Makalah Vektor [PDF]

Citation preview

MAKALAH VEKTOR MATEMATIKA PEMINATAN



OLEH :



MUHAMMAD RIZQI ALFIAN X MIPA-1



SEKOLAH MENENGAH ATAS NEGERI 1 SELONG Jln. TGH Umar 17 Selong, Kabupaten Lombok timur, NTB. Kode pos: 83610. Telpon (0376)21507 2018/2019



Konsep dasar vektor Konsep dasar Saat mempelajari matematika dan sains, dua jenis kuantitas yang umum digunakan adalah skalar dan vektor. Kuantitas yang hanya melibatkan nilai atau besaran adalah kuantitas Skalar, seperti panjang, massa, kecepatan, area, dll. Di sisi lain, secara umum kuantitas yang melibatkan lebih dari satu nilai adalah kuantitas Vektor, seperti perpindahan, kecepatan, akselerasi, gaya , bobot, momentum, dll. Makna vektor secara terpercinci akan dijelaskan dengan memahami komponen dasar vektor. Vektor adalah objek yang memiliki besaran atau magnitudo dan arah. Secara geometris, kita dapat menggambarkan vektor sebagai segmen garis terarah, yang panjangnya adalah besarnya vektor dan dengan panah yang menunjukkan arah. Arah vektor adalah dari ekornya ke kepalanya. Dua vektor sama jika memiliki besar dan arah yang sama. Ini berarti bahwa jika kita mengambil vektor dan menerjemahkannya ke posisi baru (tanpa memutarnya), maka vektor yang kita peroleh pada akhir proses ini adalah vektor yang sama dengan yang kita miliki di awal.Dua contoh vektor adalah vektor yang mewakili gaya dan kecepatan. Baik gaya dan kecepatan berada dalam arah tertentu. Besarnya vektor akan menunjukkan kekuatan gaya atau kecepatan yang terkait dengan kecepatan.



Kepala (terminal)



Ekor (awal)



Gambar di atas, segmen garis terarah yang ditunjukkan adalah vektor. Biasanya vektor ditunjukkan menggunakan huruf tebal seperti dalam a atau b. Terutama ketika menulis dengan tangan di mana orang tidak dapat dengan mudah menulis dalam huruf tebal, orang kadang-kadang akan menunjukkan vektor menggunakan panah seperti dalam a⃗atau b⃗, atau AB⃗atau mereka menggunakan tanda lain. Cara untuk menunjukkan besarnya vektor a oleh ∥a∥. Titik A dari mana vektor AB⃗ dimulai disebut titik awalnya, dan titik B di mana ia berakhir disebut titik terminalnya.Ketika kita ingin merujuk ke angka dan menekankan bahwa itu bukan vektor, kita bisa menyebut angka itu skalar. Contoh Soal Klasifikasikan jenis besaran di bawah (Skalar atau Vektor). 1. 10 kg



6. 16 000 kkal



2. 2 meters timur laut



7. 45 menit



3. 10-19 coulomb 4. 8 A 5. 10 N



Panjang vektor Jarak antara titik awal dan terminal dari vektor disebut besarnya (atau panjang) vektor, dilambangkan sebagai | AB⃗|, atau | a⃗|, atau a. Tanda panah menunjukkan arah vektor. Catatan: Panjang tidak pernah negatif. Karenanya, | a⃗| selalu ≥ 0. Gambar diatas menampilkan sistem koordinat persegi panjang tangan kanan. Mari kita pertimbangkan titik ‘P 'di ruang angkasa, dengan koordinat (x, y, z) sehubungan dengan asal O (0, 0, 0). Vektor posisi dari titik P sehubungan dengan asal O adalah vektor OP⃗, di mana O adalah titik awal dan P adalah titik terminal dari vektor.



Sekarang, kita sudah tahu tentang rumus jarak. Menerapkannya untuk menemukan besarnya OP⃗, dalam hal ini, kita dapatkan



Juga, dalam praktiknya, vektor posisi titik A, B, C, dll. Sehubungan dengan titik asal O dilambangkan dengan a⃗, b⃗, c⃗, dll. Seperti yang ditunjukkan di bawah ini.



