Handout Mekanika 2013 (I Made Padri) [PDF]

Citation preview

HANDOUT



MEKANIKA Disusun oleh I Made Padri



JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM



UNIERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2013



MATERI PERKULIAHAN MEKANIKA FI.342



KINEMATIKA PARTIKEL



KERANGKA ACUAN NON INERSIAL



DINAMIKA PARTIKEL



SISTEM PARTIKEL



GERAK HARMONIK



ROTASI BENDA TEGAR



GAYA SENTRAL



METODE LAGRANGIAN



I Made Padri



KINEMATIKA PARTIKEL 



APA YANG DIMAKSUD DENGAN KINEMATIKA PARTIKEL ?







KAPAN SUATU PARTIKEL DIKATAKAN BERGERAK ?







APA PERBEDAAN JARAK, PERPINDAHAN, LAJU, KECEPATAN DAN PERCEPATAN?







BAGAIMANA CARA MENYATAKAN VEKTOR POSISI, KECEPATAN DAN PERCEPATAN DALAM KOORDINAT KARTESIAN?







BAGAIMANA CARA MENURUNKAN PERSAMAAN GERAK PARTIKEL BERDAS ASARKAN KONSEP KECEPATAN DAN PERCEPATAN ?







APA PERBEDA PERCEPATAN TANGENSIAL DAN PERCEPATAN NORMAL ?







BAGAIMANA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL BERDASARKAN KONSEP PERCEPATAN TANGENSIAL DAN PERCEPATAN NORMAL?







BAGAIMANA KEADAAN VEKTOR KECEPATAN DAN PERCEPATAN DARI BMACAM-MACAM GERAK PARTIKEL?







BAGAIMANA CARA MENYATAKAN VEKTOR POSISI, KECEPATAN DAN PERCEPATAN DALAM KOORDINAT POLAR? I Made Padri



POSISI KECEPATAN DAN LAJU



Posisi pada saat t1 dan t2



Z



    r  r2  r1 Perpindahan



z2



v1



z1



s



A



Unit vektor i, j,k tetap



B



r



t1



r1



t2



r2



Lintasan



k



i



O y1



 ˆ r2  i x 2  ˆjy 2  kˆ z 2



 ˆ r1  i x1  ˆjy1  kˆ z1



x1



  r  ˆi ( x 2  x1 )  ˆj( y 2  y1 )  kˆ (z 2  z1 )     r ( r2  r1 ) v   v2 t ( t 2  t1 ) v Kecepatan rata-rata    Δr dr  v  limit   r Δt 0 Δt x2 dt X



  ˆ ˆ z   ˆjy  k v  r  i x



j



Kecepatan sesaat



∆s = Jarak



y2



Y I Made Padri



s v laju rata-rata t



v  lim it t 0



s ds  laju sesaat t dt



PERCEPATAN DAN PERLAJUAN Z v1



z2



    v  v1 v a 2  t 2  t1 t



v



Percepatan rata-rata



v2



z1



A



dalam selang waktu (t2-t1)



v1 t1



r1



a2



B



a1



   v dv  a  limit   v t 0 t dt



t2



Percepatan sesaat



v2



   dr v  r dt



r2



k



i



O y1



x1



x2



j



y2



Y I Made Padri



BESARNYA PERCEPATAN DISEBUT PERLAJUAN



X



  d  dr  d 2r d 2 x d 2 y d 2z a    2 i 2  j 2 k 2 dt  dt  dt dt dt dt    d r dx dy dz a  v  i  j k dt dt dt dt



 ˆ ˆz a  ix  ˆjy  k



D I F R E N S I A S I



TOLONG !



 r (t)



   r  r0   v dt



 .   dr vr  dt



   v  v 0   a dt



 2 ..    d r dv  ar  v 2 dt dt



I N T E G R A S I



BAGAIMANA MENURUNKAN PERSAMAAN GERAK BERDASARKAN KONSEP KECEPATAN DAN PERCEPATAN I Made Padri



  dr v  dt



PERSAMAAN GERAK



  dv a dt   d v  a   dt



  d r  v   dt    r  r0   v dt



 vc GLB



 v0  0



 ˆz r0  k 0 Jatuh bebas



 ˆ z  k (z 0  12 gt 2 )



I Made Padri



 ac



 v (t)



   r  r0  vt



 ˆ (gt)   k z



   v  v 0   a dt



?



   v  v 0  at    1  2 r  r0  v 0 t  2 at   ˆ gt v  v0  k



   r  r0  v 0 t 



1 2



GLBB



 ˆg a  k



ˆ gt 2 k



 ˆz 0 v  k 0  ˆz r0  k 0 Dilempar vertikal ke atas



 a (t)



Gerak parabola



 ˆ (z  gt) z  k 0



 ˆ z  k (z 0  z 0 t  12 gt 2 )



PERCEPATAN TANGENSIAL DAN NORMAL 



 v  τˆ v



Lintasan



ρ



v’ an



a



n



∆s



ˆ aτ



Unit vektor τˆ dan vektor kecepatan v tidak tetap



v



ˆ 







Untuk ( Δt  0)



ˆ dτ ˆ, n dψ



ˆ 







ˆ ˆ τ ˆ Δτ



ds ds ρ  v dan dψ dt



ˆ ˆ   dψ   ds  dτ  dτ v ˆ    n   ds   dt  dψ dt ρ    



 d( τˆ v)  dv  a dt dt



 ˆ ˆv   v dτ a τ dt  v2  n ˆ ˆ v aτ ρ Percepatan tangensial (a) Percepatan normal (an)



BAGAIMANA KOMENTAR ANDA TENTANG ARAH PERCEPATAN TERSEBUT ?



I Made Padri



MENGANALISIS PERCEPATAN GERAK PARTIKEL



A P A K A H A R T I N Y A J I K A I Made Padri



Resultan



  a τdan a nkonstan



   dv v2 a  a τ  a N  τˆ  nˆ dt R



GERAK PARABOLA



R konstan, v berubah GERAK MELINGKAR DENGAN LAJU BERUBAH



R konstan, v konstan GERAK MELINGKAR BERATURAN



R tak hingga, v berubah GERAK LURUS DENGAN LAJU BERUBAH



R tak hingga, v konstan GERAK LURUS BERATURAN



Lampiran-1



No 1.



2.



JENIS GERAK



PERSAMAAN VEKTOR



MELENGKUNG



 dv v2 ˆ a  τˆ n  Berubah dt R



PARABOLA



 dv v2 ˆ ˆ aτ n  konstan dt R



ˆ v  v0  kat



PERSAMAAN SEKALAR



a x  0; a y  0; a z  konstan



vx  v0 X



v y  v0 y vz  v0 y  at    r  r0  v 0 t  12 kˆ at 2



x  x 0  v0x t y  y0  v0 y t



I Made Padri



z  z 0  v 0 z t  12 at 2



Lampiran-3



No 3.



