Estimator Bayes Dari Distribusi Binomial Dengan Prior Uniform Dan Distribusi Binomial Dengan Prior Beta [PDF]

Citation preview

ESTIMATOR BAYES DARI DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN PRIOR UNIFORM DAN DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN PRIOR BETA



NAMA : DEDI NASIR NIM . 166090500011002



PASCA SARJANA JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2017



BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Metode statistika adalah prosedur-prosedur yang di gunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis, dan penafsiran data. Dalam penggunaan statistika terdapat tiga bagian utama, yaitu statistika deskriptif, probabilitas (peluang), dan statistika inferensi. Statistika deskriptif bertujuan untuk menyajikan informasi data sebagai deskripsi fakta dalam bentuk numerik, table, grafik atau kurva distribusi, sehingga suatu fakta atau peristiwa dapat secara mudah untuk di pahami dan di simpulkan. Sedangkan statistika inferensi menggunakan konsep probabilitas untuk membuat perkiraan, prediksi, peramalan, ataupun generalisasi dari suatu objek berdasarkan informasi data yang diambil fakta sebagai populasi atau sampel (Mustafid, 2003). Inferensi statistic dapat dibedakan menjadi dua yaitu estimasi parameter dan uji hipotesis. Estimasi parameter dibedakan menjadi dua yaitu estimasi titik dan estimasi parameter berupa interval. Inferensi statistika dapat di cari dengan metode klasik dan metode Bayes (Walpole dan Myers, 1995). Pada teori titik dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik dan metode Bayes. Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang dia,bil dari populasi, sedangkan metode bayes disamping memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang di sebut prior (Walpole dan Myers, 1995). Metode Bayes memandang perameter sebagai variable yang menggambarkan pengetahuan awal tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut distribusi prior (Walpole dan Myers, 1995). Setelah



pengamatan dilakukan, informasi dalam distribusi prior dikombinasikan dengan informasi data sampel melalui teorema Bayes, dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut distribusi posterior yang selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi di dalam metode Bayes (Berger, 1990). Teorema



bayes



memungkinkan



seseorang



untuk



memperbaharui



keyakinannya mengenai sebuah parameter setelah data diperoleh, sehingga dalam hal ini mengharuskan adanya keyakinan awal (prior) sebelum memulai inferensi. Pada dasarnya distribusi prior bisa diperoleh berdasarkan keyakinan subjektif dari peneliti itu sendiri mengenai nilai yang mungkin untuk parameter yang diestimasi, sehingga perlu di perhatikan bagaimana cara menentukan prior (dalam Lokollo, 2012). 1.2 PERUMUSAN MASALAH Permasalahan yang dibahas adalah bagaimana menentukan estimator Bayes dengan menggunakan prior uniform dan prior beta serta membandingkan mean square eror (MSE) terkecil dari estimator bayes dari distribusi binomial yang menggunakan prior uniform dan distribusi binomial yang menggunakan prior beta. 1.3 BATASAN MASALAH Masalah dibatasi pada penggunaan prior uniform dan prior beta serta mean square eror (MSE) sebagai kriteria evaluasi estimator. 1.4 TUJUAN Membandingkan mean square eror (MSE) terkecil dari estimator Bayes disrtibusi binomial dengan prior uniform dan estimator bayes dengan prior beta.



BAB II TINJAUAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI 2.1. Tinjauan Pustaka Metode



