Bab 1 Rev [PDF]

Citation preview

BAB I VEKTOR DAN SKALAR A. Vektor Pendekatan Secara Geometri Dalam ilmu pengetahuan ada dua istilah yang banyak dijumpai yaitu skalar dan vektor. Skalar adalah suatu besaran yang mempunyai besar (nilai) tapi tidak mempunyai arah, misalnya panjang, massa, volume, dan muatan listrik. Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar (nilai) arah Ada besaran lain, misalnya kecepatan, gaya, dan pergeseran Vektor biasanya digambarkan sebagai anak panah (ruas garis yang berarah). Panjang panah menyatakan besarnya vektor; arah panah menunjukkan arah dari vektor-vektor. Pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa panjangnya vector adalah adalah 2,7 satuan dan arahnya adalah 30° dari sumbu x yang positif.



Gambar 1 Vektor dapat dipandang sebagi anak panah mempunyai pangkal dan ujung (Gambar 2) pangkal



ujung Gambar 2



Dua vektor dinamakan sama apabila keduanya vektor tersebut mempunyai besar (panjang) dan arah yang sama seperti Gambar 3a vector A sama dengan vector B. Sebuah vektor dapat dinyatakan dengan huruf tebal, misalnya u, v, w, A, B, C dan sebaginya. Besarnya atau panjangnya vektor A ditulis sebagai | A |. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor A tapi memiliki besar yang sama dinyatakan dengan – A seperti Gambar 3b.



1



Gambar 3(a)



Gambar 3b



Jumlah atau resultan dari vektor u dan v (ditulis u + v) adalah sebuah vektor yang dibentuk dengan menempatkan titik awal dari v pada titik terminal dari u dan kemudian menghubungkan titik awal dari u dengan titik terminal dari v. Cara ini disebut dengan hukum segitiga, seperti pada bagian kiri gambar 4a.



Gambar 4a



Gambar 4b



Cara lain melukis u + v ialah menggerakkan v sehingga pangkalnya berimpit dengan pangkal u. Maka u + v adalah vektor yang sepangkal dengan u dan yang berimpit dengan diagonal jajarangenjang yang sisinya adalah u dan v. Cara ini (disebut hukum jajarangenjang) digambarkan pada bagian kanan Gambar 4b. Selisih dari vektor u dan v yang dinyatakan dengan u – v adalah vektor yang apabila ditambahkan dengan pada v menghasilkan vektor u. Jika u = v maka u –v mendefinisikan vektor nol atau vektor kosong yang dilambangkan dengan 0. Besarnya nol dan tidak memiliki arah yang tertentu. Vektor yang tak nol disebut vektor sejati. Hasil kali sebuah vektor A dengan sebuah skalar m adalah sebuah vektor mA yang besarnya |m| kali besarnya vektor A dan memiliki arah yang sama atau berlawanan dengan A, bergantung pada apakah m positif atau negative, seperti gambar 5.



2



Gambar 5 Vektor satuan adalah sebuah vector yang panjangnya atau besarnya satu satuan. Sifat-sifat Aljabar Vektor Jika A, B dan C adalah vector-vektor dan m dan n scalar-skalar maka 1. A + B = B + A



Hukum Komutatif untuk Penjumlahan



2. A + (B + C) = (A + B) + C



Hukum Asosiatif untuk Penjumlahan



3. mA = Am



Hukum Komutatif untuk Perkalian



4. m(nA) = (mn)A



Hukum Asosiatif untuk Perkalian



5. (m + n)A = mA + nA



Hukum Distributif



6. m(A + B) = mA + mB



Hukum Distributif



Bukti sifat 1 yaitu A + B = B + A Dalam gambar 5a dapat terlihat bahwa OP + PQ = OQ atau A + B = C, dan OR + RQ = OQ atau B + A = C. Jadi terbukti A + B = B + A



Gambar 5a Bukti sifat 2 yaitu A + (B + C) = (A + B) + C Dari gambar 5b dapat dilihat bahwa



3



Gambar 5b



OP + PQ = OQ = (A+ B), PQ + QR = PR = (B + C). Kemudian juga diperoleh OP+ PR = OR = D, yakni A + (B + C) = D OQ + QR = OR = D, yakni (A + B) + C = D Maka terbukti A + (B + C) = (A + B) + C. Contoh 1. Dalam gambar 6, nyatakan w dengan u dan v. Jawab. Oleh karena u + w = v, maka w = v - u,



Gambar 6 Contoh 2 Dalam Gambar 7, AB = 2/3A C. Nyatakan m dalam u dan v.



