Kestabilan - TKA - PID [PDF]

Citation preview

Kestabilan Analisa Respon Sistem



1



Definisi Kestabilan 



Total respon output sistem : 







Definisi kestabilan (berdasar natural response):   







c(t )  c forced (t )  cnatural (t )



Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga saat waktu mendekati tak hingga Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan atau berosilasi teratur



Definisi kestabilan (berdasar total respon):  



Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi menghasilkan output yang terbatas juga. Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi 2mengahasilkan output yang tidak terbatas



Apakah Sistem Ini Stabil? 



Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( e menghasilkan :



 at



)



Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau  Respon sinusoidal yang teredam Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga  sistem stabil 















Sistem yang stabil hanya mempunyai poles sistem close loop di sebelah kiri bidang s Sistem yang tidak stabil mempunyai poles sistem close loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih dari 1 poles di sumbu imajiner Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di sumbu imajiner dan poles di sebelah kiri 3



Apakah Sistem Ini Stabil?



4



Apakah Sistem Ini Stabil?



5



Kriteria Kestabilan Routh 



Transfer function dari suatu sistem loop tertutup berbentuk : C (s) b0 s m  b1s m1  ...  bm1s  bm B(s)   n n 1 R(s) a0 s  a1s  ...  an1s  an A(s)







Hal pertama  memfaktorkan A(s) 







Pemfaktoran polinomial dengan orde lebih dari 2 cukup sulit, sehingga digunakan 







A(s) : persamaan karakteristik



Kriteria Kestabilan Routh



Kriteria kestabilan Routh memberi informasi ada tidaknya akar positif pada persamaan karakterisitik bukan nilai akar tersebut 6



Prosedur Kriteria Kestabilan Routh 1.



Tulis persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial s:



a0 s n  a1s n1  ...  an1s  an  0 2.



3.



7



Semua koefisien persamaan karakteristik harus positif. Jika tidak, sistem tidak stabil. Jika semua koefisien positif, susun koefisien polinomial dalam baris dan kolom dengan pola:



Prosedur Kriteria Kestabilan Routh sn s n1 s n2 s n 3 s n4 . . . s2 s1 s0



a0 a1 b1 c1 d1 . . . e1 f1 g1 8



a2 a3 b2 c2 d2 . . . e2



a4 a5 b3 c3 d3



a6 a7 b4 c4 d4



. . . . .



a a a a b1  1 2 0 3 a1



c1 



b1a3  a1b2 b1



a a a a b2  1 4 0 5 a1



c2 



b1a5  a1b3 b1



a1a6  a0 a7 a1



c3 



b3 



d1 



c1b2  b1c2 c1



d2 



c1b3  b1c3 c1



b1a7  a1b4 b1



Prosedur Kriteria Kestabilan Routh 







Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara lengkap. Susunan lengkap dari koefisien berbentuk segitiga. Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil (memenuhi kriteria kestabilan Routh) 







9



Koefisien persamaan karakteristik semua positif (jika semua negatif maka masing – masing ruas dikalikan minus 1 sehingga hasilnya positif) Semua suku kolom pertama pada tabel Routh mempunyai tanda positif. • Jika ada nilai nol lihat pada bagian “kondisi khusus”



Contoh 



Contoh 4-3 Terapkan kriteria kestabilan Routh untuk :



a0 s 3  a1s 2  a2 s  a3  0



Dengan semua koefisien positif. Susunan koefisien menjadi



s3 s2 s1 s0



a0 a1 a1a2  a0 a3 a1 a3



a2 a3



Syarat agar semua akar mempunyai bagian real negatif diberikan : 10



a1a2 > a0 a3



Contoh 



Contoh 4-4 Perhatikan polinomial berikut : s 4  2s 3  3s 2  4s  5  0



Ikuti prosedur untuk membuat susunan koefisien. s4 s3 s2 s1 s0



1 2



3 5 4 0



1 5 6 5



s4 s3 s2 s1 s0



1 2 1 1 3 5



3 5 4 0 2 0 5



Baris ke dua dibagi dengan 2



Pada kolom 1, terjadi dua kali perubahan tanda. Ini berarti ada dua akar11positif dan sistem tidak stabil.



