Latihan Dasar Olimpiade Matematika Sma - Vol 06 [PDF]

Citation preview

VOLUME 6 SOAL LATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMA 1. Nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan 4log A. 1 B. 2



2



log 𝑥 + 2log C. 4 D. 8



4



log 𝑥 = 2 adalah …. E. 16



2. Misalkan 3𝑎 = 4; 4𝑏 = 5; 5𝑐 = 6; 6𝑑 = 7; 7𝑒 = 8; dan 8 𝑓 = 9. Hasil dari 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 × 𝑑 × 𝑒 × 𝑓 adalah …. A. 1 C. 3 E. 5 B. 2 D. 4 3. Suatu garis melalui titik (𝑚, −9) dan (7, 𝑚) dengan kemiringan 𝑚. Nilai 𝑚 adalah …. A. 3 C. – 1 B. 1 D. – 2



E. – 3



4. Luas sebuah segitiga siku-siku adalah 5 satuan luas. Jika panjang sisi miring segitiga ini adalah 5 satuan, maka keliling segitiga tersebut adalah ... satuan. A. 8 + 3 5 C. 6 + 3 5 E. 4 + 3 5 B. 7 + 3 5 D. 5 + 3 5 5. Persamaan kuadrat 𝑥 2 − 𝑝𝑥 + 𝑝 = 0, 𝑝 > 0 mempunyai akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2 . Jika 𝑥12 + 𝑥22 = 48, maka nilai 𝑝 = .... A. 4 C. 8 E. 12 B. 6 D. 10 6. Diketahui A. B.



1



1 𝑥+1



+



1 𝑥+1



2 +



1 𝑥+1



1



3 + … = 2. Suku ke-5 barisan tersebut = ....



1



C.



27 1



D.



81



E.



243 1



2



2.187



729



7. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan 𝑢5 + 𝑢26 + 𝑢41 = 300. Nilai dari 𝑢24 = .... A. 50 C. 150 B. 100 D. 200 2



1



E. 250



2



8. Diketahui barisan bilangan berikut: 4 log 𝑥 , 4 log 2𝑥 , 4 log 4𝑥 , …. Jika hasil kali 3 suku pertama barisan tersebut adalah 1, maka suku kelima barisan tersebut = .... A. 2.048 C. 256 E. 16 B. 1.024 D. 64 9. Misalkan 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑢4 , dan 𝑢5 adalah lima suku pertama deret geometri. Jika hasil dari log 𝑢1 + log 𝑢2 + log 𝑢3 + log 𝑢4 + log 𝑢5 = 5 log 3, maka 𝑢3 = .... A. 3 C. 5 E. 6 B. 4 D. 6 1 10. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 1 + , dan 𝑓 1 = 4 maka 𝑓 2015 = .... 4 1 1 1 A. 505 C. 506 E. 507 2 2 2 B. 506 D. 507



1



| SOAL LATIHAN DASAR OLIMPIADE [email protected]



VOLUME 6 PEMBAHASAN SOAL LATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMA 1. Nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan 4log 4 log 2log 𝑥 + 2log 4log 𝑥 = 2 ⟺ 4log



2



log 𝑥 + 4log



4



log 𝑥 2



⟺ 4log



2



log 𝑥 ×



4



log 𝑥



⟺ 4log



2



log 𝑥 ×



4



log 𝑥 ×



2



2



log 𝑥 + 2log



4



log 𝑥 = 2 dicari dengan cara berikut.