Gambar 7 m =u + AB = u + 2/3AC =u+2/3(v – u) = 1/3 u + 2/3 v Pada umumnya, jika AB = tAC dengan 0 < t < 1, maka m = (1 – t)u+tv Bukti yang telah kita peroleh untuk m dapat pula ditulis sebagai 4



u+t(v-u) Apabila t berubah dari - ∞ hingga + ∞ maka kita peroleh semua vektor berujung pada garis yang diperlihatkan pada Gambar 7. Sifat ini penting untuk mencari persamaan garis dalam bahasa vektor. Contoh 3



1.



Sebuah mobil bergerak ke arah tenggara sejauh 4 km, kemudian 5 km ke arah barat daya. Gambarkan perpindahan ini secara grafis dan tentukan vektor perpindahan resultannya,



a. b.



Secara grafis Secara analitis Penyelesaian :



U o



B



T



A



S



B



5



a. Secara grafis Letakkan skala satuan 1 km pada vektor OB, sehingga diperoleh besarnya kurang lebih 6,4. Kemudian ukur sudut BOB dengan menggunakan busur derajat sehingga diperoleh 83,620. Maka besar vektor OB adalah 6,4 km dan arahnya 83,620 disebelah selatan dari barat. b. Secara analitis Perhatikan segiriga OAB siku-siku di A. Besar OA,AB dan OB dinyatakan dengan |OA|,| AB|dan|OB| maka kita peroleh dari aturan cosinus: 2



2



2



|OB| =|OA| +| AB| −2.|OA|| AB|cos 900 |OB|2=42 +52 −2.4 .5 .0 2 |OB| =16+ 25−0 |OB|2=41 |OB|2= √ 41 |OB|=6,4 jika sudut OAB = 900 dan misalkan sudut BOA = α Dari aturan sinus diperoleh: | AB| |OB| = sinα sin 900 5 6,4 = sinα 1 5 sinα= 6,4 sinα=0,78 α =51,380 Sehingga diperoleh sudut BOA = 51,380 dan diperoleh sudut BOS 51,380450= 6,380 Jadi besar vektor OB adalah 6,4 km dan arahnya (900-6,380)= 83,620 di sebelah selatan dari barat. Contoh 4 Carilah jumlah resultan perpindahan berikut: A, 15 km arah barat; B, 25 km arah 60⁰ sebelah utara dari barat; C, 35 km arah timur.



6



T P



60⁰



R



60⁰



120⁰



60⁰



S



P



Gambar 9



2



2



2 2 D= √|ST| +|TR| −2|ST||TR|cosθD= √25 +20 −2∙ 25 ∙20 cos 60



1 D= 625+ 400−1000 ∙ D= √1025−500D= √ 525D=5 √21=22,91 2



√



Jadi, jumlah resultan perpindahan A, B dan C adalah 5 √ 21=22,91. Contoh 5 Sebuah pesawat-terbang bergerak dalam arah barat-laut dengan laju 125 km/jam relatif terhadap tanah, disebabkan terdapat angin barat dengan laju 50 km/jam relatif terhadap tanah. Berapakah laju dan dalam arah manakah, pesawat akan bergerak jika tidak terdapat angin ? Jawab Misalkan: W = kecepatan angin Va = kecepatan pesawat dengan angin Vb = kecepatan pesawat tanpa angina Maka V a = V b + W atau V b = V a – W = V a + (– W) Gambar 10 Setelah diukur diperoleh panjang Vb adalah 6,5 satuan, sehingga laju pesawat adalah 163 km/jam dalam arah 330 sebelah utara dari barat. Contoh 6 Diketahui dua buah vektor a dan b yang tak-kolinear , carilah suatu pernyataan untuk sebarang vektor r yang terletak dalam bidang yang dibentuk oleh a dan b. 7



