Medan Listrik Statis [PDF]

Citation preview

LISTRIK MAGNET I S1 Fisika 3 SKS



1



BAB I MEDAN LISTRIK STATIS 1.1 PENDAHULUAN



Sebutlah q1, q2,… sebagai muatan-muatan “sumber” dan Q sebagai muatan test. Satuan muatan: coulomb (C) Bagaimana menentukan gaya pada muatan Q ? Pada umumnya muatan-muatan sumber dan muatan test bergerak. Lalu bagaimana menentukan lintasan muatan test Q ?



2



r r F1 , F2 ,...........



Misalkan



adalah gaya-gaya oleh muatan-muatan sumber q1, q2, ……..pada muatan test, maka total gaya pada muatan test itu



r r r F = F1 + F2 + .............



r r -q



r F



r r



+Q



r F +Q Muatan test



+q Muatan sumber



Besar gaya bergantung pada besar muatan dan jarak Arahnya bergantung jenis muatan.



3



1.2 HUKUM COULOMB Gaya pada muatan test Q oleh muatan sumber q sebanding dengan muatan-muatan dan berbanding terbalik kuadrat jarak.



r F=



qQ 4πε o



r



2



eˆ



r



newton q



εo=8,85 x 10-12 C2/Nm2 adalah permittivitas ruang hampa



rr = Rr − rr eˆ



r



r rr



Q



r R



r r



yang besarnya



Vektor satuan searah



rr



r F



O



Untuk sejumlah muatan sumber:



Fˆ =



q1Q



r



4πε o 2 1



r



eˆ 1 +



q2Q



r



4πε o 2 2



r



eˆ 2 +



q3 Q



r



4πε o 2 3



r



eˆ 3 + ........... 4



1.2 MEDAN LISTRIK



qQ



Fˆ =



4πε o r v F = QE;



r



⎛ q ˆ e = Q⎜⎜ 2 ⎝ 4πε o r q E= eˆ 2 4πε o



r



r



r



Arah:



r ⎞ eˆ ⎟⎟ = QE 2 ⎠



r



r



F//E jika Q positip F>>d/2.



a)



Misalkan muatan-muatan itu positif



E



E=2



θ P



r



z



r



d/2 +q



Jika z>>d/2:



4πε o



cosθ = E=2



+q d/2



q



E=



r



2



cosθ



r = r z



;



[



z 2 + (d / 2)



2



qz



4πε o z 2 + (d / 2 )



]



2 3/ 2



2q 4πε o z 2



7



b)



E=2 P



r +q d/2



θ



z



E



r



4πε o



cosθ = E=2



d/2 -q



Jika z>>d/2:



q



E=



r



2



cosθ



r = r



d /2



;



[



z 2 + (d / 2 )



2



qd / 2



4πε o z 2 + (d / 2 )



]



2 3/ 2



qd 4πε o z 3



qd disebut momen dipol



8



P



Jika sumber merupakan muatan kontinu: 1. garis



2. Permukaan



3. volume



r E=



r E=



1 4πε o



1 4πε o



r E=



1



∫



λ ( x)



∫



r2



eˆr dx λ(x)dx



σ (r )



r



A



∫



4πε o V



2



eˆr da



ρ (r )



r



2



eˆr dv



9



Contoh 2: Tentukanlah medan listrik pada jarak z di atas titik tengah garis lurus panjangnya 2L dan rapat muatannya λ Periksa jika z>>L dan L>>z.



r dE =



λ dx



1



r r = r



4πε o z cos θ = ;



2



cos θ kˆ



E



z2 + x2



z



2λ L 4πε o z 2 1 2λ Jika L>>z: E = 4πε o z Jika z>>L:



E=



1



sepertinya q=2λL



10



1.3 FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS



r E=



1



q eˆ newton/coulomb 2 r 4πε o r



Garis medan dari suatu muatan positif Garis medan dari dua buah muatan yang sama besar tapi berbeda jenis; dipol



