Makalah Turunan Tingkat Tinggi Kel 8 [PDF]

Citation preview

MAKALAH TURUNAN IMPLISIT DAN TURUNAN TINGKAT TINGGI



Dosen Pengampu : Dra.Susda Heleni, M.pd



Disusun Oleh :



1. Desi Lesmini Br.Harahap



2105111331



2. Hazirah Febrina



2105111948



3. Mustika Andrina



2105111953



4. Reni Febriani



2105111950



5. Vioni Jilia Eka Putri



2105110195



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN BIOLOGI 1A FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS RIAU 2021



KATA PENGANTAR



Dengan menyebut nama Allah Swt. yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang. Kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada saya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah Matematika Dasar ini yang berjudul makalah Turunan Tingkat Tingg.



Makalah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan laporan ini. Untuk itu,kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini. Terlepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa masih terdapat kekurangan, baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu, dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki dan mengevaluasi makalah ini. Akhir kata, kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca maupun masyarakat di sekitar.



Pekanbaru, 4 November 2021



Kelompok 8



1



Daftar Isi



KATA PENGANTAR....................................................................................... 1 DAFTAR ISI..................................................................................................... 2 BAB I PENDAHULUAN................................................................................... 3



1.1 Latar Belakang .......................................................................................... 3 1.2 Rumusan Masalah ...................................................................................... 3 1.3 Tujuan ....................................................................................................... 3 BAB II PEMBAHASAN ....................................................................................4 2.1 PengertianTurunan Fungsi Implisit.............................................................4 2.2 Cara Menyelesaikan Fungsi Implisit ..........................................................4 2.3 Pengertian Turunan Tingkat Tinggi...........................................................5 2.4 Bentuk Umum Turunan ke - n ................................................................... 6 2.5 Titik Stasioner...........................................................................................10



2



BAB I PENDAHULUAN



1.1



Latar Belakang Kita telah mengetahui bahwa matematika sangat banyak ditemui dalam kehidupan kita dan salah satu yang dibahas dalam metematika adalah turunan tingkat



tinggi.Penulis mengangkat makalah tentang “Turunan Tingkat Tinggi dan Turunan Implisit ”karena penulis mengetahui dalam matematika khususnya pada mata kuliah kalkulus materi ini sangat sulit dan membutuhkan pemahaman yang lebih untuk memahami Turunan Tingkat Tinggi



1.2



Rumusan Masalah Dari pembahasan yang ada, maka kita dapat menarik beberapa rumusan masalah . Yang diantaranya adalah sebagai berikut : 1. Apa pengertian Turunan Fungsi Implisit? 2.Bagaimana Cara Menyelesaian Fungsi Implisit? 3. Apa Pengertian Turunan Tingkat Tinggi? 4. Bagaimana Bentuk Umum Turunan Ke-n? 5.Apa Itu Titik Stasioner?



1.3



Tujuan Pembahasan Tujuan dari dibentuknya makalah dengan judul turunan fungsi implisit dan grafiknya ini antaralain adalah sebagai berikut : a. b. c. d. e.



Memahami apa yang dimaksud dengan Turunan Tingkat Tinggi Mengetahui macam – macam lambang turunan. Mengetahui macam – macam lambang turunan.i Mengetahui aturan mencari bentuk umum ke – n Untuk memberikan pengetahuan kepada para pembaca tentang turunan



3



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Turunan Fungsi Implisit Fungsi Implisit adalah secara umum dapat ditulis sebagai f(x,y)=0. dengan y sebagai fungsi dalam x.



Fungsi ini dapat dinotasikan dengan y = f (x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya di tulis dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka di katakana fungsi implisit. Dikenal juga bentuk fungsi implisit yaitu f(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit ada dua cara yang biasa di tempuh : a. Jika fungsi implisit {f(x,y) = 0} dapat diselesaikan ke-y atau dapat dengan mudah diubah menjadi fungsi eksplisit y = f(x) maka untuk mendapatkan dy/dx dengan cara yang sudah dibicarakan yaitu : Contoh



:



