24 0 869 KB
MAKALAH
DISTRIBUSI GAMMA Makalah Dibuat Dalam Rangka Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Matematika 1 ( Dosen Pengampu : Wilujeng, M.Pd )
Di susun Oleh : 1. M. Sulton Umam
( 1714500015 )
2. Nur Azizah
( 1714500059 )
3. Ulfa Nur Afifah
( 1714500067 )
Kelas 3C Pendidikan Matematika Kelompok 9
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PANCASAKTI TEGAL 2015
DISTRIBUSI GAMMA
A. Definisi Distribusi Gamma Definisi 1: Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika. Distribusi Gamma mampu memecahkan masalah teknik dan sains yang tidak mampu dipecahkan oleh distribusi Normal. Definisi 2: Distribusi Gamma mencangkup distribusi-distribusi khusus yaitu distribusi Eksponensial, distribusi Khi-kuadrat, dan distribusi Beta. Definisi 3: Suatu distribusi yang sering muncul dalam penerapan disebut distribusi Gamma. Nama ini diperoleh dari adanya relasi distribusi ini dengan fungsi Gamma. Fungsi Gamma, dinotasikan dengan Π³ πΆ untuk Ξ± > 0, yang didefinisikan sebagai: ο untuk Ξ± > 0 β
ππΆβπ πβπ π
π
Π³ πΆ = π
ο untuk Ξ± = 1 β
ππΆβπ πβπ π
π = π
Π³ π = π
ο untuk Ξ± > 1 β
ππΆβπ πβπ π
π = πΆ β π Π³(πΆ β π)
Π³ πΆ = (πΆ β π) π
Dari hasil ini, dapat disimpulkan bahwa khusus untuk Ξ± bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 maka: Π³ πΆ = πΆβπ πΆβπ β¦ π π π = πΆβπ !
Atau dapat disimpulkan bahwa fungsi Gamma memiliki sifat-sifat sebagai berikut: οΌ οΌ οΌ
Π³ πΆ = πΆ β π Π³(πΆ β π) Π³ π = πΆβπ ! Π³ π =π
οΌ
Π³
π π
Ξ±>0 π = π, π, π, β¦
= π
B. Persamaan Umum Distribusi Gamma Misalkan y pada fungsi Gamma di persamaan (1) merupakan variabel yang bergantung pada variabel π₯ πππ π½, yaitu π¦ = π₯/π½, dengan π½ > 0, maka persamaan menjadi: β
Π³ πΆ = π
π π·
πΆβπ
πβπ
π·
π π
π π·
Jika masing-masing ruas dikalikan dengan dengan
π Π³(πΆ)
maka
persamaan tersebut akan ekuivalen dengan: β
π= π
π ππΆβπ πβπ π· π
π Π³(πΆ)π·πΆ
Karena πΌ > 0, π½ > 0, maka fungsi: π ππβπ πβπ/π· , π(π) = Π³(πΆ)π·πΆ π,
π 0 Keterangan: Ξ² = waktu rata-rata antar kejadian Ξ± = jumlah kejadian yang terjadi berurutan pada waktu atau ruang tertentu Ξ» = jumlah kejadian per unit waktu atau ruang (Ξ»= 1/Ξ²) x = nilai random variabel (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya)
Nilainya selalu nonnegatif dan total integralnya selalu 1. Dengan kata lain fungsi tersebut memenuhi syarat-syarat sebagai pdf. Variabel acak X dengan pdf seperti pada persamaan (4) disebut variabel acak yang berdistribusi gamma dengan parameter Ξ± dan Ξ² dinotasikan: X ~ GAM ( Ξ±, Ξ² ) atau X ~ Π³ ( Ξ±, Ξ² ) Jadi, Variabel random X dikatakan mempunyai distribusi Gamma dengan parameter πΌ > 0 πππ π½ > 0, atau dinotasikan X ~ GAM ( Ξ±, Ξ² ) atau X ~ Π³ ( Ξ±, Ξ² ), jika X mempunyai fdp berbentuk: π(π; πΆ, π·) =
π ππΆβπ πβπ/π· Π³(πΆ)π·πΆ
untuk 0 < x < β, Ξ± > 0, Ξ² > 0 dan 0 untuk nilai x lainnya ο·
Parameter Ξ± disebut juga parameter bentuk ( shape parameter )
ο·
Parameter Ξ² disebut juga parameter skala ( scale parameter ) Dalam aplikasinya, distribusi gamma dapat digunakan untuk
memodelkan distribusi peluang dari waktu tunggu atau masa hidup suatu objek atau individu. Distribusi Gamma Standard Distribusi Gamma Standard adalah jika parameter skala sebuah distribusi gamma ο’ = 1 diperoleh suatu distribusi gamma standar: x
FG = x βΆ ο‘ = P X ο£ x = 0
P X β€ x = FG x ; ο‘, ο’ = FG
t Ξ±β1 eβt dt Π(Ξ±) x ;Ξ± Ξ²
Tabel Gamma
ο Fungsi Pembangkit Momen dari Distribusi Gamma Berdasarkan definisi mgf β
π(π‘) = πΈ[π π‘π₯ ] =
π π‘π₯ 0 β
π π‘π₯
= 0
π½πΌ
1 π₯ πΌβ1 π βπ₯/π½ ππ₯ Π³(πΌ)
1 π₯ πΌ β1 π βπ₯(1βπ½π‘ )/π½ ππ₯ π½ πΌ Π³(πΌ)
Melalui pemisalan π¦ = π₯ (1 β π½π‘) dengan π‘ < 1/π½, maka π₯ = π½π¦/(1 β π½π‘), sehingga π½ β
π(π‘) =
π½πΌ Π³ πΌ
0 β
=
( 0
=(
(1 β π½π‘)
π½π¦ 1 β π½π‘
πΌβ1
π βπ¦ ππ¦
1 1 πΌβ1 βπ¦ )πΌ π¦ π ππ¦ 1 β π½π‘ Π³(πΌ)
1 )πΌ 1 β π½π‘
β 0
1 πΌβ1 βπ¦ π¦ π ππ¦ Π³(πΌ)
Karena fungsi yang ada di bawah integral adalah pdf dari distribusi gamma maka nilai integralnya adalah 1. Akibatnya: π΄ π =(
π )πΆ , π β π·π
πππππ π