Jawab. Vektor-vektor tak-kolinear (non-colinear) adalah vektor yang yang tak sejajar dengan garis yang sama. Oleh karena itu jika titik-titik pangkalnya berimpitan, maka mereka menentukan sebuah bidang. Misalkan r sebarang vektor yang terletak dalam bidang dari a dan b dan titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkalnya a dan b di O. Dari titik terminal R vektor r, gambarkan garis-garis yang sejajar vektor-vektor a dan b dan dan lengkapi jajarangenjang ODRC dengan memperpanjang garis kerja dari a dan b bila perlu. Dari gambar 11 diperoleh OD = x(OA) = x a, di mana x sebuah skalar OC = y(OB) = y b, di mana y sebuah skalar Menurut hukum jajaran-genjang dari penjumlahan vector diperoleh OR = OD + OC atau r = x a + y b



Gambar 11



Gambar 12 Vektor-vektor xa dan rb disebut komponen-komponen r masing-masing dalam arah a dan b. Skalar-skalar x dan y, dapat berharga positif atau negatif tergantung pada orientasi relatif dari vektor-vektor. Dari cara penggambaran ini, jelaslah bahwa x dan y adalah unik untuk a, b, dan r yang diberikan. Vektor-vektor a dan b disebut vektor-vektor basis dalam bidang. Contoh 7 Diketahui tiga buah vektor a, b dan c yang tak-koplanar, carilah suatu pernyataan untuk sebarang vektor r dalam ruang tiga dimensi. Jawab. Vektor-vektor tak-koplanar adalah vektor-vektor yang tak sejajar dengan bidang yang sama. Jadi apabila titik pangkalnya berimpitan maka mereka tak terletak



8



dalam bidang yang sama. Misalkan r sebarang vektor dalam ruang yang titik pangkalnya berimpitan dengan titik-titik pangkal a, b dan c di O. Melalui titik terminal r gambarkan bidang-bidang yang masing-masingnya sejajar dengan bidang-bidang yang ditentukan oleh a dan b, b dan c, dan a dan c. kemudian lengkapi jajaran genjang ruang PQRSTUV dengan memperpanjang garis kerja dari a, b dan c bila perlu. Dari gambar 12 diperoleh OV = x(OA) = x a di mana x sebuah skalar OP = y(OB) = y b di mana y sebuah skalar OT = z(OC) = z c di mana z sebuah skalar Maka OR = OV + VQ + QR + = OV + OP + OT r = x a + y b + z c Vektor-vektor xa, yb dan ze disebut komponen-komponen vektor dari r masingmasing dalam arah a, b dan c. Vektor-vektor a, b dan c disebut vektor-vektor basis dalam ruang tiga-dimensi. Contoh 8 Buktikan bahwa jika a dan b tak-kolinear dan xa + yb = 0 maka x = y = 0. Bukti Andaikan x ≠ 0. Karena xa + yb = 0 maka xa = -yb atau a = -(y/x) b, yang berarti a dan b haruslah sejajar dengan garis yang sama (kolinear). Hal ini bertentangan dengan hipotesis bahwa a dan b tak kolinear. Jadi haruslah x = 0. Selanjutnya diperoleh yb = 0, sehingga diperoleh y = 0. Contoh 9 Buktikan jika x1a + y1b = x2 a + y2 b, di mana a dan b tak-kolinear, maka x1 = x2 dan y1 = y2 Bukti. Bentuk x1a + y1b = x2 a + y2 b dapat ditulis x1a + y1b – (x2 a + y2 b) = 0 atau



(x1



– x2) a + (y1 – y2) b = 0. Berdasarkan contoh 8 diperoleh (x1 – x2) = 0 dan (y1 – y2) = 0 atau x1 = x2 dan y1 = y2 Contoh 10 Buktikan bahwa jika a, b dan c tak-koplanar maka xa +yb + zc = 0 maka x = y = z = 0.