statistika



adalah



prosedur-prosedur



yang



digunakan



dalam



pengumpulan, penyajian, analisis dan penafsiran data. Dalam penggunaan statistika terdapat tiga bagian utama, yaitu statistika deskriptif, probabilitas dan statistik inferensi. Statistic inferensi deskriptif bertujuan untuk menyajikan informasi data sebagai deskriptif fakta dalam bentuk numeric, grafik, atau kurva distribusi, sehingga suatu fakta atau peristiwa dapat mudah untuk dipahami atau disimpulkan. Sedangkan statistika inferensi menggunakan konsep probabilitas untuk membuat perkiraan, prediksi, peramalan ataupun generalisasi dari suatu objek berdasarkan informasi data yang diambil fakta sebagai populasi atau sampel (Mustafid, 2003). Inferensi statistic dapat dibedakan menjadi dua yaitu estimasi parameter dan uji hipotesis. Estimasi parameter dibedakan menjadi dua yaitu estimasi dan estimasi parameter berupa interval. Inverensi statistic dapat dicari dengan metode klasik dan metode Bayes (Walpole dan Myers, 1995). Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang diambil dari populasi, sedangkan metode Bayes disamping memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Walpole dan Myers, 1995). Setelah pengamatan dilakukan, informasi dalam distribusi prior dikombinasikan dengan informasi dengan data sampel melalui teorem Bayes, dan hasilnya dinyatakan



dalam bentuk distribusi yang disebut distribusi posterior yang selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi di dalam metode bayes (Berger, 1990). 2.2. landasan Teori 2.2.1 Variabel Random Definisi 2.2.1 (Wattimanela, 2005) Juka 𝑆 adalah ruang sampel dengan ukuran probabilitas dari 𝑋 suatu fungsi riil yang didefenisikan atas elemen-elemen dari 𝑆, maka 𝑋 disebutvariabel Random. 2.2.2 Fungsi Ditribusi Peluang Definisi 2.2.2 (Wattimanela, 2005) Suatu fungsi dapat disebut sebagai distribusi probabilitas dari variabel random diskrit 𝑋 jika dan hanya jika nilainya, 𝑓(𝑥), memenuhi syarat-syarat 1. 𝑓(𝑥𝑖 ) ≥ 0, untuk setiap nilai dalam domainnya 2. ∑𝑘𝑖=1 𝑓(𝑥) = 1, dimana penjumlahan diperluas atas semua nilai dan domainnya 3. 𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) 2.2.3 Ekspektasi dan Variansi Definisi 2.2.3 (Walpole dan Myers, 1995) Misalkan 𝑋 adalah suatu peubah diskrit dengan distribusi peluang 𝑓(𝑥), maka nilai ekspektasi 𝑋 ialah 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑𝑥 𝑥𝑓(𝑥) bila 𝑋 diskrit ∞



𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫−∞ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 bila 𝑋 kontinu



(2.1) (2.2)



Teorema 2.2.1 (Wattimanela, 2005) Jika 𝑎 dan 𝑏 konstanta dan 𝑋 variabel random maka 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 BUKTI a) Jika variabel random 𝑋 diskrit 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = ∑(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑓(𝑥) 𝑥



= ∑(𝑎𝑥𝑓(𝑥) + 𝑏𝑓(𝑥)) 𝑥



= ∑(𝑎𝑥𝑓(𝑥) + ∑ 𝑏𝑓(𝑥) 𝑥



𝑥



= 𝑎 ∑ 𝑥𝑓(𝑥) + 𝑏 ∑ 𝑓(𝑥) 𝑥



𝑥



= 𝑎𝐸(𝑥) + 𝑏. 1 = 𝑎𝐸(𝑥) + 1 b) Jika variabel random 𝑋 kontinu −∞



𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = ∫ (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑓(𝑥) ∞ −∞



= ∫ (𝑎𝑥𝑓(𝑥) + 𝑏𝑓(𝑥))𝑑𝑥 ∞ −∞



−∞



= ∫ 𝑎𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞



∞ −∞



−∞



= 𝑎 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞



= 𝑎𝐸(𝑥) + 𝑏. 1 = 𝑎𝐸(𝑥) + 𝑏



∞



Definisi 2.2.4 (Wattimanela, 2005) Jika 𝑋 adalah variabel random diskrit dengan distribusi peluang 𝑓(𝑥) maka variansi dari 𝑋 dinotasikan dengan 𝜎 2 atau 𝑉𝑎𝑟 (𝑋), adalah 𝜎 2 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸([𝑋 − 𝜇]2 ) BUKTI 𝜎 2 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸([𝑋 − 𝜇]2 ) = ∑(𝑥 − 𝜇 )2 𝑓(𝑥) 𝑥



