Distribusi Hipergeometrik [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai kejadiankejadian yang sebenarnya dapat diselesaikan dengan menggunakan probabilitas. Seperti ketika sedang membeli kebutuhan rumah tangga, terkadang kita membeli barang yang rusak, oleh sebab itu melalui distribusi hipergeometrik kita dapat menyelesaikan permasalahan tersebut. Kita dapat mencari probabilitas dari terpilihnya barang yang rusak, sehingga apabila probabilitasnya tinggi kita dapat mengetahui bahwa kemungkinan besar kita akan membeli barang yang rusak. Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas



diskret



jumlah



keberhasilan



dalam



𝑛



percobaan



ya/tidak



(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas 𝑝. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika 𝑛 = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan. 1.2 Rumusan Masalah 1.2.1 Apa pengertian dari distribusi hipergeometri? 1.2.2 Apa perbedaan distribusi binominal dengan distribusi hipergeometrik? 1.2.3 Apa penerapan dari distribusi hipergeometrik? 1.2.4 Bagaimana pemakaian distribusi hipergeometrik? 1.2.5 Bagaimana cara mencari varian dan rataan dari distribusi hipergeometrik? 1.3 Tujuan Dalam makalah ini akan menjelaskan tentang : 1.3.1



Untuk mengetahui pengertian dari distribusi hipergeometrik.



1



1.3.2 Untuk mengetahui perbedaan distribusi binominal dengan distribusi hipergeometrik 1.3.3



Untuk mengetahui penerapan dari distribusi hipergeometrik.



1.3.4



Untuk mengetahui pemakaian distribusi hipergeometrik.



1.3.5 Untuk mengetahui bagaimana cara mencari varian dan rataan dari distribusi hipergeometrik.



2



BAB II PEMBAHASAN



2.1 Distribusi Hipergeometrik Distribusi hipergeometrik adalah sistem distribusi probabilitas diskrit yang terdiri dari sekelompok objek tertentu yang dipilih tanpa terjadinya sebuah pengembalian. Sifat-sifat percobaan hipergeometrik 1. Suatu sampel acak berukuran 𝑛 diambil dari populasi yang berukuran 𝑁. 2. 𝑀 dari 𝑁 benda diklarifikasikan sebagai sukses dan 𝑁 − 𝑀 benda diklarifikasikan sebagai gagal. Banyaknya sukses 𝑋 dalam suatu percobaan hipergeometrik adalah peubah acak hipergeometrik. Dengan demikian, distribusi peluang bagi peubah acak hipergeometrik disebut distribusi hipergeometrik. Contoh 1 Sebuah panitia yang terdiri atas 5 orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki-laki. Carilah distribusi peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia itu. Jawab : Misalkan 𝑋 adalah banyaknya perempuan yang duduk dalam panitia. Kedua sifat percobaan hipergeometrik dipenuhi, maka 3 5 ( )( ) 1 𝑃(𝑋 = 0) = ℎ(0; 8, 5, 3) = 0 5 = 8 56 ( ) 5 3 5 ( ) ( ) 15 𝑃(𝑋 = 1) = ℎ(1; 8, 5, 3) = 1 4 = 8 56 ( ) 5 3 5 ( ) ( ) 30 𝑃(𝑋 = 2) = ℎ(2; 8, 5, 3) = 2 3 = 8 56 ( ) 5 3 5 ( ) ( ) 10 𝑃(𝑋 = 3) = ℎ(3; 8, 5, 3) = 3 2 = 8 56 ( ) 5



3



Dalam bentuk tabel distribusi hipergeometrik bagi X dapat dituliskan sebagai berikut : 𝑥



0



1



2



3



𝑃[𝑋 = 𝑥]