JENIS GERAK GLBB



PERSAMAAN VEKTOR



PERSAMAAN SEKALAR



 aN  0



aN  0



  dv a τ  a  τˆ dt



a τ  a  konstan



   v  v 0  at



v x  v0x  a x t



v y  v0 y  a y t v z  v0z  a z t    r  r0  v 0 t 



I Made Padri



1 2



 at 2



x  x 0  v0x t 



1 2



axt2



y  y0  v0 y t 



1 2



a yt2



z  z0  v0z t 



1 2



azt2



Lampiran-4



No



JENIS GERAK JATUH BEBAS



PERSAMAAN VEKTOR



ˆ v   k(gt)  ˆ r  k (z 0 



VERTIKAL KE ATAS



4.



GLB



PERSAMAAN SEKALAR



vz  gt 1 2



gt 2 )



z  z 0  12 gt 2



ˆ v  k(z 0  gt)



vz  v z0  gt



 ˆ r  k (z 0  z 0 t  12 gt 2 )



z  z 0  v z0 t  12 gt 2



 aN  0



aN  0



  a τ  0  v  konstan



a τ  0  v  konstan



   r  r0  vt



x  x 0  vx t



y  y0  v y t I Made Padri



z  z0  vz t



Lampiran-2



No 5.



JENIS GERAK GMBB



PERSAMAAN VEKTOR  dv a τ  τˆ dt



aτ 



v   r



v  R  v  berubah   berubah R  konstan a τ  R    berubah



a   r



6.



GMB



I Made Padri



PERSAMAAN SEKALAR dv  konstan dt



  v2 ˆ a N  a sp  n R



a sp



 aτ  0



aτ  0



v   r



v  R  v  konstan   konstan R  konstan 0



  v2 ˆ a N  a sp  n R



a sp



v2   berubah R



v2   konstan R



KOORDINAT POLAR DUA DIMENSI Y



eˆ 



ˆr e



ˆ r  ˆi cos θ  ˆj sin θ e ˆ θ  ˆi sin θ  ˆj cos θ e



r sin θ



r ˆj



θ dan unit vektor eˆ , eˆ tidak tetap θ r



θ ˆ i



 ˆr POSISI : r  re



K =X



r cos θ



 ˆ r  ir cos θ  ˆjr sin θ



KECEPATAN :



 ˆi cos θ  ˆj sin θ) ˆ r) d(re d( ˆ r  rθ e ˆ  re ˆr  r r   re θ dt dt PERCEPATAN :  d(re ˆ r  rθ e ˆ θ) ˆθ ˆr de de     r      ˆ ˆ  re r  r  (rθ  r θ )e θ  rθ dt dt dt  2 )e  )e r  (r-rθ θ ˆ r  (rθ  2r ˆθ



I Made Padri



KOORDINAT SILINDER



Z



ez



z



e



R



Unit vektor eˆ z  kˆ tetap eˆ  , eˆ R , θ dan  tidak tetap



eR



r ˆ   ˆi sin  ˆjcos e ˆR  ˆ e i cos  ˆjsin



POSISI



:



KECEPATAN :



o x







y







X



 ˆ R  Ze ˆz r  Re  ˆ ˆ rcosθ r  i r sinθ cos  ˆj r sinθ sin  k



   v   r  ..... ?



Buktikan bahwa :



 )eˆ  (R  )eˆ  )eˆ   (Z r  (R R z 



PERCEPATAN : a  r  ..... ? Buktikan bahwa :   - R   e r  (R  2 )e ˆ R  (2R   R  )e ˆ  Z ˆz I Made Padri



Y



KOORDINAT BOLA



Z



Unit vektor eˆ R , eˆ  , eˆ θ



eR



z



sudut  dan θ tidak tetap



e



ˆ cosθ ˆ R  i sinθ cos  ˆj sinθ sin  k e ˆ sin  e  ˆi cos  cos   ˆj cos  sin   k 



ˆ   ˆi sin  ˆj cos  e



POSISI : 



ˆR r  re



r



o x







e y







Y



X



 ˆ ˆ r cosθ r  ir sinθ cos  ˆjr sinθ sin  k KECEPATAN :



    .....? v  r 



Buktikan bahwa :



 sinθ  e ˆ R r  e ˆ  r ˆ θ rθ r  e



  a   r  .....? Buktikan bahwa : : PERCEPATAN  2 )e   r r  (r - r  2sin 2θ  rθ ˆ R  (rθ  2rθ  2sinθ cosθ )e ˆθ   sinθ  2r  sinθ  2rθ  cosθ )e ˆ  (r I Made Padri



Soal-soal untuk latihan 1.



Buktikan bahwa pernyataan kecepatan dan percepatan dalam a. Koordinat polar dua dimensi adalah :  e ˆr  r θ ˆθ v  r e  2) e ) e ˆ r  (r θ  2 r θ ˆθ a  (r  r θ



b. Koordinat silinder adalah :   e e ˆR  R  ˆφ  z e ˆz vR



   R     2) e  R  ) e ˆ R  (2 R ˆ   z e ˆz a  (R



c. Koordinat bola adalah :



 e  sin θ e ˆr  r  ˆ  r θ ˆθ v  r e  2) e r  2 sin 2 θ  rθ  2 sin θ cos θ) e ˆ r  (r θ  2 r θ ˆθ a  (r  r    sin θ  2 r   sin θ  2 r   cos θ) e ˆ  (r 



2. Buktikan bahwa partikel yang bergerak dalam bidang Y = f(x) dengan x = f(t) memiliki jejari kelengkungan :



I Made Padri



[( 1  ( Y ) 3/2 ] ρ Y



 2 Y  ) 3/2 (X atau ρ   Y   Y  X  X



3. Sebuah partikel bergerak dengan r = dan =2t3 dalam SI. Tentukan besar dan arah kecepatan serta percepatan partikel pada saat = 0,5 radian terhadap sumbu X. 4. Gerak sebuah partikel dapat dilukiskan seperti grafik berikut : Y



Y



A



X



2



100



B 10



X



Dari A ke B laju tangensial partikel tetap. Jika VA = 10 m/s dan dalam waktu 10 detik tiba di B dengan laju VB = 50 m/s. Tentukan percepatan partikel pada saat di B.



5. Sebuah partikel bergerak dengan lintasan Y = X2 dan X = 2t. Tentukan percepatan tangensial dan percepatan normal partikel tersebut. 6. Sebuah partikel bergerak pada bidang datar (X, Y) dengan kecepatan  v(t)  5 ˆi  (12  10 t) ˆj Jika pada t = 0 partikel di titik (0,0), tentukan jari - jari kelengkungan lintasannya pada saat Y = 7,2 I Made Padri



TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 1 BUKU FOWLES :



Halaman : 34 Soal nomor : 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 23. Soal latihan : 1, 2, 3, 4, 5, 6



I Made Padri



DINAMIKA PARTIKEL 



APA YANG DIMAKSUD DENGAN DINAMIKA PARTIKEL ?







KONSEP DAN PRINSIP APAKAH YANG TERDAPAT DALAM HUKUM-HUKUM NEWTON TENTANG GERAK ?







