Distribusi Probabilitas Kontinu [PDF]

Citation preview

( MAKALAH DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU)



Makalah yang disusun untuk Memenuhi Nilai Mata Kuliah Semester Genap 2021



Fakultas



FAKULTAS TEKNIK



2021



1



Program Studi



kelas



Disusun Oleh



Achmad Dini Anwari TEKNIK ELEKTRO



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



41417120114



Distribusi Probabilitas Kontinu



BAB I PENDAHULUAN



1. Latar Belakang Mata kuliah statistika, yang merupakan salah satu mata kuliah wajib yang terdapat di kebanyakan jurusan merupakan sebuah mata kuliah yang terkadang sulit untuk dipahami oleh mayoritas mahasiswa/i. Salah satu materi yang sulit untuk dipahami di dalam mata kuliah ini adalah materi distribusi probabilitas kontinu. Materi yang terdapat di dalam mata kuliah statistik ini membahas mengenai fungsifungsi khusus yang dirancang untuk menganalisis kemungkinan- kemungkinan yang terjadi di dalam sebuah kasus beserta dengan besar kemungkinanya. Berbeda dengan materi distribusi probabilitas diskrit, materi distribusi probabilitas kontinu tidak seperti materi tersebut yang menganalisis setiap kemungkinan yang dapat terjadi di dalam sebuah kasus, tetapi materi ini membahas mengenai fungsi kepadatan peluang yang menganalisis range kemungkinankemungkinan dan besarnya kemungkinan tersebut dalam bentuk fungsi kurva kontinu. Materi ini juga membahas mengenai jenis distribusi lainya yang merupakan cakupan dari materi distribusi probabilitas kontinu seperti distribusi gamma, distribusi khi-kuadrat, distribusi weibull, dan distribusi t-student. Mengingat banyaknya jenis distribusi di dalam materi ini dan tingkat kompleksitas dari materi ini yang cukup rumit, maka diperlukan pembahasan yang saksama agar pembaca dapat mengerti mengenai materi ini dan dapat mengimplementasikan materi ini ke dalam permasalahan yang berhubungan dengan materi ini.



2021



2



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



BAB II PEMBAHASAN



1. Distribusi Gamma Distribusi gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika. Distribusi gamma mampu memecahkan masalah teknik dan sains yang tidak mampu dipecahkan oleh distribusi normal. Distribusi gamma mencangkup distribusidistribusi khusus yaitu distribusi eksponensial, distribusi khi-kuadrat, dan distribusi beta. Suatu distribusi yang sering muncul dalam penerapan disebut distribusi gamma. Nama ini diperoleh dari adanya relasi distribusi ini dengan fungsi



gamma. Distribusi gamma



diaplikasikan dalam lamanya waktu untuk menyelesaikan pekerjaan. Distribusi gamma sering diterapkan dalam teori antrian dan teori reabilitas. Fungsi Gamma, dinotasikan dengan г untuk α > 0, yang didefinisikan sebagai:



2021



3







untuk α > 0







untuk α = 1







untuk α > 1



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Dari hasil ini, dapat disimpulkan bahwa khusus untuk α bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 maka:



Misalkan y pada fungsi gamma merupakan variabel yang bergantung pada variabel 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛽𝛽, yaitu 𝑦𝑦 =𝑥𝑥/𝛽𝛽, dengan 𝛽𝛽>0, maka persamaan menjadi:



Jika



masing-masing



ruas



dikalikan



dengan



dengan



𝟏𝟏/г(𝜶𝜶)



maka persamaan tersebut akan ekuivalen dengan:



Karena 𝛼𝛼>0, 𝛽𝛽>0, maka fungsi:



Dimana α > 0 dan β > 0



2021



4



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Keterangan: β = waktu rata-rata antar kejadian α = jumlah kejadian yang terjadi berurutan pada waktu atau ruang tertentu λ = jumlah kejadian per unit waktu atau ruang (λ= 1/β) x = nilai random variabel (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya) Selain distribusi gamma, terdapat sebuah distribusi gamma khusus yang bernama distribusi gamma standar dimana pada distribusi gamma ini nilai dari β=1. Distribusi gamma ini memiliki sebuah fungsi yang dapat menentukan nilai distribusi probabilitas tergantung dari nilai α dan x. Berikut ini merupakan fungsi dari distribusi probabilitas standar:



Nilai dari distribusi probabilitas juga dapat ditentukan melalui tabel gamma yang disusun bedasarkan fungsi gamma yang telah dipaparkan di atas. Berikut ini merupakan gambar dari tabel gamma:



2021



5



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Berikut ini merupakan beberapa rumus lainya yang terkait dengan perhitungan distribusi gamma:



Contoh Soal:



a. Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan α = 8 dan β = 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut! Jadi, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu- 120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja adalah 0,4959.



