Mekanika Fluida 2 Full-Min [PDF]

Citation preview

MEKANIKA FLUIDA II (HMKK431)



RACHMAT SUBAGYO, S.T., M.T AQLI MURSADIN, S.T., M.T., Ph.D



PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT 2017



BUKU AJAR MEKANIKA FLUIDA II HMKK431



Rachmat Subagyo, S.T., M.T. Aqli Mursadin, S.T., M.T., Ph.D.



PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT 2017



Kata Sambutan Kami menyambut baik dibuatnya buku bahan ajar Mekanika Fluida pada Fakultas Teknik UNLAM khususnya prodi Teknik Mesin. Bahan ajar semacam ini sangat penting untuk kelancaran proses belajar mengajar yaitu bagi para mahasiswa membantu untuk mempermudah dalam memahami materi mekanika fluida, bagi para tenaga pengajar (dosen) akan memudahkan dalam menyusun materi perkuliahan. Pada dasarnya Ilmu mekanika fluida adalah ilmu yang selalu bersinggungan dalam kehidupan kita sehari-hari, aplikasi ilmu ini sangat banyak guna dan manfaatnya. Karakteristik aliran fluida, drag dan Lift (gaya seret dan gaya angkat), berbagai bentuk aerofoil yang berguna untuk mengurangi gesekan antara benda dengan udara. Penelitian pada bentuk benda yang lebih aerodimis merupakan hal yang sangat menarik. Didukung semakin meningkatnya harga bahan bakar pada saat ini, krisis energi sudah menjadi tantangan bagi kita semua karena lambat atau cepat cadangan bahan bakar akan semakin menipis dan akhirnya habis, hanya dengan penghematan dan mencari bahan bakar alternatif hal yang terbaik untuk dilakukan. Dengan bentuk aerodinamis yang semakin sempurna akan mengurangi gesekan antara udara dengan benda, akibatnya benda bergerak tanpa hambatan yang pada akhirnya akan meningkatkan efisiensi dari bahan bakar. Mata kuliah mekanika fluida juga include dengan praktikum mekanika fluida hal ini diharapkan agar mahasiswa akan lebih menguasai antara teori dengan aplikasi secara nyata. Bahan ajar ini diharapkan juga bisa sebagai bahan rujukan bagi dosen pengampu mata kuliah mekanika fluida, selain digunakan di prodi teknik mesin buku ini juga diharapkan bisa bermanfaat untuk prodi-prodi lain yang mengajarkan mata kuliah mekanika fluida. Saya berharap pembuatan bahan ajar ini, bisa diikuti oleh dosen-dosen mata kuliah yang lain. Selamat membaca dan semoga bermanfaat untuk program studi teknik mesin. Dekan Fakultas Teknik UNLAM



Dr-Ing. Yulian Firmana Arifin, ST, MT.



ii



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Alloh SWT, atas berkat rahmat dan hidayahNya Bahan Ajar Mekanika Fluida II dapat diselesaikan. Tujuan dari pembuatan bahan ajar ini adalah untuk memudahkan mahasiswa dalam hal memahami pelajaran Mekanika Fluida. Bahan Ajar Mekanika Fluida ini telah disesuaikan dengan silabus dari jurusan teknik mesin. Pada bahan ajar ini ditampilkan teori, contoh-contoh soal dan latihan soal. Dengan demikian diharapkan agar mahasiswa lebih mendalami dari tiap-tiap pokok bahasan pada mata kuliah mekanika fluida ini. Buku ini bisa digunakan juga sebagai pegangan dosen pengampu mata kuliah mekanika fluida, karena selain disertai pembahasan yang mendetail tentang teori dasarnya, diberikan pula contoh-contoh soal setiap materi. Isi bahan ajar ini dari bab 1 sampai bab 3, materi yang dibahas adalah: Bab 1. Analisis dimensi dan kesamaan meliputi (Sifat-sifat dari analisa dimensi, Teori Buckingham Pi, Perlunya kelompok-kelompok tanpa dimensi dalam mekanika fluida). Bab 2. Aliran Internal kental dan Tak Termampatkan meliputi (Pendahuluan, Aliran laminer berkembang penuh diantara pelat datar, Aliran laminer berkembang penuh didalam pipa, Distribusi tegangan geser aliran berkembang penuh didalam pipa, Profil kecepatan aliran berkembang penuh di dalam pipa, Persamaan energi pada aliran dalam pipa, Perhitungan mayor losses dan minor lossess, Pompa didalam sistem fluida, Pipa-pipa seri dan Parallel, Pipa bercabang, dan jaringan pipa). Bab 3. Aliran Eksternal Kental dan Tak Termampatkan meliputi (konsep lapisan batas, Ketebalan lapisan batas, Lapisan batas laminer diatas pelat, Persamaan integral momentum, Persamaan integral momentum untuk gradien tekanan nol, Gradien tekanan didalam aliran lapis batas, gaya seret, Gaya angkat (lift force) dan pengukuran debit aliran internal dan eksternal). Ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Dr-Ing. Yulian Firmana Arifin, ST, MT. selaku dekan Fakultas Teknik UNLAM yang telah mendukung dalam penyelesaian buku ajar ini. 2. Ach, Kuairi, ST, MT, MM. yang telah memberikan saran-saran dan masukan dalam penyusunan bahan ajar ini.



3. Rekan-rekan program Studi Teknik Mesin yang telah memberikan masukan dalam penyelesaian buku ajar ini. Penyusun menyadari dalam pembuatan bahan ajar ini masih banyak kekurangan dan sangat jauh dari sempurna. Untuk itu saran serta kritik yang bersifat membangun akan kami terima dengan senang hati, untuk penyempurnaan di masa yang akan datang. Semoga bahan ajar ini bermanfaat untuk kemajuan Fakultas Teknik UNLAM khususnya Prodi Teknik Mesin.