APA PERBEDAAN TEOREMA MOMENTUM DAN TEOREMA ENERGI ?







APA YANG DIMAKSUD GAYA FUNGSI POSISI, GAYA FUNGSI WAKTU DAN GAYA FUNGSI KECEPATAN ? BERIKAN CONTOHNYA.







APA PERBEDAAN GAYA KONSERVATIF DAN GAYA DESIPATIF ?







APA PERBEDAAN HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM DAN HUKUM KEKEKALAN ENERGI MEKANIK ?







BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL DALAM MEDAN KONSERVATIF ?







BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL YANG MENGALAMI GAYA UNGSI WAKTU ?







BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL YANG MENGALAMI GAYA FUNGSI KECEPATAN ? I Made Padri



HUKUM-HUKUM NEWTON TENTANG GERAK HUKUM I NEWTON SIFAT KELEMBAMAN



PARTIKEL YANG TIDAK MENGALAMI RESULTAN GAYA, BERADA DALAM KEADAAN DIAM ATAU BERGERAK LURUS BERATURAN



KERANGKA ACUAN INERSIAL



HUKUM II NEWTON



MASSA KELEMBAMAN



LAJU PERUBAHAN MOMENTUM SAMA DENGAN RESULTAN GAYA YANG BEKERJA PADA PARTIKEL



SYARAT KESETIMBANGAN



MOMENTUM DAN GAYA HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM



HUKUM III NEWTON GAYA AKSI DAN REAKSI SELALU SAMA BESAR DAN BERLAWANAN ARAH



I Made Padri



GAYA SEBAGAI HASIL INTERAKSI GAYA SELALU BERPASANGAN



  dv A dv B  μ BA dt dt



I Made Padri



 BA



mB  mA



Perbandingan massa inersia



  p  mv



  dp A dp B   dt dt



Hukum II Newton



  dp F dt



 F



A



  F



B



  dp  0  p  c  dv m 0 dt



B Sistem tertutup



  d( mv A ) d( mv B )  dt dt



Momentum linier



 F0



A



 dv  0 Hukum I Newton



 p



A



 p



B



C



Hukum Kekekalan Momentum linier



Hukum III Newton



 v  0 (diam)  v  C (GLB)



   F(t) dt  p Teorema Momentum linier



  1 2   r  2 r t  r0 t  r0



 dv   F(v)



 dt



dm



   r r t  r0



r  c



 FC



  dp F dt



    d( r  p) r F  dt



  dv Fm dt



  p  mv



  dL N dt



   N(t) dt  L I Made Padri



Teorema Momentum sudut



    dv F  v  mv  dt    dr  dv F  mv  dt dt



   F(r)  d r  T Teorema usaha dan Energi



GAYA FUNGSI POSISI



I Made Padri



  W   F. d r  T



  c F  Fk (r) r   Wk   Fk (r) . d r rr r     Wk   Fk (r) . d r   Fk (r) . d r



    F k (r) . d r  F d . dr   T  



2



s 1



    V (r)   Fd. d r  T   F d . d r  T  V (r) 



2



r1



   F  Fk (r)  Fd



rs



  V (r)    Fk (r) . d r r



Wd   E



rs



 V(r)  T



WK  V(r1 )  V(r2 )   V(r)



  Fk (r) . d r   d V(r)   Fk (r)    V(r)      Fk (r)  0  Fk (r) . d r  0 c



T  V(r)  0



ETVC     0



      F . d r   n (  F) ds c



s



KASUS SATU DIMENSI



I Made Padri



 F( x )  mx



  F ( x ) . d x   V ( x )  k x0



x 



2 E  V( x ) m



V(x)



dt 



E4



2 E  V( x ) m



dx  dt



m 2



dx {E  V ( x )



E3 E2 E1



x4



X



x3’ x2, x1



x2



VE



x0



x



  F( x )  Fk



x 



   F( x ). dx  T x



x3,,



x3



E



1 2



 2  V( x ) mx



Penafsiran secara kualitatif bergantung pada V(x) ≥ E ≥ V(x)



E1 E2 E3 E4



Dengan energi : partikel berada di x1 ada diantara x2, dan x2 ada diantara x3, dan x3 partikel berada di x4



Di x1 keadaannya setimbang stabil Di x3 keadaannya setimbang labil Di x4 keadaannya setimbang netral x2,, x2,, x3, x3, dan x3,, titik balik



ˆi     x F(x)  x - kx



CONTOH PROBLEM



1



  F(x)   k X



ˆj  y 0



ˆ k  0 z 0



GAYA KONSERVATIF d V(x) dx 1 V( x )  kx 2 2



 kx  



t



m 2



 dt  to



dx {E  V ( x ) t0 = 0



Misalkan :



sin θ  x



k 2E



kx 2 sin θ  2E 2



t



m 2



1 2



 2E  x   sinθ  k  1 2



I Made Padri



 2E  dx    cosθ dθ  k 



t



m 2











0



x



 x0



dx



E 



1 2



kx







1 2 2



1 2



 2kE  cos θ dθ



E 



1 2



1  sin θ 2



1 2



Lanjutan







I Made Padri



k m







t



x



2E sin(t  0 ) k



x  ..... ? x  ..... ? Amplitudo



A



2E k



1 dθ   0



θ  θ 0  t



x  A sin t  θ 0  Gerak harmonik



2   t  t     



x  A sint  θ 0 



Energi



1 E  kA 2 2



T  ( 2 / ) dan   ( 2 / T) Periode



Frekuensi



2



 GMm ˆ F( r )   k 2 r



R = jari-jari bumi z = tinggi dari permukaan bumi



GMm R2 F( z )     mg 2 r R  z 2



r  R  z  dan g  (G M / R 2 ) Z



R2 Z  mg R  z 2 dz  T 0



  F ( z )  d z  T 



 1 1  1 1   mz 2  mz 0 2  mgR 2   2  R  z R  z0  2



Titik balik



  0  z mak z



Vertkal ke atas



z 0  0  z 0



z  2  z  0 2  2gz z 1   R 



z mak 



1



I Made Padri



  z  1   2gR  2 0



   



1



zmak  



z 0  2gr



0  z e z



z R



z 2  z 02  2gz



 z 2g 2 0



z mak



 02 z  2g



2 z e  2gR



e  z



2gR



Laju Escape



GAYA FUNGSI WAKTU Dari grafik di samping, tentukan persamaan gaya untuk setiap selang waktu sebagai berikut : a. t1 > t > 0 b. 2t1 > t > t1 c. 3t1 > t > 2t1



CONTOH PROBLEM



1



F 2F0



α



F0



 t1



2t1



b. Pada 2t1 > t > t1 b = tanα = (F0/t1) F(t1) = F0 c. Pada 3t1 > t > 2t1 d = tan  = (-2F0/t1) F(2t1) = 2F0



t 3t1



a. Pada t1 > t > 0 F( t )  a  bt



F( t )  F0  F0 F( t )    t  1



  t 



 2F0 F( t )  6F0    t1



  t 



a=0



F( t )  c  dt



c = 6F0



I Made Padri



Sebuah partikel massa (m) bergerak dengan gaya seperti grafik. Jika mula-mula partikel dalam keadaan diam, buktikan bahwa laju partikel pada saat 2t1 adalah (5F0t1/2m), dan jarak yang ditempuh dalam selang waktu 2t1 adalah (13F0t12/6m)