Garis medan dari dua buah muatan yang sama besar sama jenis; l



11



Fluks listrik= jumlah garis gaya melalui suatu permukaan



r r Φ E = ∫ E . da S



r da =vektor elemen luas tegak lurus pada permukaan S



r da = nˆ da



S



nˆ =vektor satuan normal pada S Perkalian dot →proyeksi E pada garis normal



r E da



θ



nˆ



r r r Φ E = ∫ E. da = ∫ E. nˆ da = ∫ E cosθ da S



S



S



12



Fluks melalui permukaan tertutup



q



r 1 q 2 ˆ ˆ Φ = ∫ E.nˆ da = ∫ e . n r sinθ dθ dφ 2 r 4πεo r S



r E



da = r 2 sin θ dθ dφ nˆ



bola



eˆ r = nˆ 0 ≤ θ ≤ 180 o ;



r q ˆ Φ E = ∫ E. n da = S



+q



Sembarang permukaan tertutup



0 ≤ φ ≤ 360



εo



o



Nm2C-1



• Dalam kenyataannya, bentuk permukaan tertutup tak harus bola, bisa berbentuk apa saja asal tertutup akan memenuhi persamaan di atas. • q tak harus muatan tunggal, tapi bisa jumlah muatan asal berada dalam permukaan tertutup. 13



Hukum Gauss : Fluks listrik melalui permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan di dalam permukaan itu



r r Q Φ E = ∫ E . da =



εo



S



Teori Divergensi:



Hukum Gauss dalam bentuk integral. S disebut permukaan Gauss.



( )



r r r ∫ E. da = ∫ ∇. E dv S



r r Φ E = ∫ E . da = S



Q = ∫ ρ dv



∫(



V



)



V=volume yang ditutupi permukaan S



∂ ˆ ∂ ˆ∂ ˆ ∇=i + j +k ∂z ∂x ∂y



r ∇ . E dv



V



ρ rapat muatan



V



r ρ ∇. E =



εo



Hukum Gauss dalam bentuk diferensial



Ingat:



r ∂E x ∂E y ∂E z ∇. E = + + ∂y ∂x ∂z



14



Contoh 3: Andaikan medan listrik



r E = kr 3 eˆr ,



di dalam koordinat bola, k adalah konstanta.



a) Tentukan rapat muatan ρ, b) Tentukan total muatan dalam bola berjari-jari R



r



a) ∇. E =



ρ εo



r 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ sin θ Eθ + ∇. E = 2 r Er + Eφ r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ



(



)



r 1 ∂ 2 1 3 ∇.E = 2 r × kr = 2 5kr 4 = 5kr 2 r ∂r r ρ (r ) = 5kε o r 2



(



)



z θ r



b)



Q = ∫ ρ (r )dv; dv = r 2 dr sin θ dθ dφ V



R



π



2π



0



0



0



= 5kε o ∫ r 4 dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ = 4π kε o R 5



x



φ



y



Koordinat bola



15



Contoh 4: Sebuah silinder panjang memiliki rapat muatan sebanding dengan jarak dari sumbunya: ρ=ks, k konstanta. Tentukan medan listrik di dalam silinder. Gambarkan permukaan Gauss berbentuk silinder sepusat dengan silinder asli.



r r Q Φ E = ∫ E . da =



l



S



r



εo



2π



s



l



2 Q = ∫ ρ dv = k ∫ r r dr dφ dz = k ∫ r dr ∫ dφ ∫ dz = π kls 3 3 V 0 0 0 r r r ∫ E. da = E 2π sl E tegak lurus permukaan 2



Permukaan Gauss



S



E 2π sl =



2 1 π kls 3 → E = ks 2 3ε o 3ε o 16



Contoh 5: Suatu bidang datar luas sekali, memiliki muatan himogen dengan kerapatan σ. Tentukan medan listrik yang ditimbulkannya. Gambarkan permukaan Gauss berbentuk kotak yang memotong bidang datar.



r r 1 ∫ E .d a = Q ; Q = σ A S



εo



Permukaan Gauss



A=luas permukaan sisi atas kotak; Medan E tegak lurus permukaan kotak arah ke atas dan ke bawah. Jadi,



r r ∫ E.da = 2 EA 2 EA =



σA σ →E= εo 2ε o



Arah ke atas atau ke bawah



17



Contoh 6: Dua plat sejajar masing-masing dengan rapat muatan +σ dan -σ.



σ 2ε o σ E = Plat negatif menghasilkan medan arah menuju plat: − 2ε o Plat positif menghasilkan medan arah keluar plat: E + =



Medan di daerah (i) dan (iii): E



=0



Medan di daerah (ii) atau di antara kedua plat:



E=



σ εo



18



1.4 SIFAT KONSERVATIF MEDAN LISTRIK



r E= +q



ra a



1



q eˆ 2 r 4πε o r



r r Integaral E dari a ke b: ∫ E. dl = ? b



rb b



a



Koordinat bola:



r dl = dr eˆr + (r dθ ) eˆθ + (r sin θ dφ ) eˆφ



r r b 1 q 1 q ˆ ˆ E . d l = = − e . e dr ∫a ∫a 4πε o r 2 r r 4πε o r b



rb



ra



1 ⎛q q⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 4πε o ⎝ ra rb ⎠



Hasil integral tidak bergantung pada bentuk lintasan, tapi bergantung pada posisi titik awal dan posisi titik akhir. 19



r r ∫ E . dl = +q



Integral pada garis tertutup sama dengan nol. Jadi medan listrik bersifat konservatif.



ra b



Kurva tertutup



Ingat:



Teori Stokes:



(



a



Karena



1 ⎛q q⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 0 4πε o ⎝ ra ra ⎠



)



r r r ∫ E . dl = ∫ ∇ × E . nˆ da S



r r r ∫ E. dl = 0 → ∇ × E = 0



r ⎛ ∂E z ∂E y ⎞ ⎟⎟ + − ∇ × E = iˆ⎜⎜ ∂z ⎠ ⎝ ∂y r ∂E z ∂E y ∇× E = 0 → = ; ∂z ∂y



S=luas bidang yang dilingkupi oleh kurva tertutup



Inilah curl dari medan listrik, ciri medan konservatif



∂E y ∂E x ⎛ E ∂ ∂ E ⎞ ⎛ x z ˆ ˆj ⎜ − − ⎟ + k ⎜⎜ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎝ ∂z ∂E x ∂E z ∂E y ∂E x = − ; ∂z ∂x ∂x ∂y



⎞ ⎟⎟ ⎠ 20



Contoh 7: Periksa apakah medan berikut konservatif atau tidak.



( [



)



r a ) E = α xyiˆ + 2 yzˆj + 3xzkˆ r b) E = α y 2 iˆ + 2 xy + z 2 ˆj + 2 yzkˆ



(



)



]



Konservatif jika:



r ⎛ ∂E z ∂E y ⎞ ˆ ⎛ ∂E x ∂E z ⎞ ˆ ⎛ ∂E y ∂E x ˆ ⎟⎟ + j ⎜ − − − ∇ × E = i ⎜⎜ ⎟ + k ⎜⎜ ∂x ⎠ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂x ⎝ ∂y ∂E ∂E x =α x a ) E x = α xy → x = 0, ∂y ∂z ∂E y ∂E y = 2α y; =0 E y = 2α yz → ∂z ∂x ∂E ∂E z E z = 3α xz → z = 3αz; =0 ∂x ∂y r ∇ × E = iˆ(0 − 2α y ) + ˆj (0 − 3αz ) + kˆ(0 − α x ) ≠ 0 r E = α xyiˆ + 2 yzˆj + 3xzkˆ bukan gaya konservatif



(



)



⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠



21



∂E x ∂E x = 2αy = 0, ∂y ∂z ∂E y ∂E y 2 E y = α 2 xy + z → = 2αz; = 2αy ∂z ∂x ∂E ∂E z E z = 2αyz → z = 0; = 2αz ∂x ∂y r ∇ × E = iˆ(2αz − 2αz ) + ˆj (0 − 0 ) + kˆ(2αy − 2αy ) = 0 r E = α y 2 iˆ + 2 xy + z 2 ˆj + 2 yzkˆ gaya konservatif



b) E x = αy 2 →



(



[



)



(



)



]



22



BAB II POTENSIAL LISTRIK 2.1 POTENSIAL LISTRIK Tinjau muatan test +Q di dalam medan listrik r E ryang ditimbulkan muatan sumber +q. Gaya pada muatan F = qE Karena E medan konservatif, maka gaya F juga konservatif. Energi potensial +Q sejauh r dari sumber +q adalah usaha membawa muatan +Q dari suatu titik standar ke titik r untuk melawan gaya listrik F.



r r E p (r ) = − ∫ F . dl



+q



+Q r



r E



r r F = QE



r



Joule



O adalah titik standar.



O



Potensial listrik di suatu titik=energi potensial per satuan muatan di titik itu.



V (r ) =



dE p dQ



r r = − ∫ E . dl r



O



volt=joule/coulomb =newton meter/coulomb



23



r r r V (r ) = − ∫ E. dl → E = −∇ V r



O



dV ˆ dV ˆ dV ∇V = iˆ +j +k dy dz dx



Gradient dari V



Beda potensial antara titik b dan titik a adalah V(b)-V(a): rb r r ⎛ rb r r ⎞ ⎛ ra r r ⎞ V (b) − V (a ) = ⎜ − ∫ E.dl ⎟ − ⎜ − ∫ E.dl ⎟ = − ∫ E. dl ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ O O ra ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ rb r = ∫ ∇ V . dl ra



24



Contoh 8: Tentukanlah potensial di dalam dan di luar bola berjari-jari R, jika muatan tersebar merata dipermukaanya. Gunakan titik di tak berhingga jauh sebagai referensi. Misalkan total muatan permukaan bola adalah Q. Maka dengan hukum Gauss diperoleh medan listrik:



⎧ Q r eˆ r ≥ R ⎪ 2 r E (r ) = ⎨ 4πε o r ⎪0 r < R ⎩



r r V (r ) = − ∫ E. dl



E



r



O



r dl = dr eˆr + (r dθ ) eˆθ + (r sin θ dφ ) eˆφ eˆr . dlˆ = dr



Q 4πε o R 2 R



r 25



r ≥ R: r



1 Q ⎛1⎞ Q V (r ) = − dr ' = ⎜ ⎟ = 2 ∫ 4πε o ∞ r ' 4πε o ⎝ r ' ⎠ ∞ 4πε o r Q



r



r < R: r r Q 1 V (r ) = − ∫ E. dlˆ = − . dr ' 2 ∫ 4πε o ∞ r ' ∞ r



r⎞ ⎛ r 1 Q ⎜ ⎟ . dr '+⎜ − ∫ 0. dl ⎟ = =− 2 ∫ 4πε o ∞ r ' ⎝ R ⎠ 4πε o R Q



R



V



Q 4πε o R R



r 26



2.2 Potensial oleh distribusi muatan



r r V ( r ) = − ∫ E . dl r



Berdasarkan:



O



27



Potensial oleh muatan garis:



Potensial oleh muatan permukaan:



Contoh 9: Tentukan potensial oleh suatu bola yang bermuatan homogen pada kulitnya.



Tinjau titik pada sb-z sejah berposisi polar (R,θ’)



r



dari elemen luas



28



Elemen luas di permukaan bola R2 sinθ dθ dφ



Di luar bola z>R:



(R − z) 2 = z − R



Di dalam bola z d 2



2



2



2



Secara matematik, persoalan di atas dipandang sebagai berikut. Lupakan plat, dan misalkan V=0 di z=0 dengan mengandaikan ada muatan -q di z=-d. Potensial di suatau titik adalah



d -d



+q z=0, V=0 -q



V = 0 di z = 0, V → 0 jika x 2 + y 2 + z 2 >> d 2



50



Misalkan σ adalah rapat muatan induksi



Jadi, dengan metoda bayangan dapat ditentukan rapat muatan pada plat logam.



51



Contoh berikutnya 15: Suatu muatan q ditempatkan sejauh a dari pusat bola logam berjari-jari R yang dibumikan. Tentukan potensial di luar bola.



Sementara lupakan bola, dan misalkan ada muatan q’ sejauh b (