=2



= 4log 16 4



log 𝑥



= 4log 16



⟺ 2log 𝑥 × 4log 𝑥 × 4log 𝑥 = 16 ⟺ 4log 𝑥 2 × 4log 𝑥 × 4log 𝑥 = 16 ⟺ 2 × 4log 𝑥 × 4log 𝑥 × 4log 𝑥 = 16 ⟺ 4log 𝑥 × 4log 𝑥 × 4log 𝑥 = 8 3



⟺ 4log 𝑥 = 8 ⟺ 4log 𝑥 = 2 ⟺ 𝑥 = 42 = 16 JAWABAN: E 2. Jika 3𝑎 = 4; 4𝑏 = 5; 5𝑐 = 6; 6𝑑 = 7; 7𝑒 = 8; dan 8 𝑓 = 9, maka: 8𝑓 = 9 ⟺ 7𝑒 𝑓 = 9 ⟺ ⟺ ⟺ ⟺



6𝑑 5



𝑒 𝑓



=9



𝑓 𝑐 𝑑 𝑒



4𝑏 3𝑎



=9



𝑒 𝑓 𝑐 𝑑



=9



𝑓 𝑑 𝑒 𝑏 𝑐



=9



⟺ 3𝑎×𝑏×𝑐×𝑑×𝑒×𝑓 = 32 ⟺𝑎×𝑏×𝑐×𝑑×𝑒×𝑓 =2 JAWABAN: B 3. Suatu garis melalui titik (𝑚, −9) dan (7, 𝑚) dengan kemiringan 𝑚. Sehingga: 𝑚− −9 ⟺𝑚= 7−𝑚 𝑚+9 ⟺𝑚= 7−𝑚 ⟺𝑚 7−𝑚 =𝑚+9 ⟺ 7𝑚 − 𝑚2 = 𝑚 + 9 ⟺ 𝑚2 − 6𝑚 + 9 = 0 ⟺ 𝑚−3 2 =0 ⟺𝑚−3=0 ⟺𝑚=3 JAWABAN: A



2



| SOAL LATIHAN DASAR OLIMPIADE [email protected]



VOLUME 6 4. Luas sebuah segitiga siku-siku adalah 5. Panjang sisi miring segitiga ini adalah 5. Segitiga tesebut dapat digambarkan sebagai berikut. 𝑎×𝑡  𝐿= 2 𝑎×𝑡 ⟺5= 2 ⟺ 𝑎 × 𝑡 = 10 10 ⟺𝑎= 𝑡 ... (1) 2 2 2  5 =𝑎 +𝑡 10 2 ⟺ 25 = 𝑡 + 𝑡2 100 ⟺ 25 = 2 + 𝑡 2 𝑡 ⟺ 25𝑡 2 = 100 + 𝑡 4 ⟺ 𝑡 4 − 25𝑡 2 + 100 = 0 ⟺ 𝑡 2 − 5 𝑡 2 − 20 = 0 ⟺ 𝑡2 = 5 ∨ 𝑡 2 = 20 ⟺𝑡= 5 ∨ 𝑡=2 5 10  Untuk 𝑡 = 5 ⟺𝑎= 𝑡 10 ⟺𝑎= =2 5 5 Sehingga, kelilingnya adalah = 2 5 + 5 + 5 = 5 + 3 5 10  Untuk 𝑡 = 2 5 ⟺𝑎= 𝑡 10 ⟺𝑎= = 5 2 5 Sehingga, kelilingnya adalah = 5 + 2 5 + 5 = 5 + 3 5 JAWABAN: D 5. Persamaan kuadrat 𝑥 2 − 𝑝𝑥 + 𝑝 = 0, 𝑝 > 0 mempunyai akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2 . Jika 𝑥12 + 𝑥22 = 48, maka: −𝑝 𝑏  𝑥1 + 𝑥2 = − = − 𝑎 1 =𝑝 𝑐 𝑝  𝑥1 𝑥2 = 𝑎 = = 𝑝 1  𝑥12 + 𝑥22 = 48 ⇔ 𝑥1 + 𝑥2 2 − 2𝑥1 𝑥2 = 48 ⇔ 𝑝2 − 2𝑝 = 48 ⇔ 𝑝2 − 2𝑝 − 48 = 0 ⇔ 𝑝−8 𝑝+6 = 0 ⇔𝑝=8 ∨ 𝑝 = −6 Karena 𝑝 > 0, jadi nilai 𝑝 yang memenuhi adalah 𝑝 = 8 JAWABAN: C