2



F



a. Pada t1 > t > 0



dx F0  m dt



2F0  x



t



0



0



   dx



  x



dx   x dt I Made Padri



F0 dt m



t



0



0



 dx   F0 t 2 x 2m



t t1



F0 t m



x



α



F0



 ( t1 )  x



2t1



F0 t1 m



F0 t dt m 2



F0 t1 x ( t1 )  2m



Lanjutan



F( t )  a  bt



b. Pada 2t1 > t > t1 F b  tan   0 t F( t1 )  F0 1



F0 t F( t )  t1



a  0  x



 dx Fm dt







  dx



F0 t1 m



 x



t



 t1



F0 t dt mt 1 t



F0 t1 F0 t  F0 t1 F0 t 2      m 2 mt 1  t 2m 2 mt 1 1 2



 ( 2 t1 ) x



 x



dx  dt



I Made Padri



F0 t1 F0 t 2  dx   ( 2m  2mt )dt t1 1 F t 2 x



01 2m







5F0 t1 2m



t



13F0 t1 x ( 2 t1 )  6m



2



GAYA FUNGSI KECEPATAN



  2 Fbvcv



v  1cm 1   Fbv



1



GERAK VERTIKAL DALAM FLUIDA



m z   mg  bz Ke bawah  dz z  dt



  z



v  1cm 1  2 Fcv



bt   mg  bz e m 0 mg  bz



dz dt



z



t



0



0



 dz   [z 0 e I Made Padri



 m dz  dt    mg  bz 0 z0  z



t



m mg  bz t ln b mg  bz 0



z  z 0



e



-



bt m



bt



mg  (1  e m ) b



bt



-



bt m



bt



mg  (1  e m ) dt b



]



b z  (  g   z 0 )e m m



bt



m m2 mgt z  ( z 0  2 g) (1  e m )  b b b



Untuk : t  0  z 0  0 Jatuh bebas



t



bt



mg  z (1  e m ) b



z   g e



-



bt m



   z



mg b



m b



Laju terminal 2



m g z (1  e 2 b



Deret Taylor :



e



x



bt m



mgt ) b m t b



x2  1  x   ..... 2! Karakteristik waktu



z  



1 1 bg 3 g t2  t  .......... ........ 2 6 m 2 z 1 g t 2



gb t  .......... .......... .......... . m



L



z   g



B



1 bg 2 z   g t  t  .......... .......... ........ 2 m



B



z   g 



I Made Padri



G



 gt z



t



m b



2



GERAK PROYEKTIL DALAM FLUIDA



  F   b v  m g kˆ



I Made Padri



GERAK PADA SUMBU X



 mx   bx







x    x 



b m



dx dx     dt   x    dt x 0 x 0  x  t  x 0 e x ln t x 0 x t dx - t dx γt  dx  x e dt x 0 e x    0 dt dt 0 0 0 x x 0 - t  t - γt x (1  e ) x e     x



 dx x  dt



t



0



 y 0 y



GERAK PADA SUMBU Y



 m y   b y



y    y 



e- γt



0 y -γ t y (1  e ) 



Lanjutan Deret Taylor :



ln (1  x)   x 



z 



Untuk



x



2



2







x



I Made Padri



3



3



.....



0 z 1 g 1 g 3 2 y y  y  .......... 2 3 0 0 0 y 2 y 3 y



y  1 y 0



Jarak dekat Gesekan kecil



Lintasan parabola



y  1 y 0



Jarak jauh Gesekan besar



Lintasan tidak parabola



Tanpa gesekan



Z



Asimtut vertikal Ada gesekan V0



Jarak dekat V0



Y



Lanjutan JARAK TERJAUH



Z=0



0 z 1 g 1  g 3 2 0 y mak  y  y mak  mak 2 3 y 0 2 y 3 y 0 0



y mak



 o z 0 8 y  o z 0 2 2y     ..... 2 g 3g



  Jika pada t  0  v  v 0 dan sudut elevasi α



y 0  v 0 cos 



z 0  v 0 sin 



2 2 2 y 0 z 0  2 v 0 sin cos  v 0 sin 2



v 0 sin 2 4 v 0 sin 2 sin      ......... 2 g 3 g 2



y mak I Made Padri



3



TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 2 BUKU FOWLES :



Halaman : 53 Soal nomor : 1, 2 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16 Halaman : 109 Soal nomor : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 16, 17



I Made Padri



GERAK HARMONIK 



APA YANG DIMAKSUD DENGAN GERAK HARMONIK ?







APA PERBEDAAN GERAK HARMONIK SEDERHANA, TEREDAM DAN TEREDAM TERPAKSA ?







BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK HARMONIK DENGAN GAYA PEMAKSA YANG TIDAK SINUSOEDAL ?







BAGAIMANA HASIL SUPERPOSISI GERAK HARMONIK DUA DIMENSI DAN TIGA DIMENSI ?







BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK HARMONIK DENGAN GAYA PULIH TIDAK LINIER ?







BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK PARTIKEL BERMUATAN DI DALAM MEDAN LISTRIK DAN MEDAN MAGNET ?



I Made Padri



  F  mx



GERAK HARMONIK SEDERHANA



0  ( mk )



x  ( mk ) x  0



 ? x x  ?



x  e qt 1 2



e qt (q 2  0 )  0 2



q    0   i 0



x ( t )  C  e i0 t  C  e  i0 t



e i0 t  cos  0 t  i sin  0 t e  i0 t  cos  0 t  i sin  0 t



x ( t )  C   C   cos 0 t  iC   iC  sin 0 t



x( t )  A cos  0 t  B sin  0 t



A  A cos 



B  A sin 



A



A B 2



2



1



0  ( k ) 2 m



  F  kx



 ? x   ? x



x ( t )  A cos0 t   



  arc tan (B/A)



1



1



m 2 τ 0  2 ( ) k



Gerak harmonik sederhana



f0



1 k 2  ( ) 2 m



I Made Padri



  F   kx



Lanjutan KONSERVATIF



V( x ) 



F( x )  



dV( x ) dX



 kX 



1 2 1 E  mX  kX 2 2 2



E = T + V(x) X 0



  X



 X  X mak



2E m



 X mak  



 dV ( x ) dX



 0 X



2E k 2  X m m



X = Xmak 0



Energi



2E k  X 2mak m m



E X mak  A  



T V(x) I Made Padri



A



1 kX 2 2



X 0



A



2E k



1 E kA 2 2



  F  mx



GERAK HARMONIK TEREDAM x 



xe



 ? X   ? X



qt



I Made Padri



    F  cx  kx



c k x  x0 m m







c 2m



1/ 2



k 0    m



x  2 x   0 2 x  0 q 2  2 q  0  0 2



q 2 e qt  2 qe qt  0 e qt  0 2



q12     (  2  0 )1/ 2 2



(  2  0 )  0



Xe



 t  (  2  0 2 ) 1/2 t



 t



A e 1



2



2



 A 2e



(  2  0 2 ) 1 / 2 t



?



