Turunan Tingkat Tinggi Pada Fungsi Trigonometri [PDF]

Citation preview

B. Turunan Tingkat Tinggi pada Fungsi Trigonometri Turunan fungsi Eksflisit pada fungsi Trigonometri menentukan turunan fungsi yang lebih dari satu kali penurunan di sebut Turunan Tingkat Tinggi. Misalkan turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri y = f (x) dapat di buat Notasinya sbb y’ atau f’(x) atau f1(x) atau



dy df ( x) atau disebut turunan Pertama dx dx



d 2 f ( x) d2 y y’’ atau f’’(x) atau f (x) atau atau disebut turunan Kedua d x2 d x2 2



y’’’ atau f’’’(x) atau f3(x) …



…



…



d 3 f (x) d3 y atau disebut turunan Ketiga d x3 d x3 …



d n f (x ) dn y y atau f (x) atau f (x) atau atau disebut turunan ke- n d xn d xn n



n



n



Contoh : 1. Jika diketahui y = Sin 4 x , tentukan turunan ke tiga Penyelesaian : y = f (x) = Sin 4 x Turunan Pertama



y’ = f’ (x) = 4 Sin 3x .Cos x



Dari turunan Pertama u = Sin3 x



u’ = 3 Sin2 x. cos x



v = Cos x



v’ = - Sin x



Turunan kedua



y’’ = f’’ (x) = u’.v + u. v’



Dari turunan Pertama y’ = f’ (x) = 4 Sin 3x .Cos x Turunan ke dua y’’ = f’’ (x) = 4 {(3.Sin 2 x. Cos x).(Cos x) + Sin3 x.( -Sin x)} y’’ = f’’ (x) = 4 {3.Sin 2 x. Cos2 x - Sin4 x}. y’’ = f’’ (x) = 12.Sin 2 x. Cos2 x - 4.Sin4 x. y’’ = f’’ (x) = 12.Sin 2 x. (1 – Sin2 x) - 4.Sin4 x.



[ cos 2x = 1 – Sin2x ]



y’’ = f’’ (x) = 12.Sin 2 x. – 12 Sin4 x - 4.Sin4 x. y’’ = f2(x) = 12.Sin 2 x. – 16 Sin4 x . Turunan ke tiga dari



y’’ = f2(x) = 12.Sin 2 x. – 16 Sin4 x



y’’’ = f3 (x) = 24. Sin x. Cos x – 64. Sin3x . Cos x atau y’’’ = f3 (x) = 24. Sin x. Cos x – 64. Sin3x . Cos x y’’’ = f3 (x) = 12. (2. Sin x. Cos x) – 32. Sin2 x. (2. Sin x . Cos x) y’’’ = f3 (x) = 12. ( Sin 2x.) – 32. Sin2 x. (Sin 2x)



[ Sin 2x = 2 Sin x Cos x ]



y’’’ = f3 (x) = 12.Sin 2x. – 32. Sin2 x.Sin 2x 2. Jika diketahui y = f (x) = Sin x



tentukan turunan untuk f 22(x)



y’ = f 2(x) = Cos x y’’ = f 2(x) = - Sin x y’’’ = f 3(x) = - Cos x y4 = f 4(x) =Sin x karena f 22(x) pangkatnya 22 habis di bagi 4 dengan sisa 2 maka ( turunannya kembali ke



turunan ke dua) adalah f 22(x) = f 2(x) = - Sin x 3. Jika diketahui y = Sin 2x . Cos x, tentukan nilai f’(



π ) 3



Penyelesaian : Turunan Pertama u = Sin 2x



u’ = 2 Cos 2x



v = Cos x



v’ = - Sin x



y’ = f’ (x) =



dy = u’ . v + u. v’ dx



Turunan Pertama



y’ = f’ (x) = (2 Cos 2x) .( Cos x ) + (Sin 2x). (- Sin x) y’ = f’ (x) = 2 Cos 2 x . Cos x - Sin 2x. Sin x



pada x =



π 3



π π π π π maka y’ = f’ ( ) = 2 Cos 2.( ) . Cos ( ) - Sin 2( ). Sin ( ) 3 3 3 3 3 π y’ = f’ ( ) = 2 Cos 2( 60 0). Cos ( 600) - Sin 2( 600) Sin ( 600) 3 y’ = f’ ( 600 ) = 2 Cos 1200. Cos 600 - Sin 1200. Sin 600 y’ = f’ ( 600 ) = 2 ( Sin 600) 2. Cos 600 - Sin 1200. Sin 600 y’ = f’ ( 600 ) = 2 ( y’ = f’ ( 600 ) = -



∴ nilai f’(



−1 1 1 ¿ . ( ) - ( √ 3 ) . ¿) 2 2 2



1 3 −2−3 5 - ==2 4 4 4



π 5 ) adalah y’ = f’ ( 600 ) = 3 4



Latihan 4, 5, 6, 7 dan 8 di kerjakan di buku latihan (setelah selesai kirim ke Japri Bpk) 4. Jika diketahui y = f(x) = Cos 4 x , tentukan turunan ke -3 5. Jika diketahui y = f (x) = Cos x + Sin x



tentukan turunan untuk f 25(x) dan f139 (x)



6. Jika diketahui y = f(x) = Sin2 x , tentukan nilai dan nilai f’’(



π ) 3



7. Jika diketahui y = f(t) = Cos2 πt , tentukan nilai f’’(2) 8. Jika diketahui y = f(θ) = Sin ( 2θ−



π π ¿ , tentukan nilai f’’( ) 12 4



{ jawaban dlam π }