Keadaan khusus K.K.Routh 0 di kolom pertama 







Bila salah satu suku kolom pertama dalam suatu baris adalah nol, maka suku nol ini diganti dengan bilangan positif ε yang sangat kecil. Contoh : s3 + 2s2 + s + 2 = 0 Susunan koefisiennya : s3 1 1



s2 2 2 s1 0   s0 2



j



Bila tanda koefisiennya sama, berarti terdapat pasangan akar imajiner 12 pada sistem. Pada persamaan di atas ada akar di



Keadaan khusus K.K.Routh 0 di kolom pertama  



Bila tanda koefisien (ε) berlawanan, berarti ada akar positif persamaan karakteristik. Contoh : s3 – 3 s + 2 = (s – 1)2 (s + 2) = 0 Susunan koefisiennya adalah s3 1 -3 berubah tanda



s2



0≈ε



berubah tanda



s1



-3 – (2/ ε)



2



s0 2 Terdapat dua perubahan tanda koefisien di kolom pertama, berarti ada dua akar positif di pers. karakteristik. Sesuai dengan persamaan awalnya  sistem tidak stabil 13



Keadaan khusus K.K.Routh 0 di seluruh suku baris 











Jika semua koefisien pada suatu baris adalah nol maka koefisien itu menunjukkan  akar – akar besaran yang sama tapi letaknya berlawanan Penyelesaian : menggantinya dengan turunan suku banyak pembantu  P(s)  P(s) berasal dari suku pada baris sebelumnya Contoh : s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 – 25s – 50 = 0 Susunan koefisiennya adalah s5 1 24 -25 s4 2 48 -50  Suku banyak pembantu P(s) s3 0 0 14



Keadaan khusus 0 di seluruh suku baris Susunan koefisiennya adalah s5 1 24 -25 s4 2 48 -50 s3 0 0



 Suku banyak pembantu P(s)



P(s) = 2s4 + 48s2 – 500 dP(s)/ds = 8s3 + 96s Sehingga susunan koefisiennya: s5 1 24 -25 s4 2 48 -50 s3 8 96  Koefisien dari dP(s)/ds s2 24 -50 s1 112,7 0 s0 -50 15 perubahan tanda, berarti ada satu akar positif. Sistem tidak Ada satu stabil.



Aplikasi K.K.Routh untuk analisa sistem Kontrol 



Tinjau sistem berikut



R(s) + -







Fungsi alih loop tertutup C ( s) K  2 R(s) s(s  s  1)(s  2)  K







Susunan koefisien



____K______ s(s2+s+1)(s+2)



C(s)



Persamaan karakteristik



s 4  3s 3  3s 2  2s  K  0 s4 s3 s2 s1 s0



1 3 7 3 9 7



2 K K



3 2 K



K 0



Untuk kestabilan, K harus positif dan semua koefisien pada kolom pertama harus positif. Oleh karena itu, 16 14/9 > K > 0



17



18



Rs es



ia Ra ea



La



B em



t,q J



19



dq(t) dq(t) em ( t )  K   Km dt dt dia (t) es (t)  (R s  R a ) ia (t)  L a  em ( t ) dt 2



d q(t)



dq(t) J B  t(t) 2 dt dt t(t)  K m ia (t) 20



Em (s)  K m s (s) E s (s )  E m ( s ) Ia (s)  Rs  Ra  La s (s) 



(s) 2



Js  B s t(s)  K m Ia (s)



21



Es



G1(s)



Em



Ia



Km



t



G2(s)







Km s



1 G1 (s)  s La  Rs  Ra 1 G2 (s)  J s2  B s 22



Es



T(s)







(s) K m G1 (s) G2 (s) T(s)   2 Es (s) 1  s K m G1 (s) G2 (s) Km  3 2 2 s JLa  s ( BLa  JRsa )  s( BRsa  K m ) Rsa  Rs  Ra 23



Jika nilai La sangat kecil



Km T ( s)  2 2 s J Rsa  s( BRsa  K m ) Rsa  Rs  Ra



24



TEMPAT KEDUDUKAN AKAR



Root Locus



Pendahuluan Tempat Kedudukan Akar (TKA) Metode menetukan kestabilan sistem. TKA adalah penggambaran posisi-posisi akar-akar sistem pada bidang-s dengan parameter dari 0 hingga tak hingga. Parameter tersebut pada umumnya adalah nilai gain K pada sistem umpan tertutup



TKA memberikan penjelasan secara grafis kestabilan sistem serta kondisi-kondisi lainnya.



