Makalah Mekanika GHS Fix [PDF]

Citation preview

MAKALAH MEKANIKA GERAK OSILASI SEDERHANA DAN TEREDAM



Dosen Pembimbing : Ai Nurlaela, M.Si Disusun untuk memenuhi Tugas Mata Kuliah Mekanika



Oleh: Kelompok 1 1. 2. 3. 4. 5.



MUSTOFA SONY OCTAFANDI JIHAN RAHMARIANI NIA IMAS GAMESTY LUTFIA ANGGRAENI NAFILAH SHOFI



(11150163000054) (11150163000066) (11150163000077) (11150163000081) (11150163000086)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2017



KATA PENGANTAR



Segala puji bagi Allah yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang, yang telah memberi rahmat dan hidayah-Nya kepada kami sehingga kami dapat menyelesaikan



makalah ini. Tak lupa sholawat serta salam tetap terlimpahkan kepada junjungan Nabi Muhammad SAW sang pilihan da sang pemilik ukhuwah. Tak lupa kami sampaikan terimakasih kepada dosen mata kuliah Mekanika kami yaitu, ibu Ai Nurlaela M.Si yang telah memberikan tugas makalah ini dan telah membimbing kami selama proses pembuatan makalah. Kami menyadari bahwa dalam proses pembuatan makalah ini masih banyak kekurangan karena kami masih dalam proses belajar. Oleh karena itu, kami dengan terbuka akan menerima kritik dan saran yang bersifat membagun untuk pembelajaran yang lebih baik. Kami harap makalah ini bermanfaat bagi para pembaca.



Jakarta, 10 Mei 2017



Penyusun



DAFTAR ISI JUDUL……………………………………………………………………………1 KATA PENGANTAR……………………………………………………………2 DAFTAR ISI………………………………………………………………...……3



2



BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………..………….4 A. Latar Belakang Masalah…………………………………………………..4 B. Rumusan Masalah………………………………………………………...4 C. Tujuan Penulisan Makalah………………………………………………..5 BAB II PEMBAHASAN………………………………………………………………….6 A. B. C. D. E.



Gerak Harmonik sederhana........………………………………………….6 Gerak Harmonik Teredam.................…………………………………….6 Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana....……………………………..7 Karakteristik Gerak Harmonik Teredam.................................…….…….9 Persamaan Gerak Harmonik Sederhana.....................................………..10



BAB III PENUTUP………………………………………………………………………… 29 A. Kesimpulan…………………………………………………………….. 29 B. Saran…………………………………………………………………… 29 DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………..29



3



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Masalah Getaran adalah kegiatan yang pasti terjadi dalam kehidupan seharihari. Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita melihat orang bermain ayunan, bahkan kita pernah melakukannya. Gerak dari ayunan yang kita mainkan merupakan salah satu contoh dari getaran harmonik yang sederhana. Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling berkaitan. Gelombang, baik itu gelombang air laut, gelombang gempa bumi, gelombang suara yang merambat di udara: semuanya bersumber pada getaran. Dengan kata lain, getaran adalah pennyebab adanya gelombang. Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar. Seperti senar gitar, getaran garpu tala, getaran mobil ketika dinyalakan. Gerak bolak-balik benda yang bergetar terjadi tidak tepat sama karena pengaruh gaya gesekan. Ketika kita memainkan gitar, sinar gitar tersebut akan berhenti bergetar apabila kita menghentikan petikan. Demikian juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakkan secara berulang. Hal ini disebabkan karena adanya gesekan. Gaya gesekan menyebabkan benda-benda tersebut berhenti berosilasi. Jenis getaran seperti ini disebut getaran harmonik teredam.



B. Rumusan Masalah Dalam penyusunan makalah ini, penyusun membuat rumusan masalah yang berkaitan dengan judul yang dibahas, yaitu:



1. Apa itu gerak harmonik sederhana dan teredam ? 2. Mengurai karakteristik gerak harmonik sederhana, dan teredam! 3. Menjelaskan persamaan gerak harmonik sederhana dan teredam!



