Makalah Turunan Fungsi Trigonometri [PDF]

Citation preview

MAKALAH TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI MATEMATIKA KALKULUS I



Nama : Rahmat



Tirta NIM



: 4516041169 Jurusan



: Teknik



Sipil



FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS BOSOWA 2016/2017 KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini yang membahas tentang “Turunan Fungsi Trigonometri“. Penyusunan makalah ini dibuat dan diajukan untuk memenuhi tugas dari mata kuliah Kalkulus Differensial. Selaku tim penyusun, kami berterima kasih kepada pihak- pihak yang telah membantu kami lewat bimbingan dan petunjuk yang sangat membantu suksesnya penyusunan makalah kami. Kami selaku penyusun makalah ini, menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan . Oleh karena itu, kami mengharapkan tegur sapa, kritik dan saran yang bersifat membangun dari dosen dan seluruh pembaca makalah ini, agar dapat dijadikan pedoman dalam



penyusunan makalah selanjutnya. Semoga makalah ini dapat bermanfaat dalam rangka menunjang keberhasilan pembangunan khususnya di bidang pendidikan.



Makassar, 4 November 2016



Penyusun



1



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ....................................................................................................................................... 1 DAFTAR ISI .................................................................................................................................................... 2 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ................................................................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................................................................. 1 C. Tujuan ................................................................................................................................................ 1 BAB II PEMBAHASAN A. Definisi Turunan Trigonometri ............................................................................................................ 2 B. Turunan Trigonometri ........................................................................................................................ 2 C. Contoh Soal & Pembahasan.............................................................................................................. 3 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan ......................................................................................................................................10 DAFTAR PUSTAKA



2



BAB I PENDAHULUAN A.



Latar Belakang Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input,



atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Turunan merupakan operasi matematika yang tidak asing lagi bagi seorang mahasiswa. Namun tidak dipungkiri bahwa dalam menyelesaikan operasi turunan membutuhkan waktu yang cukup lama karena harus menyelesaikan perhitungan-perhitungan yang cukup rumit dan hasilnya pun belum tentu kebenarannya. Banyak permasalahan sehari-hari yang menggunakan konsep turunan fungsi trigonometri dalam penyelesaiannya. Dalam makalah ini akan dibahas rangkuman materi tentang turunan fungsi trigonometri serta contoh soal disertai pembahasannya.



B.



Rumusan Masalah 1. Bagaimana definisi turunan trigonometri ? 2. Bagaimana rumus turunan trigonometri ?



C.



Tujuan Penulisan 1. Untuk memahami definisi turunan trigonometri. 2. Untuk memahami rumus turunan trigonometri.



3



BAB II PEMBAHASAN



A.



Definisi Turunan Trigonometri Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai



input. Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi - fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.



B.



Turunan Trigonometri Pada dasarnya turunan trigonometri mengacu pada definisi turunan. Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan



g(x) = tan x, keduanya mempunyai turunan (dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f'(x) = cos x dan turunan cos x adalah g'(x) =sec2x. Hal itu dapat dibuktikan dengan rumus f '(x) = limh → 0fx+h-f(x)h, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri. a. Turunan f(x) = sin x Diketahui f (x) = sin x f '(x)



= limh→0fx+h-f(x)h = limh→0sinx+h-sin(x)h = limh→02cos122x+hsin12(h)h = limh→0cos(x + 12h) . limh→0sin12 h(12h) = cosx.1 = cosx



Jadi ddx (sin x) = cosx



4



b. Turunan f(x) = tan x Diketahui, f (x) = tan x = sinxcosx g(x) = sin x g'(x) = cos x h(x) = cos x h'(x) = -sinx f '(x) =hxg'x- g(x)h'(x) [h(x)]2 = cos xcos x- sin x.(-sinx)[cos x]2 = cos2x+ sin2cos2x = 1cos2x=sec2x Jadi ddx(tanx) = sec2x Dengan jalan yang sama dapat dicari turunan cot x, sec x, cosec x. Rumus : Fungsi (y) Turunan dydx



sinx



cosx



tanx



cotx



secx



cscx



cosx



-sinx



sec2x



-csc2x



secxtanx



-cscx cotx



C. Contoh Soal & Pembahasan 1. Turunkan fungsi berikut: y = 5 sin x Pembahasan y = 5 sin x y' = 5 cos x 2. Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x Tentukan nilai dari f ' ( π/2).



5



Pembahasan Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini: f(x) = 3 cos x f



'(x) = 3 (−sin x)



f



'(x) = −3 sin x Untuk x = π/2 diperoleh nilai f '(x) '(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3



f



3. Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x Pembahasan y = −4 sin x y' = −4 cos x 4. Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y' Pembahasan y = −2 cos x y' = −2 (−sin x) y' = 2 sin x 5. Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x Pembahasan y = 4 sin x + 5 cos x y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x) y ' = 4 cos x − 5 sin x



6



6. Tentukan turunan dari y = 5 cos x − 3 sin x Pembahasan y = 5 cos x − 3 sin x y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x) y' = −5 sin x − cos x 7. Tentukan turunan dari: y = sin (2x + 5) Pembahasan Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk y = sin (2x + 5) y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2 → Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5 y' = 2 cos (2x + 5) 8. Tentukan turunan dari y = cos (3x −1) Pembahasan Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk y = cos (3x − 1) y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3



→ Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1



Hasil akhirnya adalah y' = − 3 sin (3x − 1)



9. Tentukan turunan dari: y = sin2 (2x −1)



7



Pembahasan Turunan berantai: y = sin2 (2x −1) y' = 2 sin 2−1 (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2 y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2 y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1) 10. Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x) Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =.... Pembahasan f(x) = sin3 (3 – 2x) Turunkan sin3 nya, Turunkan sin (3 – 2x) nya, Turunkan (3 – 2x) nya, Hasilnya dikalikan semua seperti ini: f(x) = sin3 (3 – 2x) f ' (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2 f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x) |_____________________| ↓



8



sin 2 (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x) atau: f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x) 11. Diketahui fungsi f(x) = sin2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = … Pembahasan Turunan berantai f(x) = sin2 (2x + 3) Turunkan sin2 nya, Turunkan sin (2x + 3) nya, Turunkan (2x + 3) nya. f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2 f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)



9



BAB III PENUTUP



A.



Kesimpulan Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi - fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.Untuk menentukan turunan fungsi trigonometri dapat dicari sebagai berikut : f '(x) =limh→0fx+h-f(x)h Maka diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri : y = (sinx) maka y' = cosx y = (cosx) maka y' = -sinx y = (tanx) maka y' = sec2x y = (cotx) maka y' = -cosec2x y = (secx) maka y' = secxtanx y = (cosecx) maka y' = -cosecxcotx



DAFTAR PUSTAKA Matematika Study Center, “Turunan Fungsi Trigonometri”, http://matematikastudycenter.com/kelas-11sma/111-turunan-fungsi-trigonometri (diakses 04 November 2016) Bahan Belajar Sekolah, “Soal dan Jawaban Aturan Rantai Pada Turunan Fungsi Trigonometri”, http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2015/04/soal-dan-jawaban-aturan-rantai-turunan-fungsitrigonometri.html (diakses 04 November 2016)



10