaut’s untuk f (x , y )=xe



f xy dan



2 2



y



Penyelesaian : Diawali dengan menentukan 2 turunan tingkat pertama 2 2



f x ( x , y )=e−x y −2 x 2 y 2 e−x



f y ( x , y )=−2 x 3 ye−x



2 2



y



2 2



y



Sekarang, menentukan dua turunan parsial campuran tingkat dua. 2 2



2 2



2 2



2 2



2 2



2 2



f xy ( x , y )=−2 x 2 ye−x y −4 x 2 ye−x y +4 x 4 y 3 e−x y =−6 x 2 ye− x y +4 x 4 y 3 e−x f xy ( x , y )=−6 x 2 ye− x y +4 x 4 y 3 e−x



2 2



y



y



Ditunjukkan bahwa nilai keduanya sama. Sejauh ini kita hanya melihat turunan order kedua. Tentu saja ada turunan yang lebih tinggi lagi. Berikut adalah pasangan turunan parsial tingkat ketiga fungsi dua Variabel.



6



∂2 f ∂3 f ∂ f xyx =(f xy )x= ( )= ∂ x ∂ y∂x ∂x∂ y∂x ∂2 f ∂3 f f yxx =( f yx )x = ∂ ( )= 2 ∂x ∂x∂ y ∂ x ∂ y Theorema Clairaut’s dapat dikembangkan juga untuk turunan parsial tingkat ketiga dan tingkat selanjutnya, contoh: fxxy = fxyx = fyxx Theorema ini tidak hanya berlaku untuk fungsi varibel ganda, tetapi juga berlaku untuk fungsi 3 variabel dan seterusnya (multi variabel) dengan syarat fungsi turunannya kontinu. Jadi, secara umum jika fungsi turunan memenuhi syarat kontinuitas maka theorema Clairaut’s berlaku untuk fungsi multivariabel dan turunan tingkat tinggi, misalnya: fxxyyz = fxyzxy Contoh 4: Tentukanlah fxxyzz dari f (x,y,z) = z3y2 ln(x) Penyelesaian: Kita harus menurunkan fungsi tersebut dari kiri ke kanan. Kita selesaikan secara bertahap:



f x=



z3 y 2 x



f xx= −



z3 y2 x2



f xxy = −



2 z3 y x2



f xxyz= −



6 z2 y x2



f xxyzz = −



12 zy x2



7



II. Aturan Rantai Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi, dimana fungsi komposisi adalah hasil kali turunan f dan g. Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, dan F = f ° gfungsi komposisi yang didefininsikan oleh F(x) = f(g(x), maka F dapat didiferensialkan menjadi F’ yang diberikan oleh hasil kali yaitu: F’ (x)= f’(g(x)) g’(x) dimana F = f ° g maka (f ° g)’ (x) = f’(g(x)) g’(x) Dan dalam notasi Leibniz , jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka : dy dy du = dx du dx Bukti dari aturan rantai yaitu :



8



Dalam



pengertian turunan perlu diingat kembali bahwa berdasarkan



gambar diatas, jika y=f(x) dan x berubah dari a + ∆ x , maka didefeninsikan pertambahan y sebagai ∆ y =f ( a+ ∆ x )−f (a) Sesuai dengan defenisi turunan, dimana : lim



∆ x→ 0



∆y =f ' (a) ∆x



lim ε = lim ∆ y −f ' ( a) = f ' ( a )−f ' ( a ) =0 ∆ x→ 0 ∆ x Tetapi



∆ x→ 0



ε =



(



( ∆∆ yx −f ' (a)),



)



∆ y = ( f ' ( a ) ∆ x+ ε ∆ x ) dengan ε → 0 ketika ∆ x →0 ......(5)



Dari persamaan 5 akan membuktikan Aturan Rantai Bukti: Andaikan u=g(x) dapat didiferensialkan di a dan y = f(u) dapat didiferensialkan di b =g(a). Jika ∆ x perupakan pertambahan dalam x, ∆ udan ∆ y pertambahan padanannya dalam ∆ u dan udan y maka dapat dituliskan : ∆ u = g' ( a ) ∆ x+ ε 1 ∆ x = [ g' ( a ) +ε 1 ] ∆ x dengan ε 1 → 0dan ∆ x →0 .........(6) Secara serupa 9