C. Tujuan Adapun tujuan penyusunan makalah ini, yaitu:



4



1. Mengulas kembali Gerak Harmonik sederhana dan teredam 2. Memaparkan gerak harmonik sederhana dan teredam 3. Menjelaskan persamaan gerak harmonik sederhana dan teredam



BAB II PEMBAHASAN



A. Gerak Harmonik Sederhana



5



Gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak-balik benda melalui suatu titik keseimbangan tertentu dengan banyaknya getaran benda dalam setiap sekon selalu konstan. Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Karena gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu partikel melakukan gerak periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak osilasi/getaran. Bentuk yang sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada ujung pegas. Karena kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Gerak harmonik sederhana mempunyai persamaan gerak dalam bentuk sinusoidal dan digunakan untuk menganalis suatu gerak periodik tertentu. Dalam fisika ada berbagai macam gerak, diantaranya adalah gerak periodik. Gerak periodik adalah suatu getaran atau gerakan yang dilakukan benda secara bolak-balik melalui jalan tertentu yang kembali lagi ke tiap kedudukan dan kecepatan setelah selang waktu tertentu. Contoh gerak bolak-balik adalah gerakan sebuah bandul. Dari sekian banyak gerak periodik, ada gerak yang dinamakan gerak harmonik. Gerak harmonik adalah gerak sebuah partikel sebagai fungsi waktu berupa sinusoidal (dapat dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus). (surya,2001: 55). B. Gerak Harmonik Teredam Secara umum, gerak osilasi sebenarnya terendam. Energi mekanik terdispasi (berkurang) karena adanya gaya gesek. Maka jika dibiarkan, osilasi akan berhenti, artinya GHS-nya terendam. Gaya gesekan biasanya dinyatakan sebagai arah berlawanan dan bendanya konstanta. Amplitudo semua pegas atau pendulum yang berayun pada kenyataannya perlahan-lahan berkurang terhadap waktu sampai osilasi berhenti sama sekali. Gerak ini yang disebut gerak harmonis teredam. Redaman biasanya disebabkan oleh hambatan udara dan gesekan internal pada sistem yang berosilasi. Energi yang kemudian



6



dikeluarkan sebagai energi panas ditunjukkan dengan amplitudo osilasi yang berkurang. Karena sistem osilasi alami pada umumnya teredam, mengapa kita bahkan membicarakan gerak harmonis sederhana (yang tidak teredam)? Jawabannya adalah GHS jauh lebih mudah ditangani secara matematis. Dan jika redaman tidak besar, osilasi dapat dianggap sebagai gerak harmonis sederhana di mana redaman ditimpa yaitu pengurangan amplitudo yang digambarkan sebagai kurva terputus-putus



(giancoli, 2001:377). C. Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana Ada beberapa macam gerak harmonik, salah satu contohnya adalah gerak harmonik sederhana (GHS). Gerak harmonik sederhana adalah gerak harmonik yang dipengaruhi oleh gaya yang arahnya selalu menuju titik seimbang dan besarnya sebanding dengan simpangannya. Contoh gerak osilasi (getaran) yang populer adalah gerak osilasi pendulum (bandul). Pendulum sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa m yang digantungkan pada ujung tali, sebagaimana tampak pada gambar.



7



Kita anggap bahwa tali tidak teregang dan massanya dapat diabaikan relatif terhadap bola. Gerak bolak-balik pendulum sederhana dengan gesekan yang dapat diabaikan menyerupai gerak harmonis sederhana. Pendulum berosilasi sepanjang busur sebuah lingkaran dengan amplitudo yang sama di tiap sisi titik setimbang (dimana ia tergantung vertikal) dan sementara melalui titik setimbang lajunya bernilai maksimum. Simpangan pendulum sepanjang busur dinyatakan dengan x = L θ , dimana



θ



adalah sudut yang dibuat tali dengan garis vertikal dan L adalah



panjang tali. Dengan demikian, jika gaya pemulih sebanding dengan x atau dengan θ , gerak tersebut adalah gerak harmonis sederhana. Gaya pemulih adalah komponen berat, mg, yang merupakan tangen terhadap busur: F = -mg sin θ Dimana tanda minus, seperti pada persamaan berarti bahwa gaya mempunyai arah yang berlawanan dengan simpangan sudut θ . Karena F θ



sebanding dengan sinus



θ



dan tidak dengan



itu sendiri, gerakan



tersebut bukan merupakan GHS.panjang busur x (=L θ ¿



hampir sama



dengan panjang tali (=L sin θ ) yang ditunjukkan dengan garis terputusputus yang lurus, jika perbedaan antara



θ



kecil. Untuk sudut yang lebih kecil dari



θ (dalam radian) dan sin



θ



lebih kecil dari 1%.



