MAKALAH Elemen Hingga [PDF]

Citation preview

MAKALAH METODE ELEMEN HIGGA Dosen Pengampu : Ir. KAULAN HARDJA



Disusun Oleh : Aan Antoni Andriawan



17.07.0.006



PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN BATAM 2021



Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat, Inayah, Taufik dan Hinayahnya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dalam bentuk maupun isinya yang sangat sederhana. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca dalam administrasi pendidikan dalam profesi keguruan. Harapan saya semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga saya dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik. Makalah ini saya akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang saya miliki sangat kurang. Oleh kerena itu saya harapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.



Batam 16 Juli 2021



Penyusun (Aan Antoni Andriawan)



ii



DAFTAR ISI



KATA PENGATAR ........................................................................ii DAFTAR ISI.....................................................................................iii BAB I PENDAHULUAN.................................................................1 1.1. Latar Belakang.............................................................................1 1.2. Rumusan Masalah........................................................................3 1.3. Tujuan Penulisan...............................................................3 BAB II LANDASAN TEORI..........................................................4 2.1 Metode Matrix.............................................................................4 2.2 Metode Kekakuan........................................................................6 2.3



2.2.1 Element Segitiga.................................................................6 2.2.2 Element Segiempat.............................................................6 Metode Fleksibilitas...........................................................8



BAB III PEMBAHASAN................................................................ 12 3.1



Cara Matrix Kekakuan.................................................................12 3.1.1 Kompatibility (Hub. Deformasi Lendutan).............................14 3.1.2 Hukum Hooke (Hub. Gaya Dalam dan Deformasi)................17 3.1.3 Kesetimbangan (Hub. Gaya Luar dan Gaya Dalam)...............19



BAB IV SOAL DAN JAWABAN...................................................22 4.1



Soal...............................................................................................22



BAB V KESIMPULAN...................................................................33 5.1



Kesimpulan.......................................................................33



DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………… 34



iii



BAB I PENDAHULUAN



1.1



Latar Belakang Pada umumnya, banyak masalah-masalah fisik yang dapat dinyatakan di dalam bentuk persamaan-persamaan differensial. Untuk dapat menyelesaikan



masalah-masalah



tersebut,



maka



harus



diselesaikan



persamaan-persamaan differensialnya. Cara yang terbaik untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan differensial adalah dengan penyelesaian secara analitik keadaan dimana penyelesaian secara analitik sulit



Ada beberapa



didapatkan. Sebagai



contoh, pada permasalahan suatu kontinum dengan batas-batas yang tidak teratur sehingga secara matematis syarat batas yang diperlukan tidak dapat ditentukan. Permaslaahan pada material anisotropic yang pada umumnya sulit untuk diselesaikan secara analitik karena analisis



akan meliputi



sejumlah persamaan yang bersifat non linier. Suatu metode numerik dapat dipergunakan untuk mendapatkan penyelesaian secara pendekatan jika penyelesaian secara analitik tidak dapat



dilakukan. Penyelesaian secara numerik akan menghasilkan harga-harga pada titik-titik diskrit yang ditinjau. Ada beberapa metode untuk mendapatkan penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan differensial. Pada dasarnya metoda -metoda numerik ini merubah persamaan differensial menjadi suatu sistem



iv



persamaan aljabar, dan kemudian menyelesaikan sistem persamaan tersebut. Salah satu metoda numerik yang akan dibahas disini adalah metoda elemen hingga (finite element method). Metode elemen hingga adalah metode numerik yang dapat dimanfaatkan untuk menghasilkan penyelasaian pendekatan (tidak eksak) maka diperlukan berbagai teknik untuk memperoleh harga yang



paling



mendekati



dengan



harga



eksaknya.



Seiring



dengan



perkembangan hardware computer yang sangat cepat, memungkinkan perkembangan software berbasis metode elemen hingga. Saat ini sudah banyak software komersial berbasis metode elemen hingga dipasarkan. Sebagai contoh adalah ABAQUS, CATIA Elfini, Patran, Nastran, Ansys dan lain-lain yang dapat menimbulkan pengaruh besar pada perhitungan analisa statis dan dinamik untuk pelat. Fenomena ini akan menyederhanakan persoalan dalam mengatasi masalah kalkulasi dan beberapa iterasi yang panjang.



v



1.2



Rumusan Masalah



Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut : 1. Apa pengertian invers matriks? 2. Bagaimana operasi penyelesaian invers matriks dan permasalahan



pada invers matriks?