2021



6



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



b. Didalam kajian biomedis dengan tikus suatu penelitian dosis tanggapan yang digunakan untuk bertahan menentukan pengaruh dosis bahan racun pada waktu hidup mereka.bahan racun tersebut adalah zat yang secara teratur dibuang ke atmosfer dari bahan bakar jet. Untuk suatu dosis bahan racun tertentu kajian tersebut menentukan bahwa waktu bertahannya dalam 1 minggu mengikuti sebaran gamma dengan α = 5 dan β = 10. Berapakah probabilitas seekor tikus hidup lebih lama dari 60 minggu?



Yang ditunjukkan sebagai F(6;5) tentu saja untuk masalah ini, probabilitas tikus bertahan hidup tidak lebih lama daripada 60 hari diberikan oleh P(X ≤ 60) = F (6;5) = 0,715. Jadi, probabilitas seekor tikus hidup lebih lama dari 60 minggu adalah 1-0,715=0,285.



2. Distribusi Khi-Kuadrat Banyak pengujian statistik yang mensyaratkan distribusi data harus normal dan homogen. Uji distribusi normal adalah uji untuk mengukur apakah data yang kita miliki berdistribusi normal, sehingga dapat dipakai dalam statistik parametrik (statistik inferensial). Salah satu cara yang biasa dipakai untuk menghitung adalah chi-kuadrat/chisquare. Statistik Parametrik: Statistik parametrik berhubungan dengan statistik inferensial yang membahas tentang parameter-parameter populasi, misalnya: jenis data interval atau rasio, distribusi data normal atau mendekati normal.



2021



7



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Merumuskan hipotesis 



Ho: Data berdistribusi normal







Ha: Data tidak berdistribusi 2



normal (Jika X



hitung >



(Jika X2hitung < X2tabel terima Ho)



X2tabel



tolak Ho)  Menentukan taraf nyata (ɑ) 



Untuk mencari nilai chi-square tabel



 dk = derajad kebebasan  k = banyak kelas interval  Jika nilai x2 (chi-kudrat/chi-square) lebih kecil, berarti mengarah pada penerimaan hipotesis nol (Ho). Artinya data berdistribusi normal.  Jika nilai x2 ((chi-kudrat/chi-square) lebih besar, berarti penolakan hipotesis nol (Ho). Artinya data tidak berdistribusi normal.



Setelah



harga



chi-kuadrat



dihitung,



maka



harga



tersebut



dibandingkan dengan tabel harga chi-kuadrat dengan alpha 5% dan dk= k-1. Jika Xh2 < Xt2 maka dapat disimpulkan bahwa sebaran data berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Untuk memudahkan perhitungan chikuadrat, maka skor data penelitian disusun dalam tabel distribusi frekuensi.



2021



8



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Contoh soal: Berikut merupakan Data X (Nilai Mahasiswa) dari hasil belajar 25 orang Mahasiswa Dengan alpha, ɑ = 0,05, Datanya sebagai berikut: Data X



No



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10 11 12 13 14 15



Nilai 23 20 21 21 24 18 12 17 22 24 18 22 21 18 19



No



16



17



18



19



20



21



22



23



24



25



Nilai



17



18



16



24



23



19



22



20



19



15



Dari data di atas, ujilah apakah data tersebut berdistribusi normal atau tidak, dengan menggunakan pendekatan Chi-kuadrat / Chi-square, maka lakukan pengolahan data sebagai berikut: a) Uji Normalitas Data X (Kriteria pengujian X2(1- ɑ)(k-1) ) Jawab : Langkah – langkahnya sebagai berikut :



Cara Menentukan Kelas Interval pada Tabel Distribusi Frekuensi



1) Range / Jangkauan R = (Data tertinggi – Data terendah) = 24 – 12 = 12 Jadi Jangkauan Datanya adalah = 12



2021



9



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



2) Menentukan banyak kelas Interval



Berdasarkan pengalaman jumlah kelas interval yang digunakan dalam menyusun tabel distribusi frekuensi berkisar antara 6 S/D 15. Rumus Sturges : (K = 1 + 3,3 log n) Dimana : K



= Jumlah kelas



interval n = Jumlah data observasi log = Logaritma k



= 1 + 3,3 log n, dimana n = banyak data (n



= 25) k



= 1 + 3,3 log 25



k



= 1 + 3,3 log (1,39)



k



= 1 + (3,3 x 1,39)



k



= 1 + 4,58



k



= 5,58 (dibulatkan 6)



Jadi banyaknya kelas yang harus dibuat adalah 6 kelas Cara menentukan kelas pertama 



Ambil angka terkecil sebagai batas bawah kelas pertama







Jumlahkan angka terkecil (12) dengan panjang interval kelas (2), kemudian dikurangi satu (1)







Panjang interval kelas pertama = (12 + 2) – 1 = 13







Jadi interval kelas pertama adalah : dimulai dari (12



– 13)