Berarti, sampai pendekatan yang sangat baik untuk sudut kecil



8



15° ,



F = -mg sin θ = -mg θ Dengan menggunakan x = L θ , didapatkan mg F= L x Dengan demikian, untuk simpangan yang kecil, gerak tersebut pada intinya merupakan harmonis sederhana, karena persamaan ini sesuai dengan hukum hooke, F = -kx, dimana konstanta gaya efektif adalah k = mg / L. Periode pendulum sederhana dapat dicari dengan menggunakan persamaan m T = 2 π mg/ L T=2 π



√ √



L g



Dan frekuensinya adalah 1 g f= T =2 π L



√



(giancoli, 2001: 375) D. Karakteristik Gerak Harmonik Teredam



Kadang-kadang peredaman sedemikian besarnya sehingga gerakan tidak lagi menyerupai gerak harmonis sederhana. Tiga kasus umum sistem yang sangat teredam ditunjukkan pada gambar.



9



Kurva C menunjukkan situasi overdamped dimana peredaman sedemikian besar sehingga memerlukan waktu lama untuk sampai kesetimbangan. Kurva A menyatakan situasi underdamped dimana sistem melakukan beberapa ayunan sebelum berhenti. Kurva B menggambarkan critical damping, pada kasus ini kesetimbangan dicapai dengan cepat. Istilah-istilah ini semuanya diturunkan dari penggunaan praktis sistem yang teredam seperti mekanisme penutupan pintu dan peredam kejut pada mobil. Alat-alat seperti itu biasanya dirancang untuk memberikan peredaman kritis (critical damping): tetapi pada waktu berakhir terjadi underdamping pintu terbanting atau mobil melonjak ke atas ke bawah beberapa kali ketika terjadi tabrakan.



Pegas mobil dan peredam kejut untuk memberikan peredaman sehingga mobil tidak akan terlambung ke atas dan ke bawah tanpa henti. E. Persamaan Gerak Harmonik Sederhana



10



11.1 Gerak Harmonik Sederhana Gerakan harmonis sederhana dapat didefinisikan sebagai berikut: Titik P bergerak dalam lingkaran jari-jari a pada Kecepatan sudut konstan ω (dan karenanya periode 2π / ω) proyeksi Q pada diameter bergerak dengan Gerak harmonis sederhana Hal ini diilustrasikan pada gambar XI.1, dimana kecepatan dan percepatan P dan Q ditunjukkan sebagai panah berwarna. Kecepatan P hanya aω dan percepatannya adalah Percepatan sentripetal a ω2 . Seperti pada Bab 8 dan di tempat lain, saya menggunakan panah biru untuk vektor kecepatan Dan hijau untuk akselerasi.



P0 adalah posisi awal P - i.e. posisi P pada waktu t = 0 - dan α adalah sudut fase awal. Pada waktu t setelahnya, sudut fase ωt + α. Proyeksi P pada diameter adalah Q. Perpindahan Q dari titik asal, dan kecepatan dan percepatannya adalah



Persamaan 11.1.2 dan 11.1.3 dapat diperoleh baik dengan periksa pada gambar XI.1 atau oleh turunan persamaan 11.1.1. eliminasi waktu dari



11



persamaan 11.1.1 dan 11.1.2 dan Dari persamaan 11.1.1 dan 11.1.3 mengarah ke



Definisi alternatif gerak harmonik sederhana adalah mendefinisikan gerakan harmonik sederhana Gerak yang memenuhi persamaan diferensial 11.1.5. kemudian didapatkan masalah dalam memecahkan masalah Persamaan diferensial ini. Kita tidak dapat membuat kemajuan dengan ini kecuali kita ingat untuk menulis



´y



sebagai v



dv dy



persamaan 11.1.5 kemudian



diintegrasikan menjadi



Integrasi lebih lanjut, dengan v = dy / dt, mengarah ke



Asalkan kita ingat untuk menggunakan kondisi awal yang tepat. Diferensiasi berkenaan dengan Waktu kemudian mengarah ke persamaan 11.1.2, dan semua persamaan lainnya mengikuti. Masalah Penting. Buktikan bahwa y = a sin (ωt + α) dapat ditulis Dimana A a cosα dan B a sinα Kebalikan dari ini adalah a = cos α =



A √ A + B2 , sin α = 2



B √ A2 + B2



√ A 2+ B 2



,



ini penting untuk catatan bahwa,



jika A dan B diketahui, Untuk menghitung α tanpa ambiguitas kuadran, sangat penting untuk dihitung keduanya Baik cos α dan sin α. Ini tidak akan dilakukan, misalnya, untuk menghitung α semata-mata dari α =



tan



−1



(y /



x), Karena ini akan memberikan dua kemungkinan solusi untuk α yang ° berbeda dengan 180 .