= ∑(𝑥 2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇 2 )𝑓(𝑥) 𝑥



= ∑ 𝑥 2 𝑓(𝑥) − ∑ 2𝜇𝑥 𝑓(𝑥) + ∑ 𝜇 2 𝑓(𝑥) 𝑥



𝑥



𝑥



= ∑ 𝑥 2 𝑓(𝑥) − 2𝜇 ∑ 𝑥 𝑓(𝑥) + 𝜇 2 ∑ 𝑓(𝑥) 𝑥



𝑥



𝑥



= 𝐸(𝑥 2 ) − 2𝜇𝐸(𝑋) + 𝜇 2 (1) = 𝐸(𝑥 2 ) − 2𝜇(𝜇) + 𝜇 2 = 𝐸(𝑥 2 ) − 𝜇 2 ,



(2.3)



Standar deviasi 𝑋 adalah 𝜎 = √𝜎 2 Definisi 2.2.5 (Wattimanela, 2005) Jika 𝑋 adalah suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas peluang 𝑓(𝑥), maka variansi dari 𝑋 yang dinotasikan dengan 𝜎 2 adalah 𝜎 2 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2



BUKTI 𝜎 2 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸([𝑋 − 𝜇]2 ) −∞



= ∫ (𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞



= ∫ (𝑥 2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇 2 )𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞



−∞



−∞



2



= ∫ 𝑥 𝑥(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 2𝜇𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝜇 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞



∞



−∞



∞ −∞



−∞



= ∫ 𝑥 2 𝑥(𝑥)𝑑𝑥 − 2𝜇 ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝜇 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞



∞



∞



= 𝐸(𝑋 2 ) − 2𝜇𝐸[𝑋] + 𝜇 2 (1) = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇 2



(2.4)



Standar deviasi 𝑋 adalah 𝜎 = √𝜎 2 Teorema 2.2.2 (Spiegel, Schiller, dan Srinivasan, 2004) Jika 𝑋 adalah variabel random dengan fungsi densitas peluang 𝑓(𝑥), maka variansi dari 𝑋 dinotasikan 𝜎 2 adalah 𝜎 2 = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2 = 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2 Dimana 𝜇 = 𝐸(𝑋) BUKTI 𝜎 2 = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2 = 𝐸(𝑋 2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇 2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 2𝜇𝐸(𝑋) + 𝜇 2



= 𝐸(𝑋 2 ) − 2𝜇𝜇 + 𝜇 2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇 2 = 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2 Teorema 2.2.3 (Bain dan Engelhardt, 1992) Misalkan 𝑋 variabel random dan 𝑎 dan 𝑏 adalah konstanta, maka 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2 𝑉𝑎𝑟(𝑋) BUKTI 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝐸[(𝑎𝑥 + 𝑏)2 ] − (𝐸[𝑎𝑥 + 𝑏])2 = 𝐸[𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎𝑥𝑏 + 𝑏 2 ] − ([𝐸[𝑎𝑥] + 𝐸[𝑏]]2 ) = 𝐸[𝑎2 𝑥 2 ] + 𝐸[2𝑎𝑥𝑏] + 𝐸[𝑏 2 ] − (𝑎𝐸[𝑥] + 𝑏)2 = 𝑎2 [𝑥 2 ] + 2𝑎𝑏𝐸[𝑋] + 𝑏 2 − [𝑎2 (𝐸[𝑋])2 + 2𝑎𝑏𝐸(𝑋) + 𝑏 2 = 𝑎2 𝐸[𝑥 2 ] + 2𝑎𝑏𝐸[𝑋] + 𝑏 2 − [𝑎2 (𝐸[𝑋])2 + 2𝑎𝑏𝐸(𝑋) + 𝑏 2 = 𝑎2 𝐸[𝑥 2 ] − 𝑎2 (𝐸[𝑋])2 = 𝑎2 [𝐸(𝑥 2 ) − (𝐸[𝑋])2 = 𝑎2 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) 2.2.3 Fungsi Densitas Peluang Bersama Definisi 2.2.6 (Bain dan Engelhardt, 1992) Fungsi densitas probabilitas bersama dari k-dimensi variabel random diskrit 𝑋 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 ) didefinisikan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑃[(𝑋1 ∶ 𝑥1 , 𝑋2 ∶ 𝑥2 , … , 𝑋𝑘 ∶ 𝑥𝑘 ]



