Laplace 3 [PDF]

Citation preview

TRANSFORMASI LAPLACE



Fungsi Langkah dan Teorema Perubahan Kedua Unit Step Function (Heaviside Function) and Second Shifting Theorem (t-Shifting)



Dr. Ir. Bambang Dwi Argo, DEA



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Fungsi Langkah (Heaviside Function) (𝑢 𝑡 − 𝑎 ) bernilai 0 saat 𝑡 < 𝑎, memiliki nilai 1 saat 𝑡 = 𝑎 (dimana dapat dibiarkan tak terdefinisi) dan bernilai 1 saat 𝑡 > 𝑎. Dapat dirumuskan dalam Persamaan (1) sebagai berikut:



0 u t  a    1 Dimana: 𝑎 ≥ 0



Jika 𝑡 < 𝑎 Jika 𝑡 > 𝑎



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Grafik berikut menunjukkan permasalahan khusus dimana Fungsi Langkah 𝑢 𝑡 , bernilai 1 saat 𝑡 = 0.



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Grafik berikut merupakan permasalahan umum dalam Fungsi Langkah 𝑢 𝑡 − 𝑎 untuk 𝑎 bernilai positif.



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Transformasi Laplace dari bentuk 𝑢 𝑡 − 𝑎 secara langsung dapat didefinisikan sebagai berikut: 



L u  t  a    e  st u  t  a  dt 0 



 e



 st



0







e



 st



s



1dt  t a



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Oleh karena integrasi dimulai pada saat 𝑡 = 𝑎 (dimana 𝑎 ≥ 0) dan karena 𝑢 𝑡 − 𝑎 bernilai 0 saat 𝑡 < 𝑎, maka dapat disederhanakan menjadi Persamaan (2) berikut:



L u  t  a   Dimana: 𝑠 > 0



e



 as



s



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Fungsi Langkah (Heaviside Function) merupakan fungsi yang umum digunakan dalam dunia keteknikan yang dibuat untuk mengukur sebuah aplikasi keteknikan, yang sering melibatkan fungsi seperti mekanis dan elektrik dengan kondisi biner (nilai 1 dan 0 atau ‘ON’ dan ‘OFF’). Dengan mengalikan fungsi 𝑓 𝑡 dengan 𝑢 𝑡 − 𝑎 , maka dapat diketahui pola grafik biner yang didapatkan.



Contoh … Contoh sederhana dari penerapan Fungsi Langkah pada grafik dalam permasalahan keteknikan tampak pada grafik berikut. Grafik A merupakan grafik dari fungsi 𝑓 𝑡 = 5sin𝑡.



Contoh … Grafik (B) menunjukkan bahwa Grafik (A) digeser antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 2 (karena 𝑢 𝑡 − 2 = 0 saat 𝑡 < 2) dan titik mulanya juga digeser pada 𝑡 = 2.



Contoh … Grafik (C) menunjukkan Grafik (A) yang telah mengalami pergeseran pada tahap sebelumnya (Grafik (B)). Pergeseran grafik sebesar 2 satuan ke arah kanan dengan titik mula pada 𝑡 = 2 dengan bentuk grafik sama seperti sebelumnya.



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Sehingga, secara umum dapat disimpulkan:



“Jika 𝑓 𝑡 = 0 untuk semua 𝑡 bernilai negatif, maka 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢 𝑡 − 𝑎 dengan 𝑎 > 0 merupakan fungsi 𝑓 𝑡 yang digeser ke arah kanan sejauh nilai dari 𝑎”



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Grafik-grafik berikut juga menunjukkan contoh aplikasi penggunaan Fungsi Langkah pada bentuk grafik yang umum dalam aplikasi keteknikan.



FUNGSI LANGKAH



(Heaviside Function) Grafik berikut merupakan grafik dari gelombang sinusoidal tegangan listrik yang dihilangkan nilai negatifnya.



TEOREMA PERUBAHAN KEDUA 2nd Shifting Theorem Teorema pertama (s-shifting) yang dibahas sebelumnya (kuliah ke-1&2) berfokus pada transformasi dari 𝐹 𝑠 = 𝐿 𝑓 𝑡 dan 𝐹 𝑠 − 𝑎 = 𝐿 𝑒 𝑎𝑡 𝑓 𝑡 . Pada Teorema Kedua (t-shifting) ini, pembahasan akan difokuskan pada fungsi 𝑓 𝑡 dan 𝑓 𝑡 − 𝑎 . Fungsi Langkah (heaviside function) pada bahasan sebelumnya merupakan sebuah metode dan teorema yang akan dibutuhkan guna diaplikasikan dengan fungsi-fungsi lain secara bersamaan.