Keempat satelit besar Jupiter memberikan demonstrasi gerak harmonis yang sederhana. Bumi hampir selalu berada di orbit mereka, jadi kita melihat gerak



12



satelit yang diproyeksikan pada diameter. Mereka bergerak mondar-mandir dalam gerak harmonis sederhana, masing-masing dengan amplitudo yang berbeda (radius Dari orbit), periode (dan karenanya kecepatan sudut ω) dan sudut fasa awal α. 11.2 Massa Digantungkan Pada Pegas Elastis Pertimbangan energi. Kerja yang dibutuhkan sebuah pegas untuk meregang adalah



1 2 kx , ini , 2



dapat dijelaskan sebagai enregi potensial atau energi elastis pegas. Ketika pegas meregang, gaya akan bertambah linear dari 0 sampai kx, jadi gaya rata-



rata yang digunakan sepanjang x adalah



adalah



1 kx 2



dan kerja yang dilakukannya



1 2 kx . 2



Jika kita asumsikan, ketika massa berosilasi, tidak ada energi mekanik yang hilang seperti panas, energi total sistem setiap saat adalah jumlah energi elastis 1 2 kx 2



yang tersimpan pada pegas dan energi kinetik



1 2 mv 2



dari



massanya (massa pegas diabaikan). Sehingga 1 2 1 2 E= k x + mv 2 2



11.2.3



Dan terdapat perubahan energi antara elastis dan knietik secara konstan. Ketika pegas ditarik, energi kinetiknya nol dan energi total sama dengan



13



energi elastis



1 2 ka , bila pegas tidak terulur dan tidak terkompres , energi 2



seluruhnya adalah energi kinetik; massa kemudian bergerak dengan kecepatan maksimum aω dan total energi sama dengan energi kinetik



1 2 2 ma ω . 2



Total energinya adalah 1 2 1 1 2 1 2 2 2 E= k x + mv = ka = ma ω 2 2 2 2



11.2.4



11.3 Puntiran Bandul Puntiran bandul terdiri dari massa pada inersia rotasi I bergantung dari sebuah titik setimbang. Kita asumsikan, jika torsi diperlukan untuk memutar kawat melalui sudut θ



θ , yang besarnya sudut



θ



sebanding dengan



θ



jika



tidak bernilai tinggi, kemudian rasio torsi dengan sudut disebut



konstanta torsi c. Itu bergantung pada bahan pembuatan kawat dan berbanding terbalik dengan panjangnya, dan selama kawat berputar, berbanding lurus dengan diameter. Kawat tebal lebih sulit berputar dibandingkan kawat yang tipis. Kabel seperti pita memiliki konstanta torsi yang relatif kecil. Kerja yang dibutuhkan untuk memutar kawat sepanjang sudut θ adalah



1 2 cθ . 2



Ketika bandul berosilasi, persamaan geraknya adalah ´ I θ=−cθ



14



11.3.1



Ini adalah persamaan dari formula 11.1.5 dan untuk itu gerak harmonis sederhana ω=√ c /l . Contoh ini, bersamaan, menunjukkan definisi ghs.



11.4 Persamaan Diferential Orde Dua Homogen Biasa Ini bukan pelajaran matematika tentang persamaan differential, tapi ini berguna sebagai pengingat bahwa kita telah mempelajari persamaan differntial. Kita misalkan



y= y ( x )



dan y’ menunjukkan dy/dx. Persamaan turunan



orde dua homogen biasa yaitu ,,



,



a y +by + cy=0



11.4.1



Dan kita bisa menemukan fungsi y(x) yang memenuhi ini. Ternyata sangat mudah melakukan ini, meski sifat solusinya bergantung pada apakah



b2



kurang dari, sama dengan, ataupun lebih besar dari 4ac. Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah jika solusi, jadi jika



y=f ( x)



adalah sebuah



Af (x ) , subtitusikan ini pada persamaan 11.4.1 . jika



y=g(x ) pada solusi lain, maka solusinya adalah Bg (x) .



Dan bisa dituliskan y= Af ( x ) + Bg(x)



11.4.2



Persmaaan 11.4.1 merupakan turunan tertinggi yang memiliki dua konstanta peubah. Dan bisa dibentuk ke dalam persamaan yang lain.