Arah kosinus Selanjutnya lihatlah gambar di bawah ini :



Gambar 4 menunjukkan vektor posisi OP⃗ (atau r⃗) dari titik P (x, y, z). Vektor r⃗ membuat sudut α, β, dan γ dengan arah positif masing-masing sumbu x, y, dan z. Ini disebut sudut arah. Sekarang, arah cosinus dari vektor r⃗ adalah nilai cosinus dari sudut-sudut ini. Mereka dilambangkan sebagai: l = cosα m = cosβ n = cosγ Hal lain yang dapat Anda perhatikan dari Gambar. 4, adalah bahwa segitiga OAP adalah segitiga siku-siku. Karena itu, kita punya cosα = x/r di mana r adalah singkatan | r⃗|. Demikian pula, dari segitiga siku-siku OBP dan OCP, kita miliki cosβ = y/r dan cosγ = z/r Oleh karena itu, koordinat titik P dapat dinyatakan sebagai (lr, mr, nr). Angka-angka ini, lr, mr dan nr, sebanding dengan arah cosinus dari vektor r⃗. Mereka disebut rasio arah r⃗ dan direpresentasikan sebagai a, b, dan c. Contoh soal panjang vektor 1). Tentukan panjang vektor masingmasing berikut ini a). vektor a⃗= (2, −3) b). vektor b⃗= (1, −1, 5) c). vektor AB dengan koordinat titik A(1, 2) dan B(−2, 3) d). vektor CD dengan koordinat titik C(0, −1, 3) dan D(−2, 0, 1) 2). Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat titik pojoknya masingmasing yaitu A(0, 0) , B(3, 4) , dan C(p, 0). Jika keliling segitiga ABC adalah 16 satuan, maka tentukan nilai p2− 6p + 1!



Operasi Vektor Penjumlahan Vektor a. Hukum kumulatif a+b=b+a Hukum ini juga disebut hukum jajar genjang, seperti yang diilustrasikan dalam gambar di bawah ini. Dua tepi jajaran genjang menentukan a + b, dan sepasang sisi lainnya menentukan b + a. Namun, kedua jumlah sama dengan diagonal yang sama dari jajaran genjang. b. Hukum assosiatif (a+b)+c=a+(b+c) Pengurangan Vektor Sebelum kita mendefinisikan pengurangan, kita mendefinisikan vektor −a, yang merupakan kebalikan dari a. Vektor −a adalah vektor dengan besaran yang sama dengan a tetapi ditunjukkan dengan arah yang berlawanan. Kami mendefinisikan pengurangan sebagai tambahan dengan kebalikan dari vektor: b−a=b+(−a). Ini sama dengan memutar vektor dan menerapkan aturan di atas sebagai tambahan. Dapatkah anda melihat bagaimana vektor x pada gambar di bawah ini sama dengan b − a? Perhatikan bagaimana ini sama dengan menyatakan bahwa a + x = b, seperti halnya dengan pengurangan angka skalar. Contoh soal operasi vektor 1. Diketahui vektor a = 8 i + 6 j dan vektor b = 3 i - 9 j , Tentukan :  a. 1/2 a + b b. 1/2 a - b 2. Diketahui vektor a = 2 i - 3 j dan vektor b = -4 i - j , dan vektor c = - i + 2 j Tentukan vektor- vektor berikut nyatakan hasilnya dalam vektor - vektor basis i dan j : a. a - b + c b. a + 2 b – c



Perkalian vektor Perkalian skalar Diberikan vektor aa dan bilangan real (skalar) λ, kita dapat membentuk vektor λa sebagai berikut. Jika λ positif, maka λa adalah vektor yang arahnya sama dengan arah aa dan yang panjangnya λ kali panjang a. Dalam hal ini, perkalian dengan λ hanya membentang (jika λ> 1λ> 1) atau kompres (jika 0