Konsep Pengukuran Kemencengandan Keruncingan [PDF]

Citation preview

KONSEP PENGUKURAN KEMENCENGANDAN KERUNCINGAN MATA KULIAH STATISTIKA



Disusun oleh : KELOMPOK 7 Amanda Nadia Putri



P21345118008



Eva Pratiwi



P21345118020



Irsyad Prasetyo Nugroho



P21345118036



Muhammad Arfan Fadli



P21345118041



PROGRAM STUDI II - DIII A KESEHATAN LINGKUNGAN POLITEKNIK KESEHATAN KEMENTRIAN KESEHATAN JAKARTA 2 Jalan Hang Jebat III Blok F3, Kebayoran Baru, Jakarta Selatan 12120 Telp. (021) 7397641



KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kami kemudahan sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan tepat waktu. Tanpa pertolongan-Nya tentunya kami tidak akan sanggup untuk menyelesaikan makalah ini dengan baik. Shalawat serta salam semoga terlimpah curahkan kepada baginda tercinta kita yaitu Nabi Muhammad SAW yang kita nantinatikan syafa’atnya di akhirat nanti. Penulis mengucapkan syukur kepada Allah SWT atas limpahan nikmat sehat-Nya, baik itu berupa sehat fisik maupun akal pikiran, sehingga penulis mampu untuk menyelesaikan pembuatan makalah sebagai tugas. Penulis tentu menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna dan masih banyak terdapat kesalahan serta kekurangan di dalamnya.Untuk itu, penulis mengharapkan kritik serta saran dari pembaca untuk makalah ini, supaya makalah ini nantinya dapat menjadi makalah yang lebih baik lagi. Kemudian apabila terdapat banyak kesalahan pada makalah ini penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya. Demikian, semoga makalah ini dapat bermanfaat. Terima kasih.



Jakarta, 25 September 2019



PENULIS



2



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR ...............................................................................................................2 DAFTAR ISI ..............................................................................................................................3 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ................................................................................................................4 B. Rumusan Masalah ...........................................................................................................4 C. Tujuan .............................................................................................................................4 BAB II PEMBAHSAN A. Cara Menentukan Koefisien ...........................................................................................5 B. Pengertian Kurtosis (Keruncingan)..................................................................................9 C. Pembagian Kurtosis untuk data tunggal dan tada kelompok ..........................................10 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan .....................................................................................................................13 DAFTAR PUSTAKA



3



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Pengetahuan kita tentang berbagai macam ukuran sangat diperlukan agar kita dapat memperoleh gambaran lebih lengkap dalam memahami tentang data – data yang telah terkumpul.    



Ukuran



Kita



telah



Kemiringan



memahami dan



tiga



macam



Keruncingan



meliputi



ukuran, Ukuran



yaitu



:



Kemiringan



(Skewness),Ukuran Keruncingan (Kurtosis) dan Ukuran Penyebaran (Dispersi).     Ukuran Rumus meliputi Rumus Pearson ,Rumus Momen , dan Rumus Bowley  .     Di samping kedua ukuran yang telah kita pahami tersebut kita masih akan membahas ukuran lain , yaitu simpangan atau ukuran penyebaran . Ukuran terakhir ini menggambarkan bagaimana terpencarnya sekumpulan data kuantitatif atau bilangan – bilangan . beberapa ukuran yang akan kami bahas di dalam makalah ini adalah Ukuran Kemiringan,Ukuran



Keruncingan,Ukuran



Penyebaran,Rumus



Pearson,Rumus



Momen,Rumus Bowley. B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana Cara Menentukan Koefisien? 2. Apa pengertian Pengertian Kurtosis (Keruncingan)? 3. Bagaimana Pembagian Kurtosis untuk data tunggal dan tada kelompok? C. Tujuan 1. Mengetahui cara menentukan koefissien 2. Mengetahui cara pengertian kurtosis (keruncingan) 3. Mengetahui pembagian kurtosisn untuk data tunggal dan data berkelompok



4



BAB II PEMBAHASAN



A. Cara Menentukan Koefisien Ukuran Kemencengan Kurva (Skewness) Kurva yang tidak simetris dapat menceng ke kiri atau ke kanan. Di dalam kurva yang simetris, letak modus, median, dan rata rata sama. Perhatikan tiga bentuk kurva berikut. Ukuran Tingkat Kemencengan (TK) menurut Pearson adalah sebagai berikut :