-2xy + x² - 1 = 0 (implisit) y = (eksplisit) b. Jika fungsi implisit {f (x,y) = 0} sulit diselesaikan ke dalam y atau diubah menjadi fungsi eksplisit maka perlu dibicarakan bagaimana mencari turunan fungsi implisit seperti yang akan dibahas berikut ini. 2.2



Cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan turunan fungsi implisit. Dalam menentukan turunan fungsi implsit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunanya. Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, oleh karena itu akan dibahas cara menurunkanya fungsi dalam bentuk implisit berikut. , jawaban diperoleh dari metode 1 hanya melibatkan x , sedangkan dari jawaban metode 2 melibatkan x dan y . ingatlah meskipun demikian, bahwa persamaan asli dapat diselesaikan untuk y dalam x untuk memberikan y= . ketika kita mensubstusi y = kedalam persamaan untuk mendapatkan , kita memperoleh hasil berikut:



 TURUNAN KE-DUA FUNGSI IMPLISIT Contoh : Tentukan d2y/dx2dari fungsi di bawah ini ! 1. x2 + xy – y = 0 4 d/dx (x2) + d/dx (xy) – d/dx (y) = 0 2x + d/dx (x) . y + d/dy (y) .dy/dx .x – d/dy . (y) dy/dx 2x + y + x dy/dx – dy/dx = 0 dy/dx = - 2x - y x-1



2.3. Pengertian Turunan Tingkat Tinggi Turunan dari fungsi f adalah suatu fungsi yang dinamakan turunan pertama dari f, yaitu f′ jika fungsi f′ ini dihitung lagi turunannya dengan aturan atau definisi turunan, maka diperoleh fungsi baru yang dinamakan turunan kedua dari fungsi f, dan ditulis dengan lambang f″. Secara umum turunan ke-n dari fungsi f , ditulis f(n), adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi f(n-1), n = 1, 2, 3, … , dengan f(0)(x) = f(x). Sebagai contoh, f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 8 Maka f′(x) = 6x2 – 8x + 7 f″(x) = 12x – 8 f‴(x) = 12 f″″(x) = 0 Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi akan nol.



Lambang Turunan Lambang turunan ke -n dari fungsi f dapat ditulis dengan berbagai cara, yaitu sebagai berikut



5



Catatan : Aturan fungsi f sendiri, yaitu y = f(x) adalah turunan ke-0 dari f. Contoh : 1.



y = 6x3 + 12x2 + 5x + 2 ® d3y/dx3 = ……?



dy/dx = 18 x2 + 24 x + 5 d2y/dx2 = 36x + 24. d3y/dx3 = 36



2.



y = sin 2x, ® d4y/dx4 = ……? dy/dx = 2 cos 2x, d2y/dx2 = -4 sin 2x, d3y/dx3 = -8 cos 2x, d4y/dx4 = 16 sin 2x.



2.4 Bentuk Umum Turunan ke - n Dari aturan f(n) untuk sejumlah berhingga n, seringkali kita dapat menentukan suatu bentuk umum dari f(n). Pada beberapa contoh berikut kita akan membahas beberapa contoh tentang bentuk umum dari turunan ke-n tersebut.



6



Contoh 1. Hitunglah turunan ke-n dari fungsi f(x) = xm, m bilangan asli. Jawab: Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f adalah f′(x) = m xm-1 f″(x) = m (m-1 ) xm-2 f‴(x) = m(m-1) (m-2) xm-3 Dari tiga bentuk aturan ini, bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah f(n)(x) = m(m - 1) ( m- 2) … (m – (n - 1)) xm-n = m(m – 1)(m – 2) ... (m – n + 1) xm-n Contoh



y = x6® y(4)..? y(4) = 6.5.4.3.x2 = 360 x2



Contoh 2. Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) = sin x. Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari fungsi f, kemudian nyatakan hasilnya sebagai fungsi dari sinus lagi, maka diperoleh hasil sebagai berikut. f′(x) = cos x = sin (x + π) f″(x) = -sin x =sin (x + π) f‴(x) = -cos x = sin (x + 1 π) f″′′(x) = sin x = sin (x + 2π) Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah f(n)(x) = sin (x + n π) = sin (x + nπ).



