Makalah Kuantisasi Gelombang Fonon [PDF]

Citation preview

Kuantisasi Gelombang Fonon 1.



Pemodelan Vibrasi Kristal Pada vibrasi kristal sendiri terdapat 3 buah pemodelan yaitu: 1. A Simple Harmonic Oscillator Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas dengan konstanta pegas k. Secara fisika, osilator harmonis mendeskripsikan getaran-getaran kecil di sekitar sebuah posisi kesetimbangan stabil, dan merupakan sebuah sistem yang sangat penting di dalam mekanika klasik. Dalam mekanika kuantum, osilator harmonis sangat penting, misalnya ketika kita mempertimbangkan gerakan sebuah partikel dalam satu dimensi, yaitu getaran dari sebuah molekul diatomik yang inti atomnya bermassa m1 dan m2. Konsep osilator harmonik kuantum dipakai pertama kali ketika Planck menjelaskan fenomena BBR (Black Body Radiation) pada tahun 1900, osilator harmonis, yang telah dikenal sebelumnya dalam mekanika klasik, dipakainya sebagai pendekatan untuk menunjukkan bahwa energi yang dipancarkan dan diserap oleh setiap osilator tidaklah kontinyu melainkan dalam bentuk paket-paket energi yang diskrit. Kemudian konsep yang diusulkan oleh Planck membawa perubahan besar ketika Einstein menegaskan kembali sifat kuantisasi energi saat menjelaskan fenomena efek fotolistrik. Sejak saat itu, teori kuantum lahir dan photon adalah istilah yang dipakai untuk menyebut paketpaket energi diskrit tersebut. Dengan demikian, sejarah awal konsep osilator harmonis kuantum tidak dapat dipisahkan dari lahirnya mekanika kuantum. 2. An Infinite Chain of Atoms Model yang lebih realistis untuk getaran kristal adalah rantai atom. Hampir sangat sederhana tapi sekarang osilator digabungkan satu sama lain. Jika kita membatasi diri pada getaran longitudinal dalam rantai ini, modelnya hanya satu dimensi. Namun, kita bisa belajar banyak. tentang getaran dalam padatan tiga dimensi dari ini. Kita mulai dengan rantai tunggal satu dan dua di antaranya setelah melewati batas waktu.



Gambar 1. (a). Model Infinite Chain of Atoms Untuk Satu Atom Per Unit Cell (b). Frekuensi Vibrasi yang Diizinkan dalam Fungsi k



3. A finite Chain of Atoms Untuk menggambarkan sifat dari sebuah padatan, model yang dibahas selama ini memiliki sebuah permasalahan mendasar yaitu rantainya yang tak terbatas. Dari permasalahan tersebut nantinya akan menghasilkan kapasitas panas yang tak terbatas. Yang benar-benar kita inginkan adalah rantai atom yang terbatas namun panjang. Hal ini bisa dilakukan dengan membatasi panjang dan mengenalkan kondisi batas. Misalnya, dari sebuah rantai tak-terbatas panjangnya yang kita bentuk lingkaran dengan mengikat ujung rantai dengan awal rantai. Sehingga terbentuklah rantai terbatas tanpa ada akhir seperti gambar di buah.



Gambar 2. Sebuah rantai terbatas panjang dengan tanpa ujung 2.



Kuantisasi Getaran Fonon Fonon adalah gelombang getaran dalam kristal seperti halnya pada gelombang cahaya. Getaran atom dalam kristal tak begitu banyak pada suhu rendah, gelombang getaran atom harus dipandang seperti fonon, agar dapat diterangkan hasil pengukuran perubahan kapasitas kalor terhadap suhu pada suhu rendah. Fonon dalam fisika adalah kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar, seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk larutan, uap, lelehan atau gabungan dari ketiganya. Energi dari getaran kisi terkuantisasi. Kuantum energi disebut fonon dalam analogi dengan foton dari gelombang elektromagnetic. gelombang elastis dalam kristal terdiri dari fonon. getaran termal dalam kristal termal fonon bersemangat, seperti foton termal bersemangat-tubuh hitam radiasi elektromagnetik dalam sebuah rongga. Persamaan mencari energi terkuantisasi di level tertentu adalah sebagai berikut:



Untuk sebuah sistem, permasaan energi terkuantisasinya adalah: Rumus tersebut diturunkan dari persamaan Schrodinger



Dari persamaan umum Schrodinger tersebut didapatkan bahwa solusinya adalah:



