Identitas Trigonometri [PDF]

Citation preview

IDENTITAS TRIGONOMETRI Dalam pasal ini dipelajari cara-cara membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dengan menggunakan kembali rumus-rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut ganda, dan rumus trigonometri untuk sudut



1 α 2



Selain itu, rumus-rumus trigonometri dasar yang akan sering digunakan adalah:
Rumus-rumus kebalikan: sec α =



1 1 1 , cosec α = , dan tan α = . cos α sin α cotan α




Rumus-rumus perbandingan: tan α =



sin α cos α dan cotan α = . cos α sin α




Rumus-rumus Pythagoras: Sin 2 α + cos 2 α = 1,1 + tan 2 α = sec 2 α , dan 1 + cotan 2 α = cosec 2 α .
Rumus-rumus trigonometri untuk sudut-sudut berelasi. Agar lebih memahami bagaimana membuktikan kebenaran identitas trigonometri, simaklah contoh di bawah ini. Contoh: 2



1. Untuk setiap sudut α , buktikan bahwa (sin α − cos α ) = 1 − sin 2α . Jawab:



Jabarkan ruas kiri:



(sin α − cos α )2



= sin 2 α − 2 sin α cos α + cos 2 α = (sin 2 α + 2 cos 2 α ) − 2 sin α cos α = 1 − sin 2α 2



Jadi, terbukti bahwa (sin α − cos α ) = 1 − sin 2α .



1



2. Untuk setiap sudut α , buktikan bahwa



2 tan α = sin 2α . 1 + tan 2 α



Jawab:



Jabarkan ruas kiri: sin α sin α 2 2 tan α cos α 2 sin α cos α cos α = = = = sin 2α 2 2 2 2 1 + tan α sin α cos α + sin α cos 2 α + sin 2 α 1+ cos 2 α cos 2 α 2



Jadi, terbukti bahwa



2 tan α = sin 2α . 1 + tan 2 α



3. Buktikan bahwa (sin 4 x − sin x) 2 + (cos 4 x + cos x) 2 = sin 2 4 x − 2 sin 4 x sin x + sin 2 x + cos 2 4 x + 2 cos 4 x cos x + cos 2 x = (sin 2 4 x + cos 2 4 x) + (sin 2 x + cos 2 x) + 2 (cos 4 x cos x − sin 4 x sin x) = 1 + 1 + 2 cos (4 x + x ) = 2 + 2 cos 5 x = 2 (1 + cos 5 x) Jadi, terbukti bahwa (sin 4 x − sin x) 2 + (cos 4 x + cos x) 2 = 2(1 + cos 5 x) .



2



GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI



Fungsi-fungsi trigonometri f ( x°) = sin x°, f ( x°) = cos x° dan f ( x°) = tan x° mempunyai persamaan grafik berturut-turut adalah y = sin x°, y = cos x°, dan y = tan x° . Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan tabel diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1:



Buatlah tabel yang menyatakan hubugan antara x dengan y = f ( x°) . Pilihlah nilai sudut x sehingga nilai y = f ( x°) dengan mudah dapat ditentukan. Langkah 2:



Titik-titik (x,y) yang diperoleh pada langkah 1 digambar pada bidang Cartesius. Agar skala pada sumbu X dan pada sumbu Y sama, maka nilai 360 pada sumbu X dibuat mendekati nilai 6,28 satuan (mengapa?) Misalkan skala pada sumbu Y ditetapkan 1 cm maka nilai 360 pada sumbu X dibuat kira-kira mendekati nilai 6,28 cm. Langkah 3:



Hubungkan titik-titik yang telah digambar pada bidang Cartesius pada Langkah 2 tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi trigonometri y = f ( x°) . Berikut ini akan dijelaskan cara menggambar sketsa grafik fungsi trigonometri y = sin x° , y = cos x° , dan y = tan x° dengan menggunakan langkah-langkah



yang telah dibicarakan di atas. 1. Grafik Fungsi x



0



30



60



90



120



150



180



y = sin x 2



0



1 2



1 3 2



1



1 3 2



1 2



0



210



−



1 2



240 −



1 3 2



270 -1



300 −



1 3 2



330



−



1 2



360



0



Pilihlah sudut-sudut x : 0,30,60,90,120,150,180,210,240,270,330,360 ; kemudian dicari nilai y = sin x° . Hubungan antara x dan y = sin x° dibuat tabel seperti diperlihatkan pada gambar diatas.



3



Titik-titik ( x, y ) pada tabel di atas pada bidang Cartesius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi y = sin x° (perhatikan gambar berikut)



2. Grafik Fungsi x



0



30



60



90



120



y = cos x°



1



1 3 2



1 2



0



−



1 2



150 −



1 3 2



180



-1



210 −



1 3 2



240 −



1 2



270



0



300



330



360



1 2



1 3 2



1



−



Sudut-sudut yang dipilih seperti pada grafik y = sin x° . Hubungan antara x dengan y = cos x° diperlihatkan pada gambar di atas.



Titik-titik (x,y) pada tabel di atas pada bidang Cartesius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi y = cos x° (perhatikan gambar berikut).



4



3. Grafik Fungsi



Pilihlah sudut-sudut x : 0, 45, 90,135,180, 225, 270, 315, 360 ; kemudian dicari nilai y = tan x° . Hubungan antara x dengan y = tan x° . Perhatikan tabel di bawah ini.



x



0



45



90



135



180



225



270



315



360



y = tan x°



0



1



–



-1



0



1



–



-1



0



Titik-titik (x,y) pada tabel di atas pada bidang Cartesius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi y = tan x° .



Berdasarkan grafik fungsi sinus y = sin x° , grafik fungsi kosinus y = cos x° , dan grafik fungsi tangen y = tan x° dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut: 1. Fungsi-fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan tangen merupakan fungsi periodic atau fungsi berkala. a) Fungsi sinus y = sin x° dan fungsi kosinus y = cos x° mempunyai periode 360° .



b) Fungsi tangen y = tan x° mempunyai periode 180° . 2. Fungsi sinus y = sin x° dan fungsi kosinus y = cos x° mempunyai nilai minimum -1 dan nilai maksimum 1, sedangkan fungsi tangen y = tan x° tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum.



5



3. Khusus untuk fungsi tangen y = tan x° . a) Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kanan, nilai tan x° menuju ke negatif tak-berhingga.



b) Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kiri, nilai tan x° menuju ke positif tak-berhingga.



c) Garis-garis x = 90 dan x = 270 disebut garis asimtot. d) Fungsi tangen y = tan x° diskontinu atau tak-sinambung di x = 90 dan x = 270 .



6