Contoh 3. Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) = Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f, kemudian cermatilah ciri dari setiap bentuk yang muncul untuk memperoleh bentuk umumnya. f(x) = (1 + 2x)-1 f′(x) = -(1 + 2x)-2 (2) = -2(1 + 2x)-2 = (-1)-1.1!.2!.(1 +2x)-2 f″(x) = 4(1 + 2x)-3(2) = 8(1 + 2x)-3 = (-1)2.2!.22.(1 + 2x)-3 7



f‴(x) = -24(1 + 2x)-4(2) = -48(1 + 2x)-4 = (-1)3.3!.23.(1 + 2x)-4



Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f adalah f(n)(x) = (-1)n.n!.2n.(1 + 2x)-(n+1), n = 1, 2, 3, … Catatan bila didefenisikan 0! = 1, maka bentuk umum turunan ke- n ini berlaku juga untuk n = 0, karena f(0)(x) = (-1)0.0!.20.(1 + 2x) -(0+1) = (1 + 2x) -1



Turunan pertama f'(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f di titik x. Jika f'(x) > 0, garis singgung naik, Jika f'(x) < 0, garis singgung turun. Ini juga berkaitan dengan fakta bahwa m = f' (x) Kedua teorema di atas memberi kita cara yang meyakinkan untuk menentukan selang kemonotonan sebuah fungsi, baik itu fungsi naik, maupun turun. Materi ini ditopang oleh dua materi lain yaitu gradien dan garis singgung sebagai a konsep turunan dan kemonotonan itu sendiri. (Klik pada kata “gradien” atau “garis singgung” untuk penjelasan lebih lanjut).



Contoh 1.Jika fungsi f(x) = x3 - 12x2 + 36x - 25, tentukan interval di mana f turun Penyelesaian: Kita awali dengan mencari turunan f f(x) = x3 - 12x2 + 36x - 25 f'(x) = 3x2 - 24x + 36



f turun di mana f'(x) < 0



3x2 - 24x + 36 < 0 3(x2 - 8x + 12) < 0 3(x - 2)(x - 6) < 0 Lalu kita buat garis bilangannya.



8



Contoh 2. Jika fungsi f(x) = -x3 + 9x2 - 15x + 7, tentukan interval di mana f naik Penyelesaian: Kita awali dengan mencari turunan f f(x) = -x3 + 9x2 - 15x + 7 f'(x) = -3x2 + 18x – 15



f naik di mana f'(x) > 0



-3x2 + 18x - 15 > 0 -3(x2 - 6x + 5) > 0 -3(x - 1)(x - 5) > 0 Lalu kita buat garis bilangannya.



9



Contoh 3.Jika fungsi f(x) = x3 - 2x2 - 4x + 5, tentukan interval di mana f naik Penyelesaian: Kita awali dengan mencari turunan f f(x) = x3 - 2x2 - 4x + 5 f'(x) = 3x2 - 4x – 4



f naik di mana f'(x) > 0



3x2 - 4x - 4 > 0 (3x + 2)(x - 2) > 0 Lalu kita buat garis bilangannya.



2.5 TITIK STASIONER Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun. Untuk fungsi beberapa variabel riil yang dapat diturunkan, titik stasioner adalah titik di permukaan grafik dengan turunan parsial nol.Titik stasioner mudah digambarkan di dalam suatu grafik fungsi dengan satu variabel karena titik tersebut terletak di titik dengan garis tangen horizontal (paralel dengan sumbu x). Untuk fungsi dengan dua variabel, titik ini sama dengan titik di grafik dengan bidang tangen yang paralel dengan bidang xy. 10



   



Minimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari negatif menjadi positif; Maksimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari positif menjadi negatif Titik belok yang naik adalah titik ketika turunan fungsi bernilai positif di kedua sisi titik stasioner Titik belok yang turun adalah titik ketika turunan fungsi bernilai negatif di kedua sisi titik stasioner;



Pilihan pertama dan kedua disebut "ekstrema lokal". Sementara itu, titik yang merupakan maksimum atau minimum global/absolut disebut ekstremum global/absolut. Dua pilihan terakhir yang bukan merupakan ekstremum lokal disebut titik sadel.