1.3



Tujuan Penulisan



Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut: 1. Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks, dan pengertian determinan dan invers matriks 2. Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks dan penyelesaian masalah pada matriks.



vi



BAB II LANDASAN TEORI



2.1



Metode Elemen Hingga Metoda elemen hingga banyak dipergunakan untuk mendapatkan penyelesaian pendekatan dari masalah-masalah fisik, khususnya yang berhubungan dengan suatu kontinum. Sebagai contoh adalah masalah perambatan panas (head transfer), mekanika fluida (fluide mechanic) dan mekanika benda padat (colid mechanic) Metoda elemen hingga ini mengkombinasikan beberapa konsep matematika untuk mendapatkan suatu sistem persamaan linier atau non linier. Ada dua karakteristik dari metoda ini yang memberdakan dengan metoda-metoda numerik lainnya yaitu : 1. Metoda ini menggunakan formulasi integral untuk mendapatkan sistem persamaan aljabar. 2. Metode ini menggunakan “continuous piecewise smooth function” untuk mendekati parameter-parameter yang tidak diketahui. Metode elemen hingga pada dasarnya dibagi menjadi lima langkah penyelesaian yaitu : 1. Diskritisasi daerah/kontinum yang ditinjau. Hal ini meliputi penentuan lokasi dan koordinat-koordinat serta penomoran dari titik-titik nodal (node points).



vii



2. Tentukan persamaan interpolasi dan nyatakan persamaan ini didalam harga-harga dari titik-titik nodal yang tidak diketahui untuk tiap-tiap elemen. 3. Susun sistem persamaan untuk seluruh elemen dengan menggunakan metoda Galerkin atau metoda energi potensial. 4. Selesaikan sistem persamaan ini untuk mendapatkan harga -harga parameter dari tiap titik nodal. 5. Hitung besaran-besaran yang akan ditentukan. Besaran-besaran ini pada umumnya merupakan turunan dari parameter yaitu komponen-komponen tegangan, rambatan panas dan kecepatan aliran. Karena jumlah persamaan pada umumnya adalah cukup besar, maka perhitungan dengan metoda ini perlu dilakukan dengan menggunakan komputer. Metoda elemen hingga menjadi tidak praktis jika tidak tersedia komputer dengan kemampuan yang cukup. Metode elemen hingga mudah dipergunakan pada masalah-masalah kontinum dengan bentuk yang tidak teratur dan terdiri dari material yang berbeda. Metoda ini dapat juga dipergunakan pada m asalah “steady state” dan “time dependent” serta untuk masalah-masalah dengan sifat material yang non linier. Pada saat ini banyak paket-paket program metoda elemen hingga tersedia untuk menyelesaikan masalah-masalah dua dimensi atau tiga dimensi.



viii



Untuk masalah dua dimensi, pada umumnya program-program tersebut menggunakan elemen segitiga atau elemen segi empat atau generalisasi dari kedua elemen tersebut. Pada bagian selanjutnya akan dibahas formulasi dari elemen segitiga dan elemen segi empat yang bersifat linier serta penggunaan dari



elemen-elemen tersebut untuk suatu masalah fisik.



2.2



Elemen Segitiga dan Elemen Segiempat Linier Elemen segitiga dan elemen segi empat yang ditinjau disini adalah merupakan elemen-elemen dua dimensi. Elemen-elemen ini banyak dipergunakan pada program-program metoda elemen hingga karena elemen-elemen ini mempunyai formulasi persamaan yang sederhana. Kedua



elemen ini dapat dipergunakan pada analisis suatu kontinum dengan batasbatas yang tidak teratur. 2.2.1 Elemen Segitiga Suatu elemen segitiga linier diperlihatkan pada Gambar 1. Elemen ini mempunyai sisi-sisi yang lurus dan titik-titik nodal pada tiap ujungnya.Persamaan interpolasi untuk elemen ini adalah :  = 1 + 2x + sy



(3.1)



Dimana persamaan ini merupakan polinomial linier karena terdiri dari suatu konstanta 1 dan fungsi-fungsi x serta y.



ix



Sebagai akibat dari penggunaan persamaan interpolasi tersebut, elemen ini dapat dipergunakan untuk semua arah sistem koordinat bidang x -y. Harga  pada titik-titik nodal i, j dan k adalah i, j dan k sedangkan koordinat-koordinatnya adalah (Xi, Yi), (Xj, Yj), dan (Xk,Yk). Kondisi batas pada titik-titik nodal  = i, untuk x = Xi , y = Yi  = j, untuk x = Xj , y = Yj  = k, untuk x = Xk , y = Yk Substitusi harga-harga ini ke dalam (3.1), akan didapat suatu sistem persamaan linier yaitu : i, = 1 + 2Xi + 3Yi j, = 1 + 2Xj + 3Yj k, = 1 + 2Xk + 3Yk



(3.2)



Dari (3.2) akan didapat harga-harga 1, 2, dan 3 yaitu : 1 =



1 [(XjYk - XkYj) i + (XkYi – XiYk) j + (XiYj – XjYi) 2A



k]



2 =



1 [(Yj - Yk) i + (Yk - Yi) j + (Yi - Yj) k] 2A



3 =



1 [(Xk – Yj) i + (Xi - Xk) j + Xj - Xi) k] 2A



Dimana determinan :



x



1 xi Yi 1 xj Yj



= 2A



(3.3)



1 xk Yk A adalah luas dari elemen segitiga. Substitusi harga-harga 1, 2 dan 3 pada (3.1) akan didapat :  = Ni i + Nj j + Nk k



(3.4)



Dimana : Ni =



1 [ai + bix + ciy] 2A



(3.5)



Nj =



1 [aj + bjx + cjy] 2A



(3.6)



Nk =



1 [ak + bkx + cky] 2A



(3.7)



Dan ai = XjYk - XkYj bi = Yj - Yk ci = Xk – Xj ai = XjYk - XkYj bi = Yj - Yk ci = Xk – Xj ai = XjYk - XkYj bi = Yj - Yk ci = Xk – Xj Ni Nj dan Nk adalah fungsi-funsi bentuk (shape functions) dari elemen segitiga.