Banjarbaru, 11 April 2016



Penyusun



Daftar Isi



Halaman Judul.............................................................................................................



i



Kata Sambutan Dekan Fakultas Teknik UNLAM..............................................................ii Kata Pengantar.......................................................................................................................iii Daftar Isi.................................................................................................................................v BAB I. Analisa Dimensi dan Kesamaan............................................................................1 A. Dimensi dan Satuan...................................................................................................1 B. Teori Buckingham Pi...........................................................................................2 C. Perlunya kelompok-kelompok tanpa Dimensi di dalam Mekanika fluida.............5 BAB II. Aliran Internal kental dan Tak termampatkan.....................................................9 A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K.



Pendahuluan..............................................................................................................9 Aliran laminer berkembang penuh diantara pelat datar......................................9 Aliran laminer berkembang penuh didalam pipa......................................................12 Tekanan dan tegangan geser aliran berkembang penuh di dalam pipa...................19 Profil kecepatan turbulen aliran berkembang penuh didalam pipa.........................20 Persamaan energi pada aliran dalam pipa................................................................23 Mayor dan minor loss.........................................................................................25 Pompa di dalam sisten fluida..............................................................................30 Pipa-pipa seri dan parallel...................................................................................54 Pipa bercabang..........................................................................................................64 Jaringan pipa..............................................................................................................71



BAB III. Aliran Eksternal Kental dan Tak Termampatkan.................................................81 A. B. C. D. E. F.



Konsep lapisan batas..........................................................................................81 Ketebalan lapisan batas.............................................................................................84 Persamaan momentum untuk lapisan batas.............................................................85 Persamaan untuk permukaan lapisan batas..............................................................87 Gaya seret dan gaya angkat............................................................................. 90 Pengukuran laju aliran pipa.................................................................................124



v



BAB I ANALISA DIMENSI DAN KESAMAAN



A.



Dimensi dan Satuan



Dimensi-dimensi dalam mekanika adalah gaya, massa, panjang dan waktu. Dimensi-dimensi F=mxa Bila hukum Newton kedua diatas dibentuk dalam dimensionalnya adalah: F = M L T-2 Yang menunjukan bahwa hanya tiga dari dimensi-dimensi tersebut yang bebas adalah : F ialah dimensi gaya, M dimensi massa, L dimensi panjang dan T dimensi waktu. Suatu sistem yang lazim dipakai dalam analisis dimensional adalah sistem MLT.



Tabel 1. Dimensi besaran fisik yang digunakan dalam mekanika fluida



1



B.



Teori Buckingham Pi (dalil Pi)



Bahwa dalam suatu soal fisik yang menyangkut n besaran dimana terdapat m dimensi, besaran-besaran tersebut dapat diatur dalam n-m para meter tanpa dimensi yang bebas. Dengan A1, A2, A3,.......An di maksudnya besaran-besaran yang bersangkutan itu, seperti tekanan, viskositas, kecepatan dan sebagai berikut. Kita ketahui bahwa semua besaran-besaran tersebut mutlak perlu bagi penyelesaian soal itu, maka harus terdapat suatu hubungan fungsional. F(A1, A2, A3,................,An) = 0 Jika π1, π2,....... menunjukan kelompok-kelompok tanpa dimensi dari besaranbesaran A1, A2, A3,........ maka dengan tersangkutnya m dimensi, terdapat persamaan yang berbentuk F(π1, π2, π3, ........., πn-m) = 0 Metoda untuk menentukan parameter-parameter π tersebut ialah dengan memilih m buah besaran A tersebut, dengan dimensi-dimensi yang berlainan, dengan diantaranya terkandung m dimensi tersebut dan dengan menggunakan besaran-besaran itu sebagai variabel-variabel yang berulang bersama salah satu besaran A lainnya untuk masing-masing π.



Contoh 1.1 Misalkan A1, A2, A3 mengandung M, L dan T, yang tidak usah dalam tiap besaran A, tetapi secara kolektif. Maka parameter π yang pertama tersusun sebagai : Π1= A1x1 A2y1 A3z1 A4 Yang kedua sebagai Π2= A1x2 A2y2 A3z2 A 4 Dan seterusnya sampai Πn-m= A1xn-m A 2yn-m A 3zn-m A 4



Dalam persamaan-persamaan ini pangkat-pangkat harus ditentukan sedemikian hingga tiap π tidak berdimensi. Kita masukan dimensi-dimensi besaran-besaran A, kemudian pangkat-pangkat M, L, dan T masing-masing disamakan dengan nol. Hal ini menghasilkan tiga persamaan dalam tiga anu untuk tiap parameter π, sehingga kita dapat menentukan pangkat-pangkat x, y dan z dan kemudian parameter π. Langkah-langkah dalam analisa dimensional adalah:  Pilih variabel-variabel yang berhubungan satu sama lain. Pekerjaan ini memerlukan pengetahuan tentang proses yang bersangkutan.  Tuliskan hubungan fungsionalnya misal: F(v, D, ρ, μ, c, H) = 0  Pilihlah variabel-variabel yang berulang (besaran yang tidak bebas jangan dijadikan variabel berulang). Hendaknya variabel-variabel ini mengandung segenap m dimensi dalam soal yang bersangkutan.  Tuliskan parameter-parameter π sebagai fungsi pangkat-pangkat yang tidak diketahui misalnya: 



  



Π1=Vx1 Dy1 ρz1 μ= (L T-1 )x1Ly1 (M L-3 )z1 M L-1 T-1 Untuk semua rumusan π, tuliskan persamaan-persamaan pangkatpangkatnya sedemikian hingga jumlah pangkat masing-masing dimensi sama dengan nol. Selesaikan persamaan-persamaan tersebut secara serentak Masukan pangkat-pangkat kembali kedalam rumusan-rumusan π dari langkah 4 untuk memperoleh parameter-parameter π tanpa dimensi. Tetapkan hubungan fungsional F1(π1, π2, π3,



, πn-m) = 0



Atau selesaikan untuk memperoleh salah satu π secara explisit: Π2 = f(π1, π3, ........., πn-m) = 0  Jika dikehendaki, gabung-gabungkan ulang untuk mengubah bentuk parameter-parameter π, dengan mempertahankan jumlah parameter bebas yang sama.



