Distribusi Gamma [PDF]

Citation preview

MAKALAH



DISTRIBUSI GAMMA Makalah Dibuat Dalam Rangka Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Matematika 1 ( Dosen Pengampu : Wilujeng, M.Pd )



Di susun Oleh : 1. M. Sulton Umam



( 1714500015 )



2. Nur Azizah



( 1714500059 )



3. Ulfa Nur Afifah



( 1714500067 )



Kelas 3C Pendidikan Matematika Kelompok 9



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PANCASAKTI TEGAL 2015



DISTRIBUSI GAMMA



A. Definisi Distribusi Gamma Definisi 1: Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika. Distribusi Gamma mampu memecahkan masalah teknik dan sains yang tidak mampu dipecahkan oleh distribusi Normal. Definisi 2: Distribusi Gamma mencangkup distribusi-distribusi khusus yaitu distribusi Eksponensial, distribusi Khi-kuadrat, dan distribusi Beta. Definisi 3: Suatu distribusi yang sering muncul dalam penerapan disebut distribusi Gamma. Nama ini diperoleh dari adanya relasi distribusi ini dengan fungsi Gamma. Fungsi Gamma, dinotasikan dengan г 𝜶 untuk α > 0, yang didefinisikan sebagai:  untuk α > 0 ∞



𝒚𝜶−𝟏 𝒆−𝒚 𝒅𝒚



г 𝜶 = 𝟎



 untuk α = 1 ∞



𝒚𝜶−𝟏 𝒆−𝒚 𝒅𝒚 = 𝟏



г 𝟏 = 𝟎



 untuk α > 1 ∞



𝒚𝜶−𝟐 𝒆−𝒚 𝒅𝒚 = 𝜶 − 𝟏 г(𝜶 − 𝟏)



г 𝜶 = (𝜶 − 𝟏) 𝟎



Dari hasil ini, dapat disimpulkan bahwa khusus untuk α bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 maka: г 𝜶 = 𝜶−𝟏 𝜶−𝟏 … 𝟑 𝟐 𝟏 = 𝜶−𝟏 !



Atau dapat disimpulkan bahwa fungsi Gamma memiliki sifat-sifat sebagai berikut:   



г 𝜶 = 𝜶 − 𝟏 г(𝜶 − 𝟏) г 𝒏 = 𝜶−𝟏 ! г 𝟏 =𝟏







г



𝟏 𝟐



α>0 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …



= 𝝅



B. Persamaan Umum Distribusi Gamma Misalkan y pada fungsi Gamma di persamaan (1) merupakan variabel yang bergantung pada variabel 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝛽, yaitu 𝑦 = 𝑥/𝛽, dengan 𝛽 > 0, maka persamaan menjadi: ∞



г 𝜶 = 𝟎



𝒙 𝜷



𝜶−𝟏



𝒆−𝒙



𝜷



𝟏 𝒅𝒙 𝜷



Jika masing-masing ruas dikalikan dengan dengan



𝟏 г(𝜶)



maka



persamaan tersebut akan ekuivalen dengan: ∞



𝟏= 𝟎



𝟏 𝒙𝜶−𝟏 𝒆−𝒙 𝜷 𝒅𝒙 г(𝜶)𝜷𝜶



Karena 𝛼 > 0, 𝛽 > 0, maka fungsi: 𝟏 𝒙𝒂−𝟏 𝒆−𝒙/𝜷 , 𝒇(𝒘) = г(𝜶)𝜷𝜶 𝟎,



𝟎 0 Keterangan: β = waktu rata-rata antar kejadian α = jumlah kejadian yang terjadi berurutan pada waktu atau ruang tertentu λ = jumlah kejadian per unit waktu atau ruang (λ= 1/β) x = nilai random variabel (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya)



Nilainya selalu nonnegatif dan total integralnya selalu 1. Dengan kata lain fungsi tersebut memenuhi syarat-syarat sebagai pdf. Variabel acak X dengan pdf seperti pada persamaan (4) disebut variabel acak yang berdistribusi gamma dengan parameter α dan β dinotasikan: X ~ GAM ( α, β ) atau X ~ г ( α, β ) Jadi, Variabel random X dikatakan mempunyai distribusi Gamma dengan parameter 𝛼 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝛽 > 0, atau dinotasikan X ~ GAM ( α, β ) atau X ~ г ( α, β ), jika X mempunyai fdp berbentuk: 𝒇(𝒙; 𝜶, 𝜷) =



𝟏 𝒙𝜶−𝟏 𝒆−𝒙/𝜷 г(𝜶)𝜷𝜶



untuk 0 < x < ∞, α > 0, β > 0 dan 0 untuk nilai x lainnya 



Parameter α disebut juga parameter bentuk ( shape parameter )







Parameter β disebut juga parameter skala ( scale parameter ) Dalam aplikasinya, distribusi gamma dapat digunakan untuk



memodelkan distribusi peluang dari waktu tunggu atau masa hidup suatu objek atau individu. Distribusi Gamma Standard Distribusi Gamma Standard adalah jika parameter skala sebuah distribusi gamma  = 1 diperoleh suatu distribusi gamma standar: x



FG = x ∶  = P X  x = 0



P X ≤ x = FG x ; ,  = FG



t α−1 e−t dt Г(α) x ;α β



Tabel Gamma



 Fungsi Pembangkit Momen dari Distribusi Gamma Berdasarkan definisi mgf ∞



𝑀(𝑡) = 𝐸[𝑒 𝑡𝑥 ] =



𝑒 𝑡𝑥 0 ∞



𝑒 𝑡𝑥



= 0



𝛽𝛼



1 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥/𝛽 𝑑𝑥 г(𝛼)



1 𝑥 𝛼 −1 𝑒 −𝑥(1−𝛽𝑡 )/𝛽 𝑑𝑥 𝛽 𝛼 г(𝛼)



Melalui pemisalan 𝑦 = 𝑥 (1 − 𝛽𝑡) dengan 𝑡 < 1/𝛽, maka 𝑥 = 𝛽𝑦/(1 − 𝛽𝑡), sehingga 𝛽 ∞



𝑀(𝑡) =



𝛽𝛼 г 𝛼



0 ∞



=



( 0



=(



(1 − 𝛽𝑡)



𝛽𝑦 1 − 𝛽𝑡



𝛼−1



𝑒 −𝑦 𝑑𝑦



1 1 𝛼−1 −𝑦 )𝛼 𝑦 𝑒 𝑑𝑦 1 − 𝛽𝑡 г(𝛼)



1 )𝛼 1 − 𝛽𝑡



∞ 0



1 𝛼−1 −𝑦 𝑦 𝑒 𝑑𝑦 г(𝛼)



Karena fungsi yang ada di bawah integral adalah pdf dari distribusi gamma maka nilai integralnya adalah 1. Akibatnya: 𝑴 𝒕 =(



𝟏 )𝜶 , 𝟏 − 𝜷𝒕



𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒕