Materi Mekanika [PDF]

Citation preview

9.1 Hukum Gravitasi Umum Newton Hukum gravitasi universal newton dan bersama dengan hukum newton gerak,telah diterapkan oleh fisikawan untuk memprediksi dan menghitung dengan tepat gerakan dari planet,bulan,satelit,dan benda-benda lainnya dialam semesta”Hukum Gravitasi Universal Newton. Gaya gravitasi(atau interaksi) tarik-menarik antara dua benda di alam semesta ini berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya”. Dengan demikian besarnya gaya F antara dua benda massa m_i dan m_j yang dipisahkan oleh jarak r_ij diberikan oleh : F=G (m_j m_i)/〖r_ij〗^2



(9.1)



Dimana G adalah konstanta gravitasi,nilainya saat ini diterima adalah G=(6.673±0.003)×9^(-99) Nm^2/〖kg〗^2



(9.2)



Mengacu pada gambar 9.1(a), kita dapat menulis hukum dalam bentuk vektor sebagai berikut F_ij=G (m_i m_j r_ij)/(〖r_ij〗^2 r_ij )=G (m_i m_j)/〖r_ij〗^3 r_ij (9.3) Dimana F_ij adalah gaya gravitasi dimana massa mi ditarik oleh massa m_j-r_ij=r_i-r_j, adalah jarak antara kedua massa m_i dan m_j dan F_ij adalah gaya dimana m_i ditarik oleh massa m_j. Menurut hukum newton ketiga, kita sebut : F_ij=〖-F〗_ji |F_ij |=|F_ji |=F=G (m_i m_j)/〖r_ij〗^2



(9.4)



Dari gambar 9.1 (b),massa m tertarik oleh massa M dengan gaya F, kita dapat menulis: F=-G Mm/r^2 (u_r ) ̂



(9.5)



Dimana vektor satuan (u_r ) ̂ dalam arah dari M ke m. Tanda minus menunjukkan bahwa F adalah gaya tarik-menarik dengan garis yang melewati titik tetap pada garis yang menghubungkan kedua massa. Dengan demikian gaya diarahkan menuju pusat massa M,dan gaya gravitasi adalah pusat gaya. Mari kita mempertimbangkan titik massa m dan di P tertarik oleh perpenjangan benda bermassa M,seperti yang ditunjukkan pada gambar 9.2. untuk menghitung gaya m di P, kita harus mengasumsikan bahwa medan gravitasi adalah medan linear. Artinya,gaya di P dapat dihitung dengan penambahan vektor dari gaya individu yang dihasilkan oleh interaksi antara partikel titik m dan sejumlah besar partikel di perpanjangan benda. Gaya di dF antara elemen kecil volume dV’ dari massa dm adalah dF=-G Mdm/r^2 (u_r ) ̂



(9.6)



Dimana dm=p(r)dV, p(r) adalah kepadatan. Gaya F yang bekerja pada m karena perpanjangan benda dari massa M dapat diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan (9.6), yaitu F=-∫_v▒〖G (Mρ(r))/r^2 (u_r ) d ̂ V'〗



(9.7)



Dimana V’ menunjukkan integrasi volume keseluruhan. Jika perpanjangan benda adalah kulit tipis yang memiliki kerapatan atau kepadatan permukaan daerah σ sehingga dm=σdA, kita dapat menulis F=-∫_A▒〖G (Mσ(r))/r^2 (u_r ) d ̂ A〗



(9.8)



Dimana A menunjukkan integrasi diseluruh daerah. Jika perpanjangan benda adalah sumber sejalan dengan kepadatan massa linear A sehingga dm = A dL, kita dapat menulis F=-∫_L▒〖G (Mλ(r))/r^2 〗 (u_r ) d ̂ L



(9.9)



Jika perpanjangan benda digantikan oleh sejumlah besar massa diskrit m_9 m_2,m_3…,M_i, gaya pada massa m dapat ditulis sebagai F=-∑▒〖G (mm_i)/〖r_j〗^2 〗 (u_r ) ̂



(9.10)



Dimana (u_r ) ̂ adalah vektor yang menghubungkan mi dan m. Menurut persamaan (9.7), sistem bekerja pada bagian yang berbeda dari perpanjangan benda akibat massa m di P memiliki resultan gaya F yang bekerja sepanjang garis melalui massa m. Menurut hukum ketiga newton , gaya yang bekerja pada massa m adalah –F, seperti ditunjukkan pada gambar 9.3. pada kerja F,kita menemukan sebuah titik CG dengan jarak r dan m di P sehingga F=G Mm/r^2



(9.11)