2021



10



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Cara menentukan kelas kedua 



Batas bawah kelas kedua kita mulai dari 14 (karena melanjutkan batas atas kelas pertama yaitu 13)







Panjang interval kelas kedua = (14 + 2) – 1 = 15







Jadi interval kelas kedua adalah : dimulai dari (14 – 15)



Kelas ke - 3 sampai kelas ke – 6 ditentukan dengan cara yang sama seperti diatas 2.1 Distribusi Weibull Distribusi Weibull adalah distribusi yang memiliki peranan yang penting terutama pada persoalan keandalan (reliability) dan analisis rawatan (mantainability). Distribusi Weibull sering dipakai sebagai pendekatan untuk mengetahui karakteristik fungsi kerusakan karena perubahan nilai akan mengakibatkan distribusi Weibull mempunyai sifat tertentu ataupun ekuivalen dengan distribusi tertentu. Distribusi ini adalah distribusi serbaguna yang dapat mengambil karakteristik dari jenis lain dari distribusi, berdasarkan nilai dari bentuk parameter. Weibull telah diakui sebagai model yang tepat dalam studi keandalan dan masalah pengujian kehidupan seperti waktu untuk kegagalan atau panjang umur komponen atau produk. Selama bertahun-tahun, estimasi bentuk dan skala parameter untuk fungsi distribusi telah didekati melalui metode kemungkinan maksimum (MLM), metode linear, dan beberapa versi dari analisis regresi. Dalam beberapa tahun terakhir, Distribusi Weibull telah menjadi salah satu yang paling umum digunakan, diterima, dianjurkan untuk menentukan potensi energi angin dan juga digunakan sebagai distribusi referensi untuk software energi angin. Distribusi Weibull adalah model penting terutama untuk keandalan dan analisis rawatan.6 Distribusi Weibull dapat digunakan untuk memodelkan distribusi kecepatan angin di tempat kejadian tertentu dan karenanya, dapat membantu dalam penilaian sumber daya angin dari tempat kejadian. 2021



11



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Untuk menghitung dua parameter (bentuk dan skala) untuk distribusi Weibull kurva frekuensi kecepatan angin untuk tempat kejadian dapat dibuat (Prasad et al., 2009) dan kunci untuk melakukan turbin angina Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah dimana λ > 0 adalah:



parameter bentuk dan k > 0 adalah parameter skala. Fungsi kepadatan peluangnya adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatifnya tersebut.



, dengan demikian dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluangnya adalah:



2021



12



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Mean dan varian distribusi Weibull adalah:



Mean dan varian dari distribusi Weibull dapat diperoleh dengan metode momen. Proses metode momen untuk mendapatkan mean dan varian adalah sebagai berikut. Mean Mean diperoleh dari momen pertama E(X) = µ.



pada persamaan tersebut di misalkan:



maka persamaan tersebut akan menjadi:



2021



13



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



Selanjutnya disubstitusikan dengan fungsi Gamma, dimana pada fungsi Gamma



dengan demikian mean distribusi Weibull adalah



Varian



Varian diperoleh persamaan



untuk menyelesaikan persamaan tersebut harus diketahui terlebih dahulu momen kedua E(X2).



2021



14



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



hampir sama dengan penyelesaian pada momen pertama, pada persamaan di atas juga dimisalkan



Sehingga persamaannya menjadi



Selanjutnya, dapat diketahui varian dari distribusi Waibull adalah



Ruang lingkup kegunaan analisa weibull antara lain adalah: 1. Perencanaan kegiatan pemeliharaan dan biaya penggantian yang efektif. 2. Pengevaluasian rencana-rencana kegiatan pemeliharaan perbaikan. 3. Perencanaan pengamanan spare part. 4. Prediksi kerusakan.



2021



15



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu



BAB III KESIMPULAN



1. Kesimpulan Distribusi probabilitas kontinu merupakan sebuah kumpulan fungsi yang merumuskan perhitungan besar kemungkinan dari himpunan bilangan kontinu. Makalah ini dapat membantu para pembaca yang tidak mengerti mengenai perhitungan distribusi probabilitas kontinu, dimana diantaranya adalah perhitungan distribusi gamma, distribusi khi-kuadrat, distribusi weibull, maupun distribusi t-student. Permasalahan di dalam kehidupan seperti besar kemungkinan seseorang dapat hidup beberapa tahun lagi, maupun kemungkinankemungkinan lainya dalam bentuk bilangan berkelanjutan, dapat dituntaskan menggunakan perumusan yang terdapat di materi distribusi probabilitas kontinu. Rumus-rumus perhitungan yang terdapat di dalam materi ini juga disimpulkan besar kemungkinanya (sesuai dengan masukan yang diterima) ke dalam sebuah tabel.



2021



16



Probabilitas & Statistika ACHMAD DINI ANWARI



Distribusi Probabilitas Kontinu