∆ y = f ' ( b ) ∆ u+ ε 2 ∆ u = [ f ' ( a )+ ε 2 ] ∆ u dengan ε 2 → 0 dan ∆ u → 0 .........(7) Kita akan mensubtitusikan ∆ u dari persamaan (6) ke dalam persamaan (7), maka kita peroleh : ∆ y= [ f ' ( a )+ ε 2 ] ∆ u dengan ε 1 → 0 dan ∆ u → 0 dimana ∆ u= [ g' ( a ) +ε 1 ] ∆ x ∆y = [ f ' ( a )+ ε 2 ] ∆ u ∆x ∆y =[ f ' ( a )+ ε 2 ][ g ' ( a )+ ε 1 ] ∆ x , ketika ∆ x →0diperlihatkan di persamaan (6) ∆x ∆ u → 0sehingga ε 1 → 0 dan ε 2 → 0 ketika ∆ x →0 , karena itu : dy ∆y = lim = lim [ f ' ( a )+ ε 2 ][ g' ( a )+ ε 1 ] ∆ x dx ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x→ 0 f’(b)g’(a)=f’(g(a))g’(a) F’ (x)



= f’(g(x)) g’(x) dimana F = f ° g



maka Contoh 1 10



Diketahui h(x)=( x 2 +1 ) , tentukanlah h’(x)! Jawab : Misalkan u = x 2+ 1 =g(x) , g’(x)=2x dan f(u) = ( u )10, f’(u) = 10( u )9 maka h(x) = (f ° g ¿(x) sehingga h’(x)=f’(g(x)) g’(x) h’(x)=f’(u) g’(x) h’(x)=10( u )9 2x 9



h’(x)=10( x 2 +1 ) 2x , h’(x)=20x( x 2 +1 )



9



Teorama Aturan Rantai I a. Dengan 2 Peubah Jika fungsi x=x(t) dan y = (y(t) terdirefensialkan di t ∈ D dan fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)=(x(t),y(t) ∈ D f , maka fungsi z=g(t)=f(x(t),y(t)



10



juga diferensial di t dengan aturan



Dimana aturan rantai I dapat ditampilkan dalam bentuk diagram pohon sebagai berikut



3 2 Contoh : Andaikan z=x y , dimana x=2 t dan y=t .Tentukan



dz dt



Dengan menggunakan aturan rantai I diperoleh : dz ∂ z dx ∂ z dy = + dt ∂ x dt ∂ y dt ¿(3 x ¿¿ 2 y) ( 2 )+ ( x 3 ) (2t )¿ ¿ 3(2 t)2 (t ¿¿ 2) ( 2 ) + ( 2 t 3 ) (2 t )¿ ¿ 40 t 4 Pada rumus diatas, Z dipandang sebagai fungsi satu peubah terhadap t dz untuk dan dipandang sebagai fungsi 2 peubah terhadap x dan terhadap y untuk dt dz dz dan . Teorema aturan rantai I dapat dituliskan dalam bentuk perkalian dx dy matriks sebagai berikut:



Jika dimisalkan 11



b. Aturan rantai I untuk 3 peubah Jika fungsi x=x(t) dan y = (y(t) dan z=z(t) terdirefensialkan di t ∈ D dan fungsi u=f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t))∈ D f , maka fungsi u=g(t)=f(x(t),y(t),z(t)) juga diferensial di t dengan aturan:



12



III. Turunan Berarah Untuk titik ini kita hanya melihat dua turunan parsial f x (x,y) dan f y (x,y). Bahwa turunan ini mewakili tingkat perubahan f karena bervariasi x (y tetap) dan sepertibeda y (x tetap) masing-masing.Kita



sekarang



perlu



membahas



bagaimana



menemukan tingkat perubahan fjika kita membiarkan kedua x 13



dan y berubah secara simultan. Masalahnya disini ada banyak carauntuk memungkinkan kedua x dan y berubah. Misalnya seseorang bisa berubah lebih cepat dari yang lainmaka ada juga isu