Contoh 1.2. Debit melalui sebuah tabung kapiler horisontal diperkirakan bergantung pada jatuh tekan per panjang satuan, garis tengah dan viskositas.



Carilah bentuk persamaannya. Jawab: Bentuk sebuah fungsi ; F(Q, ∆p/l, D, μ)= 0 Kita menggunakan tiga dimensi, dan dengan empat besaran akan terdapat sebuah parameter π : Π= Qx1 (∆p/l)y1 Dz1 μ Kita masukan dimensi-dimensinya 3



-1 x1



-2



-2 y1 z1



-1



-1



0 0



Π= (L T ) (M L T ) L M L T = M L T



0



Pangkat masing-masing dimensi harus sama pada kedua ruas persamaan diatas. Pertama-tama (L) 3x1 -2y1 + z1 – 1 = 0 Dan demikian juga untuk M dan T Y1 + 1 = 0 -x1 – 2y1 – 1 = 0 Kita selesaikan persamaan diatas didapat : Y1 = -1 X1 = 1 dan z1 = -4



Maka: 𝜋=



𝑄𝜇 ∆𝑝 𝐷4 ( ) 𝑙



Penyelesaian untuk Q adalah: ∆𝑝 𝐷4 𝑄=𝑐



𝑙 𝜇



Dari hasil analisis dimensional tidak memberi keterangan tentang nilai angka konstanta tanpa dimensi C. Dari hasil ekperimen menunjukan nilai 𝑐 =



C.



𝜋



128



Perlunya kelompok tanpa dimensi dalam mekanika fluida



Kedelapan parameter tanpa dimensi dalam mekanika fluida antara lain:        



Koefisien tekanan Bilangan reynolds Bilangan Froude Bilangan Euler Bilangan Cauchy Bilangan Mach Bilangan Strouhal Bilangan Weber



Ke delapan bilangan tak berdimensi ini sangat peting dalam mekanika fluida, koefisien tekanan digunakan pada fitting seperti pada bending (belokan), combining (penggabungan aliran), dividing (pembagian aliran) yang masingmasing nilai koefisien kerugiannya berbeda besarnya untuk masing-masing fitting. 



Koefisien kerugian dirumuskan sebagai berikut : 𝑘=



∆ℎ 𝑉 /2𝑔 2



Dimana: ∆h



= selisih tekanan m







V g Bilangan Reynolds



= kecepatan m/s = gaya gravitasi m/s2



Digunakan untuk menganalisa jenis-jenis aliran yaitu aliran laminer, transisi dan turbulen. Bilangan Reynolds dirumuskan sebagai : 𝑅𝑒 =



𝜌𝑉𝑙 𝜇



Dengan : = massa jenis (kg/m3) = kecepatan m/s =panjang pipa m =viskositas N. s/m2



ρ V ℓ μ 



Bilangan Frode



adalah ukuran dari suatu rasio gaya inersia pada suatu elemen fluida terhadap berat elemen. Aplikasi aliran dengan permukaan bebas, dimana grafitasi banyak berpengaruh pada aliran ini. 𝐹𝑟 =



𝑉 √𝑔𝑙



Dengan: V g ℓ 



= kecepatan m/s =gaya grafitasi m/s2 = panjang m



Bilangan Euler



sebagai ukuran rasio gaya tekan terhadap gaya inersia. Bilangan Euler akan digunakan dalam persoalan dimana tekanan atau perbedaan tekanan antara dua titik merupakan variabel yang penting. Bilangan Euler dirumuskan sebagai 𝑝 𝐸𝑢 =



𝜌𝑉2



Dengan:







p



= Tekanan karakteristik dalam sebuah bidang aliran m



ρ V



=massa jenis kg/m3 =kecepatan m/s



Bilangan Cauchy



merupakan bilangan yang penting kemampumampatan adalah faktor yang penting.



dalam



soal



dimana



𝜌𝑉2



𝐶𝑎 =



𝐸𝑣



Dengan: Ev







= bilangan Cauchy



Bilangan Mach



Digunakan dalam soal fluida mampu mampat, khususnya dalam bidang gas dinamika dan aerodinamika. 𝑉 𝑀𝑎 =



Dengan :







𝑐



c =kecepatan suara



Bilangan Strouhal



Adalah parameter tanpa dimensi yang penting digunakan dalam aliran tidak tunak (unsteady), soal aliran yang berosilasi yang frekuensinya ω. Bilangan ini menunjukan ukuran dari gaya rasio inersia akibat ketidak tunakan aliran (percepatan lokal) terhadap gaya inersia akibat perubahan kecepatan dari satu titik ke titik lain dalam aliran kecepatan konvektif. Dirumuskan sebagai : 𝑆𝑡 =



𝜔𝑙 𝑉







Bilangan Weber



penting dalam persoalan dimana terdapat dua fluida yang bersinggungan permukaannya. Bilangan weber dianggap sebagai indek gaya inersia terhadap gaya tegangan permukaan yang bekerja pada permukaan elemen. W𝑒 =



𝜌𝑉2𝑙 𝜎



LATIHAN



1. Yang mana di antara yang berikut ini mempunyai bentuk bilangan Reynolds? (𝑎)



𝑢𝑙 𝑣



(b)



𝑉𝐷𝜇 𝜌



(c)



𝑢𝑣 𝑙



(d)



𝑉 g𝐷



∆𝑝



(e)



𝜌𝑉2



2. Bilangan Reynolds dapat didefinisikan sebagai perbandingan (a) gaya viskos terhadap gaya lembam; (b) gaya viskos terhadap gaya berat; (c) gaya berat terhadap gaya lembam; (d) gaya elastik terhadap gaya tekanan; (e) tiada di antara jawaban-jawaban ini. 3. Kerugian ∆p/l dalam aliran turbulen melalui pipa horisontal yang licin bergantung pada kecepatan V, garis tengah D, viskositas dinamik μ, dan kerapatan ρ. Gunakanlah analisis dimensional untuk menentukan bentuk umum persamaan : ∆𝑝 𝐹 ( , 𝑉, 𝐷, 𝜌, 𝜇) = 0 𝑙 4. Bilangan Reynolds, ρVD/μ, merupakan parameter yang penting dalam ilmu mekanika fluida. Dengan memakai sistem FLT dan MLT sebagai dimensi dasar buktikan bahwa bilangan Reynolds tak-berdimensi, dan hitunglah besarnya Re untuk air (pada suhu 70°C) yang mengalir dengan kecepatan 2 m/s melalui pipa berdiameter 2 in.