2.2.2 Elemen Segiempat Suatu elemen segiempat linier diperlihatkan ada Gambar 2. Elemen segiempat mempunyai panjang 2b dan lebar 2a. Persamaan interpolasi untuk elemen ini adalah :  = C1 + C2x + C3y + C4xy



(3.8)



xi



Persamaan interpolasi di atas hanya mempunyai satu dari tiga kemungkinan untuk term pada orde kedua (second order) yaitu xy. Elemen ini tidak dapat dipergunakan untuk semua arah yang sembarang pada koordinat bidang x-y karena term x2 dan y2 tidak terdapat pada persamaan interpolasi di atas. Sisi-sisi elemen segiempat harus selalu sejajar dengan sumbu x dan sumbu y. Persamaan interpolasi (3.8) dapat ditulis dalam koordinat lokal s



dan t.  = C1 + C2s + C3t + C4st



(3.9)



Dengan menggunakan koordinat lokal ini, fungsi bentuk dari elemen segiempat dapat lebihi mudah dievaluasi. Seperti halnya pada elemen segitiga, koefisien-koefisien C1, C2, C3 dan C4 pada (3.9) dapat ditentukan dengan menggunakan harga-harga  dari titik-titik nodal pada koordinat sistem s-t. Dari langkah di atas akan didapat empat persamaan yaitu : i = C1 j = C1 = (2b) C2 k = C1 = (2b) C2 + (2a) C3 + (4ab) C4



(3.10)



m = C1 = (2a) C3 Solusi dari persamaan di atas akan menghasilkan C1 = i C2 = 1/2b (j - i) C3 = 1/2a (m - i)



(3.11)



xii



C4 = 1/4a (i - j + k - m) Substitusi (3.11) ke dalam (3.9) akan didapat  = Nii + Njj + Nkk + Nmm



(3.12)



Dimana : Ni = (1 – s/2b) (1 – t/2a) Nj = s/2b (1 – t/2a)



(3.13)



Nk = st / 4ab Nm = t/2a (1 – s/2b) Adalah



fungsi-fungsi



bentuk



dari



elemen



segiempat.



Fungsi bentuk dari elemen segitiga dan elemen segiempat ini adalah merupakan suatu parameter yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah mekanika solid atau persamaan differensial dengan metoda elemen hingga. Sifat yang penting dari fungsi bentuk dari elemen segitiga dan elemen segiempat adalah bahwa fungsi bentuk berubah secara linier sepanjang sisi diantara dua titik nodal. Sebagai contoh pada elemen segeiempat, Ni berubah secara linier sepanjang sisi i-j dan sisi i-m. Perubahan harga  yang bersifat linier disepanjang sisi elemen segitiga dan elemen segiempat mempunyai arti bahwa kedua elemen ini bersifat kompatibel (compatible) antara satu dengan yang lainnya. Dengan demikian kedua elemen ini dapat dipergunakan secara bersama pada analisis suatu masalah dengan metoda elemen hingga.



xiii



(x,y)







Y



 = C1+C2+C3L+Ct



2a



2b



q t X



Gambar 2. Parameter-parameter elemen segiempat bilinier



xiv



BAB III PEMBAHASAN



3.1



Persamaan Differensial Torsi Pada Penampang Non Circular Pada tulisan ini akan ditinjau penggunaan metoda elemen hingga pada masalah torsi dari batang dengan penampang yang tidak berbentuk lingkaran (non circular sections). mengalami torsi adalah bentuk khusus dari prsamaan medan dua dimensi. Persamaan medan dua dimensi dinyatakan oleh : Dx



∂2∅ ∂2∅ + Dy - G + Q = 0 ∂ x2 ∂ x2



(4.1)



Persamaan differensial untuk penampang batang non circular yang mengalami torsi adalah : 1 ∂2∅ 1 ∂2∅ + + 2 = 0 g ∂ x2 g ∂ x2



(4.2)



Dimana g adalah modulus geser dari material dan  adalah sudut putar penampang persatuan panjang.



xv



Persamaan (4.2) didapt dari (4.1) dengan Dx = Dy = 1/g, G = 0 dan Q = 2. Variabel  adalah fungsi tegangan (stress function) dan tegangantegangan geser (shear stresses) didalam penampang merupakan turunan dari  terhadap x dan y. Selain masalah torsi, persamaan (4.1) dapat juga digunakan pada beberapa macam masalah fisik antara lain ; masalah mekanika fluida, masalah perambatan panas dan masalah perambatan gelombang pada fluida.



