BAB 2b. PD-Eksak & Faktor Integrasi (26-44) [PDF]

Citation preview

Kegiatan Belajar 3



C. Persamaan Diferensial Eksak



Definisi 2.3: Persamaan diferensial orde satu derajat satu M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 disebut persamaan diferensial eksak jika dan hanya jika memenuhi



M ( x, y) N ( x, y ) = y x Contoh 2.5.



1. (x+y) dx + (x–y) dy = 0, persamaan diferensial eksak, karena M(x,y) = (x+y) 



M ( x, y) N ( x, y ) = 1 dan N(x,y) = (x-y)  =1 y x



M ( x, y) N ( x, y ) = y x 2.



( x + y Cos x) dx + Sin x dy = 0, persamaan diferensial eksak, karena M(x,y) = x + y Cos x  N(x,y) = Sin x 



M ( x, y) = Cos x y



N ( x, y ) = Cos x x



M ( x, y) N ( x, y ) = y x 3. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan diferensial eksak, karena M(x,y) = xy – 2y2  N(x,y) = –x2 



M ( x, y) = x – 4y y



N ( x, y) = 2–2x x



M ( x, y) N ( x, y )  y x Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



26



Dengan cara yang sama, persamaan di bawah ini adalah persamaan diferensial tidak eksak karena



M ( x, y) N ( x, y)  . y x



4. (x2+y2) dx + xy dy = 0 a 2  x 2 dy = 0



5. dx –



6. (x+y+1) dx - (x-y+3) dy = 0



Persamaan diferensial eksak mempunyai solusi umum F(x,y) = c. Menurut definisi diferensial total dari F(x,y) = c adalah dF(x,y) = 0=



F ( x, y ) F ( x, y ) dx + dy. y x



F ( x, y ) F ( x, y ) dx + dy y x



Berdasarkan bentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dan



F ( x, y ) F ( x, y ) dx + dy = 0 y x maka di peroleh:



F ( x, y ) F ( x, y ) = M(x,y) dan = N(x,y) y x



Dari dua persamaan di atas, maka untuk menentukan solusi persamaan diferensial eksak yang berbentuk F(x,y) = c dapat dilakukan dengan dua cara sebagai berikut.



Cara I



F ( x, y ) F ( x, y ) = M(x,y) dan = N(x,y) y x Dari kesamaan di atas diperoleh



F ( x, y ) = M(x,y)  F(x,y) =  M ( x, y )dx x x



F(x,y) =  M ( x, y ) dx + c(y) Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



27



F ( x, y ) = N(x,y)  y



x     = N(x,y) M ( x , y ) dx  c ( y )  y   



 y



x



 M ( x, y) dx + c’(y) = N(x,y)  y



c’(y) = N(x,y) – c(y) =



 ( N ( x, y) 



x



 M ( x, y) dx



 M ( x, y )dx)dy y  x



x



Substitusikan c(y) dalam F(x,y) =



 M ( x, y) dx



+ c(y) yang merupakan



solusi umum persamaan diferensial.



Cara II



F ( x, y) F ( x, y) = N(x,y) dan = M(x,y) y x Dari kesamaan di atas di peroleh



F ( x, y ) = N(x,y)  F(x,y) =  N ( x, y )dy y y



=



 N ( x, y)dy  c( x)



y  F ( x, y )    = M(x,y) = M(x,y)  N ( x , y ) dy  c ( x )  x   x  y  N ( x, y )dy + c’(x) = M(x,y) x 



c’(x) = M(x,y) –



 x



c(x) =  (M ( x, y ) 



 N ( x, y )dy)dx x 



y



 N ( x, y)dy x



y



Substitusikan c(x) ke dalam F(x,y) =







N(x,y) dy + c(x) yang merupakan



solusi umum persamaan diferensial.



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



28



Contoh 2.6.