Teorema 1: t-Shifting “Jika 𝑓 𝑡 memiliki transformasi 𝐹 𝑠 , maka shifted function-nya menjadi:  0 Jika 𝑡 < 𝑎 f t   f t  a  u t  a    (3)  f  t  a  Jika 𝑡 > 𝑎 memiliki bentuk transformasi 𝑒 −𝑎𝑠 𝐹 𝑠 . Dengan demikian, jika 𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 , maka: L f  t  a  u  t  a   e  as F  s  (4) Atau jika diinverskan pada kedua sisinya, akan menjadi:







(4*)















f  t  a  u  t  a   L1 e  as F  s 



Teorema 1: t-Shifting Secara praktis, jika kita memiliki fungsi dalam bentuk 𝐹 𝑠 , kita dapat memperoleh bentuk transformasi yang sesuai dengan Persamaan (3) pada Teorema 1 dengan mengalikan 𝐹 𝑠 dengan 𝑒 −𝑎𝑠 . Pada grafik yang dicontohkan pada pembahasan Fungsi Langkah sebelumnya kita punya bentuk 𝐹 𝑠 dari fungsi 5sin𝑡.



Teorema 1: t-Shifting



Bentuk 𝐹 𝑠 dari fungsi 5sin𝑡 adalah 𝐹 𝑠 = 5 𝑠 2 + 1 . Maka shifted function-nya menjadi:



5sin  t  2  u  t  2 



Seperti yang tampak pada grafik paling kanan, dan memiliki transformasi sebagai berikut:











e 2 s F  s   5e 2 s / s 2  1



Pembuktian !!! Pada sisi kanan dari Persamaan (4) Teorema 1, kita gunakan definisi dari Transformasi Laplace dengan menuliskan 𝜏 menggantikan 𝑡 (guna selanjutnya mendapatkan 𝑡 yang tersisa). Dengan memasukkan 𝑒 −𝑎𝑠 kedalam integral, kita dapatkan:



e



 as



F s  e



 as







e 0



 st







f   d   e 0



 s   a 



f   d



Pembuktian !!! Dengan mensubtitusikan 𝜏 + 𝑎 = 𝑡, maka 𝜏 = 𝑡 − 𝑎 dan 𝑑𝜏 = 𝑑𝑡 ke dalam integral, maka didapatkan:   s   a   as



F s   e



e



f   d



0



e



 as







F s   e a



 st



f  t  a  dt



Pembuktian !!! Guna mengubah sisi kanan ke dalam bentuk Transformasi Laplace, kita harus mencari nilai integralnya dari batas 0 hingga ∞, bukan dari batas 𝑎 hingga ∞, dengan cara mengalikan hasil integral dengan 𝑢 𝑡 − 𝑎 . Sehingga untuk 𝑡 dari batas 0 hingga 𝑎, nilai intergralnya bernilai 0. Sehingga dapat ditulis dengan 𝑓 seperti pada Persamaan (3) menjadi: 







0



0



e  as F  s    e  st f  t  a  u  t  a  dt   e  st f  t  dt



Pembuktian !!! 







0



0



e  as F  s    e  st f  t  a  u  t  a  dt   e  st f  t  dt Integral tersebut merupakan sisi kiri dari Persamaan (4) Teorema (1) dan bentuk Transformasi Laplace dari 𝑓 𝑡 dari Persamaan (3) Teorema (1).



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Soal: Gunakan tahapan Fungsi Langkah dan carilah Transformasi Laplace dari fungsi berikut.  2 Jika 0 < 𝑡 < 1 1  2 Jika 1 < 𝑡 < 1 𝜋 f t    t 2 2  1 cos t Jika 𝑡 > 2 𝜋



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Jawab: Tahap 1: Mengubah dalam bentuk Fungsi Langkah 1 2  1   1  f  t   2 1  u  t  1   t  u  t  1  u  t       cos t  u  t    2   2   2 



Karena: • 2 1−𝑢 𝑡−1



•



•



1 2 𝑡 2 1 𝜋 2



bernilai 𝑓 𝑡 untuk 0 < 𝑡 < 1



𝑢 𝑡−1 −𝑢 𝑡



cos𝑡 𝑢 𝑡



1 − 𝜋 2



1 − 2𝜋



bernilai 𝑓 𝑡 untuk 1 < 𝑡




1 𝜋 2



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Jawab: Tahap 1: Mengubah dalam bentuk Fungsi Langkah 1 2  1   1  f  t   2 1  u  t  1   t  u  t  1  u  t       cos t  u  t    2   2   2 