Untuk dapat menyelesaikan persamaan differensial di atas dengan metoda elemen hingga, maka perlu terlebih dahulu disusun persamaan -persamaan integral dari elemen-elemen dalam bentuk matrix. Pada dasarnya penyelesaian masalah persamaan differensial secara pendekatan dengan metoda elemen hingga adalah penyelesaian suatu sistem persamaan linier simultan yang disusun berdasarkan perhitungan dari sumbangan tiap -tiap elemen (element’s constribution) dan menempatkan harga-harga ini pada posisi yang tepat didalam sistem persamaan. Matrix-matrix elemen yang diperlukan untuk menganalisis persamaan differensial adalah matrix kekakuan element ( element stiffness matrix) dan vektor gaya elemen (element force vector). Suatu metoda untuk menyusun matrix elemen adalah dengan menggunakan metoda dari Galerkin. Pada prinsipnya cara Galerkin ini menggunakan metoda “Weighted Residual” yaitu suatu cara pendekatan untuk mendapatkan solusi numberik dari persamaan differensial. Pada



xvi



metoda ini suatu penyelesaian pendekatan disubstitusikan ke dalam persamaan differensial. Jika penyelesaian pendekatan ini tidak memenuhi persamaan, akan terdapat suatu hasil kesalahan atau “residual”. Bentuk rumus dari metoda “Weighted Residual” adalah : ∫ 𝑊𝑖 (𝑥)𝑜 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥 =0



(4.3)



“Residual” R(x) dikalikan dengan suatu “weighting function” Wi(x) dan integral dari perkalina ini harus sama dengan nol. Suatu sistem persamaan linier dapat dibentuk dari evaluasi integral di atas dengan menggunakan “weighting function” yang baru untuk tiap titik nodal dimana  tidak diketahui. Untuk mendapatkan rumus persamaan elemen hingga dari persamaan differensial, Galerkini menggunakan metoda “weighted residual” dengan “weighting function” disusun berdasarkan fungsi-fungsi bentuk dan elemen. Jadi pada metode Galerkin ini, “weighting function” untuk titik nodal ke n yaitu Wn, terdiri dari fungsi -fungsi bentuk yang berhubungan dengan titik nodal ke n.



3.2



Persamaan Integral Matrix Elemen Dengan menggunakan metoda dari Galerkin tersebut di atas, maka dapat disusun persamaan integral dari elemen-elemen matrix yang selanjutnya persamaan ini akan dipergunakan untuk menurunkan rumus rumus dari metode elemen hingga. Sumbangan suatu elemen pada sistem persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut : ( R10) = - ∫ A [N ]T (𝐷𝑥



∂2∅ ∂2∅ + Dy − 𝐺∅+𝑄) 𝑑𝐴 ∂ x2 ∂ y2



(4.4)



xvii



Dimana (N) adalah vektor baris dari fungsi-fungsi bentuk elemen. Turunan kedua pada (4.4) dapat digantikan dengan menggunakan rumus perkalian dari differensial. Tujuan suatu fungsi : ∂ ∂∅ [N ]T ( ∂x ∂y



)



(4.5)



Differensiasi (4.5) akan memberikan ∂[ N ]T ∂ ∂∅ ∂2 ∅ ∂∅ [N ]T [N ]T ( )= + 𝑥 ∂x ∂y ∂x 2 ∂x ∂x



(4.6)



Substitusi [N]T 2  / 2x ke (4.4) dan disusun lagi akan menghasilkan :



- ∫ A [N ]T 𝐴 𝐷𝑥 𝜕2 = − ∫ A 𝐷𝑥



∂2∅ ∂ ∂∅ dA= − ∫ A𝐷𝑥 ([N ]T ) 𝑑𝐴 ∂ x2 ∂x ∂x



∂[ N ]T ∂ ∅ 𝑑𝐴 ∂x ∂x



(4.7) Integral pertama pada bagian kanan dari (4.7) dapat dirubah dengan suatu integral di sekeliling batas dengan menggunakan teori dari Green. Penggunaan teori ini akan menghasilkan : ∫A



∂ ∂2∅ ∂ 𝐴 [N ]T dA= ∫ r [N ]T cos θ 𝑑Γ ∂x ∂ x2 ∂x



(4.8)



Dimana  adalah “angle to the outward normal” dan  adalah “element boundary”. Substitusi (4.8) ke dalam (4.7) akan didapatkan hubungan untuk turunan kedua yaitu : - ∫ A [N ]T + ∫ A 𝐷𝑥



∂2∅ ∂ dA= − ∫ r 𝐷𝑥 [N ]T 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑 ∂ x2 ∂x



[ N ]T ∂ ∅ 𝑑𝐴 ∂x ∂x



(4.9)



xviii



Dengan cara yang sama seperti prosedur di ats, untuk fungsi : ∂ ∂∅ ([N ]T ) ∂x ∂y Akan didapat : T - ∫ A 𝐷𝑦 [N ]