?



X  A 1e q1t  A 2 e q 2 t



X  A1e



(  2  0 )  0



(  2  0 )  0



2



 t  (  2  0 2 ) 1 / 2 t



 A 2e



(  2  0 2 ) 1/2 t







X Over damped



t Fungsi Eksponensial



Lanjutan



(  2  0 )  0 2



x  2 x  0 2 x  0



 2  0



d     u  0  dt 



du  u    dt ln u   t  A



X Critically damped



t I Made Padri



2



q1  q 2   



d  d        x  0  dt   dt 



du   u dt



 2  0



2



x  2 x   2 x  0  d2 d 2   2     x  0 dt  dt 



q12    



X ( t )  e  t ( At  B)



u  x 



dx dt



u  Ae - t Ae  t  x 



dx dt



dx  t  A   x  e dt  



d A ( xe t ) dt



t A dt  x e  At  B  xe t



Lanjutan



q12    



 2  0



I Made Padri



2



(  2  0 )  0 2



1 2 2



d  ( 0   ) 2



q1     id



q 2     id



X ( t )  C  e q1 t  C  e q 2 t



X ( t )  C  e (   id ) t  C  e (   id ) t



X ( t )  e  t (C  e id t  C  e  id t ) X



x  Ae  t



X ( t )  e  t ( A 1 cos d t  B1 sin d t )



X ( t )  Ae  t cos (d t  ) t



Fungsi periodik dengan aplitudo semakin kecil secara eksponensial



1 E  kA 2 e  2 t 2



x   Ae



 t



E  E 0 e 2 t



Energinya mengecil secara eksponensial Dengan laju fraksional



1 dE d ln E   2  E dt dt



  F  mx



GERAK HARMONIK TEREDAM TERPAKSA



    F  cx  kx  F( t ) F  cx  kx  F cost



I Made Padri



F 2   2 x  2  (i) x   0 x  0 cos t m  cos t  i sint F 2   2 x  2  (i) x   0 x  0 e it m



e i t



 



2



0



0



e i  cos   i sin 







2



0







2



0



 2



 mFA  cos  0







0



2







2







2



 mA  2  cos    F  0 



x  Ae i ( t   )



 ? x



x  ?







F0 it e m F  2  2  (i) A  0 e i m



 2  2  (i) Ae i ( t   ) 



2











 2  2  (i) A 



F0 (cos   i sin) m mA 2 i  i sin F0 2



  ? dan A  ?



2  mA  2 ( 2 )   sin   F  0 



Lanjutan



 2    ()  arc tan  2 2   0   



( mA F0 ) sin  tan    2  mA 2 cos  0  2 F0



























m2A 2 2 2 2 2 sin   cos   1  4    0   2 F0 ( F0 m) ( F0 m) A ()   2 2 2 2 2 D() (0   )  4   2



2



dA  0 d



Solusi umum



X ( t )  Ae  t cos d t   



  r



A ()  A mak



A () cos[t  ()]



r  (0  2  2 ) 2



d  (0   2 ) 2



1 2



A mak 



1 2



r  (d   ) 2



I Made Padri



2



1 2



( F0 m) (0  r ) 2  4  2 r 2



2



A mak



2



( F0 m) F0   2 d cd



Lanjutan



I Made Padri



d  0



WEAK DAMPING



A mak



2  0



  0



( F0 m ) F0   2 0 c0



Dengan pendekatan :



0  2  (0  ) (0  ) 2



 20 (0  ) dan   0



A () 



A mak  (0  )   2



Jika :



  0  



0     2 A 2 ()  1 A mak 2



Faktor kualitas A (   0 ) Q A (  0)



1  r   2  r  



2



.







  2 



A



1. c  (1/2)m0 2. c  (1/4)m0



2



. 2



.



2



 Q 0 2



. .



.



0



1 .



.



2 0



.







Lanjutan



.



 2



1. c  (1/2)m0 2. c  (1/4)m0



1



. 2 .



. 0



.



2 . 0







2  tan   2 0   2



  0   2



0   2



  0 



STRONG DAMPING



2



I Made Padri



02  2



( F0 / m ) A ()  4 (0  4 )1 / 2



r  0



Periodik tidak sinusoedal



GERAK HARMONIK DENGAN GAYA PEMAKSA TIDAK SINUSOEDAL



 F( x )  cx  kx  F( t )



Deret Fourier  1 f ( t )  a 0   a n cos(nt )  b n sin( nt )  2 n 1 T 2



DENGAN :



2 a0  f ( t )dt T T 2



FUNGSI GENAP



f ( t )  f ( t )



T 2



an 



2 f ( t ) cos(nt) dt  T T 2 T 2



bn 



2 f ( t ) sin(nt) dt  T T 2



]



bn  0



FUNGSI GANJIL



n = 0, 1, 2, …



f (t )  f (t )



a0  0 an  0



F(t)



CONTOH



F( t )  F0



NT 



1 1 T  t  NT  T 2 2



N  0,  1,  2, ... F( t )  0 I Made Padri



YANG LAINNYA



T



t 0



T



Lanjutan an 



2 T



I Made Padri



T 2







F0 cos(nt)dt



 T 2 T 2



 sin(nt)  2 2sin( nT T ) a n  F0   F 0  T ( n  ) n    T 2



a0



SEHINGGA :



2  T



T 2







F0 dt  F0



 T 2



2T T



dan



bn  0



 T 2  T  F( t )  F0   sin   cos(t )    T   T



2 T  2 T     sin 2 cos 2  t    sin 3  cos 3  t  ......       2 T 3  T      DAN :



x ( t )   x n ( t )  A n cos(nt   n ) n



n



SUDUT FASE



AMPLITUDO



An 



( F0 m ) ( 2 n) sin( nT T) (a n m )  1 D n () 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 0  n  )  4  n 











 2 n   n  tan 1  2 2 2   n   0



   



GERAK HARMONIK (2-3) DIMENSI



  F  mr



  F  kr



my  k y y  0 y  ( k y m ) y  0



mx  k x x  0



x  ( k x m ) x  0 x  A x cos( x t  )



 x  ( k x m )1 / 2



y  A y cos( y t  )  y  ( k y m )1 / 2



mz  k z z  0



z  ( k z m ) z  0



z  A z cos(z t   ) z  ( k z m )1 / 2



Gerak partikel berupa lissajous dalam kotak berdimensi (2Ax, 2Ay, 2Az) dengan frekuensi yang sepadan yaitu : ( x n x )  ( y n y )  (z n z ) PERIODE :



( 2n x  x )  ( 2n y  y )  ( 2n z z )



ENERGI TOTAL :



