HKIMO Secondary 2 Practice [PDF]

Citation preview

Persiapan



HKIMO Secondary 2



Formula 1 1 = • n(n + 1)(n + 2) 2



• (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab. • (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab. • a2 − b2 = (a + b)(a − b).







• 1 + 2 + 3 + ··· + n =



1 1 1 = − n(n + 1) n n+1   1 1 1 1 • = − n(n + k) k n n+k •



1 1 − n(n + 1) (n + 1)(n + 2)



n(n + 1) 2



• 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =



n(n + 1)(2n + 1) 6



• 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2



Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diketahui jenis akarnya lewat tes diskriminan ∆ = b2 − 4ac. • Jika ∆ > 0 maka memiliki dua akar real berbeda. • Jika ∆ = 0 maka memiliki satu akar real (akar kembar). • Jika ∆ < 0 maka tidak memiliki akar real. Jika x1 dan x2 merupakan akar persamaan kuadrat diatas maka √ √ −b ± ∆ −b ± b2 − 4ac x1,2 = = . 2a 2a



Aljabar 1. Hitunglah nilai x jika (a.) | − 2x + 3y + 11| +



√ x − y − 7 = 0.



(b.) |2x + 3y − 8| + |3x + 5y − 13| = 0. √ √ (c.) x + y − 57 + x − y − 15 = 0. √ (d.) x + y − 8 + |2x2 − 2y 2 − 112|. √ (e.) |x + y − 8| + y + z − 15 + |z + x − 23| = 0. 2. Faktorkan bentuk berikut ini : (a.) x3 − y 3 + x2 − y 2 . (b.) x2 − y 2 − 4y + 2x − 3. (c.) x2 + y 2 + 2xy + x + y − 20. (d.) x3 − x2 y − xy 2 + y 3 . (e.) x4 + y 4 − 6x2 y 2 . (f.) x8 − 1. 3. Berapa banyak solusi bulat dari pertidaksamaan berikut : (a.) 100 < 13y + 47 < 3349. (b.) 757 > 7x + 25 > −39.







Persiapan



HKIMO Secondary 2



(c.) −75 ≤ 5x + 3 ≤ 201. (d.) −103 ≤ 11x + 7 < 1821. (e.) −131 ≤ 13x + 1 < 2000. 4. Hitunglah nilai dari :       1 1 1 1 1− 1− ··· 1 − . (a.) 1 − 4 9 16 4072324 (b.) 12 − 22 + 32 − 42 + · · · − 982 + 992 . (c.) (d.) (d.) (e.) (f.) (g.)



12 + 22 + 32 + · · · + 502 . 13 + 23 + 33 + · · · + 503 2015 2015 2015 2015 + + + ··· + 1·2 2·3 3·4 2013 · 2014 1 1 1 1 + + + ··· + 8 24 48 2018 · 2020 1 1 1 1 + + + ··· + jika an = 1 + 2 + 3 + · · · + n. a1 a2 a3 a2019 13 − 23 + 33 − 43 + · · · + 20193 − 20203 . 2019 2019 2019 + + ··· + . 1·2·3 2·3·4 2018 · 2019 · 2020



5. Berapa banyak solusi bilangan asli (x, y) jika (a.) 5x + 6y = 268. (b.) 7y + 4x = 2016. (c.) 9x + 10y = 1009. (d.) 7x + 9y = 100. (e.) 19x + 7y = 1200. 6. Jika a +



1 = 3, tentukan nilai dari : a



(a.) a3 +



1 a3



(b.) a3 −



1 a3



(c.)