1 56



15 56



30 56



10 56



Tidak sulit untuk melihat bahwa distribusi peluang tersebut dapat dinyatakan oleh rumus : 3 5 ( )( ) 1 ℎ(𝑥; 8, 5, 3) = 𝑥 5 − 𝑥 = 8 56 ( ) 5 Sekarang kita akan menggeneralisasikan Contoh 1 untuk mendapatkan rumus bagi ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑀). Banyaknya kemungkinan sampel berukuran 𝑛 dari 𝑁 benda adalah 𝑁 ( ). Semua sampel itu diasumsikan mempunyai kemungkinan terpilih yang sama. 𝑛 𝑀 Ada ( ) cara memilih 𝑥 kesuksesan dari 𝑘 sukses yang tersedia, dan untuk masing𝑥 𝑁−𝑀 masing itu kita memilih (𝑛 − 𝑥) kegagalan dalam ( ) cara. Maka banyaknya 𝑛−𝑥 𝑁 sampel yang memenuhi syarat diantara ( ) kemungkina sampel adalah sebanyak 𝑛 𝑀 𝑁−𝑀 ( )( ) 𝑥 𝑛−𝑥 Oleh karena itu, kita memperoleh definisi sebagai berikut. DEFINISI 5.3 Distribusi Hipergeometrik Bila dalam populasi 𝑁 benda, 𝑘 benda diantaranya diberi label “sukses” dan (𝑁 − 𝑘) benda lainnya diberi label “gagal”, maka distribusi peluang bagi peubah acak hipergeomtrik 𝑋, yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak berukuran 𝑛 adalah : 𝑀 𝑁−𝑀 ( )( ) 𝑛 − 𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0, 1, 2, . . . . . , 𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑘 ≤ 𝑛 ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑀) = 𝑥 𝑁 ( ) 𝑛 Contoh 2 Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?



4



Jawab : Dengan menggunakan distribusi hipergeometrik untuk 𝑛 = 5, 𝑁 = 52, 𝑀 = 13, dan 𝑥 = 3 maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah : 13 39 )( ) 2 = 0,0815 ℎ(3; 52, 5, 13) = 3 52 ( ) 5 (



2.2 Perbedaan Antara Distribusi Binomial dan Distribusi Hipergeometrik 



Dalam distribusi binomial diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas, dan pengulangan tersebut harus dikerjakan dengan pengembalian (with replacement).







Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas dan dikerjakan tanpa pengembalian (without replacement).



Contoh 3 Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 bola Putih. Berapa peluang: a. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan pengembalian? b. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pengembalian? Jawab : Karena pengambilan sampel pada soal a dilakukan dengan pengambilan berarti soal a diselesaikan dengan distribusi binomial : 2 3 𝑝 = ; 𝑞 = ; 𝑛 = 4; 𝑥 = 2 5 5 2 4 𝑏(2; 4; ) = ( ) ∙ 𝑝2 ∙ 𝑞 4−2 2 5 2 4 3 2 = 6∙( ) ∙( ) 5 5 = 0,3456 Karena pengambilan sampel pada soal b dilakukan tanpa pengembalian berarti soal b diselesaikan dengan distribusi hipergeometrik : 𝑁 = 5; 𝑛 = 4; 𝑀 = 2; 𝑥 = 2



5



2 3 ( )( ) ℎ(2; 5, 4, 2) = 2 2 = 0,60 5 ( ) 4 2.3 Penerapan untuk Distribusi Hipergeometrik 



Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering digunakan dalam penarikan sampel penerimaan barang, pengujian elektronik, jaminan mutu, dsb.







Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel harus dikerjakan tanpa pengembalian.



2.4 Pemakaian Distribusi Hipergeometrik 



Jumlah barang dagangan yang rusak dalam sampel acak dari sejumlah besar kiriman.







Jumlah orang-orang yang anda temui dalam hidup anda dengan nama Fred.







Jumlah penny yang terambil dari dalam kendi.



2.5 Rataan dan Variansi Distribusi Hipergeometrik Untuk menentukan nilai tengah dan variansi bagi distribusi hipergeometrik sekali lagi kita menuliskan : 𝑋𝑖 = 𝐼1 + 𝐼2 + . . . +𝐼𝑛 Sedangkan 𝐼𝑗 mengambil nilai 1 atau 0, bergantung apakah pada pengambilan ke-𝑗 diperoleh sukses atau gagal. Tetapi karena peubah-peubah indikator itu tidak lagi bebas, maka penentuan nilai tengah dan variansinya menjadi jauh lebih rumit. Oleh karena itu, disini tidak disertakan pembuktiannya dan cukup menyampaikan hasilnya dalam teorema berikut : Teorema 5.2 Rataan atau variansi bagi distribusi hipergeometrik ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘) adalah: 𝜇=