Penggambaran kurva Penentuan posisi dan sifat titik stasioner membantu proses penggambaran kurva fungsi yang dapat diturunkan. Penyelesaian persamaan f'(x) = 0 menghasilkan koordinat x semua titik stasioner; koordinat y adalah nilai fungsi di koordinat x tersebut. Sifat suatu titik stasioner di x dapat ditentukan dengan melihat turunan kedua f''(x): Jika f''(x) < 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum maksimum Jika f''(x) > 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum minimum Jika f''(x) = 0, sifat titik stasioner harus ditentukan dengan cara lain Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari nilai fungsi di antara titik stasioner (jika fungsi didefinisikan dan tidak terputus). Bagaimana menentukan titik stasioner? Hasil gambar untuk TITIK STASIONER



Misalkan terdapat fungsi y=f(x) yang dapat diturunkan (diferentiable), untuk menentukan titik stasionernya kita harus menentukan nilai x terlebih dulu dengan cara menggunakan syarat stasioner yaitu : Syarat Stasioner : f′(x)=0 (turunan pertama = 0). Nilai fungsi y=f(c) disebut sebagai Nilai stasionernya. Suatu fungsi akan mencapai optimal (maksimum atau minimum) jika gradiennya sama dengan nol (m = 0). Karena gradien sama dengan turunan pertama dari fungsi tersebut maka turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0). 11



Contoh Soal 1 : a. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = 3x2 – 6x + 5. b. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2. Pembahasan : a. f(x) = 3x2 – 6x + 5 → f '(x) =6x – 6 Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga : f '(x) = 0 6x – 6 = 0 x = 1. f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2 Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x2 – 6x + 5 adalah f(1) = 2



12



b. f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2 f '(x) = 3x2 + 8x – 3 untuk f '(x) = 0 3x2 + 8x – 3 = 0 (3x – 1) (x + 3) = 0 x = 1/3 atau x = –3 ↔ f ' (1/3) = 0 dan f '(–3) = 0 untuk x = –3 diperoleh f(–3) = (–3)3 + 4 (3)2 – 3.3 + 2 = 2 Jadi, nilai stasioner f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2 adalah f (1/3) dan f(–3) = 2.



Contoh Soal 2 : Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 dan f(x) = x4 – 4x3 dengan menggunakan uji turunan kedua. Penyelesaian : • Untuk fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 f '(x) = 3x2 – 12x + 9 = 3(x – 1) (x – 3) f "(x) = 6x – 12 Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu : 3(x – 1) (x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3 untuk x = 1, f "(1) = –6 < 0, sedangkan untuk x = 3, f "(3) = 6 > 0 sehingga : f(1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x), yaitu f(1) = 5 f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = 1



• Untuk fungsi f(x) = f(x) = x4 – 4x3



13



f '(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x – 3) f "(x) = 12x2 – 24x



Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3 untuk x = 0, f "(0) = 0 dan untuk x = 3, f "(3) = 36 > 0 sehingga : f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = –27. Untuk x = 0 dengan f "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan dengan uji turunan pertama. Sekarang, amati diagram di bawah ini.



Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2. Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f.



14



BAB III PENUTUP



3.1



Kesimpulan Pada turunan tingkat tinggi bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah f(n)(x) = m(m - 1) ( m- 2) … (m – (n - 1)) xm-n = m(m – 1)(m – 2) ... (m – n + 1) xm-n Fungsi implisit ialah secara umum dapat ditulis sebagai f(x.y) =0 dengan y sebagai fungsi dalam x. Turunan pertama fungsi implicit dari persamaan f (x,y) = 0 ruas kiri dan ruas kanan sama-sama diturunkan (di deferensialkan) terhadap x dengan pengertian bahwa y adalah fungsi x . f (x,y) = (0).



3.2 Saran Kami menyarankan kepada pembaca terutama untuk mahasiswa matematika agar memahami isi dari makalah ini. Makalah yang disusun masih jauh dari sempurna maka kami mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca agar kami dapat membuat makalah yang lebih baik lagi.



Daftar Pustaka https://id.scribd.com/doc/263646529/makalah-turunan-tingkat-tinggi-dan-turunanimplisit https://sumber.belajar.kemdikbud.go.id/repos/FileUpload/SMA%20Mtk %20NaikTurun/topik1.html https://id.m.wikipedia.org/wiki/Titik_stasioner



15