Basis Bilangan Dan Konversi [PDF]

Citation preview

MATERI Sistem Bilangan Sistem Bilangan atau Number System adalah Suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu : Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelesan mengenai 4 Sistem Bilangan ini : 1. Desimal (Basis 10) Desimal (Basis 10) adalah Sistem Bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction). Untuk melihat nilai bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan :



Dalam gambar diatas disebutkan Absolut Value dan Position Value. Setiap simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki Absolut Value dan Position Value. Absolut value adalah Nilai Mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah Nilai Penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.



diartikan



Dengan begitu maka bilangan desimal 8598 bisa sebagai berikut :



Sistem bilangan desimal juga bisa berupa pecahan desimal (decimal fraction), misalnya : 183,75 yang dapat diartikan :



2. Biner (Basis 2) Biner (Basis 2) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 0 dan 1. Bilangan Biner ini di populerkan oleh John Von Neumann. Contoh Bilangan Biner 1001, Ini dapat di artikan (Di konversi ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :



Position Value dalam sistem Bilangan Biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada tabel berikut ini :



adalah



Berarti, Bilangan Biner 1001 perhitungannya sebagai berikut :



3. Oktal (Basis 8) Oktal (Basis 8) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 8 Simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Contoh Oktal 1024, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :



Position Value dalam Sistem Bilangan Oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis), seperti pada tabel berikut ini :



Berarti, Bilangan Oktal 1022 perhitungannya adalah sebagai berikut :



4. Hexadesimal (Basis 16) Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan Desimal berarti 10 adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada Sistem Bilangan Hexadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, Bmewakili angka 11 dan seterusnya sampai Huruf F mewakili angka 15. Contoh Hexadesimal F3D4, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :



Position Value dalam Sistem Bilangan Hexadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis), seperti pada tabel berikut ini :



Berarti, Bilangan Hexadesimal F3DA perhitungannya adalah sebagai berikut :



Sistem Bilangan Binari Sistem bilangan binari adalah sistem bilangan yang menggunakan basis 2. Sistem bilangan binari menggunakan 2 macam simbol yaitu : 0 dan 1. Contoh bilangan binari misalnya bilangan binari 1001. Ini dapat diartikan (dikonversi ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut : Position value dalam sistem bilangan binari merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada tabel berikut ini :



Berarti, bilangan binari 1001 perhitungannya adalah sebagai berikut Atau dengan rumus sebagai berikut : Contoh, bilangan binari 101101 dapat dilihat nilainya dalam sistem bilangan desimal menggunakan rumus diatas sebagai berikut



Penjumlahan Bilangan Binari Pertambahan atau penjumlahan pada sistem bilangan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan penjumlahan pada sistem bilangan desimal. Dasar pertambahan/penjumlahan pada masing-masing digit bilangan binari adalah sebagai berikut :



Contoh pertambahan bilangan binari misalnya 1111 + 10100 hasilnya adalah 100011 dengan cara sebagai berikut :



Pengurangan Bilangan Binari Pengurangan pada sistem bilangan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan pengurangan pada sistem bilangan desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :



Berbagai contoh pengurangan pada sistem bilangan binari bisa dilihat dibawah ini :



  



KOMPLEMEN (COMPLEMENT) Pengurangan juga bisa dilakukan dengan komplemen. Komplemen ada du macam yaitu : Komplemen basis minus 1 (radix-minus-one complement) Komplemen basis (radix complement) Pada sistem bilangan desimal dikenal dua macam komplemen yaitu : Komplemen 9 (9s complement)







 



Komplemen 10 (10s complement) Sedangkan pada sistem bilangan binari juga ada 2 macam komplemen yaitu : Komplemen 1 (1s complement) Komplemen 2 (2s complement) Contoh pengurangan dengan komplemen 9 pada sistem bilangan desimal adalah seperti berikut :



Komplemen 9 dari suatu sistem bilangan desimal dilakukan dengan mengurangkan angka 9 untuk masing-masing digit dalam bilangan pengurangan. Perhatikan, pada komplemen 9, digit 1 paling ujung kiri dipindahkan untuk ditambahkan pada digit yang paling kanan. Contoh pengurangan dengan komplemen 10 pada sistem bilangan desimal bisa dilihat pada contoh berikut :