 2 Jika 0 < 𝑡 < 1 1  2 Jika 1 < 𝑡 < 1 𝜋 f t    t 2 2  1 Jika 𝑡 > 𝜋 cos t 2



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Jawab: Tahap 2: Guna mengaplikasikan Teorema 1, tulislah setiap bentuk dari 𝑓 𝑡 menjadi bentuk 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢 𝑡 − 𝑎 . f  t   2 1  u  t  1 



Penerapan Teorema 1:







f  t   2 1  u  t  1 



 



L 2 1  u  t  1   2 1  e



s



/ s



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Jawab:



1 2  1  f  t   t  u  t  1  u  t     2   2 



1 f  t   t 2u  t  1 2 1 2  1  f t   t u  t    2  2 



Penerapan Teorema 1:  1 2 1 2  1 L  t u  t  1   L   t  1   t  1   u  t  1  2 2  2  1  1 1 1  L  t 2u  t  1    3  2   e  s 2s  2  s s



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Jawab: Penerapan Teorema 1: 2   1 2  1  1  1    1   2   1   L  t u  t     L   t      t      u  t       2  2   2  2  2  2  8   2  



 1 2  1   1   2   s /2 L  t u  t      3  2  e 8s   2  2    s 2s



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Jawab:  1  f  t    cos t  u  t     2 



 1  f  t    cos t  u  t     2 



Penerapan Teorema 1:    1    1    1  L  cos t  u  t      L   sin  t     u  t      2      2    2   1  s /2  1  L  cos t  u  t      2 e  2  s  1 



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Jawab: Sehingga, jika digabungkan menjadi: 2 2 s  1 1 1  s  1   2   s /2 1  s /2 L f    e   3  2  e  3  2   2 e e s s 2s  8s  s 1 s s  s 2s



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Jawab: Sehingga, grafik 𝑓 𝑡 sebagaimana berikut:



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Pembuktian !!! 1 2   1 1 1  s L  t u  t  1    3  2   e 2s  2  s s Oleh karena mengkonversi bentuk 𝑓 𝑡 menjadi 𝑓 𝑡 − 𝑎 cukup sulit, maka dapat diganti dengan persamaan:



L  f  t  u  t  a   e  as L  f  t  a 



(4**) Persamaan (4**) mengikuti Persamaan (4) pada Teorema 1 dengan menuliskan 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 𝑔 𝑡 , sehingga 𝑓 𝑡 = 𝑔 𝑡 + 𝑎 dan untuk selanjutnya menuliskan 𝑓 untuk 𝑔.



Contoh Soal 1 Aplikasi Teorema 1: Penggunaan Fungsi Langkah Pembuktian !!! Sehingga: 1  s  1 1 1  2 1 2  s  1 s  1 2 L  t u  t  1   e L   t  1   e L  t  t    e  3  2   2 2s  2  2  2 s s Langkah yang sama juga dilakukan pada . Untuk , dengan menggunakan Persamaan (4**), didapatkan:  1  1    s /2   1    s /2  s /2 L cos tu  t      e L cos  t      e L  sin t   e s2  1  2     2 



Contoh Soal 2 Aplikasi Teorema s dan t-Shifting Transformasi Balik Soal: Carilah transformasi balik 𝑓 𝑡 dari hasil Transformasi Laplace berikut:



e s e 2 s e 3s F s  2  2  2 2 s s   s  2



Contoh Soal 2 Aplikasi Teorema s dan t-Shifting Transformasi Balik Solusi: Tanpa memperhatikan tiga bentuk eksponensial pada penyebut fungsi 𝐹 𝑠 , didapatkan invers yaitu: (1) 1 sin𝜋𝑡 𝜋; (2) sin𝜋𝑡 𝜋; dan (3) 𝑡𝑒−2𝑡 ; sebab 𝑠2 memiliki



invers 𝑡, sehingga



1 𝑠+2 2



memiliki invers 𝑡𝑒−2𝑡 dengan



menggunakan Teorema Perubahan Pertama (s-Shifting). Berdasarkan Teorema Perubahan Kedua (t-Shifting), didapatkan: f t  