E



1 1 mv 2  kr 2 2 2



v( x, y, z)  12 k x x 2  12 k y y 2  12 k z z 2 Jika frekuensinya tidak sepadan, maka lintasannya tidak tertutup. ENERGI POTENSIAL :



I Made Padri



I Made Padri



CONTOH GERAK HARMONIK ISOTROPIK DUA DIMENSI mx  kx my  ky



x  A x cos(t  ) y  A y cos(t  )



]



1 2



k   m      Beda fase



y  A y cos(t     )  A y cos(t  ) cos   sin(t  ) sin   x  A x cos(t  )



1 2



2   y x x  cos   1  2  sin   Ay Ax A y  



x2 2 cos  y2 2  xy   sin  2 2 Ax AxAy Ay



FUNGSI KUADRAT DALAM X,Y



ax 2  bxy  cy 2  dx  ey  f ( b 2  4ac)  0 ( b 2  4ac)  0 ( b 2  4ac)  0



Ax



ELIP PARABOLA HIPERBOLA



Ay



( b 2  4ac)   ( 2 sin  A x A y ) 2 < 0 DENGAN KEMIRINGAN



tan 2 



ELIP



ELIP



( X 2 A 2x )  ( Y 2 A 2y )  1



2 A x A y cos  A 2x  A 2y







 2



  0 atau  GARIS LURUS



y  ( A y A x ) x



F( x )  mx F( x )  kx   3 x 3 x 



 k x  3 x3 m m



0  ( k m)



GERAK HARMONIK DENGAN GAYA PULIH TIDAK LINIER 1 2



  ( 3 m )



x  02 x  x 3



x  ?



x  A cos t cos3 t 



3 4



cos t 



1 4



cos 3t



3 1  2 2 2  3       A A cos  t  A cos 3t  0   0 4 4  



*A=0 *



1 0 r  r0 r  r1 



r  r0



1 e r1  r0 1 e



0  0



1



r



A cos 



mk L2



0 L2 A e mk



d  ( L2



L2 m 1 r1  k (1  e)



π



r  r0



L2 m 1 ; r0  k (1  e) mk )



r1 r0



e=0



Perihelium (perigee)



Aphelium (apogee) I Made Padri



 k F  2 eˆ r r



d 2u mk  u  d 2 L2 mk u  A cos( -  0 )  2 L



HUKUM KEPLER I



e1



0



Lanjutan



 1  r x r 2    1  A r x mv 2m







t2



P2



∆r r+∆r



 dA 1   A  r x v dt 2   L C A 2m



A 



∆A A12



r



P  t



HUKUM KEPLER II 1



1



O



t1.2 



A1.2  A



b



t12  A 12



2m L



  ab



2m L



a



a 2 2m  L



ro



r1



b  1  e2 a 2a  r0  r1 



2L2 mk (1  e 2 )



1 e I Made Padri



2







2



L amk



2a 2 m  L  4 2 m  3 2    a   k   1 2



m   2  a2  k  HUKUM KEPLER III



1  e2 L2 amk



2  a 3



3



  ca



3 2



2  L2  du  2 1 E  u     V( u ) 2m  d  



L2 E 2m







dV( r ) dr k dV( r ) k v(r )    2  r r dr du d  1/ 2 2mku  2Em    u2   2 2 L  L 



 du  2  2   u   ku  d    



u  sin 1    c a



du a2  u2



0  



 2



1 2



1  (1  2E d ) cos 



d r 1  e cos I Made Padri



e  (1  2Ed )



F( r )  



  sin



sin(   2 )  cos 



d



r



ENERGI ORBIT



1 2



 ( uL2 / m)  k   2   0 2  k  2E ( L / m) 



1/ 2  km   2EL2    cos  u  2 1  1  2  L   mk    L2 m 1k 1 r 1  (1  2E L2 m 1k  2 )1/ 2 cos 



JIKA :



E  T  V( x )  C



MAKA UNTUK HARGA :



1



E0



e < 1 (Elip/lingkaran) e = 1 (Parabola) e > 1 (Hiperbola)



T  V( x )



(Elip/lingkaran)



T  V( x )



(Parabola/hiperbola)



Lanjutan



E



1  2 )  V( r ) m ( r 2  r 2  2



mr 2 L2 E   V( r ) 2 2 2mr 2 mr E  U(r ) 2



L2 U(r )   V( r ) 2 2mr



Pada titik balik



r  0 V( r )  



L2 k   E  U(r ) 2mr 2 r



 L  mr 2 



Potensial efektif



k r E



L2 2mr 2



 2Er 2  2kr  L2 m 1  0 1



k  ( k  2EL m )   2E 2



r1.0



2



1 2



Potensial sentrifugal



U(r) E



r r1



r0



b



V(r)



a r0 I Made Padri



r1



2a  r0  r1 k 2a  E



E  



k 2a



GERAK SATELIT



r0 



1



r



A cos  



0



mk L2











r  r0 L  L0



2



 AL0 2   mk   1   mk 



2



2



v0  vc



1 e r  r0 1  e cos



Bumi



e0 v0  vc



(v0 / vc )2 r  r0  v02   1   2  1 cos   vc 



v c  ( k mr0 ) Laju lingkaran



 r  r1



0



ro



mr0 v 0 e 1 k



2



v0  vc v0  vc



r I Made Padri



2



e  AL0 mk 2 L0  mr0  0  mr0 v 0



v e  02  1 vc







L0



ro = perigee r = apogee



(v0 / vc )2 r1  r0 2 Elip 2  (v0 vc )



GERAK KOMET







e  1  ( 2EL mk )







2



2



Komet



E



vk



Matahari



Orbit bumi melingkar



(



k )  v 2b mrb







vb



1 k  2 2  2 ( m v  )( m r v sin  ) k k k   2 rk  e  1  2 mk    



 m rb v 1 2 2  2 ( m v  )( m r v sin  ) k k k   2 r k  e  1  2 2 m( m rb v b )       2 b



I Made Padri



1 k mv 2k  2 rk



  L  rk x m v k 



Bumi



rb







1 2



2   e  1  ( V 2  ) (RVsin) 2  R  



1 2



?



1 2



vk ) vb r R ( k) rb V(



1 2



 2 )  f (r ) m (r  r



KESTABILAN ORBIT MELINGKAR h   2 r



Untuk orbit radial



x  ra



r ca



r  0 Lingkaran



mx  mh 2 ( x  a ) 3  f ( x  a )



[ a n  na n 1 x  ....] [ f (a )  f ' (a ) x  ....]



mx  mh 2 a 3 (1  3



mx  [



mh 2  3  f (a ) a



x    )  [ f (a )  f ' (a ) x    ] a



3 f (a )  f ' (a )]x  0 a



Syarat stabil harus memberikan solusi getaran harmonik, maka 3 f (a )  f ' (a )]  0 a a [ f (a )  f ' (a )]  0 3 [



I Made Padri



mh 2 mr   f (r ) 3 r



Atau :



SUDUT APSIDAL  3   f ( a )  f ' ( a )    a     m           m   2  3   f (a )  f ' (a )   a 



Orbit mendekati lingkaran dan stabil (r = a)



1 2



 3  mx   f (a )  f ' (a )  x  0  a 







1 2



 f ' (a )    3  a f (a )   







rmak I Made Padri







2 



1 2



Sudut apsidal dicapai dalam waktu 1 t t   2 



rmin



1   2



L L    mr 2 ma 2



L2   f (a ) 3 ma



TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 4 BUKU FOWLES :



Halaman : 163 Soal nomor : 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23



I Made Padri



KERANGKA ACUAN TIDAK INERSIAL 



APA YANG DIMAKSUD DENGAN KERANGKA ACUAN TIDAK INERSIAL ?