Bilangan Kompleks Suatu bilangan komlpeks A=+ j dapat digambarkan dalam bidang-s sebagai berikut Dengan



j



s j



M = √(2+2)



M



q = tan-1 (/)



q 







ROOT LOCUS • ROOT = akar-akar • LOCUS = tempat kedudukan • ROOT LOCUS – Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses – Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya?



Dua Cara Penggambaran ROOT LOCUS • Cara 1: Mencari akar-akar persamaan karakteristik pada tiap inkremen harga Kc (controller gain) • Cara 2: Didasarkan pada pengalaman – Mencari harga pole dan zero – Menentukan harga breakaway point, center of gravity, asimtot – Mencari harga u (titik potong dengan sumbu imajiner, menggunakan substitusi langsung)



Contoh 1 • Perhatikan diagram blok di bawah ini R(s)



2 (3s  1)(s  1)



Kc



C(s)



0.5



• Persamaan Karakteristiknya: atau 1 + OLTF = 0



Kc 1 0 (3s  1)(s  1)



30



Rumus Penentuan Akar 3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0  4  16  12(1  K c ) 2 1 r1 , r2     1  3K c 6 3 3



31



Gambar Root Locus Kc 0



AKAR -1; -1/3



1 5 10



-2/3 ± (2)/3 -2/3 ± (14)/3



20 50



-2/3 ± (59)/3 -2/3 ± (149)/3



-2/3 ± (29)/3



Sistem SELALU STABIL karena akar-akarnya selalu berada di sebelah KIRI







X -1



-2/3



-



IMAJINER



X -1/3



REAL



Contoh 2 2 (3s  1)(s  1)



R(s)



Kc



C(s)



0,5 0,5s  1



Persamaan karakteristik:



Kc 1 0 (3s  1)(s  1)0,5s  1 33



Persamaan Karakteristik Kc 1 0 (3s  1)(s  1)0.5s  1 Kc (3s  1)(s  1)0.5s  1  0 (3s  1)(s  1)0.5s  1 (3s  1)(s  1)0.5s  1 (3s  1)(s  1)0.5s  1  K c 0 (3s  1)(s  1)0.5s  1 (3s  1)(s  1)0.5s  1  K c  0 1.5s 3  5s 2  4.5s  1  K c  0



Gambar Root Locus Kc



IMAJINER







AKAR



0



-1; -1/3; -2



1



-2.271; -0.53±0.55i



5



-2.77; -0.281±1.168i



14



-3.3; ± 1.732i



20



-3.586; 0.126±1.97i



30



-3.92; 0.29±2.279i



X -2



Sistem ADA BATAS KESTABILAN karena akar-akarnya ada yang berada di sebelah KANAN



X -1



X -1/3



REAL



-



Cara 2 • Persamaan karakteristik: 1 



Kc 0 (3s  1)(s  1)0,5s  1



• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3 • zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0



Tentukan Letak Pole/Zero IMAJINER



n–m= 3–0= ganjil  tempat kedudukan akar



X -2



X -1



X -1/3



REAL



Tentukan Letak Pole/Zero IMAJINER



n–m= 2– 0 = genap  BUKAN tempat kedudukan akar



X -2



X -1



X -1/3



REAL



Tentukan Letak Pole/Zero IMAJINER



n–m= 1– 0 = ganjil  tempat kedudukan akar



X -2



X -1



X -1/3



REAL



Tentukan Letak Pole/Zero IMAJINER



X -2



X -1



X -1/3



REAL



Di Antara Tempat Kedudukan 2 Pole Ada BREAKAWAY POINT m



n 1 1   i 1 s  zi j 1 s  p j



1 1 1 0   s 1/ 3 s 1 s  2 s  1s  2  s  1 / 3s  2  s  1 / 3s  1  0 s  1 / 3s  1s  2 s 2  3s  2  s 2  2 13 s  23  s 2  1 13 s  13  0 3s 2  6 23 s  3  0