5. Apa dimensi kerapatan, tekanan, berat spesifik, tegangan permukaan, viskositas dinamik dalam (a) sistem FLT, dan (b) sistem MLT?



BAB II ALIRAN INTERNAL KENTAL DAN TAK TERMAMPATKAN



A.



Pendahuluan



Aliran fluida internal tak mampu mampat adalah aliran di dalam suatu laluan yang penampangnya berupa kurva tertutup dan massa jenis fluida sepanjang medan aliran adalah tetap, tidak berubah. Pembahasan aliran ini dibagi menjadi 2 berdasarkan pengaruh gesekan atau viskositasnya yaitu aliran tanpa gesekan dan yang bergesekan.



B.



Aliran laminer berkembang penuh diantara dua plat datar



Untuk menguraikan rumus aliran antara dua plat dimulai dari persamaan Navier-Stokes untuk fluida yang incompresibel, ditulis dalam komponen-komponen kartesian untuk arah sumbu x, y dan z adalah sebagai berikut persamaan 1): ∂𝑢 ∂𝑡



∂𝑢 +𝑢



∂𝑥



+𝑣



∂ 𝑢 ∂𝑦



∂𝑣



∂ 𝑣



∂ 𝑣



∂𝑤



∂ 𝑤



∂ 𝑤



+𝑤



∂ 𝑢



∂ℎ



∂𝑧



= −𝑔



∂𝑥



1 ∂𝑝 −



𝜇 ∂2𝑢



∂2𝑢



∂2𝑢



+ * + + + 𝜌 ∂𝑥 𝜌 ∂𝑥 2 ∂𝑦 2 ∂𝑧 2



∂ ∂ℎ 1 ∂𝑝 𝜇 ∂2𝑣 ∂2𝑣 ∂2𝑣 𝑣 +𝑢 +𝑣 +𝑤 = −𝑔 − + * + + + ∂𝑡 ∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧 ∂𝑦 𝜌 ∂𝑦 𝜌 ∂𝑥 2 ∂𝑦 2 ∂𝑧 2



∂𝑡



+𝑢



∂𝑥



+𝑣



∂𝑦



+𝑤



∂ 𝑤 ∂𝑧



∂ℎ = −𝑔



∂𝑧



1 ∂𝑝 −



𝜌 ∂𝑧



𝜇 ∂2𝑤 + * 𝜌 ∂𝑥



2



∂2𝑤 +



∂𝑦2



∂2𝑤 +



∂𝑧2



Asumsi : Aliran 2 dimensi, steady, aliran laminer dan fluida incompresibel Plat bagian atas bergerak dengan kecepatan U pada arah x relativ terhadap plat yang ada dibawahnya seperti ditunjukan pada gambar 2.1.



+



Gambar 2.1. Aliran antara dua plat pararel Analisis:  Untuk 2 dimensi berarti kecepatan v dan semua turunan terhadap y adalah 0 (nol)  Sumbu (z) dengan arah vertikal h, oleh karena itu ∂h/∂x = 0 dan ∂h/∂z = 1.  Aliran stedi maka turunan terhadap waktu nol ∂u/∂t = 0 dan ∂w/∂t = 0  Aliran dalam arah (x), maka arah-w dan semua turunannya adalah nol  Dari persamaan kontinuitas ∂u/∂x = 0 pada sumbu-x dan oleh karena itu ∂2u/∂x2 = 0 Karena asumsi diatas maka persamaan gerak (equations motion) untuk arah (x) dan z menjadi:



0=−



1 6𝑝 𝜌 6𝑥



0 = −𝑔 −



𝜇 62 𝑢



+ *



𝜌 6𝑧2



+



1 6𝑝



2)



3)



𝜌 6𝑧



Kemudian persamaan 3) untuk arah (z) P = -γz + f(x)



4)



Karena ∂p/∂x tidak bergantung pada z, maka bisa ditulis dp/dx. Kemudian persamaan 2) di integralkan dua kali menjadi 𝑑𝑝 𝑧



2 = 𝜇𝑢 + 𝐶 𝑧 + 𝐶



𝑑𝑥 2



1



2



5)



Dengan menggunakan kondisi batas, Z = 0, pada u = 0 Z = a, pada u = U



Gambar 2.2. Coutte flow dan Poiseuille flow Dengan memasukan kondisi batas diatas pada persamaan 5) diperoleh



𝑢=



𝑈z



−



𝑎



𝑎𝑧 𝑑𝑝



𝑧



(1 − )



2𝜇 𝑑𝑥



6)



𝑎



Jika dp/dx = 0 karena alirannya adalah Coutte flow maka distribusi kecepatannya adalah



𝑢=



𝑈z



7)



𝑎



Jika U = 0, aliran paralel diantara dua plat tetap (Poiseuille Flow) sebagai aliran Poiseuille dua dimensi. Distribusi kecepatannya adalah parabolis dengan kecepatan maksimum pada z = a/2 maka:



𝑢𝑚𝑎𝑥 =



−𝑎2 𝑑𝑝



8)



8𝜇 𝑑𝑥



Kecepatan rata-ratanya Q/A adalah



𝑉=



Q 𝐴



2



= 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 3



−𝑎2 𝑑𝑝 12𝜇 𝑑𝑥



9)



C.