APA KONSEKUENSI PENGGUNAAN KERANGKA ACUAN TIDAK INERSIAL PADA MEKANIKA NEWTON ?







APA YANG DIMAKSUD DENGAN GAYA SEMU PADA PENGGUNAAN KERANGKA ACUAN TIDAK ENERSIAL







BAGAIMANA PENGARUH ROTASI BUMI TERHADAP BENDA DIAM DAN BERGERAK DI PERMUKAAN BUMI ?







MENGAPA BIDANG AYUN BANDUL FOUCAUL MENGALAMI GERAK PRESISI ?







FAKTOR APAKAH YANG MEMPENGARUHI FREKUENSI PRESISI BIDANG AYUN BANDUL FOUCAUL ? I Made Padri



   r  Ro  r'    v  v o  v '



KERANGKA TRANSLASI DIPERCEPAT Z’



z



m r x



o’ y’



  r  r'



KERANGKA BEROTASI z



Z’



o



X’



x



O’



y y’



     dr   dr '        x r'  dt fix  dt  rot



Gaya translasional (semu)



ˆix  ˆjy  k ˆ z  ˆi ' x 'ˆj' y' k ˆ ' z'



ˆ ˆ (tetap) i , ˆj, k ˆi ' , ˆj' , k ˆ ' (berubah)



m r = r’



I Made Padri



   F  (mA o )  ma '



X’



o y



  a  A o  a'



r’



Ro



  F  ma



ˆix 'ˆjy' k ˆ z '  ˆi ' dx '  ˆj' dy'  k ˆ ' dz '  dt dt dt dˆi ' dˆj' dzˆ ' x'  y'  z' dt dt dt ˆ'   dˆ i' dˆj' dk v  v ' x '  y'  z' dt dt dt



    d r d    r    r      dt fix  dt  rot



    v  v'  r '



Lanjutan



    d v d v     Vektor kecepatan :        v  dt  fix  dt  rot



    v  v '   r '



     d v    d      ( v '    r ' )    ( v '   r ' )      dt  fix  dt 



           dv '   d (  r ' )  F  ma     v '   (   r ' )    dt  dt  rot   rot           d v ' d  d      r'       r'        v '    (  r ' )  dt rot  dt  rot  dt  rot



        a  a '  r '2  v '  (  r ' )           a '  a  ( x r ' )  ( 2xv ' )  {x (x r ' )} Percepatan tranversal



Percepatan centrifugal



Percepatan coriolis



          r ' )  ( 2m  v ' )  { m  (  r ' )} ma '  F  (  m Gaya tranversal



Ftv I Made Padri



r



m



Gaya centrifugal



Gaya coriolis



Fcr m



v I Made Padri



m



Fcf



EFEK ROTASI BUMI 1. Benda diam dipermukaan bumi          a '  a  (  r ' )  (2  v' )  {  (  r ' )} ω



 v'  0



  ag



     g'  g    (  r ' )



(acf)r r (acf)h



   r'  0    ( 2  v' )  0



  a '  g'



    r '  r ' sin(90   )  r ' cos       (  r '  2 r ' cos 



u



asf



   0 



 c



g



Arah radial



λ



(a cf ) r  (2 r ' cos  ) cos   2 r ' cos2 



s



Memperkecil percepatan gravitasi



   g'  g  (a cf ) r



g'  g  2 r ' cos 2  Di kutub (λ = 90) Di ekuator (λ = 0) I Made Padri



cos2   0 g'  g (Maksimum) cos2   1 g'  g  2 r ' (Minimum)



Arah horisontal



(a cf ) h  (2 r ' cos  ) sin  Mengubah arah percepatan gravitasi



Lanjutan



I Made Padri



Besar penyimpangan arah percepatan gravitasi ω



ε



g



g’



acf







R



λ



g



λ



 a c f  2 r ' cos 



acf



sin ε sin   2 r ' cos  g'



g,



Sudut kecil



sin    2 r ' 2 r ' cos  sin  sin 2 ε 2g' g' Penyimpangan terbesar di : Di kutub :    90 Di ekuator :   0



sin 2  0



ε0 sin 2  0



ε0



sin 2  1 ε mak



  45 0



2 r '  Sin90 0 2g



 mak  1,7.10 3 rad (  0,10 )



2. Gerakan benda di permukaan bumi        ω a '  a  2  v'  (  r ' ) y’



Z’



x’ λ



    Kecil diabaikan a '  g  2   v'       v'    r '



 g   kˆ ' g Komponen percepatan



x'  0  2(z  ' cos   y  ' sin ) y '  0  2( x  ' sin )



z  g  2( x  ' cos  )



x '  0  y '   cos z '   sin



  ˆ  x v'  i ' (z ' cos   y ' sin  ) 



ˆj' (x ˆ ' ( x  ' sin  )  k  ' cos  ) Kompnen kecepatan



x '  2(z' cos   y' sin  )  x o '  '  2x' sin   y  o' y  '  '  gt  2x ' cos   Z z 0



Komponen posisi



x '  13 g t 3 cos   t 2 ( z 0 ' cos - y 0 ' sin)  x 0 ' t  x 0 '  0 ' t  x  0 ' t 2 sin  y 0 ' y'  y z'   12 g t 2  z 0 ' t   x o ' t 2 cos   z 0 '



I Made Padri



Lanjutan P



P



Belahan bumi selatan



Pengaruh gaya sentrifugal pada partikel jatuh bebas



v’ U



U B



B



O’



P



λ



P



O



O O’



T



v’



S



U λ



B



B O O’ S I Made Padri



T



S



ω



U



ω



O O’



T Belahan bumi utara



S



T Pengaruh gaya coriolis pada partikel jatuh bebas



Lanjutan



Pengaruh gaya coriolis pada gerak horisontal



acv acor



ω



acor U



λ



 ach



acv



B







ach



λ



T



T



V’



S



V’



ω



S Belahan bumi utara



PRESISI BANDUL FOUCAULT Belahan bumi selatan



Fc



v



I Made Padri



Fc v



Lanjutan



Persamaan defrensial gerak bandul terhadap kerangka O’fik di permukaan bumi adalah :