s1  1.5954 s2  0.6268



DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN YANG DIPAKAI



Letak Breakwaway Point IMAJINER



X -2



X -1



X -0.6 -1/3



REAL



Penentuan Center of Gravity dan Sudut Asimtot n



CG 



m



 p z j 1



j



i 1



nm



i



 13  1  2  3 13    1.1 30 3



1800  (3600 )k  nm 1800  (3600 )0 0   60o 30 1800  (3600 )1 1   180o 30 1800  (3600 )2 2   300o 30



Center of Gravity dan Sudut IMAJINER Asimtot



180o 60o



X -2



X -1.1-1 300o



X -0.6 -1/3



REAL



Titik Potong dengan Sumbu Imajiner 1.5s  5s  4.5s  1  K c  0 Substitusi dengan s  i u 3



2



1.5(iu )3  5(iu ) 2  4.5(iu )  1  Kc  0  1.5iu  5u  4.5(iu )  1  Kc  0 3



 1.5iu  4.5iu  0 3











iu  1.5u  4.5  0 2



u  0 dan u 2  3



2



 5u  1  K c  0  5(3)  1  K c  0 K c  14 2



u  1.7



TITIK POTONGNYA



Titik Potong dengan Sumbu Imajiner IMAJINER 1.7



X -2



X -1.1-1



X -0.6 -1/3



REAL



-1.7



Hasil ROOT LOCUS IMAJINER



X -2



X -1.1-1



X -0.6 -1/3



REAL



TERIMA KASIH



Tugas R(s)



K



G(s)



C(s)



H(s)



1 G( s)  s( s  1)(s  2)(s  5) H ( s)  ( s  3) 49



Kontroler PID Pengendalian Sistem



Pendahuluan 



Urutan cerita : 1. 2. 3.







Pemodelan sistem Analisa sistem Pengendalian sistem



Contoh : motor DC 1. 2. 3.



Pemodelan  mendapatkan transfer function dan blok sistem motor DC Analisa  memberikan inputan sinyal uji pada motor, menganalisa respon yang dihasilkan Pengendalian  mengendalikan motor agar memberikan hasil yang sesuai



Pendahuluan 



Dari analisa respon sistem yang telah kita lakukan, bagaimana respon sistem (c(t)) yang kita inginkan?  Sesuai







Jika tidak sesuai?  Salah







dengan input/r(t) (misal : unit step)



satu caranya dengan menambahkan kontroler



Fungsi kontroler :  Mengendalikan



sistem dengan memanipulasi sinyal error, sehingga respon sistem (output) sama dengan yang kita inginkan (input)



Kontroler dalam Diagram Blok Error detector (comparator)



Error Signal



Set Point



r(t)



+



-



Controller



e(t)



Controller Output Signal



Energy or fuel



Actuator



u(t) Manipulated variable



Feedback Signal



Manufacturing Process



c(t)



Measurement Devices



Measured variable



Controlled variable



Disturbances



Definisi kontroler 



Controller  “Otak”



dari sistem.  Ia menerima error / e(t) sebagai input  Lalu menghasilkan sinyal kontrol / u(t)  U(t) menyebabkan controlled variable / c(t) menjadi sama dengan set point / r(t)



Respon Sistem 



Analisa respon sistem :  Kestabilan  Respon transient (karakteristik  Error steady state







sistem)



Respon yang diinginkan (set point), misal unit step. Spesifikasi : Unit step



 Stabil  Karakteristik respon transient :  Mp : 0 % (sekecil mungkin)  Tr, tp, ts : 0 (sekecil mungkin)  Error steady state : 0 (tidak ada