𝑛𝑀 𝑁



6



Bukti: 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑥 𝑛



𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 ℎ(𝑥; 𝑛, 𝑀, 𝑁) 𝑥=0



𝑀 𝑁−𝑀 ( )( ) 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑁 ( ) 𝑥=0 𝑛 𝑛



𝑁−𝑀 ( ) 𝑀! 𝑛−𝑥 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑥! (𝑥 − 𝑘)! (𝑁) 𝑥=0 𝑛 𝑛



𝑁−𝑀 ( ) 𝑀(𝑀 − 1)! 𝑛−𝑥 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑥(𝑥 − 1)! (𝑥 − 𝑀)! (𝑁) 𝑥=0 𝑛 𝑛



𝑁−𝑀 ( ) (𝑀 − 1)! 𝑛−𝑥 𝐸(𝑋) = 𝑀 ∑ (𝑥 − 1)! (𝑥 − 𝑀)! (𝑁) 𝑥=0 𝑛 𝑛



Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 1 𝑀−1 𝑁−𝑀 )( ) 𝑛−𝑥 𝐸(𝑋) = 𝑀 ∑ 𝑥 − 1 𝑁 ( ) 𝑦=0 𝑛 𝑛



(



𝑀 − 1 (𝑁 − 1) − (𝑀 − 1) ( )( ) 𝑦 𝑛 − (𝑦 + 1) 𝐸(𝑋) = 𝑀 ∑ 𝑁 𝑁−1 ( ) 𝑦=0 𝑛 𝑛−1 𝑛



𝑀 − 1 (𝑁 − 1) − (𝑀 − 1) 𝑛 ( )( ) 𝑛 𝑦 𝑛 − (𝑦 + 1) 𝐸(𝑋) = 𝑀 ∑ 𝑁−1 𝑁 ( ) 𝑦=0 𝑛−1



7



karena, 𝑀 − 1 (𝑁 − 1) − (𝑀 − 1) ( )( ) 𝑦 𝑛 − (𝑦 + 1) ∑ =1 𝑁−1 ( ) 𝑦=0 𝑛−1 𝑛



maka, 𝐸(𝑋) =



𝑛 𝑀 𝑁



𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝜎 2 =



𝑁−𝑛



𝑀



𝑀



∙ 𝑛 ∙ 𝑁 (1 − 𝑁 ) 𝑁−1



Bukti: Melalui cara yang sama dengan mencari 𝐸(𝑋) kita mendapatkan



𝐸(𝑋 2 ) =



𝑛𝑀(𝑀−1)(𝑛−1) 𝑁(𝑁−1)



+



𝑛𝑀 𝑁



Jadi, 2



𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝜎 2 = 𝐸 (𝑋 ) − [𝐸(𝑋)]2



= =



𝑛𝑀(𝑀−1)(𝑛−1) 𝑁(𝑁−1)



+



𝑛𝑀(𝑁−𝑀)(𝑁−𝑛) 𝑁2 (𝑁−1)



𝑛𝑀 𝑁



=



2



𝑛



− ( 𝑀) 𝑁



𝑁−𝑛 𝑁−1



∙𝑛∙



𝑀



𝑀



(1 − 𝑁 ) 𝑁



Contoh 4 Dengan menghitung rataan dan varian distribusi peluang pada contoh 1 verivikasiah rumus-rumus dalam Teorema 5.2. Jawab : Untuk distribusi hipergeometrik pada Contoh 1 dengan 𝑁 = 8, 𝑛 = 5 dan 𝑘 = 3. Kita peroleh 1 15 30 10 + (1) + (2) + (3) 56 56 56 56 15 𝑛𝑀 = = 8 𝑁



𝜇 = (0)



Sekarang



8



𝐸(𝑋 2 ) = (0)



1 15 30 10 + (1) + (4) + (9) 56 56 56 56 225 =( ) 56



Sehingga 225 15 2 225 𝜎 =( )−( ) =( ) 56 8 448 𝑁−𝑛 𝑀 𝑀 = ∙ 𝑛 ∙ (1 − ) 𝑁−1 𝑁 𝑁 2



Contoh 5 Dengan menggunakan Teorema Chebychev. Cari dan taksirlah selang 𝜇 ± 2𝜎 bagi contoh 2 Jawab : Karena contoh 2 merupakan suatu percobaan hipergeomtrik dengan 𝑁 = 52, 𝑛 = 5, dan 𝑀 = 13, menurut Teorema 5.2 kita memperoleh: (5)(13) 5 = = 1,25 52 4 52 − 5 13 13 𝜎2 = ( ) (5) ( ) (1 − ) 51 52 52 𝜇=