apakah



atau



tidak



masing-masing



meningkat



atau



menurun.Jadi, sebelum kita dapatkanuntuk menemukan tingkat perubahan kita perlu mendapatkan beberapa gagasan awal yang diurus terlebih dahulu.Gagasan utama yang perlu kita cermati adalah bagaimana kitamendefinisikan perubahan x dan / atauy. Mari kita mulai dengan seandainya kita menginginkan tingkat perubahan f pada titik tertentu, katakanlah ( x 0, y 0 ¿.Mari kita anggap bahwa kedua x dan y meningkat dan bahwa, dalam kasus ini, x meningkat dua kali lebih cepat dari y. Jadi, karena y meningkatkan satu ukuran x akan meningkat dua kali lebih cepat. Untuk



membantu



kita



melihat



bagaimana



kita



akan



menentukan perubahan ini, misalkan kita melihat partikel( x 0, y 0 ¿ dan partikel akan bergerak ke arah yang diberikan oleh perubahan x dan y. Oleh karena itu, partikel akan bergerak ke arah peningkatan x dan y dan x koordinat titik akan meningkat dua kali lebih cepat dari koordinat y. Sekarang kita memikirkan perubahan x dan y sebagai arah gerakan kita bisa mendapatkan cara untuk mendefinisikan perubahan. Kita tahu dari Kalkulus II vektor dapat digunakan untuk menentukan arah dan karenanya partikel, pada titik ini, dapat dikatakanbergerak ke arah, ⃗v =⟨ 2 , 1 ⟩ Karena vektor ini dapat digunakan untuk menentukan bagaimana sebuah partikel pada satu titik berubah, kita juga dapat menggunakannya jelaskan bagaimana x dan atau y berubah pada satu titik. Sebagai contoh kita akan mengatakan bahwa kita menginginkan perubahan f ke arah ⃗v =⟨ 2 , 1 ⟩ .Dengan cara ini kita akan tahu bahwa x meningkat dua kalidari y. Masih ada masalah kecil dengan ini.Ada banyak vektor ituarahkan ke 14



arah yang sama.Misalnya semua vektor berikut mengarah ke arah yang samasebagai ⃗v =⟨ 2 , 1 ⟩ . ⃗v = Kita



⟨



1 1 , v⃗ = ⟨ 6 ,3 ⟩ ⃗v = 5 10



⟩



membutuhkan



cara



yang



2 1 , 5 5



⟨√ √ ⟩ konsisten



menemukan



tingkat perubahan fungsi dalam arah tertentu.Kami akanlakukan bahwa vektor yang mendefinisikan arah perubahan menjadi vektor satuan. Penarikanbahwa vektor satuan adalah vektor dengan panjang, atau besarnya, dari 1. Ini berarti bahwa untuk contoh ituakanmenggunakan: ⃗v =



2 1 , 5 5



⟨√ √ ⟩



karena ini adalah vektor satuan yang menunjuk ke arah perubahan.Ingat bahwa besarnya atau panjang vektor ⃗v =⟨ a ,b , c ⟩ .diberikan oleh,



‖⃗v‖√ a2 +b2 +c 2 Untuk dua vektor dimensi kita menurunkan c dari rumus. Terkadang kita akan memberi arahan untuk mengubah x dan y sebagai



sudut.



Misalnya,



bisa



kita



katakanbahwa



kita



π menginginkan laju perubahan f ke arah θ= . Vektor satuan yang 3 menunjuk pada hal iniarah diberikan oleh, u⃗ =⟨ cos θ , sinθ ⟩ sekarang kita tahu bagaimana menentukan arah perubahan x dan waktu untuk mulai berbicaratentang menemukan tingkat perubahan f ke arah ini. Mari kita mulai dengan definisi resmi. Definisi Tingkat perubahan f ( x , y )ke arah vektor satuan u⃗ =⟨ a , b ⟩ disebut sebagai turunanberarah dan dilambangkan dengan D ⃗u f ( x , y ) .Definisi turunanberarah adalah,