9



Bukti. Andaikan x ≠ 0. Karena xa + yb + zc = 0 maka xa = -yb - zc atau a = -(y/x) b -(z/x)c. Karena -(y/x)b -(z/x)c adalah sebuah vektor yang terletak dalam bidang dari b dan c maka a terletak dalam bidang dari b dan c yang mana jelas bertentangan dengan hipotesis bahwa a, b dan tak-koplanar. Akibatnya x = 0. Dengan penalaran yang sama didapatkan kontradiksi-kontradiksi untuk pengandaian y ≠ 0 dan x ≠ 0. Contoh 11 Buktikan bahwa diagonal dari jajaran-genjang saling memotong di tengahtengahnya. Bukti Misalkan ABCD adalah jajaran-genjang yang diketahui dengan diagonaldiagonalnya berpotongan di P seperti gambar 13



Gambar 13 Karena BD + a = b, BD = b – a maka BP = x(b - a). Karena AC = a + b, AP = y(a + b). Karena AB = AP + PB = AP - BP, maka a = y(a+b) - x(ba) = (x +y)a + (y-x) b. Karena a dan b tak-kolinear, maka x + y = 1 dan y - x= 0. Sehingga diperoleh x = y = 1/2 dan P adalah titik-tengah dari kedua buah diagonal jajaaran genjang Contoh 12 Sebuah beban 200 newton digantungkan pada dua utas kawat pada Gambar 14. Tentukan besarnya tegangan dalam tiap-tiap kawat. Jawab



10



Bobot w dan tegangan u dan v adalah gaya yang bersifat sebagai vektor (Gambar 15).



Gambar 14 Gambar 15 Tiap vektor ini dapat dinyatakan sebagai jumlah komponen yang mendatar dan yang tegak dalam kedudukan seimbang. maka besarnya gaya yang ke kiri sama dengan besarnya gaya yang ke kanan, dan besarnya gaya yang mengarah ke atas sama dengan besarnya gaya yang mengarah ke bawah. Sehingga diperoleh persamaan | u | cos 33 0 = | v | cos 500 | u |sin 330 + | v | sin 500 = | w | = 200 Dengan menyelesaikan kedua persamaan di atas maka diperoleh besarnya tiap kawat adalah | u | ≈ 129,52 newton dan | v | ≈ 168,99 newton. Contoh 13 Sebuah sungai lebarnya 0,62 mil. Laju air dalam sungai adalah 6 mil tiap jam. Perahu Karen dapat melaju 20 mil tiap jam dalam air yang tidak mengalir. Dengan arah manakah perahu harus ditujukan apabila Karen ingin sampai di seberang sungai pada sebuah titik yang garis hubungnya tegaklurus arah aliran. Berapa waktu diperlukan untuk menyeberangi? Jawab Kita tentukan terlebih dahulu α pada gambar 16. Karena sin α =6/20



maka α ≈ 17,460.



Kemudian, kita tentukan |w|, yaitu laju kapal yang searah dengan kecepatan w. | w | ≈ 20 cos 17,460 ≈ 19,08 mil/jam 11



Gambar 16



Jadi waktu yang dibutuhkan untuk menyeberangi sungai adalah



0,62 ≈¿ ¿ t = 19,08 0,0325 jam = 1,95 menit. B. Vektor Pendekatan Secara Aijabar Secara geometri dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor adalah keluarga anak panah yang panjangnya dan arahnya sama. Sekarang kita akan membahas vektor dengan pendekatan aljabar. Kita mulai dengan mengambil sebuah sistem koordinat Cartesius pada bidang. Sebagai wakil dari vektor u, kita pilih sebuah anak panah yang berpangkal di titik asal (Gambar 17 bagian kiri). Anak panah ini ditentukan secara tunggal oleh koordinat u l dan u2 titik ujungnya; ini berarti bahwa vektor u ditentukan oleh pasangan terurut (Gambar 17 bagian kanan). Jadi kita anggap adalah vektor u. Sehingga pasangan terurut ini merupakan vektor u secara aljabar.