+ ∫ A 𝐷y



∂2 ∅ ∂ dA= − ∫ r 𝐷𝑦 [N ]T 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑 ∂x 2 ∂x



[ N ]T ∂ ∅ 𝑑𝐴 ∂x ∂ y



(4.10)



Substitusi (4.9) dan (4.10) ke dalam (4.4) akan didapat : (R10) = - ∫ r [N ]T (𝐷𝑥 + ∫ A 𝐷𝑥



∂∅ ∂∅ cos 𝜃+ Dy ∂x ∂x



sin 𝜃) 𝑑Γ



∂[ N ]T ∂[ N ]T ∂ ∅ + 𝐷𝑦 ∂x ∂y ∂x



+ ∫ A 𝐺 [N ]T 𝜙 𝑑𝐴 - ∫ A 𝑄 [N ]T 𝑑𝐴



(4.11)



Substitusi persamaan (Q) = [ N ] {(Q)} {RQ} = - ∫ r [N ]T (𝐷𝑥 + ( ∫ A (𝐷𝑥



∂∅ ∂∅ cos 𝜃+ Dy ∂x ∂x



(4.12) sin 𝜃) 𝑑Γ



∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] + 𝐷𝑦 )) 𝑑𝐴 {(𝑄)} ∂x ∂x ∂y ∂y



+ ( ∫ r𝐺 [N ]T [ ]𝑑𝐴 ) {(𝑄)}− ∫ 𝑄 [N ]T 𝑑𝐴



(4.13)



Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk umum. {R(Q) = {I(Q)} + [k(Q)] {(Q)} – {f(Q)}



(4.14)



Dimana {I(Q)} = - ∫ r [N ]T (𝐷𝑥 [k(Q)] = ( ∫ A (𝐷𝑥



∂∅ ∂x



cos 𝜃 + Dy



∂∅ sin 𝜃) 𝑑A ∂x



(4.15)



∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] + 𝐷𝑦 ))𝑑𝐴 ∂x ∂x ∂y ∂y



+ ( ∫ A 𝐺 [N ]T [ ] 𝑑𝐴 )



(4.16)



xix



{f(Q)} = ∫ A 𝐺 [N ]T 𝑑𝐴



(4.17)



Integral pertama pada (4.16) dapat ditulis dalam notasi matrix [D]=



[ 0DxDy0]



(4.18)



Vektor gradien t ∂∅ ∂x { gv } = ∂∅ ∂y



∂( N ) ∂x = {(Q)} ∂( N ) ∂y



[][ ] =



(4.19)



Transpose dari matrix [ B ] akan menghasilkan : [ B ]T =



[



∂ (N) ∂(N ) ∂x ∂ y



]



(4.20)



Dengan (4.18), (4.19) dan (4.20), matrix kekakuan [k(Q)] pada (4.16) dapat ditulis sebagai berikut : [k(Q)] = ∫ A [ 𝐵 ]𝑇 [ 𝐷 ] [ 𝐵 ]𝑑𝐴+ A ∫ A 𝐺 [ 𝑁 ]𝑇 [ 𝑁 ] 𝑑𝐴



(4.21)



Atau dapat ditulis : [k(Q)] = [kD(Q)] + [kG(Q)]



3.3



(4.22)



Matrix Elemen Segitiga Dengan menggunakan fungsi bentuk dan persamaan-persamaan diatas, matrix kekakuan [k(Q)] dan vektor gaya [f(Q)] dari elemen segitiga



dapat dievaluasi. Variabel  pada suatu elemen segitiga dapat ditentukan oleh persamaan : (Q) = [Ni Nj Nk ] {{Q}



(4.23)



xx



Dimana : Ni = 1/2𝐴 [ai + bix + ciy] Nj = 1/2𝐴 [aj + bjx + cjy] Nk = 1/2𝐴 [ak + bkx + cky] Vektor gradient untuk elemen segitiga adalah : ∂ Ni ∂x {gv} = ∂ Ni ∂y



∂N j ∂x ∂N j ∂y



[



∂Nk ∂x {{Q}} ∂Nk ∂y



]



(4.24)



Atau



{gv} = 1/2𝐴



[



bi b j bk {{Q}} = [ B ] {{Q}} ci c j ck



]



(4.25)



Matrix [ B ] pada (4.25) terdiri dari konstanta-konstanta, sedangkan matrix



[ D ] pada (4.18) terdiri dari koefisien-koefisien materil Dx dan Dy. Integral pertama pada (4.21) dapat dengan mudah dievaluasi. [kD(Q)] = ∫ A [ 𝐵 ]𝑇 [ 𝐷 ] [ 𝐵 ]𝑑𝐴 + [ 𝐵 ]𝑇 [ 𝐷 ] [ 𝐵 ]∫ 𝑑𝐴 [k(Q)] = [ ]𝑇 [ 𝐷 ] [ 𝐵 ]𝐴 (4.26) Solusi dari perkalian matrix ini adalah : bi bi b j bi b k ci ci c j ci ck Dx b b Dx b j bi b k + c i c j c j c i c k (4.27) [kD(Q)] = i j 4A 4A bi bk b j b k b k ci ck c j ck c k