1. Tentukan solusi persamaan diferensial eksak berikut ini: (2x +3y+4) dx + (3x+4y+5) dy = 0. Solusi M(x,y) = (2x+3y+4) 



M ( x, y) = 3 dan y



N(x,y) = (3x+4y+5) 



N ( x, y) =3 x



Berarti persamaan di atas adalah eksak. Solusi persamaan diferensial di atas adalah F(x,y) = c. Untuk mendapatkan F(x,y) = c dapat digunakan kesamaan



F ( x, y) = N(x,y) dan/atau y







F ( x, y) = M(x,y). x



F ( x, y) = (3x+4y+5) y



 F(x,y) =  (3 x  4 y  5)dy = 3xy + 2y2 + 5y + c(x)



F ( x, y ) = M(x,y). x







 ( 3xy + 2y2 + 5y + c(x)) = (2x +3y +4) x



 3y + c’(x) = 2x + 3y + 4  c’(x) = 2x + 4  c(x) = x2 + 4x + c1 Solusi umumnya adalah F(x,y) = 3xy + 2y2 + 5y + x2 + 4x + c1



 3xy + 2y2 + 5y + x2 + 4x + c1= c  3xy + 2y2 + 5y + x2 + 4x = C



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



29



2. (x + y Cos x) dx + sin x dy = 0 Solusi: M(x,y) = x + y Cos x  N(x,y) = sin x 



M ( x, y) = Cos x dan y



N ( x, y) = Cos x x



Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferencial eksak. Sehingga solusinya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = c. Untuk mendapatkan F(x,y) = c digunakan kesamaan



F ( x, y ) F ( x, y ) = M(x,y) dan = N(x,y) y x



F ( x, y ) = x + y Cos x  F(x,y) =  (x  y Cos x)dx x =



1 2 x + y Sin x +c(y) 2



F ( x, y ) = Sin x y







 1 2 ( x + y Sin x + c(y) ) = Sin x y 2



 Sin x + c’(y) = Sin x  c’(y) = 0  c(y) = c1 Diperoleh solusi umumnya F(x,y) =







1 2 x + y Sin x + c1 2



1 2 x + y Sin x + c1 = c 2



 x2 + 2y Sin x = C



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



30



Latihan 2.3.



1. Selidiki apakah persamaan diferensial di bawah ini eksak atau tidak . a. (3x+2y) dx + (2x+y) dy = 0 b. (y2 + 3) dx + (2xy–4) dy = 0 c. (6xy + 2y2 – 5) dx + (3x2+4xy–6) dy = 0 d.



2x  1 x  x2 dx  dy  0 y y2



e. (cos x cos y + y)y’ + tan x = sin x sin y f. (5xy + 4y2 + 1) dx + (x2+2xy) dy = 0 g. x dx + y dy = (x2+y2) dx h. (y2 –



1 y +2) dx + ( + 2y(x+1))dy = 0 x( x  y ) x y



i. 2(x2 + xy) dx + (x2+y2) dy = 0 j. (



1 1 4x  1 + 2 ) dx + ( ) dy = 0 2 x y y3



2. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial 1.a.–1.j. di atas, jika diketahui eksak.



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



31



D. Persamaan Diferensial Tidak Eksak dengan Faktor Integasi Definisi 2.4: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu tidak eksak jika dan hanya jika:



M ( x, y) N ( x, y )  . y x



Persamaan diferenial tidak eksak dapat ditentukan solusinya dengan cara mentransformasikannya menjadi persamaan diferensial eksak. Untuk merobah menjadi persamaan diferensial eksak ini terlebih dahulu harus dicari faktor integrasinya. Setelah diperoleh faktor integrasinya, maka perkalian faktor integrasi dengan persamaan diferensial tidak eksak akan menghasilkan persamaan diferensial eksak. Misalkan μ(x,y) adalah faktor integrasi dari persamaan diferensial tidak eksak M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, maka persamaan diferensial eksaknya dibentuk sebagai berikut: μ(x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0]