3



| SOAL LATIHAN DASAR OLIMPIADE [email protected]



VOLUME 6 6. Diketahui



1 𝑥+1



+



1



1 1 + +…= 2 𝑥+1 2 𝑥+1 3



1 1 𝑥+1 dan rasio 𝑟 = 𝑥+1 Jumlah deret tak hingga dihitung dengan cara berikut. 1 𝑥+1 𝑎 𝑆~ = = 1−𝑟 1− 1 𝑥+1 1 𝑥+1 = 𝑥 𝑥+1 1 1 = 2 𝑥 𝑥=2 1 1 1 1 Sehingga, didapat suku awal 𝑎 = 2+1 = 3 dan rasio 𝑟 = 2+1 = 3 1 1 4 1 Jadi, suku ke-5 barisan tersebut adalah = 𝑎𝑟 4 = 3 3 = 243 Dari petunjuk di atas,diketahui suku awal 𝑎 =



JAWABAN: C



7. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan 𝑢5 + 𝑢26 + 𝑢41 = 300. 𝑢5 + 𝑢26 + 𝑢41 = 300 ⇔ 𝑢24 − 19𝑏 + 𝑢24 + 2𝑏 + 𝑢24 + 17𝑏 = 300 ⇔ 3𝑢24 = 300 ⇔ 𝑢24 = 100 JAWABAN: B 2



2



2



8. Diketahui barisan bilangan: 4 log 𝑥 , 4 log 2𝑥 , 4 log 4𝑥 , …. 2 2 2 𝑢1 = 4 log 𝑥 , 𝑢2 = 4 log 2𝑥 , dan 𝑢3 = 4 log 4𝑥 Jika 𝑢1 × 𝑢2 × 𝑢3 = 4 2



2



log 𝑥



× 4 2



2



log 2𝑥



1 = 4 log 𝑥 + log 2𝑥 + 2 40 = 4 log 𝑥 2𝑥 4𝑥 0 = 2 log 8𝑥 3 8𝑥 3 = 1 1 𝑥3 = 8 1 𝑥= 2 2 2 Sehingga, 𝑢5 = 4 log 16𝑥 = 4 log 8 𝑢5 = 43 = 64



2



× 4



2



log 4𝑥



log 4𝑥



JAWABAN: D 9. Misalkan 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑢4 , dan 𝑢5 adalah lima suku pertama deret geometri. log 𝑢1 + log 𝑢2 + log 𝑢3 + log 𝑢4 + log 𝑢5 = 5 log 3 ⟺ log 𝑢1 × 𝑢2 × 𝑢3 × 𝑢4 × 𝑢5 = log 35 𝑢 𝑢 ⟺ log 23 × 𝑟3 × 𝑢3 × 𝑢3 𝑟 × 𝑢3 𝑟 2 = log 35 𝑟 ⟺ 𝑢 3 5 = 35 ⟺ 𝑢3 = 3 JAWABAN: A



4



| SOAL LATIHAN DASAR OLIMPIADE [email protected]



VOLUME 6 1 10.Jika 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 1 + , dan 𝑓 1 = 4, maka: 4 1 𝑓 2 =𝑓 1 + 4 1 1 1 1 𝑓 3 =𝑓 2 + = 𝑓 1 + 4 4 +4=𝑓 1 +2 4 1 1 1 1 𝑓 4 =𝑓 3 + = 𝑓 1 +2 4 4 +4=𝑓 1 +3 4 ⋮ 1 1 1 1 𝑓 2015 = 𝑓 2014 + = 𝑓 1 + 2013 4 4 + 4 = 𝑓 1 + 2014 4 1 1 1 Sehingga, 𝑓 2015 = 𝑓 1 + 2014 4 = 4 + 503 2 = 507 2



5



| SOAL LATIHAN DASAR OLIMPIADE [email protected]



JAWABAN: E