Gambar 17 Kemudian kita juga akan menyatakan vektor u = u1i + u2j dimana i = dan j = adalah vektor basis dan untuk di ruang vektor basisnya adalah i = , j = dan k = (Gambar 18), sehingga sebuah vektor u di ruang dapat dinyatakan dengan u = < ul, u2, u3> = u1i + u2j + u3k. Vektor u1i, u2j dan u3k disebut vektor-vektor komponen dari u berturut-turut dalam arah x, y dan z. Kemudian u1, u2 dan u3 disebut komponen- komponen dari u berturut-turut dalam arah x, y dan z.



12



Gambar 18 Mengapa kita menyajikan vektor dengan pendekatan aljabar ini? Ada dua jawaban. Pertama hubungan antara sifat geometri dan sifat aljabar vektor, dapat memperkaya dan menjelaskan konsep vektor itu lebih mendalam. Kedua, pandangan aljabar ini yang paling mudah dapat digunakan dalam ruang yang dimensinya lebih tinggi. Sebab dalam membicarakan ganda-n terurut sama mudahnya dengan membicarakan ganda-dua terurut . Dua vektor u = dan v = adalah sama jika dan hanya jika u1 = v1 dan u2 = v2. Untuk menjumlahkan u dan v, kita jumlahkan komponenkomponen yang sesuai, yaitu, u + v = Untuk mengalikan u dengan skalar c, kita kalikan tiap komponennya dengan c. Jadi, uc = cu = Khususnya, -u = dan 0 = 0u = Gambar 19 menunjukkan bahwa, definisi-definisi di atas setara dengan definisidefinisi geometri yang telah kita bahas sebelumnya.



13



Gambar 19 Latihan. Untuk soal 1 – 4 gambarlah vektor w 1. w = u + 3/2 v 2. w = 2u – 3v 3. w = u1 + u2 + u3



4. w = u1 + u2 + u3 5. Sebuah pesawat-terbang menempuh jarak 200 km ke arah barat dan kemudian 150 km dalam arah 60 0 di sebelah utara dari barat. Tentukan pergeseran resultan (a) secara grafis, (b) secara analitis. 6. Carilah resultan dari perpindahan berikut: A 20 km dalam arah 300 di sebelah utara dari timur; B, 50 km ke arah barat; C, 40 km ke arah timur-laut; D, 30 km ke arah 600 di sebelah selatan dari barat. 7. Perlihatkan secara grafis -(A - B) = -A + B. 8. Jika ABCDFF adalah titik-titik sudut dari sebuah segi-enam beraturan, maka carilah resultan dari gaya yang dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE dan AF. 9. Jika A, B dan C adalah vektor-vektor yang diketahui, maka perlihatkan bahwa



14



(a) | A + B | < | A | + | B |



(b) | A - B | ≥ | A | - | B |



(c) | A + B + C| < | A | + | B | + | C | 10. Dua buah kota A dan B terletak saling berhadapan ditepi sebuah sungai yang lebarnya 8 km dan laju aliran sungainya 4 km/jam. Seorang yang berdiam di A ingin mencapai kota C yang berada 6 km ke arah udik (hulu sungai) pada tepi yang sama dengan kota B. Bila kapalnya dapat berlayar dengan laju maksimum 10 km/jam dan bila ia ingin mencapai C dalam waktu yang sesingkat mungkin, maka dalam arah manakah harus ia tempuh darn berapa lama perjalanannya ? 11. Seorang yang berjalan ke arah selatan dengan laju 15 km/jam mengamati bahwa angin kelihatannya bertiup dari arah barat. Dengan menambahkan kecepatannya hingga 25 km/jam angin kelihatannya bertiup dari arah baratdaya. Carilah arah dan laju dari angin. 12. Sebuah beban 100 kg digantungkan pada pertengahan sebuah tali seperti diperlihatkan dalam gambar dibawah. Tentukan tegangan T dalam tali.