 μ(x,y)M(x,y) dx + μ(x,y)N(x,y) dy = 0



PD eksak



Jika M1(x,y) = μ(x,y)M(x,y) dan N1(x,y) = μ(x,y)N(x,y) maka persamaan diferensial eksaknya dapat ditulis sebagai M1(x,y) dx + N1(x,y) dy = 0 yang memenuhi syarat



M1 ( x, y) N1 ( x, y)  y x



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



32



Cara menentukan faktor integrasi persamaan diferensial tidak eksak



Karena M1(x,y) dx + N1(x,y) dy = 0 persamaan diferensial eksak untuk M1(x,y) = μ(x,y)M(x,y) dan N1(x,y) = μ(x,y)N(x,y), maka:



M1 ( x, y) N1 ( x, y)  y x







( M ) ( N ) = y x



μ



M  +M = y y



μ



N M   –μ =(N –M ) x y y x



(



μ



N  +N x x



N M  1  – ) = (N – M ) x  y y x



dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus: a. Misalkan μ (x,y) = μ (x) yaitu fungsi bervariabel x saja, maka



  d = dan  0, y x dx



sehingga (



N M 1 d – ) = (N – M .0) x y  dx



M N  d y x dx = N  M N  y x Jika suatu fungsi dari x atau f(x), maka di dapat N d







= f(x) dx



 ln μ =







f(x) dx f(x) dx  μ = e 



f(x) dx Jadi faktor integrasinya adalah: μ(x) = e 



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



33



b. Misalkan μ (x,y) = μ (y) yaitu fungsi bervariabel y saja, maka



 d  ,   0 dan y dy x



sehingga (



N 1 M d – ) = (N.0 – M ) x  y dy



M N  d y x = dy M  M N  y x Jika suatu fungsi dari y atau f(y), maka di dapat M d







= f(y) dy



 ln μ =



 f(y) dy



f(y) dy  μ=e  f(y) dy Jadi faktor integrasinya adalah: μ(y) = e 



c. Misalkan μ (x,y) = μ (x + y) yaitu fungsi bervariabel x + y saja, Jika z = x + y, maka μ(x,y) = μ(x + y) = μ(z) maka



z z  1 dan 1 y x



 d z d = .  x dz x dz  d z d = .  y dz y dz sehingga (



M N 1 d d – ) = (N – M ) x y  dz dz



M N  d y x dz = N M 



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



34



M N  y x Jika suatu fungsi dari x+ y atau f(x+y) = f(z), maka di dapat N M d







= f(z) dz



 ln μ =



 f(z) dz



f(z) dz  μ=e  f(z) dz Jadi faktor integrasinya adalah: μ(x,y) = e 



d. Misalkan μ (x,y) = μ (xy) yaitu fungsi bervariabel xy saja, Jika z = xy, maka μ(x,y) = μ(xy) = μ(z) maka



z z  y dan x y x



 d z d = . y dz x dz x  d z d = . x y dz y dz sehingga (



M N 1 d d – ) = ( Ny – Mx ) x y  dz dz



M N  d y x = dz Ny  Mx  M N  y x Jika suatu fungsi dari xy atau f(xy) = f(z), maka di dapat Ny  Mx d







= f(z) dz



 ln μ =



 f(z) dz  μ = e



 f(z) dz



f(z) dz Jadi faktor integrasinya adalah: μ(x,y) = e 



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



35



e. Misalkan μ (x,y) = μ (x2 + y2) yaitu fungsi bervariabel x2 + y2 saja, Jika z = x2 + y2, maka μ(x,y) = μ(x2 + y2) = μ(z) maka



z z  2 x dan  2y y x



 d z d = .  2x x dz x dz  d z d = .  2y dz y dz y sehingga (



M N 1 d d – ) = (2Nx – 2My ) x  y dz dz



M N  d y x = dz 2 Nx  2My  M N  y x Jika suatu fungsi dari xy atau f(xy) = f(z), maka di dapat 2 Nx  2My d