Aliran laminer berkembang penuh di dalam pipa



Setiap fluida yang mengalir dalam sebuah pipa harus memasuki pipa pada suatu lokasi. Daerah aliran didekat lokasi fluida memasuki pipa disebut sebagai daerah masuk (entrance region) dan diilustrasikan pada gambar 2.3. Daerah tersebut mungkin sekitar beberapa kaki permulaan dari sebuah pipa yang dihubungkan pada sebuah tangki atau bagian awal dari saluran duct udara panas yang berasal dari sebuah tungku. Sebagaimana ditunjukan pada gambar 2.3, fluida biasanya memasuki pipa dengan profil kecepatan yang hampir seragam pada bagian (1). Selagi fluida bergerak melewati pipa, efek viskositas menyebabkan tetap menempel pada dinding pipa (kondisi lapisan batas tanpa selip). Hal ini berlaku baik jika fluidanya adalah udara yang relatif inviscid atau minyak yang sangat viskos. Bentuk dari profil kecepatan di dalam pipa bergantung pada apakah aliran laminer atau turbulen, sebagaimana pula panjang daerah masuk, ℓe. Panjang masuk pada umumnya diberikan oleh hubungan: 𝑙𝑒



𝐷



= 0,06 𝑅𝑒 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎𝑙i𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑚i𝑛𝑒𝑟



10)



dan 𝑙𝑒



𝐷



= 4,4 (𝑅𝑒)



1⁄ 6 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘



𝑎𝑙i𝑟𝑎𝑛 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛



11)



Gambar 2.3 Daerah masuk aliran mulai dan sedang berkembang penuh didalam sebuah pipa



Untuk aliran-aliran dengan bilangan reynolds sangat rendah panjang masuk dapat sangat pendek (le = 0,6D jika Re = 10), sementara untuk aliranaliran dengan bilangan Reynolds besar daerah masuk tersebut dapat sepanjang berkali-kali diameter pipa sebelum ujung akhir dari daerah masuk dicapai (le = 120D untuk Re = 2000). Untuk banyak masalah-masalah teknik praktis 10 4< Re < 105 sehingga 20D < le < 30D. Terdapat banyak cara untuk menurunkan hasil-hasil penting yang berkaitan dengan aliran laminer berkembang penuh. Tiga alternatif meliputi: o Dari penerapan langsung F = ma pada elemen fluida o Dengan persamaan Navier stokes mengenai gerak o Dari metode analisis dimensional Disini akan dibahas dengan munggunakan alternatif yang pertama, yaitu dengan penerapan hukum Newton pertama F = ma. Kita tinjau elemen fluida pada saat t seperti ditunjuk pada gambar 2.4. Elemen tersebut adalah silinder bundar fluida dengan panjang ℓ dan jari-jari r yang terpusat pada sumbu sebuah pipa horisontal D. Karena kecepatan tidak seragam pada seluruh penampang pipa, silinder fluida yang semula berujung rata pada waktu t menjadi berubah bentuk pada waktu t + δt ketika elemen fluida tersebut telah berpindah ke lokasi barunya sepanjang pipa seperti yang ditunjukan pada gambar. Asumsi yang diambil adalah: o o o o o o



Aliran berkembang penuh (tunak) Perubahan bentuk pada setiap ujung elemen fluida tersebut sama Tidak ada bagian dari fluida yang mengalami percepatan selagi mengalir Efek gravitasi diabaikan Tekanan konstan sepanjang penampang vertikal Fluida tidak mengalami percepatan (ax = 0)



Gambar 2.4. Gerakan elemen fluida silindris di dalam sebuah pipa



Gambar 2.5. Diagram benda bebas dari silinder fluida



Perbedaan tekanan yang bekerja pada ujung silinder dengan luas πr2, dan tegangan geser bekerja pada permukaan selimut silinder dengan luas 2πrℓ. Maka kesetimbangan gaya dapat dituliskan sebagai : (p1)πr2 - (p1 - ∆p)πr2 - (τ)2πrℓ = 0 Kemudian disederhanakan menjadi : ∆𝑝 𝑙



=



2𝜏 𝑟



12)



Karena baik ∆p maupun ℓ bukanlah fungsi dari koordinat radial (r), maka 2τ/r pasti juga tidak bergantung pada r. Artinya, τ = Cr, dimana C adalah sebuah konstanta. Pada r= 0 (sumbu pipa) tidak ada tegangan geser (τ = 0). Pada r = D/2 (dinding pipa), tegangan geser maksimum, dinyatakan dengan τ w, tegangan geser dinding. Jadi, C= 2τw/D dan distribusi tegangan geser di seluruh pipa adalah fungsi linier dari koordinat radial



𝜏=



2𝜏w𝑟 𝐷



13)



Jika viskositas nol tidak akan ada tegangan geser dan tekanan akan konstan di seluruh pipa horizontal tersebut (∆p= 0). Kemudian dari persamaan 12) dan 13) maka penurunan dan tegangan geser dihubungkan oleh:



∆𝑝 =



4𝑃𝜏w 𝐷



14)



Sebuah tegangan geser yang kecil dapat menghasilkan perbedaan tekanan yang besar jika pipa relatif panjang (ℓ/D>>1).



Gambar 2.6. Distribusi tegangan geser pada fluida didalam sebuah pipa (aliran laminer atau turbulen) dan profil-profil kecepatan yang khas



Untuk aliran laminer dari fluida Newtonian, tegangan geser secara sederhana sebanding dengan gradien kecepatan “τ =μ du/dy. Dengan notasi yang sesuai untuk aliran pipa, hubungan ini menjadi:



𝜏 = −𝜇



𝑑𝑢



15)



𝑑𝑟



Tanda negatif disertakan untuk memberikan nilai τ>0 dengan du/dr 90°



disebut forward curved. Pompa pada umumnya tidak dirancang dengan sudu forward curved karena pompa jenis ini akan cenderung, mengalami kondisi aliran yang tidak stabil.