TK =



3( X´ −Mod) S



Keterangan : X´



= rata – rata hitung



Mod



= modus



S



= simpangan baku



Atau



TK =



3( X´ −Med ) S



5



Secara empiris dapat ditunjukan bahwa X´ – Mod = 3( X´ – Med). Ukuran tingkat kemencengan dapat juga dihitung berdasarkan momen ketiga dengan rumus sebagai berikut : α3



=



M3 S



3



=



1 n S3



=



1 n S3



n



∑ f i (Mi - X´ )3 . . . . . . . (untuk data tak berkelompok) i=1



atau α3



=



M3 S



3



K



∑ f i (Mi - X´ )3 . . . . . . . (untuk data berkelompok, ada k kelas) i=1



Disini α 3 sering disebut momen koefisien kemencengan (moment coefficieny of skewness). Apabila kelas intervalnya sama, maka untuk menghitung α 3 dapat dipergunakan rumus berikut : α3 =



c3 ¿ S3



Dimana : α3



= ukuran tingkat kemencengan



S



= Simpangan baku



c



= besarnya kelas interval



fi



= Frekuensi kelas ke-i



di



= simpangan kelas – i terhadap titik asal asumsi



K



= banyaknya kelas



Contoh : Modal (M) 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171 172 -180



Nilai Tengah 122 131 140 149 158 167 176



Sistem Tally III IIIII IIIII IIII IIIII IIIII II IIIII IIII II 6



f 3 5 9 12 5 4 1



Jumlah



40



Berdasarkan data berkelompok, hitunglah TK dan α 3 dengan rumus Penyelesaian :



(6)



f d2 (7)



f d3 (8)



f d4 (9)



-3 -2



-9 -10



27 20



-81 -40



243 80



1260



-1



-9



9



-9



9



12 5



1788 790



0 1



0 5



0 5



0 5



0 5



4



668



2



8



16



32



64



3 6 18 ∑ f i di = -9 ∑ f i d3i = -39



54



162



Kelas



M



f



fM



d



fd



(1)



(2)



(3)



(4)



(5)



118 – 126 127 – 135



122 131



3 5



366 655



136 – 144



140



9



145 – 153 154 – 162



149 158



163 – 171



167



172 – 180



176 2 352 Jumlah ∑ f i = 40 ∑ f i M i= 5879



∑ f i di4= 563



*untuk menghitung α 4 X´ =



∑ f i Mi ∑f i



=



5879 40



= 146,975 Med = L0 +c ¿ Dari data f1 + f2 + f3 = 3 + 5 + 9 = 17, belum mencapai 50% observasi (=20). Untuk mencapai angka 20, harus ditambah dengan frekuensi kelas keempat. Jadi kelas keempat memuat median fm = 12 (∑ f i ¿ 0 = 17. Nilai batas bawah dan atas dari kelas yang memuat median masing – masing adalah : 1 1 (144 + 145) = 144,5 dan (153 + 154) = 153,5 2 2 C



= 153,5 – 144,5 = 9 ; L0 = 144,5



7



Med



= 144,5 + 9



( 20−17 12 )



= 146,75 S



=c



√



=9



∑ f i d 2i −¿ ¿ n



√



95 −¿ ¿ 40



= 13, 72



TK =



=



3( X´ −Med ) S 3(146,975−146,75) 13,72



= 0,049 α3



=



93 3 ¿ (13,72)



= 0,282 . (0,605) = 0,17 Makin besar α 3, kurva suatu distribusi makin menceng atau miring). Ukuran kemenangan lainnya dengan menggunakan kuartil dan persentil adalah sebagai berikut :



QCS



=



( Q3−Q2 ) −(Q2−Q1 )



10 – 90 PCS =



Q 3−Q 1



=



Q3−2 Q2+Q1 Q3 −Q1



( P90−P50 )−( P50−P10) P 90−P10



=



P 90−2 P 50+ P10 P90 −P 10



Keterangan :



8



QCS



= Quartile Coefficient of Skewness (Kuartil Koefisien kemencengan )



10 – 90 PCS = 10 – 90 Percentile Coefficient of Skewness (Persentil Koefisien Kemencengan)



B. Pengertian Keruncingan (Kurtosis) Pengukuran kurtosis (peruncingan) sebuah distribusi teoritis adakalanya dinamakam pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebenarnya kurtosis bisa dianggap sebagai suatu distorsi dari kurva normal. Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat ketinggian puncak atau keruncingan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut: 1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi 2) Platikurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar 3) Mesokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar Bila distribusi merupakan distribusi simetris, maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal. Pada kurva simetris, jika skala tegak lurus kurva normal ditarik secara memanjang dan skala horisontalnya dipersempit maka kurvanya akan menjadi tingggi dan ramping. Sebaliknya, jika skala tegak lurusnya diperpendek dan skala horisontal diperlebar, maka kurvanya akan menjadi pendek dan melebar.