[



2



2



2



] [



2



2



2



]



Integral kedua pada (4.21) mengandung fungsi-fungsi bentuk. Jika diasumsikan bahwa G mempunyai harga yang konstan di dalam elemen, maka integral ini akan menjadi :



xxi



[kD(Q)] = ∫ A 𝐺 [ 𝑁 ]𝑇 [ 𝑁 ]𝑑𝐴 =𝐺 ∫ A



= G ∫A



[



Ni N j [ Ni N j Nk ] Nk



[]



Ni Ni N j Ni Nk Ni N j Nj N i N k dA Ni N k N j Nk Nk 2



2



2



]



(4.28)



Solusi dari integral ini akan memberikan : 2 1 1 [kD(Q)] = 𝐺𝐴/12 1 2 1 1 1 2



[ ]



(4.29)



Matrix kekakuan elemen [kD(Q)] untuk elemen segitiga adalah dari (4.27)



dan (4.29) Vektor gaya elemen {f(Q)} pada (4.17) juga mengandung fungsifungsi bentuk, evaluasi dari persamaan ini dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti halnya pada evaluasi [kD(Q)]. Dengan mensubstitusikan fungsi-fungsi bentuk ke dalam (4.17) dan menganggap bahwa harga Q konstan, akan didapat :



∫ A 𝑄 [ ]𝑇 𝑑𝐴=𝑄 ∫ A



Ni N j dA Nk



[]



Solusi dari persamaan ini akan memberikan harga dari vektor gaya elemen



segitiga yaitu : 1 [f(Q)] = 𝑄𝐴/3 1 1



[]



(4.30)



xxii



3.4



Matrix Element Segiempat Evaluasi dari matrix-matrix elemen untuk elemen segiempat dilakukan dengan menggunakan fungsi-fungsi bentuk pada (3.13). Karena sistem koordinasi s-t sejajar dengan sistem koordinat x-y dan suatu satua panjang pada sumbu s atau t adalah sama dengan pada sumbu x atau y maka



persamaan integral dari kedua sistem koordinat dapat dinyatakan sebagai berikut : ∫ A 𝑓 (𝑥,)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ A 𝑓 (𝑠,𝑡)𝑑𝑠 𝑑𝑡𝐴



(4.31)



Hubungan turunan antara kedua sistem koordinat yang didapat dengan



menggunakan rumus dari “chain rule” yaitu : ∂ Nβ ∂ Nβ ∂ Nβ ∂ Nβ = dan = ∂x ∂s ∂y ∂t



(4.32)



Evaluasi vektor gaya (f(Q)) dari elemen dapat dilakukan sebagai berikut : Ni [f(Q)] = ∫ A 𝑄 [ ]𝑇 𝑑𝐴= ∫ ∫ Q N j dt ds o o Nk 2b 2b



[]



Tinjau integral di atas untuk koefisien ketiga Nk, 2b 2b



2b 2b



∫∫ NK 𝑑𝑡 𝑑𝑠 o o



2b



=



∫∫ d t 𝑑𝑠 o o



2b



st 2 za ∫ 8 ab 0 𝑑 = ∫ 2asb 𝑑 o o



||



𝑠 = 𝐴/4



Untuk ketiga integrasi dari koefisien Ni, Nj, dan Nm ; akan didapat harga yang sama dengan Nk, sehingga vektor gaya dari elemen segiempat adalah : xxiii



1 1 [f(Q)] = 𝑄𝐴/4 1 1



[]



(4.33)



Evaluasi dari matrix [kG(Q)] adalah sebagai berikut : [kG(Q)] = G ∫ A [𝑁] 𝑑𝐴



= G∫ A



[



Ni Ni N j Ni N j Ni Ni N j N j Nk Ni N m N j Nm



Ni N k Ni N m N j N k N j Nm dA Nk Nk Nm Nk N m N m



2



2



2



2



]



Dengan menyelesaikan persamaan integral di atas akan didapat : 4 2 [kG(Q)] = 𝐺𝐴/36 1 2



2 1 2 4 2 1 2 4 2 1 2 4



[ ]



(4.34)



Evaluasi dari matrix [kD(Q)] meliputi turunan dari fungsi-funsi bentuk. Matrix gradient [ B ] adalah : ∂ Ni ∂x [B]= ∂ Ni ∂y



∂N j ∂x ∂N j ∂y



[



∂Nk ∂x ∂Nk ∂y



∂ Nm ∂x ∂ Nm ∂y



]



(4.35)



Dengan menggunakan persamaan pada (4.32), matrik [ B ] dapat dinyatakan



dalam sistem koordinat s – t. Turuan dari fungsi-fungsi bentuk akan menghasilkan : [ B ] = 1/4𝑎𝑏



[



– (2 a−t) – (2 a−t) t −t – (2 a−s) −s s –( 2a−s)



]



(4.36)



Dengan menggunakan persamaan (4.26), akan didapat harga untuk matrix [kD(Q)] yaitu :



xxiv



2 −2 −1 1 2 1 −1 2 −2 1 1 −1 1 2 −1 −1 [kD(Q)]= 𝐷𝑥𝑎/6𝑏 + Dyb/6a −1 2 −2 2 −1 −2 2 1 1 2 −2 2 −2 −1 1 2



[



] [



]



(4.37)



Matrix kekakuan [k(Q)] untuk elemen segiempat adalah jumlah dari (4.34) dan (4.37).