1



t



error steady state



Kontroler Proporsional (P) 



Persamaan matematis :



u(t) = KP . e(t) dimana KP : konstanta proporsional dalam Laplace



U(s)/E(s) = KP Diagram Blok E(s)



+



U(s) KP







Dikenal juga sebagai : gain/penguatan



Kontroler Proporsional (P) 



Pengaruh pada sistem :  Menambah atau mengurangi kestabilan  Dapat memperbaiki respon transien khususnya



+



: rise



time, settling time  Mengurangi (bukan menghilangkan) Error steady state 







Catatan : untuk menghilangkan Ess, dibutuhkan KP besar, yang akan membuat sistem lebih tidak stabil



Kontroler Proporsional memberi pengaruh langsung (sebanding) pada error  Semakin



besar error, semakin besar sinyal kendali yang dihasilkan kontroler  Grafik (di Ogata)



+ +



Aplikasi kontroler Proporsional 1 



Dari K. Ogata halaman 311,



K = 1.2 ,



stabil



plant stabil jika : 14/9 > K > 0



K = 1.6 , tidak stabil



Aplikasi kontroler Proporsional 2 • Contoh 2



Tanpa Kontroler, respon lambat



Dengan kontroler P, respon cepat



Kontroler Integral (I) 



Persamaan matematis :



t



u (t )  K i  e(t )dt 0



dimana Ki : konstanta integral dalam Laplace



U ( s) Ki  E ( s) s



Diagram Blok E(s)



+



U(s) Ki / s



-



Kontroler Integral (I) 



Pengaruh pada sistem :  Menghilangkan



Error Steady State  Respon lebih lambat (dibanding P)  Dapat menimbulkan ketidakstabilan (karena menambah orde sistem) 



Perubahan sinyal kontrol sebanding dengan perubahan error  Semakin



besar error, semakin cepat sinyal kontrol bertambah/berubah  Grafik (lihat Ogata)



+ -



Aplikasi kontroler Integral



Respon sistem tanpa kontroler



Aplikasi kontroler Integral Dengan kontroler P, KP = 2



Dengan kontroler PI Kp = 2 , Ki = 1 Dengan kontroler I, Ki = 1



Aplikasi kontroler Integral • Perhitungan dari contoh tersebut : • Jika transfer function kontroler I =



• Jika transfer function plant =



GC ( s ) 



1 GP ( s )  2s  1 • Maka transfer function open loop = • Transfer function error = • TF Error steady state =



G( s) 



1 s



1 2s 2  s



E ( s) 1  R( s ) 1  G ( s ) H ( s )



Ess  lim sE ( s) s 0



E ( s) 2s 2  s  2 R( s ) 2 s  s  1 2s 2  s 1 E ( s)  2 2s  s  1 s



2s 2  s 1 Ess  lim s 2 0 s 0 2 s  s  1 s • Terbukti bahwa penggunaan kontroler I menghilangkan error steady state!



Kontroler Derivatif (D) 



Pengaruh pada sistem :  Memberikan



berosilasi 



efek redaman pada sistem yang



sehingga bisa memperbesar pemberian nilai Kp



 Memperbaiki



respon transien, karena memberikan aksi saat ada perubahan error  D hanya berubah saat ada perubahan error, sehingga saat ada error statis D tidak beraksi 







+



Sehingga D tidak boleh digunakan sendiri



Besarnya sinyal kontrol sebanding dengan perubahan error (e)  Semakin



cepat error berubah, semakin besar aksi kontrol yang ditimbulkan  Grafik (lihat Ogata)



+



-



Aplikasi kontroler Derivatif



Dengan kontroler P saja, respon berosilasi



Dengan kontroler PD, Kp=1, Kd = 3



Aplikasi kontroler Derivatif • Perhitungan dari contoh tersebut : Dengan kontroler P Kp = 1 TF open loop