= f(z) dz



 ln μ =



 f(z) dz



f(z) dz  μ=e  f(z) dz Jadi faktor integrasinya adalah: μ(x,y) = e 



Contoh 2.7. Tentukan solusi umum persamaan diferensial (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0, jika faktor integrasinya hanya fungsi dari x Solusi: M(x,y) = x2 + y2 + x  N(x,y) = xy







M ( x, y) = 2y y



N ( x, y) =y x Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



36



Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena



M ( x, y) N ( x, y)  y x



Selanjutnya dicari μ(x,y) sebagai faktor integrasinya



M ( x, y ) N ( x, y )  2y  y 1 y x Karena = = = f(x) xy N ( x, y ) x Maka μ(x,y) = e 



f ( x ) dx



= e ln x = x.



Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu x[(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0] (x3 + xy2 + x2) dx + (x2y)dy = 0 Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh solosi umumnya M1(x,y)= x3 + xy2 + x2  N1(x,y)= x2y 



M1 ( x, y)  2 xy y



N1 ( x, y)  2 xy x



F ( x, y) = N1(x,y). y







F ( x, y) = x2y y



 F(x,y) =  x 2 y dy =



1 2 2 x y + c(x) 2



F ( x, y ) = M1(x,y). x







 1 2 2 ( x y + c(x)) = x3 + xy2 + x2 x 2



 xy2+ c’(x) = x3 + xy2 + x2  c’(x) = x3 + x2  c(x) =



1 4 1 3 x + x 3 4



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



37



Solusi umumnya adalah F(x,y) =







1 2 2 1 4 1 3 x y + x + x + c1 2 4 3



1 2 2 1 4 1 3 x y + x + x + c 1= c 3 2 4



 3x4 + 4x3 + 6x2y2 = C Contoh 2.8. Tentukan solusi umum dari (5x2y + y3)dx + (5xy2 + x3)dy = 0, jika faktor integrasinya hanya fungsi dari x2 + y2. Solusi: M(x,y) = 5x2y + y3 



M ( x, y) = 5x2 + 3y2 y



N(x,y) = 5xy2 + x3 



N ( x, y) = 5y2 + 3x2 x



Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena



M ( x, y) N ( x, y)  y x



Selanjutnya dicari μ(x,y) sebagai faktor integrasinya



M N  x2  y 2 1 1 y x Karena = 4 = = f(z)  2 4 2 x y 2 Nx  2My x  y z Maka μ(x,y) = e 



f ( z ) dz



= e ln z = z = x2 + y2



Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu (x2 + y2)[ (5x2y + y3)dx + (5xy2 + x3)dy = 0] (x2 + y2) (5x2y + y3)dx + (x2 + y2) (5xy2 + x3)dy = 0 (5x4y + x2y3 + 5x2y3 + y5)dx + (5x3y2 + 5xy4 + x5+ x3y2)dy = 0 (5x4y + 6x2y3 + y5)dx + (5xy4 + 6x3y2 + x5)dy = 0 Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh solosi umumnya M1(x,y)= 5x4y + 6x2y3 + y5 



M1 ( x, y) =5x4 + 18x2y2 + 5y4 y Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



38



N1(x,y)= 5xy4 + 6x3y2 + x5 



N1 ( x, y) = 5y4 + 18x2y2 + 5x4 x



F ( x, y ) = M1(x,y). x







F ( x, y ) = 5x4y + 6x2y3 + y5 x



 F(x,y) =  ( 5 x 4 y + 6 x 2 y 3 + y5 ) dx = x5y + 2x3y3 + xy5 + c(y)