Untuk mengetahui keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh: 1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik. 2) Nilai lebih besar dari 3, maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik. 3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik. 9



C. Ukuran Keruncingan Kurva (Kurtosis) Dilihat dari tingkat keruncingannya kurva distribusi frekuensi dibagi menjadi 3, yaitu leptokurtis, platykurtis, dan mesokurtis, yang bentuk kurvanya adalah sebagai berikut: 1)



Leptokurtis (Puncaknya sangat runcing) Keterangan: Kriteria yang didapat dari persamaan ini ialah: a) a4 > 3 : distribusi leptokurtik



b) a4 = 3 : distribusi normal c) a4 < 3 : distribusi platikurtik 2) Platikurtis (Puncak agak datar/merata)



3) Mesokurtis (Puncaknya tidak begitu runcing)



Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva distribusi dipergunakan α 4, yaitu momment coefficient of kurtosis yang rumusnya sebagai berikut: 1) Kurtosis untuk data tunggal n



4 1 ( X i− X´ ) M4 n ∑ α 4= 4 = i=1 4 S S



10



2) Kurtosis untuk data berkelompok n



1 ´ )4 f i ( X i− X ∑ M n α 4= 44 = i=1 4 S S Kalau kelas intervalnya sama, maka rumus di atas akan menjadi: k



k



k



k



k



2



k



C4 1 1 1 1 1 1 α 4= 4 ∑ f i d i4−4 ∑ f i d i4 f i d i +6 ∑ f i di2 f i d i −3 ∑ f i d i ∑ ∑ n i=1 n i =1 n i=1 n i=1 n i=1 S n i=1



{



(



)(



) (



)(



) (



4



)}



Contoh Soal Berdasarkan data berkelompok dari tabel di bawah ini, hitunglah tingkat keruncingan kurva dengan menggunakan rumus. M f fM 122 3 366 131 5 655 140 9 1.260 149 12 1.788 158 5 790 167 4 668 176 2 352 f =40 f M =5.879 ∑ i ∑ i i



kelas 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171 172 – 180 Jumlah



d -3 -2 -1 0 1 2 3



fd -9 -10 -9 0 5 8 6



fd 2 27 20 9 0 5 16 18



f d3 -81 -40 -9 0 5 32 54



Penyelesaian: α 4=



94 1 −39 −9 95 −9 2 −9 ( 563 ) −4 +6 −3 4 40 40 40 40 40 40 13,72



{



4



( )( ) ( )( ) ( ) }



6.561 2 −9 ¿ 14,075−4 (−0,975 ) (−0,025 ) +6 ( 2,375 ) (−0,025 ) −3 35,433,68 40



{



( )}



¿ 0,185 [ 14,075−4 ( 0,219 ) +6 ( 0,120 ) −3 ( 0,0020 ) ] ¿ 0,185 ( 14,075−0,876+ 0,72−0,0078 ) ¿2,57 Kalau



4



α4 > 3 dihasilkan kurva leptokurtis (meruncing) α4 = 3 dihasilkan kurva mesokurtis (normal) 11



f d4 243 80 9 0 5 64 162



a4 < 3 dihasilkan kurva platykurtis (mendatar)



BAB III PENUTUP



12



A. Kesimpulan Pengukuran kurtosis (peruncingan) sebuah distribusi teoritis adakalanya dinamakam pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebenarnya kurtosis bisa dianggap sebagai suatu distorsi dari kurva normal. Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat ketinggian puncak atau keruncingan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal.



13



DAFTAR PUSTAKA Herrhyanto, Nar, Hamid, H.M. Akib. 2008. Statistika Dasar. Jakarta : Universitas Terbuka. Supranto, J. 2000.STATISTIK Teori dan Aplikasi. Jakarta: Erlangga.