√



√ 1 (d.) a a + √ . a a



1 a− √ a



7. Diberikan x2 − 6x + 1 = 0, hitunglah nilai dari x4 + 8. Jika x > 0 dan x2 +



1 1 = 23, tentukan nilai dari x3 + 3 . 2 x x



9. Diberikan a bilangan real dan a 6= 1. Jika a + 2 + 10. Diketahui bahwa x −



1 . x4



1 = −1, tentukan nilai dari a. a+1



1 ax2 5 = 7. Tentukan nilai a agar 4 = . 3 x x +x −x+1 6



11. Diberikan a adalah akar dari persamaan x2 − x − 3 = 0. Tentukan nilai dari



a3 + 1 . a5 − a4 − a3 + a2



Persiapan



HKIMO Secondary 2



12. Jika a adalah bilangan bulat, tentukan banyaknya nilai a sehingga persamaan ax2 +(a+2)x+a+4 = 0 mempunyai minimal sebuah akar real. 1 13. Diketahui persamaan x2 − (2a + b)x + (2a2 + b2 − b + ) = 0 mempunyai akar real. Tentukan nilai a 2 dan b. 14. Berapakah nilai b sehingga persamaan 1988x2 +bx+8891 = 0 dan 8891x2 +bx+1988 = 0 mempunyai akar yang sama ? 15. Diberikan persamaan dalam x (m2 − 1)x2 − 2(m + 2)x + 1 = 0 mempunyai paling tidak satu akar real, tentukan banyaknya bilangan bulat m yang memenuhi. 16. Diberikan persamaan dalam x mx2 − 2(m + 2)x + m + 5 = 0 tidak memiliki akar real, bagaimana dengan akar real dari persamaan berikut (m − 6)x2 − 2(m + 2)x + m + 5 = 0 ? 17. Diberikan f (x) = ax2 + bx + c dan f (−1) = 1, f (2) = 19 dan f (−2) = 3. Tentukan f (3). 18. Jika f (2x + 1) = (x − 12)(x + 13), maka nilai dari f (2018) adalah . . . 19. Diketahui f (x) = ax + b dan g(x) = bx + a dengan a dan b bilangan bulat. Jika f (1) = 8 dan f (g(50)) − g(f (50)) = 28, maka ab = . . . 20. Fungsi f (x) dan g(x) diberikan sehingga f (x) = 2x − 1 dan g(f (x)) = x + 3. Maka nilai f (g(2019)) adalah . . .



Persiapan



HKIMO Secondary 2



Teori Bilangan 1. Tentukan sisa pembagian jika (a) 333333 dibagi 11.



(d) 20199102 dibagi 6.



(b) 20188012 dibagi 7.



(e) 20211202 dibagi 8.



(c) 902209 dibagi 5.



(f) 20222202 dibagi 9.



2. Berapa nilai minimum x jika x > 25 dan x adalah bilangan bulat positif dimana sisa pembagian x2 (a) jika dibagi 9 adalah 7. (b) jika dibagi 11 adalah 4. (c) jika dibagi 13 adalah 10. 3. Berapa nilai maximum x jika x < −36 dan x adalah bilangan bulat negatif dimana sisa pembagian x2 (a) jika dibagi 9 adalah 4? (b) jika dibagi 11 adalah 9? (c) jika dibagi 13 adalah 3? 4. Tentukan banyaknya faktor positif dan jumlah semua faktor positif dari bilangan-bilangan berikut ini. • 2368.



• 576.



• 2625.



• 7777.



• 21609.



• 1176.



5. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari (a) 840 yang saling prima dengan 840. (b) 6006 yang saling prima dengan 6006. (c) 420 yang saling prima dengan 420. (d) 462 yang saling prima dengan 462. 6. Tentukan digit satuan dari A jika (a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + · · · + 32017 (b) A = 1 + 4 + 42 + 43 + · · · + 42018 . (c) A = 1 + 5 + 52 + 53 + · · · + 511111 (d) A = 1 + 6 + 62 + 63 + · · · + 62019 (e) A = 1 + 7 + 72 + 73 + · · · + 72020 (f) A = 1 + 8 + 82 + 83 + · · · + 72021 7. Jika (x − 2) adalah faktor dari (4x2 − 77x + c). Tentukan nilai dari c. 8. Jika (x − 3) adalah faktor dari (7x2 − 17x + c). Tentukan nilai dari c. 9. Jika (x2 − 1) adalah faktor dari (4x3 + 7x2 + ax + b). Tentukan nilai dari a + b.



Persiapan



HKIMO Secondary 2



10. Jika (x2 − 3x + 2) adalah faktor dari (3x3 − 7x2 + ax + b). Tentukan nilai dari a − b. 11. Jika (x − 2) adalah faktor dari x100 + x99 + · · · + x + c. Tentukan nilai dari c. 12. Jika x dan y adalah bilangan bulat dan x3 + y 3 = 1343, tentukan nilai dari x2 + y 2 . 13. Jika x dan y adalah bilangan bulat dengan x > y dan x3 + y 3 = 1853, tentukan nilai dari x2 − y 2 . 14. Jika x dan y adalah bilangan bulat dan x3 + y 3 = 3087, tentukan nilai dari x2 + y 2 − xy. 15. Jika , Tentukan nilai k jika (a) k 3 = 636056.



(d) k 3 = 250047.



(b) k 3 = 15625.



(e) k 3 = 405224.



(c) k 3 = 140608.



(f) k 3 = 658503.