F ( x, y ) = N1(x,y). y







 ( x5y + 2x3y3 + xy5 + c(y)) = 5xy4 + 6x3y2 + x5 x



 x5 + 6x3y2 + 5y4x + c’(y) = 5xy4 + 6x3y2 + x5  c’(y) = 0  c(y) = c1 Solusi umumnya adalah F(x,y) = x5y + 2x3y3 + xy5 + c1



 x5y + 2x3y3 + xy5 + c1= c  x5y + 2x3y3 + xy5 = C  xy (x2 + y2)2 = C



Pada penyelesaian soal-soal mengenai faktor integrasi ini, ada 2 hal yang harus diperhatikan : a. Pada soal-soal mengenai faktor integrasi telah ditentukan jenis dari faktorfaktor integrasinya, misalnya: mempunyai faktor integrasi hanya fungsi dari μ(x), μ(y), μ(x + y), μ(xy), μ (x2+ y2), atau lain-lainnya (seperti contoh soal 2.7 dan 2.8). Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



39



b. Pada soal-soal mengenai faktor integrasi, tidak ditentukan jenis dari faktorfaktor integrasinya, hingga kita harus mencari sendiri, jenis apa faktor integrasi yang sesuai dengan soal tersebut. Dalam kasus yang terakhir (bagian b) ini, kita belum mempunyai rumus yang tepat untuk langsung memperoleh faktor integrasi yang sesuai. Sungguhpun demikian kita masih bisa menentukan faktor integrasi dengan memperhatikan ketentuan-ketentuan di bawah ini. Apabila M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 suatu persamaan diferensial tidak eksak, yang tidak diketahui jenis dari faktor-faktor integrasinya, maka faktor integrasi tersebut dicari dengan cara memperhatikan harga dari



M N  y x ................. (*) N  M α dan β harus dicari sedemikian, hingga (*) dapat berbentuk sama dengan salah satu dari rumus-rumus faktor integrasi di atas.



Contoh 2.9. Tentukanlah faktor integrasi dan solusi dari persamaan diferensial (x3 + xy4)dx + 2y3dy = 0 Solusi: Misalkan M(x,y) = x3 + xy4 N(x,y) = 2y3



M  4xy 3 y



N 0 x



dengan memilih α = 0 dan β = 1, maka diperoleh



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



40



M N  4 xy 3  0 y x = =2x = f(x), yaitu fungsi dari x saja.  (2 y 3 )   ( x3  xy 4 ) N  M Ini berarti jenis faktor integrasinya hanya fungsi dari x saja (memenuhi salah satu dari rumus faktor integrasi di atas). Selanjutnya dicari faktor integrasinya f(x) dx μ(x) = e  2 2 x dx μ(x) = e  = ex



Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu 2



e x [ (x3 + xy4)dx + 2y3dy = 0] ( x3  xy 4 )e x dx + 2 y 3e x dy = 0 2



2



Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh solosi umumnya M1(x,y)= ( x 3  xy 4 )e x  2



N1(x,y)= 2 y 3e x



2







2 M1 ( x, y)  4 xy 3e x y



2 N1 ( x, y)  4 xy 3e x x



F ( x, y) = N1(x,y). y







2 F ( x, y) = 2 y 3e x y



 F(x,y) =  2 y 3e x dy 2



=



1 4 x2 y e + c(x) 2



F ( x, y ) = M1(x,y). x







 1 4 x2 3 4 x2 ( y e + c(x)) = ( x  xy )e x 2



 xy 4e x + c'(x)= ( x3  xy 4 )e x 2



2



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



41



 c’(x) = x 3e x  c (x) =



2



1 2 x2 1 x2 x e  e  c1 2 2



Solusi umumnya adalah F(x,y) =







1 4 x2 1 2 x2 1 x2 y e + x e  e  c1 2 2 2 1 4 x2 1 2 x2 1 x2 y e + x e  e  c1 = c 2 2 2



 y 4e x + x 2e x  e x = C 2



2



2



Contoh 2.10. Tentukanlah faktor integrasi dan solusi dari persamaan diferensial (y3–2x2y)dx + (2xy2–x3)dy=0 Solusi: Misalkan M(x,y) = y3–2x2y



