Ketidakpastian Pada Suatu Fungsi [PDF]

Citation preview

A. KETIDAKPASTIAN PADA SUATU FUNGSI 1.



Ketidakpastian pada fungsi satu variabel Perhatikan , misal y sebagai fungsi dari x: y = f(x), x (variabel bebas) adalah besaran yang diukur, dan y (variabel terikat) adalah besaran yang dicari (B. Darmawan Djonoputro, 1977:20-21).



dan Perlu diingat disini, apabila ∆x bersifat bagian skala terkecil, begitu pulalah interpretasi ∆y, dan apabila ∆x berupa simpangan baku, ∆y juga bersifat demikian. Berikut adalah beberapa contoh fungsi satu variabel yang sering kita jumpai dalam praktikum fisika. a) y  ax n , n bilangan bulat (fungsi pangkat) atau pecahan dy  nax n 1 dx



∆y =



n.ax n 1 x



b) y = log x;



∆y =



dy 1  dx x ln 10



1 x x ln 10



c) y = ex;



dan



y 1 x  y ln x x



dy  ex dx



∆y = ex∆x dan



d) y = sin x;



y x n y x



dan



y  x y



dy  cos x dx



y  cos x x



dan



y  ctgx x y



Dalam menghitung ∆y, sudah barang tentu ∆x harus dinyatakan dalam radian.



Contoh soal: Diameter suatu kawat silinder diperoleh d = (2,00 ± 0,05) mm. Berapakah ketidakpastian pada penempangnya? Penyelesaian:  d Penampang A =     2



A  2



2



 3,1428... mm2



d xA d



0,05



= 2 x 2,00 x 3,1428… = 0,16 mm2 (dibulatkan mengingat ketelitian menjadi 0,2) (B. Darmawan Djonoputro, 1977:21-22).



2.



Ketidakpastian pada fungsi dua variabel Perhatikan z = z (x,y), di mana x = x  x dan y = y  y adalah hasil pengukuran langsung (merupakan variabel bebas), dan z adalah besaran yang dicari (merupakan variabel tidak bebas). ∆x dan ∆y adalah ketidakpastian pada x dan y, maka z juga akan mempunyai ketidakpastian tertentu ∆z. Ada tiga kasus dalam fungsi dua variabel antara lain: a) ∆x dan ∆y ditentukan nilai skala terkecil (pengukuran tunggal) z = z (x,y), maka: z  z ( x , y ) dan  z    x 



z  



y



 z   x    y 



y x



Contoh: Pengukuran sebuah luas benda dengan panjang 100 mm dan lebar 50 mm. dengan nst sebesar 1 mm. Maka pengukuran luasnya adalah Diketahui: p = (100,1 ± 0,5) mm



l = (50,2± 0,5) mm Berapakah luas menurut pengukuran ini dan berapa ketidakpastiannya? A = 5025,02 mm2 = 5,03 x 103 mm 2  A    P 



A  



 A    l 



P   l



l p



=l.P+p.l = 50,2 . 0,5 + 100,1 . 0,5 = 25, 1 + 50, 05 = 75, 15 mm 2 = 0,07515 x 103 mm2 = 0,08 x 103 mm2 A  x  A A  (5,03  0,08)10 3 mm 2



b) ∆x dan ∆y berupa simpangan baku (pengukuran berulang) z = z (x, y) Sekarang x dan y dimisalkan dapat diukur N kali, hingga menghasilkan contoh xi, yi dengan i = 1,2, …..N. Dari sini dapat ditemukan x  x dan y  y . Seperti biasa, kita tentukan z  z ( x , y )



∆z dapat dihitung dengan persamaan : ∆z =



 z     x 



2



 z   x 2    y  x



2



y 2 y



Contoh: Pengukuran sebuah luas benda x = panjang dan y = lebar yang dilakukan selama 5 kali pengulangan dengan nst 1 mm.



No



xx



X



(x  x)2



1



5



-0,3



0,09



2



5,5



0,2



0,04



3



5,3



0



0



4



5,4



0,1



0,01



5



5,1



-0,2



0,04







5,3



 



0,18



 (x  x)



2



n(n  1)



0,18 20   0,07 mm  



x  x  x x  (5,30  0,07) mm



No



y



( y  y) 2



y y



1



2,5



-0,4



0,16



2



2,9



0



0



3



2,8



0,1



0,01



4



3,0



0,1



0,01



5



3,2



0,3



0,09







2,9



0,27



y 



 ( y  y)



2



n( n  1)



0,27 20 y  0,01mm y 



y  y  y y  ( 2,90  0,01) mm A  P.l A  5,3 X 2,9 A  15,37 A  1,5 X 101 mm 2



A 



 z     x 



2



x



 z x 2    y



2



  



y 2 y



A 



l 2 xp  p 2 xl 2



 



2,9 2 x 0,07 2  5,3 2 x 0,012



  8,41x 4,9.10 3 28,09 x1.10  4 A 



0,041209  2,809.10 3



  0,02.101 mm 2



A  A   A  (1,50  0,02)101 mm 2



c) ∆x dan ∆y berlainan sifat Apabila pada fungsi z = z(x,y), besaran x diukur secara berulang hingga hukum statistika dapat dipakai padanya, maka ∆x berupa simpangan baku nilai rata-rata x. Besaran y karena sesuatu hal hanya diukur sekali saja, hingga ∆y adalah ½ nst, maka kedua ketidakpastian ini mempunyai makna statistika yang berlainan. ∆x memiliki tingkat kepercayaan 68%, sedangkan ∆y memiliki tingkat kepercayaan 100%. Bagaimanakah memadu jenis ketidakpastian yang berlainan tingkat kepercayaannyaitu?.



Sebagai



jalan



keluar



menyamakan tingkat kepercayaan y dan x. z = z  z z  z( x, y)



sering



diambil



kebijaksanaan



Jika diambil tingkat kepercayaan 68% maka:   z       x 



A 



2



 z  x     y  y



2



2







 2 / 3y  2  



x



Contoh:   0,07 mm x  5,3mm y  2,5 y  1 x1  0,5 2 A  X xY A  5,3 x 2,5 A  1,3.10 2 mm 2



  z       x 



A 



2



 z  x     y  y



2



2







 2 / 3y  2  



 2  Y   3 



x 2



 



y 2 . 2  X 



A 



 2  2,5 2.0,07 2  5,3 0,5   3 



 



0,030625  252,81



2



  15,9  1,6 x10 2 mm 2 A  A   A  (1,3  1,6)10 2 mm 2



Jika diambil tingkat kepercayaan 100% maka:  z    x 



A  



y



 z    y 



x



 z    y 



x



x 3 / 2x   



xy



Contoh:  z    x 



A  



y



x 3 / 2x   



3   XY 2 3 A  2,5. 0,07  5,3.0,5 2 A  0,05.10 2   Y .



A  A  A A  (1,30  0,05).10 2 mm 2



xy



(B. Darmawan Djonoputro, 1977:23-28).