(2.5)



Untuk semua nilai 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) dari 𝑋 Definisi 2.2.7 (Bain dan Engelhardt, 1992) Sebuak k-dimensi nilai vektor random 𝑋 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 ) kontinu dengan fungsi densitas bersama 𝑓 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ), maka fungsi densitas komulatifnya dapat ditulis 𝑥1



𝑥𝑘



𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = ∫ … ∫ 𝑓(𝑡1 , … , 𝑡𝑘 )𝑑𝑡1 , … , 𝑑𝑡𝑘 −∞



(2.6)



−∞



Untuk semua 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) 2.2.4 Fungsi Densitas Peluang Marginal Definisi 2.2.8 (Bain dan Engelhardt, 1992) Jika pasangan (𝑋1 , 𝑋2 ) adalah variabel random diskrit yang mempunyai fungsi densitas probabilitas bersama 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ), maka fungsi densitas probabilitas marginal untuk 𝑋1 dan 𝑋2 adalah 𝑓1 (𝑥1 ) = ∑ 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 )



(2.7)



𝑥2



𝑓2 (𝑥2 ) = ∑ 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 )



(2.8)



𝑥1



Jika pasangan (𝑋1 , 𝑋2 ) adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi densitas probabilitas bersama 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ), maka fungsi densitas probabilitas marginal untuk 𝑋1 dan 𝑋2 adalah ∞



𝑓1 (𝑥1 ) = ∫ 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) 𝑑𝑥2 −∞



(2.9)



∞



𝑓2 (𝑥2 ) = ∫ 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) 𝑑𝑥1



(2.10)



−∞



2.2.6 Fungsi Gamma Definisi 2.2.9 (Soehardjo, 1985 dalam Ade Chandra, 2011) Fungsi Gamma didefinisikan oleh ∞



Γ(𝑛) = ∫0 𝑥 𝑛−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥



(2.11)



Untuk 𝑛 > 0, 𝑛 pecahan negatif 𝑛 bukan bilangan bulat negatif. Teorema 2.2.4 (Soehardjo, 1985 dalam Ade Chandra, 2011) Sifat-sifat fungsi Gamma antara lain : Γ(𝑛)



a. Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)Γ(𝑛 − 1) atau Γ(𝑛 − 1) = (𝑛−1)



(2.12)



𝑛 > 1 , 𝑛 pecahan negatif 𝑛 bukan bilangan bulat negative b. Τ(𝑛) = (𝑛 − 1)! 1



c. Γ (2) = √𝜋



(2.13) (2.14)



2.2.7 Distribusi Uniform Definisi 2.2.10 (Berger, 1990) Distribusi uniform kontinu memiliki sebarang probabilitas yang sama pasda seluruh interval [𝑝, 𝑞], dengan densitas 1 jika 𝑥𝜖[𝑝, 𝑞] 𝑓(𝑥|𝑝, 𝑞) = {𝑞 − 𝑝 0, yang lain 𝑞



Sehingga ∫𝑝 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1



(2.15)



2.2.8 Distribusi Beta Definisi 2.2.11 (Spiegel, Schiller dan Srinivasan, 2004) Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi beta dangan parameter 𝑎 dan 𝑏, jika fungsi kepadatannya adalah 1 𝑥 𝑎−1 (1 − 𝑥)𝑏−1 0 < 𝑥 < 1 𝑓(𝑥) = {𝐵(𝑎, 𝑏) 0 yang lain



(2.16)



Dimana 𝐵(𝑎, 𝑏) merupakan fungsi beta yang didefinisikan sebagai 1



𝐵(𝑎, 𝑏) = ∫ 𝑥 𝑎−1 (1 − 𝑥)𝑏−1 𝑑𝑥



𝑎 > 0, 𝑏 > 0.