M  3 y 2  2x2 y



N(x,y) = 2xy2–x3



N  2 y 2  3x 2 x



dengan memilih α = x dan β = y, maka diperoleh



M N  y x Ny  Mx



(3 y 2  2 x 2 )  (2 y 2  3x 2 ) y 2  x2 1 = = = f(xy), yaitu 3 3 3 3 3 3 (2 xy  x y )  ( xy  2 x y ) xy  x y xy



=



fungsi dari xy saja. Ini berarti jenis faktor integrasinya hanya fungsi dari xy saja (memenuhi salah satu dari rumus faktor integrasi di atas). Selanjutnya dicari faktor integrasinya μ(x,y)= μ(xy)= μ(z) f(z) dz μ(x) = e  1



μ(x) = e



 z dz = z = xy



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



42



Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu xy[(y3–2x2y)dx + (2xy2–x3)dy=0] (xy4–2x3y2)dx + (2x2y3–x4y)dy=0 Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh solosi umumnya M1(x,y)= xy4–2x3y2







M1 ( x, y)  4 xy 3  4 x3 y y



N1(x,y)= 2x2y3–x4y







N1 ( x, y)  4 xy 3  4 x3 y x



F ( x, y ) = M1(x,y). x







F ( x, y ) = xy4–2x3y2 x



 F(x,y) =  ( xy 4  2 x 3 y 2 )dx =



1 2 4 1 4 2 x y  x y + c(y) 2 2



F ( x, y ) = N1(x,y). y







 1 2 4 1 4 2 ( x y  x y  c( y)) = 2 x 2 y 3  2 x 4 y ) + c'(y) 2 y 2



 2 x 2 y 3  2 x 4 y ) + c'(y)= 2x2y3–x4y  c’(x) = x4y  c(x) =



1 3 x y  c1 4



Solusi umumnya adalah F(x,y) =







1 2 4 1 4 2 1 3 x y  x y + x y  c1 4 2 2 1 2 4 1 4 2 1 3 x y  x y + x y  c1 = c 4 2 2



 2x2 y 4  2x4 y 2 + x3 y = C



Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



43



Latihan 2.4.



1. Tentukanlah solusi umum dari persamaan persamaan diferensial: a. (1- x2 + 2y)dx - x dy = 0 mempunyai faktor intergrasi hanya fungsi dari x. b. 2xy dx + (2x2 + 3)dy = 0 mempunyai faktor intergrasi hanya fungsi dari y. c. (4x2 + 2xy +2y)dx + (2x2 + x + 3ydy = 0 mempunyai faktor intergrasi hanya fungsi dari (x+y). d. (12x2y + 3xy2 + 2y)dx + (6x3+ 3x2y + 2x)dy = 0 mempunyai faktor intergrasi hanya fungsi dari xy. e. (5x2 + 4xy + 4x + y2)dx + (x2 + 4xy + 5y2 + 4y)dy = 0 mempunyai faktor intergral hanya fungsi dari x2 + y2. 2. Tentukan faktor integrasi dan solusi dari persamaan diferensial berikut.



a. ( x  2 y)dx  x dy b. ( x  3 y)dx  x dy  0 c. y dx  ( y  x)dy  0



d. 2 y 2 dx  (2 x  3xy )dy  0 e. y dx  ( y 3  2 x)dy  0 f . (3 y  3e x y 2 / 3 )dx  x dy g. (5 y  6 x)dx  x dy  0



h. (3x  y 2 )dx  4 xy dy i. ( x 2 y  2 xy 2  2 x  3 y)dx  ( x 3  2 x 2 y  3x)dy  0 j. (10 x 2  4 xy  2 y 2 )



dy  ( x 2  8xy  5 y 2 )dy  0 dx Bahan Ajar Persamaan Diferensial Biasa



44