Komplemen 10 dari bilangan desimal adalah hasil komplemen 9 ditambah 1, misalnya komplemen 10 dari nilai 321 adalah 679 (atau dengan cara 1000 – 321 = 679). Pada komplemen 10, hasil digit 1 yang paling kiri dibuang (tidak digunakan). Cara yang sama dapat dilakukan pada sistem bilangan binari. Contoh pengurangan pada sistem bilangan binari dengan komplemen 1 adalah sebagai berikut :



Komplemen 1 di sistem bilangan binari dilakukan dengan mengurangkan setiap bit (digit) dari nilai 1, atau dengan mengubah setiap bit 0 menjadi 1 dan bit 1 menjadi 0. Dengan komplemen 1, hasil digit paling kiri dipindahkan untuk ditambahkan pada bit paling kanan. Sedangkan contoh pengurangan dengan komplemen 2 pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :



Komplemen 2 pada sistem bilangan binari adalah hasil dari komplemen 1 ditambah 1, misalnya komplemen 2 dari binari 10110 adalah 01010 (dari komplemen 1 yaitu 01001 ditambah 1). Dengan komplemen 2, hasil digit paling kiri dibuang (tidak digunakan). Perkalian Bilangan Binari Perkalian pada sistem bilangan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan perkalian pada sistem bilangan desimal. Dasar perkalian untuk masing-masing digit pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :



Contoh perkalian pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :



 



Perhatikan, ada 2 keadaan dalam perkalian pada sistem bilangan binari yaitu : Jika pengali adalah bilangan 1, maka cukup disalin saja. Jika pengali adalah bilangan 0, maka hasilnya semuanya 0. Pembagian Bilangan Binari Pembagian pada sistem bilangan binari juga dilakukan dengan cara yang sama seperti pada pembagian bilangan desimal. Pembagian dengan 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pembagian pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :



Contoh pembagian pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :



1. Bilangan Desimal Bilangan desimal (decimal) merupakan bilangan dengan basis 10. Angka untuk bilangan desimal adalah 0, 1, 2, … , 8, 9. Bilangan ini sering kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Setiap digit dalam sebuah bilangan dalam basis 10 dapat memiliki besaran tertentu dalam basis 10. Contoh: 1075 akan terdiri dari 1 ribuan, 0 ratusan, 7 puluhan dan 5 satuan, atau secara matematis dapat ditulis sebagai : 1075 = (1x103) + (0x102) + (7x101) + (5x100)



Rumus Konversi Desimal ke Basis Bilangan Lainnya Untuk melakukan konversi dari bilangan desimal ke basis bilangan lainnya, misal basis n, adalah dengan membagi bilangan tersebut dengan n secara berulang sampai bilangan bulat hasil bagi nya sama dengan nol. Lalu sisa hasil bagi dari setiap iterasi ditulis dari terakhir (bawah) hingga ke awal (atas). Untuk lebih jelasnya lihat contoh konversi desimal ke basis lainnya pada penjelasan berikutnya.



Konversi Desimal ke Biner Dengan menggunakan rumus perhitungan konversi bilangan desimal ke basis lainnya kita bisa lakukan sebagai berikut. Contoh :



6710 = …….2 ? Misalkan kita akan melakukan konversi 67 basis sepuluh (desimal) ke dalam basis 2 (biner).



1. Pertama-tama kita bagi 67 dengan 2, didapat bilangan bulat hasil bagi adalah 33 dengan sisa hasil bagi adalah 1, atau dengan kata lain 67 = 2*33 + 1 2. Selanjutnya bilangan bulat hasil bagi tersebut (33) kita bagi dengan 2 lagi, 33/2 = 16, sisa hasil bagi 1. 3.



Kemudian kita ulangi lagi, 16/2 = 8, sisa hasil bagi 0.



4. Ulangi lagi langkah tersebut sampai bilangan bulat hasil bagi sama dengan 0. Setelah itu tulis sisa hasil bagi mulai dari bawah ke atas. 5.



Dengan demikian kita akan mendapatkan bahwa 6710 = 10000112.