(2.17)



0



2.2.8 Distribusi Binomial Definisi 2.2.12 (Walpole dan Myers, 1995) Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha dan tiap usaha dengan dua kemungkinan yang diberi nama sukses dan gagal, percobaan tersebut dinamakan percobaan binomial jika : 1. Percobaan terdiri atas n yang berulang 2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal 3. Peluang sukses dinyatakan dengan 𝜃, tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha yang berikutnya 4. Tiap usaha bebas dari usaha yang lain Distribusi probabilitas variabel binomial X disebut distribusi binomial dan dinyatakan dengan Binomial (𝑥; 𝑛, 𝜃) karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan probabilitas sukses dalam usaha (𝜃) dan gagal dengan probabilitas



(1 − 𝜃). Maka distribusi probabilitas variabel random Binomial X yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas ialah 𝑛 𝐵𝑖𝑛(𝑥; 𝑛, 𝜃) = ( ) 𝜃 𝑥 − 𝜃 𝑥 , 𝑥



𝑥 = 1,2, … , 𝑛



(2.18)



Teorema 2.2.5 Distribusi Binomial (𝑥; 𝑛, 𝜃) mempunyai mean dan variansi 𝜇 = 𝑛𝜃 dan 𝜎 2 = 𝑛𝜃(1 − 𝜃) 2.2.9 Teorema Bayes Definisi 2.2.13 (Soejoeti dan Soebanar, 1988) Misal S adalah ruang sampel dari suatu eksperimen dan 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑘 adalah peristiwa-peristiwa di dalam S sedemikian sehingga 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑘 saling asing dan ⋃𝑘𝑖 𝐴𝑘 = 𝑆 dikatakan bahwa 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑘 membentuk partisi di dalam S. 2.2.10 Distribusi Prior Dalam inferensi bayes untuk kasus binomial, parameter 𝜃 diperlukan sebagai variabel, maka akan mempunyai nilai dalam sebuah domain dengan densitas 𝑓(𝜃), dan densitas inilsh ysng dinamakan sebagai distribusi prior dari 𝜃, dengan adanya infofmasi prior ini maka akan kombinasikan dengan kata sampel yang digunakan dalam membentuk posterior. Prior merupakan bentuk distribusi frequency yang merupakan representasi objektif pada suatu parameter yang lebih rasional untuk dipercayai, atau prior merupakan suatu representasi subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah parameter menurut penilaiannya sendiri. Sehingga permasalahan pokok agar prior dapat



interpretatif adalah bagaimana memilih distribusi prior untuk suatu parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan yang ada. 2.2.9 Distribusi Posterior Definisi 2.2.14 (Soejoeti dan Soebanar, 1988) Distribusi posterior adalah fungsi densitas bersyarat 𝜃 jika diketahui nilai observasi x ini dapat ditulis sebagai :



𝑓(𝜃|𝑥) =



𝑓(𝜃, 𝑥) 𝑓(𝑥)



(2.19)