15



kx



y=e



Tidak butuh waktu lmaa untuk menemukan solusi dari bentuk ,



y =ky



memenuhi persamaan, karena



dan



,,



2



y =k y



dan jika



disubtitusikan pada persamaan 11.4.1 diperoleh



( a k 2+ bk+ c ) y=0



11.4.3



Kita dapat menemukan 2 nlai k yang memenuhi persamaan ini, meskipun ini mungkin sulit, karena itulah sifat solusinya tergantung apakah



b2



kurang



dari, sama dengan, ataupun lebih besar dari 4ac.Jadi, solusi umumnya adalah k1 x



y= A e + B e



k2 x



11.4.4



Dimana k1 dan k2 adalah solusi dari persamaan ax 2+ bx+ c=0 Terdapat satu masalah, namun jika



2



b =4 ac , karena dua solusi pada



persamaan 11.4.5 akan sama –b/(2a). Solusi untuk persamaan differensial adalah y=( A+ B ) exp ⁡[



−bx ] 2a



11.4.6



Dan 2 konstanta dapat dikombinasikan menjadi satu konstanta C=A+B jadi persamaan 11.4.6 dapat dituliskan y=Cexp [



−bx ] 2a



11.4.7



Solusi ini hanya memiliki satu konstanta peubah bebas, dan solusi penambahannya harus memungkinkan. y=x e



mx



11.4.8



16



Dapat menjadi solusi pada persamaan 11.4.1 dari persamaan 11.4.8 dapa diperoleh



,



y =(1+mx) e



mx



dan



,,



y =m(2+mx) e 2



persamaan 11.4.1, dengan mengingat c=b /4 a



mx



. Subtitusikan inni pada



kita memperoleh



emx ( 2 [ 2 am +b ) x+ 4 a ( 2 am+ b ) ] 4a



11.4.9



Ini akan bernilai 0 jika m=−b/2 a , dan karenanya y=xexp [



−bx ] 2a



11.4.10



Adalah solusi pada persamaan 11.4.1 solusi umum dari persamaan 11.4.1 jika b2=4 ac , oleh karena itu y=( C + Dx ) exp ⁡[



−bx ] 2a



11.4.11



11.5 Gerak Osilasi Teredam Pada subbab 11.2, persamaan gerak selama massa m bergetar pada ujung pegas, gaya konstanta k, ketika tidak ada redaman adalah m ´x =−kx



11.5.1



Disini, diasumsikan perpindahan x adalah fungsi waktu yang ditunjukkan d/dt. Namun, pada realitanya ada beberapa redaman atau kehilangan energi mekanik yang dihamburkan sebagai panas. Pada contoh kasus ini dari massa berosilasi pada tabel horizontal, redaman mungkin disebabkan oleh gesekan antara massa dan tabel. Untuk massa yang bergantung secara vertikal dari sebuah pegas, dapat di bayangkan massa direndam dalam cairan kental. Ini adalah contoh nyata. Kurang nyata ketika pembengkokan kosntanta dan



17



peregangan pegas menghasilkan panas dan gerak terendam dari penyebab ini. Dalam hal apapun, ketika analisis dapat di asumsikan tambahan untuk mengembalikan gaya kx, ada pula gaya rendaman yang sebanding dengan kecepatan di mana partikel bergerak. Dapat dinyatakan gaya rendaman dengan b ´x .



Persamaan gerak sebagai berikut m ´x =−kx −b ´x



(11.5.2)



Jika dibagi dengan m dan ditulis ω02 dari k/m dan ɣ dari b/m. Didapat persamaan gerak dalam bentuk biasa ´x + y ´x +ω 02 x=0



(11.5.3)



Dimana ɣ adalah konstanta redaman, yang telah dibahas di bab 10 dan bagian 11.4, untuk menyelesaikan persamaan differensial 11.5.3. Bahwa solusi umumnya adalah x= Aek t + B k 1



2



t



(11.5.4)



Dimana k1 dan k2 adalah solusi dari persamaan kuadrat 2



2



x + xy + ω0 =0



(11.5.5)



Pengecualian jika k1 = k2 dan selanjutnya akan dibahas (subbab 11.5iii). persamaan k1 dan k2 sebagai berikut k 1=



√



√



−1 1 2 −1 1 2 + γ −ω 02 ; k 2= γ− γ −ω02 2 4 2 4



18



(11.5.6)



Bagian 11.5.3 ditunjukkan bahwa sifat solusinya bergantung pada b2 adalah kurang dari sama dengan atau lebih besar dari 4ac. Dalam kasus ini apakah γ



kurang dari sama dengan atau lebih besar dari 2



ω0



. Kasus ini disebut



masing-masing sebagai terendam ringan, terendam kritis dan sangat terendam. Selanjutnya dengan mempertimbangkan rendaman ringan.



11.5i Rendaman Ringan: Sejak



γ