13. Sederhanakan 2A+B+3C - {A-2B-2(2A-3B-C)}. 14. Jika a dan b adalah vektor-vektor tak-kolinear dan A = (x + 4y)a + (2x + y +l)b dan B = (y - 2x + 2)a + (2x – 3y - 1) b, maka carilah x dan y sehingga 3A = 2B. 15. Jika A dan B adalah vektor-vektor yang diketahui yang menyatakan diagonaldiagonal sebuah jajaran-genjang, maka gambarkan jajaran-genjangnya. 16. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua buah sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan besarnya separoh dari besarnya sisi ketiga ini. 17. (a) Jika 0 adalah sebarang titik di dalarn segitiga ABC dan P, Q, R masingmasingnya adalah titik-titi tengah sisi-sisi AB, BC. CA, maka buktikan



15



bahwa OA + OB + OC = OP + OQ + OR. (b) Apakah hasil ini berlaku pula apabila 0 adalah sebarang titik di luar segitiga? Buktikan hasil jawabanmu. Jawab. Y a. 18. Dalam segitiga yang besar yang digambar dalam Gambar beriktu, m adalah garis berat. Nvatakan m dan n dalam u dan t.



19. Dalam gambar berikut w = -(u+v) dan |u| = |v|= 1. Tentukan |w|.



20. Selesaikan Soal 19, untuk sudut atas 90 ° dan sudut-sudut samping masingmasing 1350. 21. Pada gambar di bawah besarnya gaya u dan v adalah 10 pon. Tentukan besarnya dan arahnya gaya w yang mengimbangi gaya u dan v tersebut.



22. A mendorong tonggak dengan arah 30 0 tenggara (300 sebelah timur dari arah selatan) dengan gaya 50 pon. B mendorong tonggak yang sama dengan arah 600 barat daya (60 0 sebelah barat dari arah selatan) dengan gaya 40 pon. Berapakah besarnya dan arahnya gaya resultan? 23. Sebuah beban dengan berat 250 newton terletak pada sebuah lantai miring yang bebas hambatan yang membuat sudut 30 0 dengan bidang yang mendatar. Gaya manakah yang sejajar dengan lantai miring itu



16



dapat menahan beban yang meluncur ke bawah? Petunjuk: Anggaplah gaya 250 newton yang ke bawah itu sebagai jumlah dua gaya, yang satu sejajar lantai dan yang lain tegaklurus lantai. 24. Sebuah benda dengan berat 237,5 pon berada dalam keadaan seimbang oleh dua utas tali yang masing-masing membuat sudut sebesar 27,34 0 dan 39,22 0 dengan garis tegak. Tentukan besarnya gaya yang bekerja pada benda itu oleh kedua utas tali tadi. 25. Angin bertiup dengan laju 58 mil/jam dan dengan arah 20 0 barat laut (20 0 sebelah barat dari arah utara). Sebuah pesawat udara dengan laju 425 mil/jam dalam udara tenang, tea-bang ke arah utara. Tentukan arah dan laju pesawat tersebut dihitung terhadap bumi? 26. Sebuah kapal berlayar ke selatan dengan laju 20 mil/jam. Seorang berjalan di atas dek kapal itu ke arah barat (tegaklurus sisi kapal) dengan laju 3 mil/jam. Tentukan besarnya dan arahnya kecepatan orang itu terhadap permukaan air? 27. Seorang penerbang mengemudikan sebuah pesawat dalam angin yang berkecepatan 80 mil/jam ke arah selatan. Penerbang itu menemukan bahwa ia terbang ke timur apabila pesawatnya mengarah 600 timur laut. Tentukan laju pesawat (dalam udara tenang). 28. Sebuah pesawat udara terbang dengan laju 837 mil/jam, dan harus menuju ke utara dalam angin yang berkecepatan 31,5 mil/jam dengan arah 11,5 0 tenggara. Arah manakah dan berapakah besarnya laju pesawat itu? 29. Dengan menggunakan vektor, buktikan bahwa ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi sebuah segitiga, sejajar dengan sisi ketiga. 30. Buktikan bahwa titik-titik tengah sebuah segiempat sebarang adalah titiktitik sudut suatu jajarangenjang.



17