D⃗u f ( x , y )=lim h →0



f ( x+ ah , y+ bh )−f ( x , y ) h



15



Jadi, definisi directional derivative sangat mirip dengan definisi parsialderivatif. Namun, dalam prakteknya ini bisa menjadi batas yang sangat sulit untuk dihitung jadi kita perlucara mudah mengambil directional derivative. Ini sebenarnya cukup sederhana



untuk



mendapatkan



formula



yang



setarauntuk



mengambil directional derivative. Untuk melihat bagaimana kita bisa melakukan ini mari kita definisikan fungsi baru dari satu variabel, g (z)= f ( x 0 +az , y 0 +bz) Dimana x 0, y 0, a, dan b adalah beberapa bilangan tetap. Perhatikan bahwa ini benar-benar fungsi dari singleVariabel sekarang karena z adalah satu-satunya huruf yang tidak mewakili angka tetap. Kemudian dengan definisi turunan untuk fungsi dari satu variabel yang kita miliki, g' ( z )=lim h →0



g ( z +h )−g( z) h



dan turunan pada z = 0 diberikan oleh, g' ( 0 )=lim h →0



g ( h ) −g (0) h



Jika kita sekarang mengganti g (z) yang kita dapatkan, '



g ( 0 )=lim h →0



f ( x 0 +ah , y 0 +bh ) −f ( x 0 , y 0 ) g ( h ) −g (0) =lim =D ⃗u f ( x 0 , y 0 ) h h h→ 0



Jadi, sepertinya kita memiliki hubungan berikut.



16



g' ( 0 )=D u⃗ f ( x 0 , y 0)



(1)



Sekarang, mari kita lihat ini dari perspektif lain. Mari kita menulis ulang g (z) sebagai berikut, g (z)=f ( x , y ) .dimana x = x 0 +az dan y= y 0 +bz Kita sekarang dapat menggunakan aturan rantai dari bagian sebelumnya untuk menghitung, g' ( z ) =



dg ∂ f dx ∂ f dy = + = f x (x,y)a+ f x (x,y)b dz ∂ x dz ∂ y dz



Jadi, dari aturan rantai kita mendapatkan hubungan berikut. g' ( z ) = f x (x,y)a+ f x (x,y)b



(2)



Jika kita sekarang mengambil z = 0 kita akan mendapatkan x = x 0dany= y 0(dari bagaimana kita mendefinisikan x dan y di atas)dan pasang ini ke (2) kita dapatkan, g' ( 0 )= f x ( x 0 , y 0 )a + f y ( x 0 , y 0 )b Sekarang,



cukup



(3)



menyamakan



(1)



dan



(3)



untuk



mendapatkannya, D ⃗u f ( x 0 , y 0 ) =g' ( 0 )= f x ( x 0 , y 0 )a + f y ( x 0 , y 0 )b Jika kita sekarang kembali membiarkan x dan y menjadi nomor kita



dapatkan



rumus



berikut



untukmenghitung



turunan



directional. D⃗u f ( x , y )=f x ( x , y ) a+ f y ( x , y ) b Ini jauh lebih sederhana daripada definisi batas. Perhatikan juga bahwa definisi ini mengasumsikan bahwa kitasedang bekerja dengan fungsi dua variabel. Adarumus serupa yang bisa diturunkan olehjenis argumen yang sama untuk fungsi dengan lebih dari dua variabel. Misalnya,directional derivatif dari f (x,y,z) ke arah vektor satuan u⃗ =⟨ a , b , c ⟩ .diberikan oleh, D ⃗u f ( x , y , z ) =f x ( x , y , z ) a+f y ( x , y , z ) b+ f z ( x , y , z ) c



17



Contoh 1 Temukan masing-masing derivatif arah. (a) D⃗u f =(2,0) dimana f (x,y)= xe xy + y dan u⃗ adalah vektor satuan ke arahnyapadaθ=



2π 3



(b) D⃗u f =(x,y,z) dimana f (x,y,z)= x 2z+ y 3 z2-xyz ke arah⃗v = ⟨ −1,0,3 ⟩ Solusi (a) D⃗u f =(2,0) dimana f (x,y)= xe xy + y dan u⃗ adalah vektor satuan ke arahnyapadaθ=



2π 3



Pertama kita akan temukan D⃗u f (x,y) dan kemudian gunakan formula ini untuk mencari D⃗u f =(2,0) Vektor satuanmemberi arah, 2π 2π −1 √ 3 , sin = , 3 3 2 2



⟨ ( ) ( )⟩ ⟨



u⃗ = cos



⟩



turunan directional adalah,



( −12 )(e +xy e ) + ( √23 ¿ ¿)



D⃗u f (x,y)=



xy



xy



Sekarang, memasukkan poin yang dimaksud memberi,



( −12 ) ( 1)+ ¿( √23 ¿ ( 5)= 5 √3−1 2



D⃗u f (2,0)=



(b) D⃗u f =(x,y,z) dimana f (x,y,z)= x 2z+ y 3 z2-xyz ke arah⃗v = ⟨ −1,0,3 ⟩ Dalam hal ini mari kita periksa dulu apakah vektor arah adalah vektor satuan atautidak dan jika tidakmengubahnya menjadi satu. Untuk melakukan ini semua yang perlu kita lakukan adalah menghitung besarnya.