1







sin   t  1  u  t  1 



1







sin   t  2   u  t  2    t  3 e2t 3u  t  3



Contoh Soal 2 Aplikasi Teorema s dan t-Shifting Transformasi Balik Solusi: f t  



1







sin   t  1  u  t  1 



1







sin   t  2   u  t  2    t  3 e 2 t 3u  t  3



Contoh Soal 2 Aplikasi Teorema s dan t-Shifting Transformasi Balik Solusi: f t  



1







sin   t  1  u  t  1 



1



sin   t  2   u  t  2    t  3 e2t 3u  t  3



 Sehingga nilai dari 𝑓 𝑡 menjadi: • 𝑓 𝑡 = 0 Jika 0 < 𝑡 < 1;



• 𝑓 𝑡 =



− sin𝜋𝑡 𝜋



Jika 1 < 𝑡 < 2;



• 𝑓 𝑡 = 0 Jika 2 < 𝑡 < 3; • 𝑓 𝑡 = 𝑡 − 3 𝑒−2



𝑡−3



Jika 𝑡 > 3.



Contoh Soal 2 Aplikasi Teorema s dan t-Shifting Transformasi Balik Solusi: Sehingga, grafik 𝑓 𝑡 sebagaimana berikut:



Contoh Soal 3 Respon Rangkaian Elektronik pada Gelombang Persegi Tunggal Soal: Carilah nilai arus 𝑖 𝑡 pada rangakaian RC (ResistorCapasitor) seperti yang terlihat pada gambar, jika diberikan gelombang persegi panjang tunggal (Single Rectangular Wave) dengan tegangan 𝑉0 . Rangkaian diasumsikan diam sebelum gelombang diberikan.



Contoh Soal 3 Respon Rangkaian Elektronik pada Gelombang Persegi Tunggal Solusi: Input adalah 𝑉0 𝑢 𝑡 − 𝑎 − 𝑢 𝑡 − 𝑏 . Sehingga rangkaiandimodelkan dengan persamaan integraldiferensial berikut:



q t 



t



1 Ri  t    Ri  t    i   d  v  t   V0 u  t  a   u  t  b   C C0



Contoh Soal 3 Respon Rangkaian Elektronik pada Gelombang Persegi Tunggal Solusi: Dengan menggunakan Teorema 3 pada Kuliah Ke-2 dan Persamaan (1) pada Kuliah ini, didapatkan persamaan subsider berikut:



I s



V0  as bs RI  s    e  e  sC s Persamaan tersebut kemudian dipecahkan secara aljabar guna memperoleh 𝐼 𝑠 , didapatkan:







I s  F s e



 as



e



 bs







Contoh Soal 3 Respon Rangkaian Elektronik pada Gelombang Persegi Tunggal Solusi:







I s  F s e



V0 IR Dimana: F  s   s  1/  RC 



 as



e



 bs







V0  t /  RC  L F   e R 1



dan



Sehingga dengan Teorema 1 dihasilkan solusi berikut: i  t   L1  I 



















i  t   L1 e  as F  s   L1 e  bs F  s  V0   t  a  /  RC  i  t   e u  t  a   e  t b  /  RC u  t  b   R



Contoh Soal 3 Respon Rangkaian Elektronik pada Gelombang Persegi Tunggal Solusi: Sehingga nilai 𝑖 𝑡 sebagai berikut:  0 Jika 𝑡 < 𝑎;  i t    K1e  t /  RC  Jika 𝑎 < 𝑡 < 𝑏;   t /  RC  Jika 𝑎 > 𝑏. K  K e   1 2 



Dimana:



V0 e a /  RC  K1  R



dan



V0 eb /  RC  K1  R



Contoh Soal 3 Respon Rangkaian Elektronik pada Gelombang Persegi Tunggal Solusi: Sehingga, grafik 𝑖 𝑡 sebagaimana berikut:



Tugas 3 Gambarlah grafik dari fungsi yang diberikan berikut ini yang diasumsikan bernilai 0 pada semua nilai di luar interval yang diberikan. Tulis menggunakan Fungsi Langkah dan carilah transformasinya!



f t   t  2



Jika 𝑡 > 2.



f t   e



Jika 0 < 𝑡 < 2.



t



𝜋



Tugas 3 Carilah dan gambarkan grafik 𝑓 𝑡 , jika diketahui sebagai berikut: 3 s



e L f   4 s



Jika 𝑡 > 2.



Tugas 3 Dengan menggunakan Transformasi Laplace, carilah nilai dari arus 𝑖 𝑡 pada rangkaian berikut. Dimana 𝑅 = 10𝛺 dan 𝐶 = 10−2 𝐹 dan arus pada 𝑡 = 0 diasumsikan nol.



Jika 𝑡 < 2; v0 v  100  t  2  Jika 𝑡 > 2.