= 0,8640 Dengan mengakarkan 0,8640 kita memperoleh 𝜎 = 0,93. Maka selang yang diminta adalah 1,25 ± 2(0,93) atau (−0,61 , 3,11). Bila 𝑛 relatif cukup kecil dibandingkan dengan 𝑁, maka peluang pada setiap pengambilan akan berubah kecil sekali. Sehingga praktis dapat dikatakan bahwa kita berhadapan dengan percobaan binomial, dan kita dapat menghampiri distribusi hipergeometrik dengan menggunakan distribusi binomial dengan 𝑝 = 𝑀⁄𝑁. Nilai tengah dan variannya juga dapat dihampiri melalui rumus: 𝑛𝑀 𝑁 𝑀 𝑀 𝜎 2 = 𝑛𝑝𝑞 = 𝑛 ∙ (1 − ) 𝑁 𝑁 𝜇 = 𝑛𝑝 =



Bila kita bandingkan rumus hampiran itu dengan rumus yang ada dalam Teorema 5.2 kita akan melihat bahwa rataannya sama, sedangkan variannya berbeda sebesar 9



faktor koreksi (𝑁 − 𝑛)⁄(𝑁 − 1) yang dapat diabaikan bila 𝑛 relatif kecil dibandingkan dengan 𝑁. Contoh 6 Perusahaan telpon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang telpon baru, 4000 menggunakan telpon ‘tombol’. Bila diantara pemasang baru tersebut diambil secara acak, berapa peluang tepat ada 3 orang yang menggunakan tipe ‘putar’? Jawab : Karena ukuran populasi 𝑁 = 5000 relatif sangat besar diabndingkan dengan ukuran 𝑛 = 10, maka kita akan menghampiri peluang yang ditanyakan dengan menggunakan distribusi binomia. Karena peluang orang menggunakan tipe ‘putar’ adalah 0,2 maka peluang tepat ada 3 orang yang menggunakan tipe ‘putar’ diantara 10 orang dalam sampel tersebut adalah: ℎ (3; 5000, 10, 1000) = 𝑏(3; 10, 0, 2) 3



2



= ∑ 𝑏(𝑥; 10, 0, 2) − ∑ 𝑏(𝑥; 10, 0, 2) 𝑥=0



𝑥=0



= 0,8791 − 0,6678 = 0,2013



10



BAB III PENUTUP



Kesimpulan Dari Makalah diatas



dapat



disimpulkan



bahwa



Distribusi



Probabilitas



Hipergeometrik digunakan untuk menghitung probabilitas dari suatu obyek yang menggunakan prinsip tanpa pengembalian. Dengan sifat-sifat percobaan hipergeometrik sebagai berikut : 1. Suatu sampel acak berukuran 𝑛 diambil dari populasi yang berukuran 𝑁. 2. 𝑀 dari 𝑁 benda diklarifikasikan sebagai sukses dan 𝑁 − 𝑀 benda diklarifikasikan sebagai gagal. Rumus probabilitas Hipergeometrik adalah : 𝑀 𝑁−𝑀 ( )( ) 𝑛 − 𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0, 1, 2, . . . . . , 𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑘 ≤ 𝑛 ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑀) = 𝑥 𝑁 ( ) 𝑛



11



DAFTAR RUJUKAN



Abadyo dan Hendro Permadi.2015.Metode Statistika Praktis.Malang:Penerbit Universitas Negeri Malang(UM PRESS). Pratama.AdriyanaPutra.2014.Makalah Hipergeomtrik.(online) (http://adriyanaputra-pti.blogspot.co.id/2014/11/makalahhipergeometrik.html) diakses tanggal 9 Oktober 2019. Setyaningsih.Wiwik.2013.Distribusi Probabilitas Hipergeometrik.(online) (https://www.slideshare.net/wiwik1354/distribusi-probabilitashipergeometrik) diakses tanggal 9 Oktober 2019



12