‖⃗v‖√ 1+ 0+9 = √ 10 ≠1 Jadi, ini bukan vektor satuan. Ingat bahwa kita dapat mengubah vektor apapun menjadi vektor satuan yang ada di dalamnya arah yang sama dengan membagi vektor dengan besarnya. Jadi, vektor satuan yang kita butuhkan adalah, u⃗ =



1 ⟨−1,0,3 ⟩= −1 , 0 , 3 √ 10 √10 √ 10



⟨



⟩



Turunan turunannya adalah,



18



( √−110 ) ( 2 xz− yz ) +( 0 ) (3 y z −xz )+( √310 ) ( x +2 y z−xy ) 1 ( 3 x +6 y z−3 xy−2 xz+ yz ) =( √ 10 ) 2



D⃗u f =(x,y,z)=



2



2



2



3



3



Ada bentuk lain dari rumus yang kita gunakan untuk mendapatkan directional derivative yang sedikitlebih bagus dan agak lebih kompak Ini juga merupakan formula yang jauh lebih umum yang akan mencakupkedua formula diatas.Mari kita mulai dengan



yang



kedua



dan



perhatikan



bahwa



kita



bisa



menuliskannya sebagai berikut, D⃗u f ( x , y , z ) =f x ( x , y , z ) a+f y ( x , y , z ) b+ f z ( x , y , z ) c = ⟨ f x , f y , f z⟩ ∙ ⟨a , b , c ⟩ Dengan kata lain kita bisa menulis directional derivative sebagaisebuahtitik dan perhatikan yang keduavektor tidak lebih dari vektor satuan u⃗ yang memberi arah perubahan. Juga, jika kita



punyaMenggunakan



versi



untuk



fungsi



dua



variabel



komponen ketiga tidak akan ada, tapi yang laindari rumus itu akan sama. Sekarang mari kita beri nama dan notasi ke vektor pertama pada produk titik karena vektor ini akantampil cukup teratur sepanjang kursus ini (dan di kursus lainnya). Gradien f atauvektor gradien f didefinisikan sebagai, ∇ f =⟨ f x , f y , f z ⟩ atau ∇ f =⟨ f x , f y ⟩ Atau, jika kita ingin menggunakan vektor basis standar maka gradiennya



adalah, ∇ f =f x i⃗ + f y ⃗j+ f z k⃗ atau∇ f =f x i⃗ + f y ⃗j



Definisi hanya ditampilkan untuk fungsi dua atau tiga variabel, namun ada



yang alamiperpanjangan fungsi dari



sejumlah



variabel yang kami inginkan.Dengan definisi gradien sekarang kita dapat mengatakan bahwa derivatif directional diberikan oleh, D⃗u f =∇ f ∙ u⃗ 19



Dimana kita tidak akan lagi menunjukkan variabel dan menggunakan rumus ini untuk sejumlah variabel.Perhatikan juga bahwa kita terkadang akan menggunakan notasi berikut, D⃗u f ( ⃗x )=∇ f ∙ ⃗u dimana ( ⃗x )=⟨ x , y , z ⟩ atau ( ⃗x )= ⟨ x , y ⟩ , sesuai kebutuhan. Notasi ini akan digunakan saat kita ingin diperhatikanvariabel dalam beberapa cara, tapi tidak benar-benar ingin membatasi diri kita pada



jumlah



tertentuvariabel.