Dengan kondisi tersebut, gaya gravitasi antara benda bermassa M dan partikel massa m adalah setara dengan resultan tunggal gaya F yang bekerja pada M di CG dan –F yang bekerja pada massa m di P. Perpanjangan benda berperilaku seolah-olah semua massa terkonsentrasi di CG. Titik CG disebut pusat gravitasi massa M relatif terhadap massa m di titik P. Jika posisi m pada P diubah,maka akan menjadi posisi CG. Secara umum, CG tidak bertepatan dengan pusat massa M,itu bahkan tidak mungkin pada garis yang menghubungkan pusat massa M dengan P. Pusat gravitasi akan bersamaan dengan pusat massa dengan ketentuan sebagai berikut: Jika massa m jauh dari M,medan gravitasi akan beraturan, bagian benda yang berbeda akan dikerjakan dengan gaya yang sama,dan pusat gravitasi akan bersamaan dengan pusat massa, Untuk benda simetris,seperti bola beratura,pusat gravitasinya sama dengan pusat massanya. Dalam kasus persamaan (9.6) dan (9.7) harus ditata ulang yang akan melibatkan integral dari kedua m dan dm.



9.2. Medan Dan Potensial Gravitasi Gaya gravitasi adalah pusat gaya, bahwa, itu adalah gaya yang sepenuhnya radial lewat melalui titik tertentu, pusat gaya. Selain itu, gaya gravitasi yang berbentuk sebuah bola simetris, yaitu besarnya gaya hanya tergantung pada jarak radial dari pusat gaya dan bukan pada arahnya. Kita akan menunjukkan bahwa gaya sentral berbentuk sebuah bola simetris konservatif, maka jumlah dari energy kinetic dan energy potensial adalah konstan. Sebaliknya, jika medan gaya sentral konservatif, juga harus simetris berbentuk sebuah bola. Misalkan sebuah partikel dengan massa m berada di bawah aksi dari gaya sentral berbentuk sebuah bola simetris F dengan pusat gaya di O, seperti ditunjukkan pada gambar



9.4. Dalam situasi ini, gaya F hanya memiliki radial Komponen Fr, yang merupakan funsi dari r saja dan dapat ditulis sebgai Fr = F(r) Kerja dW yang dilakukan oleh gaya F pusat ketika m mengalami perpindahan kecil dS, seperti ditampilkan, adalah 𝑑𝑊 = 𝐹. 𝑑𝑠 = 𝐹𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑠 cos 𝜃 = 𝑑𝑟 Dimana dr adalah perubahan jarak radial dari O ketika massa m mengalami perpindahan ds. Sehingga : Dw = F dr Karena besarnya gaya F hanya bergantung pada r, kerja total yang dilakukan dari A ke B, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 9.4, akan 𝑟



𝑊𝐴𝐵 = ∫𝑟 𝐵 𝐹 (𝑟)𝑑𝑟 ….(9.15) 𝐴



Karen aini integral hanya bergantung pada nilai awal dan akhir dari fr, gaya simetris berbentuk sebuah bola harus konservatif. Setelah kita tahu bahwa gaya harus konservatif, kita dapat melanjutkan untuk menentukan energy potensial fungsi U( r) dari sebuah objek dalam suatu medan gaya sentral simetri pusat. Dengan demikian dari titik A ke B, perubahan energi potensial suatu benda adalah 𝑟𝐵



∆𝑈 = 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 = − ∫𝑟𝐴 𝑓(𝑟)𝑑𝑟 ….(9.16) Dari persamaan (9.15) dan (9.16) kita memperoleh : WAB = -∆𝑈 = −(UB –UA) Tetapi usaha yang dilakukan sama juga degan perubahan energy kinetik, yaitu WAB = KB-KA = −(UB –UA) …(9.18)



Sehingga jika E adalah total energy, persamaan (9.18) menjadi KA-UA = KB + UB = E Yang merupakan hukum kekekalan energy. Karena gaya gravitasi adalahkebalikan kuadrat gaya 𝑐



F( r) = f ( r) =𝑟 2 Dimana C adalah konstan, substitsusi persamaan ini ke persamaan (9.16), didapat : 𝑟



𝐶



UB –UA = -∫𝑟 𝐵 𝑟 2 𝑑𝑟 …..(9.21) 𝐴



Dengan mengintegralkan didapat : 9



9



𝐵



𝐴



UB –UA = C (𝑟 − 𝑟 )



…..(9.22)



Seperti biasanya dalam kerja, kita mendefenisikan UA = 0 ketika rA → ~ dan UB = U ( r) I dimana Rb =r’, sehingga didapat 𝑐