BAB IV 4.1



Soal xxv



Soal 2. Jika diketahui struktur penarik terbuat dari



xxvi



pelat epoksi 200x600 mm dengan tebal 50 mm. pelat diberi beban tekan aksial sebesar P kg. Sedangkan P = 356 anda; dan kekuatan Tarik ,modulus elastisitas, dan perpanjangan patah epoksi adalah 50 Mpa, 2 Gpa, dan 2,5% . Perkirakan perpanjangan dan tegangan pada pelat di 0,200,300,400,500,600 mm dari tumpuan! 1.



Pemotongan sistem dan pembentukan elemen hingga



Kita bentuk struktur yang terdiri dari 7 elemen dan 7 node, seperti gambar berikut:



2.



Menetukan persamaan perilaku tiap elemen:



Di dapatkan hubungan sebagai berikut:



3.  



Menentukan sifat setiap elemen:



a. Node 1 :



xxvii



Pers:                      R =   K1 (U2-U1)                      R  =  K1U2 - K1U1                      R  = -K1  (U1 ) + K1 (U2)    ……………... (1) b. Node 2: Pers:



  K1(U2 – U1)     = K2(U3 – U2) + K4(U4 – U2)   K1U2 – K1U1   = K2U3 – K2U2 + K4U4 – K4U2         0     = K1U1 – K1U2 – K2U2 – K4U2 + K4U4 K1U1 + (-K1-K2-K4)U2 + K2U3 + K4U4 = 0 ………(2)



 c. Node 3: Pers :



xxviii



 K2(U3 – U2)     = K3(U5 – U3)  K2U3 – K2U2   = K3U5 – K3U3   K2U2 – K2U3 – K3U3 + K3U5 = 0    K2U2 + (-K2-K3)U3 + K3U5  = 0  ……………………….(3) d. Node 4:



 pers: K4(U4 – U2)                 = K5(U5 – U4) K4U4 – K4U2               = K5U5 – K5U4 K4U2 – K4U4 – K5U4 + K5U5  = 0



          K4U2 + (-K4-K5)U4 + K5U5        = 0  ……………………(4)



e Node 5:



pers:             K3(U5 – U3) + K5(U5 – U4)                              = K6(U6 – U5)



xxix



K3U5 – K3U3 + K5U5 – K5U4                           = K6U6 – K6U5 K3U3 + K5U4 – K3U5 – K5U5 – K6U5 + K6U6 = 0 K3U3 + K5U4 + (-K3-K5-K6)U5 + K6U6              = 0 ……………  (5)



f. Node 6:



Pers:



K6(U6 – U5)                 = K7(U7 – U6) K6U6 – K6U5               = K7U7 – K7U6 K6U5 – K6U6 – K7U6 + K7U7  = 0 k6U5 + (-K6-K7)U6 + K7U7       = 0 …………………. (6)  g. Node 7:



Pers: P  = K7(U7 – U6) P  = K7U7 – K7U6 P  = -K7U6 + K7U7…………….. (7)



4.



Memasang elemen dan membentuk persamaan sistem pusat:



xxx



Kemudian menentukan kondisi batas: Dimana Node 1 diam,makan U1=0 , dan pada node 7 diberi beban kompresi sebesar P,sehingga mariks diatas menjadi:



5.



Mencari solusi



dari



tiap elemen:          E = 2GPa = 2.109 N/m2          P = 356 N K1       = (AE)/L                                                         = (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,2                                                          = 107 N/m K2       = (AE)/L                                                         = (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1                                                      = 5.107 N/m     K3       = (AE)/L                                                         = (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1                                                        = 5.107 N/m     K4       = (AE)/L = (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1 xxxi



            = 5.107 N/m K5       = (AE)/L = (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1 = 5.107 N/m K6       = (AE)/L              = (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,1              = 2.108 N/m       K7       = (AE)/L = (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,1             = 2.108 N/m



 Sehingga bentuk matriks menjadi :



Menjadi persaman-persamaan sebagai berikut:



U1        = 0 U3 



= U4



348



   



xxxii



0



= K1U1 + (-K1-K2-K4)U2 + K4U4



0



= (-107-5.107-5.107) U2 + 5.107 U3 + 5.107 U4



0 



= -11.107 U2 + 10.107 U4



U4       = 1,1 U2    0          = K2U2 + (-K2-K3)U3 + K3U5 0          = 5.107 U2 + (-5.107-5.107)U3 + 5.107 U5 0          = 5.107 U2 – 10.107 (1,1 U2) + 5.107 U5 0          = 5.107 U2 – 11.107 U2 + 5.107 U5 0          = -6.107 U2 + 5.107 U5 U5        = 1,2 U2        