Apabila 𝜃 kontinu, distribusi prior dan posterior 𝜃 dapat disajikan dengan fungsi densitas. Fungsi densitas bersyarat satu variabel random jika diketahui nilai variabel random kedua hanyalah fungsi kepadatan bersama dua variabel random itu dibagi dengan fungsi densitas marginal variabel random kedua. Tetapi fungsi densitas bersama 𝑓(𝜃, 𝑥) dan fungsi densitas marginal 𝑓(𝑥) pada umumnya tidak diketahui, hanya distribusi prior dan fungsi likelihood yang biasanya dinyatakan. Fungsi densitas bersama yang diperlukan dapat ditulis dalam bentuk distribusi prior dan fungsi likelihood sebagai berikut 𝑓(𝜃, 𝑥) = 𝑓(𝜃|𝑥)𝑓(𝜃)



(2.20)



Dimana 𝑓(𝜃|𝑥) merupakan fungsi likelihood dan 𝑓(𝜃) merupakan fungsi densitas distribusi prior. Selanjutnya fungsi densitas marginal dapat dinyatakan sebagai berikut ∞



∞



𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝜃, 𝑥)𝑑𝜃 = ∫ 𝑓(𝜃) 𝑓(𝜃, 𝑥)𝑑𝜃 −∞



−∞



(2.21)



Sehingga dari persamaan (2.19), (2.20) dan (2.21), fungsi densitas posterior untuk variabel random kontinu dapat ditulis sebagai



𝑓(𝜃|𝑥) =



𝑓(𝜃)𝑓(𝜃|𝑥) ∞ ∫−∞ 𝑓(𝜃)𝑓(𝜃|𝑥)𝑑𝜃



(2.22)



Distribusi posterior dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi interval dari parameter yang tidak diketahui. 2.2.10 Metode Evaluasi Estimator Estimator yang telah diperoleh dengan metode pendekatan bayes dalam hal ini Prior Uniform dan prior Beta akan menghasilkan estimator yang berbeda. Estimator terbaik yang memenuhi sifat tertentu, diantaranya sifat Bias dan MSE. 2.2.11 Sifat-Sifat Estimator yang Baik Suatu penduga 𝛿 dikatakan baik jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut : 1. Tidak Bias Definisi 2.2.15 (Bain dan Engelhardt, 1992) Suatu estimator dikatakan tidak bias terhadap parameter 𝜃 jika 𝐸(𝛿) = 𝜃. Jadi penduga tersebut secara tepat menduga nilai dari parameternya. Sebaliknya, suatu penduga dikatakan bias bagi parameter jika nilai penduga tersebut tidak sama dengan nilai yang diduganya (parameternya), atau dapat ditulis: [𝑏𝑖𝑎𝑠(𝛿)] = 𝐸(𝛿) − 𝜃 Dengan 𝐸(𝛿) dikatakan kuadrat galat tengah, dan [𝛿 − 𝜃] disebut galat penduga.



2. Efisien Definisi 2.2.16 (Bain dan Engelhardt, 1992) Suatu estimator dikatakan efisien bagi parameternya apabila estimator tersebut memiliki variansi yang lebih kecil, dan apabila terdapat lebih dari satu estimator, estimator yang efisien adalah penduga yang memiliki variansi terkecil. 3. Konsisten Definisi 2.2.17 (Bain dan Engelhardt, 1992) Jika {𝛿𝑛 } merupakan estimator dari parameter 𝜃, estimator ini dikatakan konsisten dari 𝜃 jika untuk setiap 𝜀 > 0, lim 𝑃[|𝛿𝑛 − 𝜃| < 𝜀] = 1



𝑛→∞



untuk setiap 𝜃𝜖Ω



Suatu estimator dikatakan konsisten apabila memenuhi syarat sebagai berikut: a. Jika ukuran sampel semakin bertambah maka estimator akan mendekati parameternya, jika besarnya sampel menjadi tak berhingga maka estimator konsisten harus dapat memberi suatu dugaan titik yang sempurna terhadap parameternya, jadi 𝛿 merupakan estimator konsisten jika dan hanya jika 𝐸(𝛿 − 𝜃)2 → 0 jika 𝑛 → ~ b. Jika ukuran sampel bertambah tak berhingga maka distribusi sampling estimator akan mengecil. 2.2.12. Mean Square Eror Teorema 2.2.10 (Berger, 1990) Jika W merupakan sebuah estimator untuk 𝜃, maka Mean Square Eror (MSE) dari estimator W merupakan fungsi 𝐸(𝑊 − 𝜃)2 , MSE mengukur rataan kuadrat dari selisih estimator W dengan parameter 𝜃 yang didefinisikan sebagai