Sehingga dapat ditemukan persamaan untuk energi level terkuantisasi adalah:



Kuantisasi getaran fonon terbagi atas 2, yaiut: 1. Kuantum Harmonik Osilator



Gambar 3. Energi Level Terkuantisasi Kuantum Harmonik Osilator Untuk mendapatkan nilai energi tertentu, didapatkan fungsi gelombang dengan operator mekanika kuantum yang terkait dengan energi, yang disebut Hamiltonian. Operasi Hamiltonian pada fungsi gelombang adalah persamaan Schrodinger. Solusi ada untuk persamaan Schrodinger time-independent yang hanya untuk nilai energi tertentu, dan nilai-nilai ini disebut "nilai eigen" energi. Keadaan vibrasi molekul diatomik yang lebih rendah sering sesuai dengan model osilator harmonik kuantum dengan akurasi yang cukup untuk memungkinkan penentuan konstanta kekuatan ikatan untuk molekul. Sementara nilai energi eigen mungkin diskrit untuk nilai energi kecil, mereka biasanya menjadi kontinu pada energi yang cukup tinggi karena sistem tidak dapat lagi ada sebagai keadaan terikat. Untuk potensi osilasi harmonis yang lebih realistis (mungkin mewakili molekul diatomik), nilai energi eigen semakin mendekati dan mendekati saat mendekati energi disosiasi. Tingkat energi setelah disosiasi dapat mengambil nilai kontinyu yang terkait dengan partikel bebas. Molekul diatomik bergetar seperti dua massa pada mata air dengan energi potensial yang bergantung pada kuadrat perpindahan dari ekuilibrium. Tapi tingkat energi dikuantisasi pada nilai yang sama nilainya. Bentuk frekuensi ini sama dengan osilator harmonik sederhana klasik. Perbedaan yang paling mengejutkan untuk kasus kuantum



adalah getaran zero-point yang disebut "keadaan ground n = 0. Ini menyiratkan bahwa molekul tidak sepenuhnya beristirahat, bahkan pada suhu nol mutlak. Osilator harmonik kuantum memiliki implikasi yang jauh melampaui molekul diatomik sederhana. Ini adalah dasar untuk memahami mode getaran kompleks dalam molekul yang lebih besar, gerak atom dalam kisi padat, teori kapasitas panas, dan lainlain. Dalam sistem nyata, jarak energi sama hanya untuk tingkat terendah di mana potensinya adalah perkiraan yang baik dari potensial harmonisa "mass on a spring". Istilah anharmonik yang muncul dalam potensi molekul diatomik berguna untuk memetakan potensi terperinci sistem tersebut. Tingkat jarak menurun seiring dengan disosiasi energi yang mendekat



Gambar 4. Diagram Level Energi Terkuantisasi Pada Kuantum Harmonik Osilator Dipengaruh nilai k 2. Rantai Panjang



Gambar 5. Spektrum Getaran Ikatan Rantai Atom yang Terbatas Terdiri Dari 10 unit Sel dan Panjang Antara Unit Cell Sebesar a.



10 unit sel tersebut dapat dilihat pada Brillouin zone pertama (garis vertikal putusputus) dimana unit sel yang terpotong oleh Brillouin zone pertama dihitung setengah unit sel. Lingkarang hitam memperlihatkan nilai frekuensi getaran yang diperbolehkan karena nilai k yang tertentu(tidak sembarang nilai k). Jika sebelumnya dijelaskan tingkatan energi untuk satu osilasi harmonic Gambar 4., maka berbeda halnya dengan ikatan rantai atom (long chain). Diagram tersebut hanya menjelaskan tingkatan energi pada satu osilasi harmonik saja yang arti tidak dipengaruhi oleh nilai k. Sedangkan pada ikatan rantai atom dengan satu atom disetiap unit selnya memperlihatkan tingkatan energy untuk setiap nilai k tertentu. Dengan adanya nilai k maka terlihat energi gap pada nilai k yang pertama berbeda dengan energi gap pada nilai k lainnya, terlihat pada diagram diberitahukan bahwa energi gap sebesar ℏ𝜔(k) yang artinya nilai k akan mempengaruhi besarnya energi gap. Jika semua tingkatan energi dengan nilai k yang berbeda tersebut disatukan maka akan terlihat bahwa satu unit sel memiliki tingkatan energi yang sangat padat dan seperti kontinu.



Gambar 5. Diagram Level Energi Terkuantisasi Dipengaruhi Nilai 𝜔(k)