0



= K3U3 + K5U4 + (-K3-K5-K6)U5 + K6U6



0



= 5.107U3 + 5.107U4 + (-5.107-5.107-20.107)U5 + 20.107U6



0



= 10.107 U4 – 30.107U5 + 20.107U6



0



= 10.107 (1,1 U2) – 30.107 (1,2 U2) + 20.107U6



0



= 11.107 U2 – 36.107 U2 + 20.107U6



0



= -25.107 U2 + 20.107U6



U6



= 1,25 U2



0



= K6U5 + (-K6-K7)U6 + K7U7



0 



= 20.107 U5 + (-20.107-20.107)U6 + 20.107U7



0



= 20.107U5 – 40.107U6 + 20.107U7



     



xxxiii



0



= 20.107 (1,2 U2) – 40.107 (1,25 U2) + 20.107U7



0



= 24.107 U2 – 50.107 U2 + 20.107U7



            0          = -26.107 U2 + 20.107U7             U7        = 1,3 U2



           348



= -K7U6 + K7U7 



           348



= -20.107 U6 + 20.107 U7



           348



= -20.107 (1,25 U2) + 20.107 (1,3 U2)



           348



= -25.107 U2 + 26.107 U2



           348



= 107 U2



           U2



= 3,48.10-5 m



           U2



= 3,48.10-2 mm



U4



= U3



= 1,1 u2



          U4



= U3



= 1,1 x 3,48.10-5



          U4



= U3



= 3,828.10-5 m



          U4



= U3



= 3,828.10-2 mm



U5        = 1,2 U2 U5        = 1,2 x 3,48.10-2 U5        = 4,176.10-5 m U5        = 4,176.10-2 mm



xxxiv



U6        = 1,25 u2 U6        = 1,25 x 3,48.10-2 U6        = 4,35.10-5 m U6        = 4,35.10-2 mm



U7        = 1,3 U2 U7        = 1,3 x 3,48.10-2 U7        = 4,524.10-5 m U7        = 4,524.10-2 mm



Sehingga dari nilai U1,U2,U3,U4,U5,U6,U7 menunjukkan besarnya perubahan panjang plat pada jarak : Pada jarak 0 mm dari tumpuan adalah  0 Pada jarak 100 mm dari tumpuan adalah



3,48.10-2 



mm



Pada jarak 300 mm dari tumpuan  adalah



3,828.10-2 



mm



Pada jarak 400 mm dari tumpuan  adalah



4,176.10-2 



mm



Pada jarak 500 mm dari tumpuan adalah



4,35.10-2 



mm



Pada jarak 600 mm dari tumpuan  adalah



4,524.10-2 



mm



Nilai Positif menunjukkan perubahan ke arah kanan ,karena pemampatan.  Berikutnya adalah perhitungan tegangan, sebagai berikut:



xxxv



Sehingga, tegangan yang terjadi pada pelat Untuk jarak 200 mm dari tumpuan sebesar 0,348



Mpa



Untuk jarak 300 mm dari tumpuan sebesar 0.0696 Mpa Untuk jarak 400 mm dari tumpuan sebesar 0.0696 Mpa Untuk jarak 500 mm dari tumpuan sebesar 0.0348 Mpa Untuk jarak 600 mm dari tumpuan sebesar 0.0348 Mpa



BAB V KESIMPULAN



5.1



Kesimpulan Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan



xxxvi



dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalanpersoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Adapun matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks.



DAFTAR PUSTAKA



Abdullah, Agus. 2013. Poisson’s Ratio. (Online). Tersedia : http://ensiklopediseismik.blogspot.com/2007/08/poissons-ratio.html Prasetyo, Apri Joko. 2010. Aplikasi Metode Elemen Hingga ( MEH ) Pada



xxxvii



Struktur Rib Angkutan Publik. Skripsi Strata S-1 pada Jurusan Teknik Mesin, Fakultas Teknik, Universitas Sebelas Maret: tidak diterbitkan. Reddy,J.N. 2005. An Introduction to The Finite Element Method (Third Edition). New York: tidak diterbitkan (versi ebook) Rabbani, Ihsan. 2013. Analisa Perubahan Bentuk dan Tegangan Pada Plat Baja dengan Lobang Baut di Tengahnya Menggunakan Metode Elemen Hingga. Presentasi Power Point Tugas Elemen Hingga, Teknik Sipil, UNAND: tidak diterbitkan. Sonief,As’ad. tanpa tahun. Diktat Metode Elemen Hingga. Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Malang : tidak diterbitkan. Sinaga, Agnes. 2013. Analisis Beban Lateral Pada Turap (Shear Wall) Dengan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method). Laporan Tugas Elemen Hingga, Teknik Sipil, UNAND: tidak diterbitkan. Yujin Liu. 2003. Lecture Notes : Introduction to The Finite Element Method. University of Cincinati USA : tidak diterbitkan



xxxviii