𝐸(𝑊 − 𝜃)2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + (𝐸(𝑊) − 𝜃)2 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑊) + (𝑏𝑖𝑎𝑠 (𝑊))2 Bukti Persamaan 2.2.13 𝑀𝑆𝐸(𝑊) = 𝐸(𝑊 − 𝜃)2 = 𝐸(𝑊 − 𝐸(𝑊) − 𝐸(𝑊) − 𝜃)2 = 𝐸((𝑊)2 + 2𝑊𝐸(𝑊) − (𝐸(𝑊))2 ) + 𝐸((𝐸(𝑊))2 − 2𝐸(𝑊)𝜃 − 𝜃 2 ) = (𝐸((𝑊)2 ) − 2𝐸 ((𝑊)(𝐸(𝑊))) + 𝐸(𝐸(𝑊)2 ) + ((𝐸(𝐸(𝑊)))2 − 2𝐸(𝐸(𝑊))𝐸(𝜃) + (𝐸(𝜃))2 ) = ((𝐸(𝑊)2 ) − 2 (𝐸(𝑊)𝐸(𝐸(𝑊))) + 𝐸((𝑊))2 ) + (((𝐸(𝑊)))2 − 2(𝐸(𝑊))(𝜃) + (𝜃)2 ) = ((𝐸(𝑊)2 ) − 2(𝐸(𝑊))(𝐸(𝑊)) + (𝐸(𝑊))2 ) + (𝑏𝑖𝑎𝑠(𝑊))2 = ((𝐸(𝑊)2 ) − 2(𝐸(𝑊))2 + (𝐸(𝑊))2 ) + (𝑏𝑖𝑎𝑠(𝑊))2 = (𝐸(𝑊)2 − (𝐸(𝑊))2 ) + (𝑏𝑖𝑎𝑠(𝑊))2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑊) + (𝑏𝑖𝑎𝑠(𝑊))2



(2.23)



2 KESIMPULAN a) Distribusi sampel yang digunakan adalah distribusi binomial dan prior yang digunakan adalah prior uniform dan prior beta. b) Dari kedua prior yang digunakan akan ditentukan nilai mean square eror (MSE) terkecil dan dianggap sebagai hasil terbaik.



DAFTAR PUSTAKA Bain, L. J, 1992. Introduction to Probability and Mathematical Satistics. PWS-KENT Publishing Company Bain, L. J dan Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Second Edition . Duxbury Press. California Berger, C. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove. New York Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. A John Wiley & Sons. Inc. America Candra, Ade. 2011. Inferensi Statistik Dari Distribusi Binomial Dengan Metode Bayes Menggunakan Prior Konjugat. Prog. Studi Statistika FMIPA UNDIP. Semarang Lokollo, P, D. 2012. Estimator Bayes Distribusi Binomial dengan Prior Beta. Prog. Studi Matematika FMIPA UNPATTI. Ambon Mustafid. 2003. Statistika Elementer. Universitas Diponegoro. Semarang Soejoeti, Z dan Soebanar .1988. Inferensi Bayesian. Karunika Universitas Terbuka. Jakarta Spiegel, M.R, Schiller, J.J dan Srinivasan, R.A. 2004. Probabilitas dan Statistik. Alih Bahasa Oleh Wiwid, K dan Irzam H. Jakarta. Erlangga Walpole, R. E dan Myers, R.H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi ke-4. Alih Bahasa oleh Sembiring, R.K. Penerbit. ITB Bandung. Wattimanela, H.J. 2005. Buku Ajar Statistika Matematika I. Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Pattimura. Ambon