U( r) =𝑟 Yang menyatakan bahwa energy potensial dari sebuah partikel dalam medan gaya sentral adalah fungsi jarak r dari pusat gaya. Konstanta C adalah negative untuk gaya tarik dan positif bagi gaya tolak. Karena gaya gravitasi yang menarik, memiliki bentuk umum F( r) = -



𝐺𝑀𝑚 𝑟2



𝑐



….(9.24)



= 𝑟 2 dimana C = GMm



Energi potensial m dalam medan M pada jarak r dari M adalah : U( r) = -



𝐺𝑀𝑚



….(9.25)



𝑟



Jika M adalah distribusi massa kontinu bentuk sembarang, energy potensial m pada jarak r adalah U( r) = -∫ 𝑣 ′



𝐺𝑚𝑝(𝑟) 𝑟



𝑑𝑉 ′



….(9.26)



Untuk membuat tiga persamaan yang sebelumnya independen m (massa tes), kami memperkenalkan konsep dari medan gravitasi dan potensial gravitasi. Intensitas medan gravitasi, atau vector medan gravitasi, atau medan gravitasi sederhana, g, didefenisikan sebagai gaya per satuan massa yang bekerja pada sebuah partikel dalam medan gravitasi massa M . Artinya, 𝐹



𝐺𝑀



….(9.27)



g =𝑚 = - 𝑟 2 û𝑟



Atau untuk perpanjangan benda dari Massa M, kita dapat menulis medan gravitasinya : g = -∫ 𝑣 ′



𝐺𝑝(𝑟) 𝑟2



û𝑟 𝑑𝑉′



….( 9.28)



Dimana g memiliki dimensi gaya per satuan massa, yaitu percepatan. Besarnya percepatan gravitasi di permukaan bumi adalah sekitar 9,8 m/𝑠 2 .



Setiap kali ada medan vector konservatif, seperti medan gaya gravitasi, kit selalu bisa memperkenalkan potensial gravitasi (yang merupakan kuantitas scalar) untuk mewakili medan ini, disediakan kondisi tertentu untuk dipenuhi. Kondisi yang diperlukan adalah bahwa lingkaran dari medan vector g harus nol. Karena g sebanding dengan 9/r2, ….(9.29)



Lingkaran g = ∇ × 𝑔 = 0



Kondisi ini juga dapat terpenuhi jika g sama dengan scalar gradient, yaitu ….(9.30)



g = -grad V = -∇𝑉



(mengingat ∇ × ∇𝑉 = 0, ) yang mana V disebut potensial gravitasi dan memiliki dimensi energy persatuan, massa. Karena g juga tergantung r, maka V juga akan tergantung pada r. Dengan mensubstitusikan g dari persamaan ( 9.27) ke persamaan (9.30), didapat 𝐺𝑀



𝑑𝑉



….(9.31)



- 𝑟 2 û𝑟 = − 𝑑𝑟 û𝑟 Yang pada integrasi memberikan V( r) = -



𝐺𝑀



….(9.32)



𝑟



Hal ini tidak perlu mendapat sebuah konstanta integrasi dalam persamaan ( 9.30) Karen akita berasumsi bahwa V(r) → 0 𝑎𝑠 𝑟 → ~ Potensial gravitasi karena distribusi kontinu massa M dapat ditulis sebagai 𝐺𝑝( 𝑟)



V(r) = -∫ 𝑣 ′



𝑟



….(9.33)



𝑑𝑉′



Kita dapat meringkasnya sebagai berikut : Gaya :



F= -∫ 𝑣 𝐺



𝑚𝑝(𝑟) 𝑟2



U( r) = -∫ 𝑣 ′



Potensial energy :



….(9.34)



û𝑟 𝑑𝑉′ 𝐺𝑚𝑝(𝑟) 𝑟



𝑑𝑉′



Medan gravitasi : g = -∫ 𝑣′



𝐺𝑝(𝑟) 𝑟2



…..(9.36)



û𝑟 𝑑𝑉′



Potensial gravitasi : V( r) = - ∫ 𝑣′



𝐺𝑝(𝑟) 𝑟2



𝑑𝑉′



….(9.37)



Juga F =mg U = mV g= -grad V =-𝛁𝑽 F = -grad U = -𝛁𝑼



….(9.38a) ….(9.38b) ….(9.38c) ….(9.38d)



….(9.35)



Setiap kali massa m ditempatkan di bidang M, itu adalah konvensional untuk membicarakan tentang energy potensial dari massa m meskipin energy potensial tersebut berada di bidang dan tidak dalam massa itu sendiri.