TF close loop Persamaan karakteristik



Dengan kontroler PD Kp = 1, Kd=1



1 G( s)  2 s C ( s) 1  2 R( s ) s  1



s 1 G( s)  2 s C ( s) s 1  2 R( s ) s  s  1



s2 1  0



s2  s 1  0



Akar persamaannya imajiner, responnya berosilasi terus menerus



Akar persamaannya real negatif, respon saat tak hingga = 0



Kontroler PID 



Kombinasi beberapa jenis kontroler diperbolehkan 







PI, PD, PID



Keuntungan kontroler PID: 



Menggabungkan kelebihan kontroler P, I, dan D 











P : memperbaiki respon transien I : menghilangkan error steady state D : memberikan efek redaman



• Kontroler PID Seri t  1 de(t )    u (t )  K p  e(t )   e(t )dt  Td Ti 0 dt     1 U ( s)  K p  E ( s)  E ( s)  Td sE ( s)  Ti s   K U ( s)  K p E ( s)  i E ( s)  K d sE ( s) s



• Kontroler PID Paralel t



1 de(t ) u (t )  K p e(t )   e(t )dt  Td Ti 0 dt 1 E ( s)  Td sE ( s) Ti s K U ( s)  K p E ( s)  i E ( s)  K d sE ( s) s U ( s)  K p E ( s) 



Kontroler PID praktis (rangkaian)



Tuning kontroler PID 



Permasalahan terbesar dalam desain kontroler PID  Tuning







: menentukan nilai Ki, Kp, dan Kd



Metode – metode tuning dilakukan berdasar  Model



matematika plant/sistem  Jika model tidak diketahui, dilakukan eksperimen terhadap sistem 



Cara tuning kontroler PID yang paling populer :  Ziegler-Nichols



metode 1 dan 2  Metode tuning Ziegler-Nichols dilakukan dengan eksperimen (asumsi model belum diketahui)  Metode ini bertujuan untuk pencapaian maximum overshoot (MO) : 25 % terhadap masukan step



Metode tuning Ziegler-Nichols 1 







Dilakukan berdasar eksperimen, dengan memberikan input step pada sistem, dan mengamati hasilnya Sistem harus mempunyai step response (respons terhadap step) berbentuk kurva S Sistem tidak mempunyai integrator (1/s)  Sistem tidak mempunyai pasangan pole kompleks dominan (misal : j dan –j, 2j dan -2j) 



 



Muncul dari persamaan karakteristik  s2+1, s2+4 Respon sistem berosilasi



Metode tuning Ziegler-Nichols 1



Metode tuning Ziegler-Nichols 1 



Prosedur praktis Berikan input step pada sistem 2. Dapatkan kurva respons berbentuk S 3. Tentukan nilai L dan T 4. Masukkan ke tabel berikut untuk mendapatkan nilai Kp, Ti, dan Td 1.



Tipe alat kontrol



KP



Ti



Td



P



T/L



~



0



PI



0.9 T/L



L/0.3



0



PID



1.2 T/L



2L



0.5L



Metode tuning Ziegler-Nichols 2 



Metode ini berguna untuk sistem yang mungkin mempunyai step response berosilasi terus menerus dengan teratur  Sistem







dengan integrator (1/s)



Metode dilakukan dengan eksperimen  Dengan



meberikan kontroler P pada suatu sistem close loop dengan plant terpasang  Gambar … 



Lalu nilai Kp ditambahkan sampai sistem berosilasi terus menerus dengan teratur  Nilai Kp  Periode



saat itu disebut penguatan kritis (Kcr) saat itu disebut periode kritis (Pcr)



Metode tuning Ziegler-Nichols 2



Metode tuning Ziegler-Nichols 2 Prosedur praktis







1. 2. 3. 4.



Buat suatu sistem loop tertutup dengan kontroler P dan plant di dalamnya Tambahkan nilai Kp sampai sistem berosilasi berkesinambungan Dapatkan responnya, tentukan nilai Kcr dan Pcr Tentukan nilai Kp, Ti, dan Td berdasar tabel berikut



Tipe alat kontrol



KP



Ti



Td



P



0.5 Kcr



~



0



PI



0.45 Kcr



1/1.2 Pcr



0



PID



0.6 Kcr



0.5 Pcr



0.125 Pcr



TERIMA KASIH 77