     ( mr' ) fik  S  mg  2m  v



S







Proyeksi presisi bidang ayun bandul



Tranformasikan terhadap kerangka O’rot dengan frekuensi ω’ terhadap O’fik



       ( mr' ) rot  ( mr' ) fik  m'(' x r )  2m'v'



mg



          ( mr' ) rot  (S  mg  2m  v)  m'(' r )  2m'v'



    v'rot  v fik  ' r



 ( mr' ) rot



I Made Padri



   harga m'(' r ) kecil ( diabaikan)      S  mg  2m(  ' )  v    0   sin  ˆj   cos  kˆ  v  v x ˆi  v y ˆj  0



Lanjutan



   (  ' )  v   ˆi v y ( cos   ' )  ˆj v x ( cos   ' )  kˆ v x  sin  Jika : '  -  cos 



     (x' ) xv  (xv)



     ( mr' ) rot  S  mg  2m( x v) Karena persamaan difrensial bandul kembali kebentuk semula, maka ω’ adalah frekuensi gerak presisi bidang ayun bandul Periodanya :     (90  ) I Made Padri



2  cos



2 24   jam  sin  sin 



TUGAS PEKERJAAN RUMAH - 5 BUKU FOWLES :



Halaman : 131 Soal nomor : 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 13.



I Made Padri



SISTEM PARTIKEL 



 



 



  



APA YANG DIMAKSUD DENGAN SISTEM PARTIKEL ? BAGAIMANA CARA MENENTUKAN PUSAT MASSA SISTEM PARTIKEL ? APAKAH HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT BERLAKU DALAM SISTEM PARTIKEL ? BAGAIMANA PERNYATAAN MOMENTUM SUDUT DAN ENERGI KINETIK SISTEM PARTIKEL DENGAN ACUAN PUSAT MASSA ? BAGAIMANA CARA MENGANALISIS INTERAKSI DUA PARTIKEL DENGAN ACUAN PUSAT MASSA ? BAGAIMANA CARA MENGKLASIFIKASI JENIS TUMBUKAN ? BAGAIMANA CARA MENGANALISIS TUMBUKAN SATU DIMENSI DAN DUA DIMENSI ? BAGAIMANA CARA MENGANALISIS GERAK BENDA YANG MASSANYA BERUBAH ?



I Made Padri



Partikel



SISTEM PARTIKEL



  F  mr



   Fi ( ext )   m iri



  dp i   Fi ( ext )  dt



  cm p  Mr



 d  pM rcm dt



   dp F( ext )   Mrcm dt   r  0  r  c P = konstan I Made Padri



Hukum kekekalan momentum linier



  p  m r    p i   m i ri



  d  m i ri  pi   mi dt  m i



Momentum linier sistem partikel



 F( ext )  0



Partikel



 rcm



  m i ri   mi



Kecepatan pusat massa



   m i ri rcm   mi Posisi pusat massa



  m iri  rcm   mi Percepatan pusat massa



Hukum Kekekalan Momentum Sudut Z



Partikel



   L  r  m r



 



Sistem Partikel



 L  kons tan Hukum kekekalan momentum sudut



I Made Padri







   L   ( ri  m i ri )



mi



vi







ri



 



rcm















cm







o







 



  



X      Y dL   ( ri  m i ri  ri  m iri ) dt  0   dL   [ ri  F( ekt ) ] dt



 dL 0 dt



  N i ( ekt )  0



  dL   N i ( ekt ) dt



PENGGUNAAN ACUAN PUSAT MASSA



   ri  rcm  ri



Momentum linier sistem partikel



 p



  m i ri



  m i ri 



Terhadap O



mi



Z







Terhadap cm



   ri  ri  rcm



ri



ri



   m i rcm   m i ri



    m i ri   m i ri  M rcm  0 cm



oo Y



Terhadap O



rcm X



  m i ri 



  m i rcm



     m r  M r  M v  ii cm cm



I Made Padri



  p  M v cm



  p   m i vi  0



Momentum linier sistem terhadap acuan O



Momentum linier sistem terhadap acuan cm



0



   L   ( ri  m i v i )



Momentum sudut sistem partikel



   ri  rcm  ri    v i  v cm  v i



     L   ( rcm  ri )  m i ( v cm  v i )          L   ( rcm  m i v cm )   ( rcm  m i v i )   ( ri  m i v cm )   ( ri  m i v i )          L  rcm  Mv cm  ( rcm  m i v i )  (  m i ri  v cm )  (  ri  m i v i )











   v i  v i  v cm



   r  r  rcm  i i   mi ri   mi ri  M rcm  0



    m i v i   m i v i  M v cm  0



0 0



       L  ( rcm  Mv cm )  (  ri  m i v i )  L cm  Li I Made Padri



Orbitel



Spin



Energi kinetik sistem partikel



  T   mi v   mi ( vi  vi ) 1



2



   v i  v cm  v i



2 i



1



2



    T   m i ( v cm  v i )  ( v cm  v i ) 2  2 2  1 1 T   m i v cm   m i ( v cm  v i )   m i v i 2 2    1  m i  v cm  m i v i   m i v i2 1



T



1 2



2 v cm



2



    v i  vi  v cm



 mi vi   mi vi  M v cm  0 0



2 1 2 1 T  Mv cm   m i v i  Tcm  Ti 2 2



I Made Padri



GERAK INTERAKSI DUA PARTIKEL Sistem tertutup



r1 cm



r2 m2







m1



   R  r1  r2



  m1 r1  m 2 r2  0



R



   m1  R  r1  r1 m2    R  m1 m 2 r1    m  1  m1  m 2



  R r1   m1   2 d r1 d R m1   dt 2 dt 2 2



I Made Padri



 rcm



  m1 r1  m 2 r2  0 m1  m 2



Massa reduksi 



m1m 2 m1  m 2



  d2r m F 2 dt



 d R   ƒ ( R )eˆ R 2 dt 2



  m2  R  r2  r2 m1    R  m1 m 2 r2     m  2  m1  m 2   R r2    m2   2 d r2 d R m2   dt 2 dt 2 2



CONTOH INTERAKSI MATAHARI DAN PLANET



m 12 32 Matahari sebagai acuan : τ  2( ) a k k ƒ(R )   2 k  GMm R Pusat massa sebagai acuan :



 2 d R G ( Mm) ˆR    e 2 2 dt R



τ  2(GM ) 



 d R G ( M  m) m ˆR m  e 2 2 dt R



Mm Mm



Dikoreksi



2



ƒ(R )  



I Made Padri



k' R2



Periodenya :



k '  G ( M  m) m



m 12 32 τ'  2( ) a k'  12



τ'  2[G ( M  m)]



a



3 2



 12



a



3 2



TUMBUKAN DUA PARTIKEL PADA SAAT TUMBUKAN



 Fext  0



  ' ' p1  p 2  p1  p 2   ' ' m1 v1  m 2 v 2  m1 v1  m 2 v 2



KASUS TUMBUKAN SATU DIMENSI m1



I Made Padri



2



2



v2



2



2



p1 p2 p1' p '2    Q 2m 1 2m 2 2m 1 2m 2



Penambahan / pengurangan energi kinetik Elastis Q=0 Q>0 Exoergic Endoergic Q