Contoh soal dan penyelesaiannya Air dipompakan dengan laju 1400 gpm oleh sebuah pompa sentrifugal yang beroperasi pada kecepatan 1750 rpm. Impeller mempunyai sudu seragam dengan tinggi, b, 2 in. dan jari-jari, r 1 = 1,9 in. dan r2 = 7,0 in, sudut keluar sudu β2 sebesar 23° (lihat Gambar 2.16). Anggaplah kondisi aliran ideal sehingga komponen kecepatan tangensial, Vθ1, dari air yang masuk ke dalam sudu sama dengan nol (α1 = 90°). Hitunglah (a) komponen kecepatan tangensial, Vθ2, pada sisi keluar, (b) kenaikan head ideal, hi, dan (c) daya. Wshaft, yang dipindahkan ke fluida.



Penyelesaian (a)



Sisi keluar diagram kecepatan ditunjukkan oleh Gambar 2.16c, dimana



V2 adalah kecepatan absolut fluida, W 2 , adalah kecepatan relatif. U 2 adalah kecepatan pada ujung impeller dengan 7 𝑈2 = 𝑟2𝜔 = (



12



(1750 𝑟𝑝𝑚)



ƒ𝑡) (2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑟𝑒𝑣)



(60 𝑠/𝑚i𝑛)



= 107 ft/s Karena laju aliran diberikan, maka Q = 2πr2b2Vr2 Atau 𝑉𝑟2 =



𝑄 = 2𝜋𝑟 𝑏 2 2



= 5,11 ft/s



1400 𝑔𝑝𝑚 3



7



2



(7,48 𝑔𝑎𝑙/ƒ𝑡 )(60 𝑠/𝑚i𝑛)(2𝜋) ( ƒ𝑡) ( ƒ𝑡) 12 12



Dari Gambar 2.16c kita mendapatkan bahwa − 𝑉𝜃2 𝑐𝑜𝑡𝛽2 = 𝑈2 𝑉 𝑟2



Sehingga 𝑉𝜃2 = 𝑈2 − 𝑉𝑟2𝑐𝑜𝑡𝛽2 = (107 — 5,11 cot 23°) ft/s = 95,0 ft/s



(Jawaban)



Dari Persamaan 48) kenaikan head yang ideal diberikan sebagai berikut



(b)



ℎi =



𝑈2𝑉𝜃2 (107 ƒ𝑡/𝑠)(95,0 ƒ𝑡/𝑠) 𝑔 = 32,2 ƒ𝑡/𝑠2



= 316 ft



(Jawaban)



Sebagai alternatif, dari Persamaan 49 kenaikan head ideal adalah



ℎi = 𝑈2 −



2



𝑔



(107 ƒ𝑡/𝑠)(5,11 ƒ𝑡/𝑠) cot 23 𝑈2𝑉𝑟2𝑐𝑜𝑡𝛽2 (107 − ƒ𝑡/𝑠)2 32,2 ƒ𝑡/𝑠2 𝑔 = 2 32,2 ƒ𝑡/𝑠



= 316 ft



(c)



0



(Jawaban)



Dari persamaan 44, dengan Vθ1 = 0, daya yang dipindahkan dari fluida diberikan dengan persamaan



Ẇ 𝑠ℎ𝑎f𝑡 = 𝜌𝑄𝑈2𝑉𝜃2 =



(1,94 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠/ƒ𝑡3)(1400 𝑔𝑝𝑚)(107 ƒ𝑡/𝑠)(95,0 ƒ𝑡/𝑠) [1(𝑠𝑙𝑢𝑔. ƒ𝑡/𝑠2)/𝑙𝑏](7,48 𝑔𝑎𝑙/ƒ𝑡3)(60 𝑠/𝑚i𝑛)



= 61.500 ft - lb/s = 112 hp



(Jawaban)



Perhatikan bahwa kenaikan head yang ideal dan daya yang dipindahkan mempunyai hubungan melalui persamaan di bawah ini, Wshaft = ρgQhi Perlu digarisbawahi bahwa hasil yang diperoleh dari persamaan di atas melibatkan kenaikan head yang ideal. Karakteristik unjuk kerja kenaikan head aktual dari sebuah pompa pada umumnya didapat melalui pengujian secara eksperimental dalam laboratorium.



Gambar 2.17 Efek kerugian pada kurva head-laju aliran pompa



Gambar 2.17 memperlihatkan kurva head ideal terhadap laju aliran (Persamaan 51) untuk pompa sentrifugal dengan tipe sudu backward curved (P2 < 90°). Karena pada persamaan tersebut terdapat asumsi penyederhanaan (dianggap kerugiannya nol) yang berkaitan dengan persamaan untuk hi, kita perkirakan bahwa kenaikan head aktual fluida, ha, akan kurang dibandingkan kenaikan head ideal, dan hal itu benar-benar terjadi pada kasus ini. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.17, kurva h a, terhadap Q berada di bawah kurva kenaikan head ideal dan terlihat variasi tidak linier terhadap Q. Perbedaan antara dua kurva tersebut (yang ditunjukkan dengan luasan yang berarsir antara kurva) terjadi karena beberapa sebab. Perbedaan ini mencakup kerugian akibat gesekan kulit fluida pada laluan sudu, yang bervariasi dalam bentuk Q2, dan kerugian lain yang diakibatkan oleh faktor-faktor seperti separasi aliran, aliran pada celah antara sudu impeller dan rumah pompa dan efek-efek aliran tiga-dimensi. Mendekati desain laju aliran yang sebenarnya, beberapa kerugian lain ini dapat diminimumkan. Dengan bertambahnya pengetahuan tentang teori dan prosedur desain. pada dasarnya desain pompa sentrifugal merupakan bidang yang penuh dengan kemungkinan pengembangan. Namun demikian, akibat dari kompleksnya aliran yang melalui pompa sentrifugal, unjuk kerja aktual pompa tidak dapat secara akurat diperkirakan melalui penyelesaian secara teoretis saja seperti yang ditunjukkan melalui data pada, Gambar 2.17. Unjuk kerja aktual pompa



diperoleh secara eksperimental melalui pengujian pompa. Dari pengujian ini, akan diperoleh karakteristik pompa yang dinyatakan sebagai kurva unjuk kerja pompa. Informasi ini sangat membantu para ahli



teknik



yang



bertanggung jawab pada pemasangan pompa untuk suatu sistem instalasi aliran.