6. Bila komputer/laptop anda tersedia microsoft excel, maka anda dapat menggunakan fungsi DEC2BIN() untuk melakukan konversi dari bilangan desimal ke biner.



Konversi Desimal ke Oktal Dengan rumus yang sama seperti biner kita bisa lakukan juga untuk bilangan berbasis 8 (oktal). Contoh: 6710 = …….8 ?



1.



Pertama-tama 67/8 = 8, sisa 3



2.



Lalu 8/8 = 1, sisa 0,



3.



Terakhir 1/8=0, sisa 1.



4.



Dengan demikian dari hasil perhitungan didaptkan 6710 = 1038



5. Anda juga dapat menggunakan fungsi microsoft excel DEC2OCT() untuk konversi bilangan desimal ke oktal.



Konversi Desimal ke Heksadesimal Seperti halnya biner dan oktal, kita pun akan menggunakan teknik perhitungan yang sama. Contoh 1: 6710 = …….16 ?



1.



Pertama-tama 67/16 = 4, sisa 3



2.



Lalu 4/16 = 0, sisa 4,



3.



Dengan demikian dari hasil perhitungan didapatkan 6710 = 4316



Contoh 2: 9210 = …….16 ?



1.



Pertama-tama 92/16 = 5, sisa 12 (ditulis C)



2.



Lalu 5/16 = 0, sisa 5,



3.



Dengan demikian dari hasil perhitungan didapatkan 9210 = 5C16



2. Bilangan Biner Bilangan biner (binary) merupakan bilangan berbasis dua. Angka dari bilangan biner hanya berupa angka 0 dan 1. Konversi Biner ke Desimal Untuk melakukan konversi dari bilangan biner atau bilangan berbasis selain 10 ke bilangan berbasis 10 (desimal) maka anda tinggal mengalikan setiap digit dari bilangan tersebut dengan pangkat 0, 1, 2, …, dst, dari basis mulai dari yang paling kanan. Contoh : 101102 = …….10 ? 101102 = + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 2210 Gunakan fungsi BIN2DEC() di microsoft excel untuk konversi biner ke desimal.



Konversi Biner ke oktal Untuk melakukan konversi biner ke oktal lakukan bagi setiap 3 digit menjadi sebuah angka oktal dimulai dari paling kanan. Contoh : 101102 = …….8 ? 1.



Pertama-tama bagi menjadi kelompok yang terdiri dari 3 digit biner: 10 dan 110.



2. Kemudian konversi setiap kelompok dengan menggunakan perhitungan konversi biner ke desimal. 3.



Sehingga didapat 101102 = 268



4.



Anda juga bisa menggunakan fungsi BIN2OCT yang disediakan di microsoft excel



Konversi Biner ke Hexadesimal Konversi biner ke heksa desimal mirip dengan konversi biner ke oktal. Hanya saja pembagian kelompok terdiri dari 4 digit biner. Selain itu untuk nilai 10, 11, 12, .., 15 diganti dengan huruf A, B, C, …, F. Contoh : 1110102 = …….16 ? 1. Pertama-tama bagi menjadi kelompok yang terdiri dari 4 digit biner: 11 dan 1010. 2. Kemudian konversi setiap kelompok dengan menggunakan perhitungan konversi biner ke desimal. 3.



Sehingga didapat 1110102= 3A16



4. excel



Anda juga bisa menggunakan fungsi BIN2HEX() yang disediakan di microsoft



3. Bilangan Oktal Bilangan oktal (octal) adalah bilangan berbasis 8. Sehingga angka digit yang digunakan adalah 0, 1, 2, …, 7, 8.



Konversi Bilangan Oktal ke Desimal Untuk konversi oktal ke binner anda perlu mengalikan digit dengan pangkat dari bilangan 8. Contoh : 3658 = …….10 ? Untuk melakukan konversi bilangan oktal ke bilangan berbasis 10 (desimal) lakukan dengan mengalikan setiap digit dari bilangan tersebut dengan pangkat 0, 1, 2, …, dst, dari basis mulai dari yang paling kanan. 3658 = (3 x 82)10 + (6 x 81)10 + (5 x 80)10 = 192 + 48 + 5 = 245 Untuk fungsi konversi oktal ke decimal di ms excel gunakan OCT2DEC()



Konversi Bilangan Oktal ke Biner Cara ini merupakan kebalikan cara konversi biner ke oktal. Setiap digit oktal akan langsung dikonversi ke biner lalu hasilnya digabungkan. Contoh: 548 = …….2 ? 1.