Dengan



kata



lain,



⃗x



akan



digunakan untuk mewakili sebanyak mungkin variabel yang kita butuhkan di rumus dan kita akan paling sering menggunakan notasi ini bila kita sudah menggunakan vektor atau vektor notasi dalam masalah / rumus. Mari kita kerjakan beberapa contoh dengan menggunakan formula derivatif arah ini. Contoh 2 Temukan masing-masing derivatif arah. (a) D⃗u f ( ⃗x )untuk f= (x,y)= x cos(y) turunanpada⃗v=⟨ 2,1 ⟩ (b) D⃗u f ( ⃗x )untuk f= (x,y,z)=sin (yz)+ln ( x 2 ) at (1,1,π ¿ turunan pada ⃗v=⟨ 1,1 ,−1 ⟩ Solusi (a) D ⃗u f ( ⃗x ) untuk f= (x,y)= x cos(y) turunan pada ⃗v=⟨ 2,1 ⟩ Pertama mari kita hitung gradien untuk fungsi ini. ∇ f =¿ =



1 ( 2 cos ( y )−x sin( y ) ) √5



(b) D ⃗u f ( ⃗x )untuk f= (x,y,z)=sin (yz)+ln ( x 2 ) at (1,1,π ¿ turunan pada ⃗v=⟨ 1,1 ,−1 ⟩ Dalam hal ini meminta turunan arah pada titik tertentu. Untuk melakukan



ini



kita



akan



terlebih



dahuluhitung



gradien,



evaluasilah pada titik yang dimaksud dan kemudian lakukan dot product. gradien.



20



∇ f ( x , y , z )=



⟨ ⟨



∇ f ( 1,1 , π ) =



2 , z cos ( yz ) , y cos( yz ) x



⟩



2 , π cos ( π ) , cos( π ) =⟨ 2,−π ,−1 ⟩ 1



⟩



Selanjutnya, kita membutuhkan vektor satuan untuk arah,



⟨



‖⃗v‖=√ 3



u⃗ =



1 1 1 , ,− √3 √ 3 √3



⟩



Akhirnya, turunan arah pada titik yang dimaksud adalah, D ⃗u f ( 1,1 , π )= ⟨ 2 ,−π ,−1 ⟩ ∙



=



=



⟨



1 1 1 , ,− √3 √ 3 √3



⟩



1 ( 2−π +1 ) √3 3−π √3



Sebelum melanjutkan mari kita perhatikan bahwa derivatif parsial pesanan pertama yang kami lihat diSebagian besar bagian dapat dianggap sebagai kasus khusus dari derivatif arah. Untukcontoh, f x dapat dianggap sebagai directional derivative dari f ke arah⃗u=⟨ 1,0 ⟩ atau⃗u=⟨ 1,0,0 ⟩ ,tergantung pada jumlah variabel yang sedang kami tangani.Hal yang sama juga terjadiuntuk f y dan f z. Kami akan menutup bagian ini dengan beberapa fakta bagus tentang vektor gradien. Yang pertama mengatakankita bagaimana menentukan tingkat maksimum perubahan fungsi pada suatu titik dan arah itukita perlu bergerak untuk mencapai tingkat perubahan maksimum itu.



BAB III



21



PENUTUP



 Turunan parsial tingkat dua dan tiga sering disebut dengan turunan parsial campuran karena kita menurunkan lebih dari satu variabel. turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n ¿ 2. Turunan parsial tersebut dinamakan turunan parsial tingkat tinggi. Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat kedua, ketiga dan seterusnya. Jadi, andaikan



z=f ( x , y ) maka turunan parsial tingkat dua dari fungsi tersebut memiliki



4



kemungkinan.



Notasi



yang



dapat



disajikan



bentuk



mengekspresikan 4 kemungkinan tersebut yakni sebagai berikut:



∂ f ∂2 f (f x )x =f xx = ∂ = ∂ x ∂ x ∂ x2



∂ f ∂2 f ∂ (f x )y =f xy= = ∂ y ∂ x ∂ y∂ x ∂f ∂2 f ∂ (f y )x =f yx= = ∂x ∂ y ∂x∂ y ∂f ∂2 f (f y ) y =f yy = ∂ = ∂ y ∂ x ∂ y2  Aturan rantai dengan dua peubah dapat dituliskan sebagai berikut : dz ∂ z dx ∂ z dy = + dt ∂ x dt ∂ y dt  Tingkat perubahan f ( x , y )ke arah vektor satuan u⃗ =⟨ a , b ⟩ disebut sebagai turunan berarah dan dilambangkan dengan D⃗u f ( x , y ) .Definisi turunan berarah adalah, D ⃗u f ( x , y )=lim h →0



f ( x+ a h , y+ b h )−f (x , y) h



22



23