2.



Karakteristik Unjuk-kerja Pompa



Kenaikan head aktual, ha, yang dicapai fluida yang mengalir dalam pompa dapat dihitung dengan suatu penyusunan eksperimental seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.18, dengan menggunakan persamaan energi ha = hs – hL di mana hs adalah tinggi head kerja poros dan tinggi ini identik dengan hi, sedangkan hL adalah kerugian head).



Gambar 2.18 Penyusunan ekperimental yang umum untuk menghitung kenaikan head yang diterima fluida yang mengalir malalui pompa



ℎ𝑎 = 𝑝2−𝑝1 𝛾



𝑉



+ 𝑧2 − 𝑧 +



2 2 2−𝑉



52)



2g



dimana bagian (1) dan bagian (2) adalah sisi masuk dan keluar pompa. Tinggi, ha, sama dengan hp yang digunakan pada persamaan energi, di mana h p ditafsirkan sebagai kenaikan head bersih sebenarnya diterima dari fluida yang mengalir melalui pompa, yakni, ha = hP = hs – hL. Pada umumnya, perbedaan elevasi dan kecepatan kecil, oleh karenanya ℎ𝑎 ≈ 𝑝2−𝑝1 𝛾



53)



Daya, Pf , yang diterima fluida diberikan oleh persamaan 𝑃f = 𝛾𝑄ℎ𝑎



54)



besarnya daya ini dinyatakan dalam daya-kuda (horsepower) dan secara tradisional disebut daya kuda air (water horsepower). Sehingga, P = water horsepower = f



𝛾Qℎ𝑎



55)



550



Di mana γ dinyatakan dalam lb/ft3, Q dalam ft3/s, dan ha, dalam ft. Perhatikan bahwa jika fluida yang dipompakan bukan air, maka γ yang muncul dalam Persamaan 55) merupakan berat spesifik dari fluida yang mengalir melalui pompa tersebut. Di samping head atau daya yang ditambahkan ke fluida, efisiensi keseluruhan, η, menjadi perhatian utama, di mana 𝜂=



𝑑𝑎𝑦𝑎 𝑦𝑎𝑛g 𝑑i𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 f𝑙𝑢i𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑦𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠 𝑦𝑎𝑛g 𝑚𝑒𝑛gg𝑒𝑟𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠



=



𝑃f 𝖶𝑠ℎ̇𝑎f𝑡



56)



Pembagi dalam hubungan ini menyatakan daya total pada poros pompa dan seringkali dinyatakan sebagai daya kuda rem (brake horsepower, bhp). Sehingga, 𝜂=



𝛾Qℎ𝑎/550 𝑏ℎ𝑝



57)



Efisiensi pompa keseluruhan ditentukan oleh kerugian hidrolik pada pompa, seperti yang telah dibahas pada Subbab sebelumnya, dan ditambah oleh kerugian mekanik yang terjadi pada bantalan dan perapat. Kemungkinan akan adanya kehilangan daya juga terjadi akibat bocornya fluida di antara bagian permukaan belakang plat hub impeller dan rumah pompa atau melalui komponen pompa lainnya. Kebocoran yang akan mempengaruhi efisiensi keseluruhan ini dinyatakan sebagai kerugian volumetrik. Jadi, efisiensi seluruhan bersumber pada tiga hal, efisiensi hidrolik, η h, efisiensi mekanik, ηm, dan efisiensi volumetrik, ηv, sehingga ηh = ηhηmηv Karakteristik unjuk kerja sebuah pompa yang telah ditentukan geometri dan kecepatan operasinya umumnya digambarkan dalam bentuk ha , ηh dan bhp terhadap Q (umumnya dinyatakan sebagai kapasitas) Seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.18. Dalam kenyataannya, hanya dua kurva yang diperlukan karena hubungan ha , ηh dan bhp terhadap Q telah dinyatakan melalui Persamaan 57). Namun untuk kelengkapannya, pada umumnya ketiga kurva ditampilkan. Perhatikan bahwa untuk pompa yang dicirikan dengan data yang ditunjukkan Gambar 2.19, kurva head naik secara kontinyu seiring dengan turunnya laju aliran, pada kasus ini pompa disebut mempunyai kurva head naik (rising head curve). Pompa juga dapat mempunyai karakteristik di mana kurva ha — Q yang pada awalnya naik saat Q turun sesuai dengan nilai rancangannya dan kemudian turun ketika penurunan kapasitas (Q) dilanjutkan. Pada kasus ini pompa disebut mempunyai kurva head turun (falling



head curve). Head yang terjadi pada pompa saat kapasitasnya nol disebut head tutup (shutoff head), dan ini menyatakan kenaikan head tekanan saat melalui pompa pada kondisi katup pembuangan tertutup. Oleh karena tidak ada aliran pada saat katup tertutup, maka efisiensinya nol, daya yang diberikan pompa (bhp pada Q= 0) seluruhnya diubah menjadi panas. Walaupun dengan keadaan katup pembuangan tertutup pompa sentrifugal dapat dioperasikan untuk waktu yang singkat, kerusakan akan tetap terjadi akibat pemanasan berlebih dan adanya tegangan mekanik yang besar akibat pengoperasian dengan katup tertutup. Seperti yang terlihat pada Gambar 2.19, saat kapasitas buangnya naik dari nol, daya kuda rem (bhp) akan naik, dan selanjutnya akan turun hingga kapasitas buangnya mencapai kondisi maksimum. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila h, dan bhp diketahui, besarnya efisiensi dapat dihitung. Seperti pada Gambar 2.19, efisiensi adalah fungsi dari laju aliran dan akan mencapai harga maksimum pada suatu nilai laju aliran tertentu yang umumnya disebut laju aliran normal atau kapasitas pompa. Titik-titik