Pertama-tama hitung 58 = 1012 (Lihat cara konversi dari desimal ke biner)



2.



Lalu hitung 48 = 1002



3.



Sehingga didapat 548 = 1011002



4. Anda juga dapat menggunakan rumus di ms excel OCT2BIN() yang akan menkonversi bilangan oktal ke biner



Konversi Bilangan Oktal ke Heksa desimal Untuk perhitungan secara manual, konversi bilangan oktal ke desimal dilakukan dengan mengkonversi bilangan oktal ke bilangan basis antara terlebih dahulu. Ada dua cara yang



sering digunakan untuk konversi oktal ke hexadecimal. Cara pertama konversi dahulu bilangan oktal ke desimal, lalu dari bilangan desimal tersebut dikonversi lagi ke heksadesimal. Cara kedua adalah dengan menkonversi bilangan oktal ke bilangan biner, lalu dari biner di konversi lagi menjadi bilangan heksadesimal. Cara kedua merupakan cara yang paling sering digunakan. Contoh : 3658 = …….16



1.



Konversi bilangan oktal menjadi bilangan biner



3658 = 11 110 101



2



angka 3, 6, dan 5 dikonversi terlebih dahulu menjadi biner. 2. Kemudian bilangan biner tersebut dikelompokkan setiap 4 digit dimulai dari yang paling kanan 3. Selanjutnya 4 digit biner transformasikan menjadi heksadesimal 11 110 101 2 = F516



4. Bilangan Heksadesimal Bilangan heksadesimal (hexadecimal)merupakan bilangan berbasis 16. Sehingga angka digit yang digunakan adalah 0, 1, 2, …, 8, 9, A, B, …, E, F dimana A s/d F merupakan nilai untuk 10 s/d 15 desimal.



Konversi Bilangan Heksa desimal ke desimal Untuk konversi heksadesimal ke desimal lakukan dengan mengalikan digit bilangan heksa dengan pangkat bilangan 16 dari kanan ke kiri mulai dengan pangkat 0, 1, 2, …, dst Contoh : F516 = …….8 ? F516 = (15 x 161)10 + (5 x 16-0)10 = 240 + 5 = 245 Untuk fungsi konversi heksadesimal ke desimal di ms excel gunakan fungsi HEX2DEC()



Konversi Bilangan Heksadesimal ke Biner Cara ini merupakan kebalikan cara konversi biner ke heksadesimal. Setiap digit heksadesimal langsung dikonversi ke biner lalu hasilnya dipadukan. Contoh: F516 = …….2 ? 1. Pertama-tama hitung F16 = 11112 (F16 = 1510 = 11112, Lihat cara konversi dari desimal ke biner) 2. Lalu hitung 516 = 01012 (harus selalu dalam 4 digit biner, bila nilai hasil konversi tidak mencapai 4 digit biner maka tambahkan angka 0 di depan hingga menjadi 4 digit biner) 3.



Kemudian didapat F516 = 111101012



4. Fungsi di ms excel yang dapat anda gunakan untuk mengkonversi heksadesimal ke biner adalah HEX2BIN()



Konversi Bilangan Heksa Desimal ke Oktal Untuk konversi heksa desimal ke oktal mirip dengan cara konversi oktal ke desimal. Lakukan konversi heksadesimal ke biner terlebih dahulu lalu dari binner di konversi lagi ke oktal. Contoh : F516 = …….8



1.



Konversi bilangan heksadesimal menjadi bilangan biner



F516 = 1111 01012 angka F dan 5 dikonversi terlebih dahulu menjadi biner. 2. Kemudian bilangan biner tersebut dikelompokkan setiap 3 digit dimulai dari yang paling kanan 3. Selanjutnya 3 digit biner transformasikan menjadi oktal 11 110 101 2 = 3658