Gambar 2.19 Contoh karakteristik unjuk kerja pompa sentrifugal dengan ukuran tertentu yang beroperasi pada kecepatan impeler konstan



Gambar 2.20 Kurva unjuk kerja pompa sentrifugal dua tingkat yang beroperasi pada kecepatan 3500 rpm. pada berbagai kurva yang berhubungan dengan efisiensi maksimum dinyatakan sebagai titik-titik efisiensi terbaik (best efficiency points, BEP). Tampak bahwa ketika kita memilih pompa untuk keperluan tertentu, umumnya kita ingin memiliki pompa yang beroperasi di dekat efisiensi maksimumnya. Oleh karena itu, kurva unjuk kerja dari jenis pompa yang ditunjukkan Gambar 2.19 sangat penting untuk para ahli teknik yang bertanggung jawab dalam memilih pompa untuk suatu sistem aliran tertentu. Karakteristik unjuk kerja pompa juga dinyatakan dalam grafik dari tipe pompa seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.20. Karena impeller-impeller dengan diameter yang berbeda dapat digunakan pada suatu selubung tertentu, maka dapat diperoleh karakteristik unjuk kerja untuk beberapa diameter impeller dengan garis efisiensi konstan dan daya kuda rem (bhp) yang bersesuaian seperti yang terlihat pada Gambar 2.20. Sehingga, informasi yang sama akan dapat diperoleh dari grafik jenis ini seperti juga dari kurva yang ditunjukkan pada Gambar 2.19. Perhatikan tambahan kurva yang diberikan pada Gambar 2.20 , dengan tulisan NSPHR yang merupakan singkatan dari required net positive suction head. Seperti bahasan yang akan dilakukan pada subbbab selanjutnya, pentingnya arti kurva ini dikaitkan dengan kondisi sisi hisap, pompa, yang harus diperhatikan secara cermat pada saat pemilihan dan penempatan pompa.



3.



Net Positive Suction Head (NPSH)



Pada sisi hisap pompa, umumnya terjadi tekanan rendah, dan pada kondisi ini kemungkinan dapat terjadi kavitasi di dalam pompa. Kavitasi terjadi apabila tekanan cairan pada suatu lokasi tertentu turun ke tekanan uap, dari cairannya. Apabila hal ini terjadi, terbentuklah gelembung uap (cairan mulai "mendidih");



fenomena ini dapat menyebabkan



Gambar 2.21. Skematik instalasi pompa dimana pompa harus mengangkat/ memindahkan fluida dari satu ketinggian ke ketinggian lain turunnya efisiensi di samping merusak struktur material pompa. Untuk mem pelajari besarnya pengaruh kavitasi, digunakan perbedaan head total pada sisi hisap, di dekat sisi masuk impeller pompa, ps/γ + Vs2 /2g, dan head, tekanan uap air, pv/γ. Posisi acuan head elevasi diukur dari garis pusat sisi masuk impeller pompa. Perbedaan tersebut dikenal sebagai net positive suction head (NPSH) sehingga, 𝑝 𝑉 𝑝 𝑁𝑃𝑆𝐻 = 𝑠 + 2 − 58) 𝑠 𝑣 𝛾



2g



𝛾



Dalam kenyataannya terdapat dua harga dari NPSH. Yang pertama adalah NPSH yang diperlukan (required), ditulis NPSHR, yang nilainya harus dijaga atau dilampaui (lebih besar), agar kavitasi tidak terjadi. Oleh karena tekanan yang lebih rendah dari pipa hisap akan terjadi pada ujung sisi masuk impeller, pada umumnya untuk suatu pompa yang diberikan diperlukan penentuan secara eksperimental, tentang besarnya NPSHR, Besarnya NPSHR ditunjukkan pada Gambar 2.20. Untuk menentukan besarnya harga NPSHR kita lakukan pengujian pada pompa, sebagaimana yang didefinisikan oleh Persamaan 58), baik entah dengan secara langsung mendeteksi kavitasi atau dengan mencari adanya perubahan kurva head laju aliran. Harga NPSH yang kedua adalah NPSH yang tersedia (available), ditulis NPSHA, yang menyatakan head yang secara nyata terjadi untuk suatu sistem dengan aliran tertentu. Nilainya dapat diperoleh secara eksperimental, atau dapat dihitung jika parameter dari sistem diketahui Sebagai contoh, sebuah sistem aliran yang umum ditunjukkan pada Gambar 2.21. Persamaan energi digunakan antara permukaan bebas cairan, di mana tekanannya adalah tekanan atmosfer, patm, dan titik pada sisi hisap dari pompa dekat sisi masuk ujung impeller.



𝑝𝑎𝑡𝑚



− 𝑧 = 𝑃𝑠 + 𝑉𝑠 2 + ∑ ℎ 𝐿 1 𝛾 2𝑔 𝛾 di mana ∑hL menyatakan kerugian head antara permukaan bebas dan sisi masuk impeller pompa. Oleh karena itu head yang tersedia pada sisi masuk impeller pompa adalah 𝑉2



𝑝𝑠 𝛾



+



𝑠



2𝑔



𝑝 =



𝑎𝑡𝑚



𝛾



− 𝑧1



−∑ℎ 𝐿



Sehingga 𝑁𝑃𝑆𝐻



=



𝐴



𝑝𝑎𝑡𝑚



∑ −𝑧 − ℎ



𝛾



1



𝐿



−



𝑝𝑣



59)



𝛾



Untuk perhitungan ini, biasanya digunakan tekanan absolut, karena pada umumnya tekanan uap dinyatakan sebagai tekanan absolut. Agar suatu pengoperasian pompa berjalan dengan baik, dituntut agar NPSH



A



≥ NPSHR



Perlu diperhatikan dari persamaan 59), bahwa apabila tinggi impeller pompa di atas permukaan fluida, z1, dinaikkan, maka NPSHA akan turun. Oleh karena itu, terdapat suatu nilai kritis dari z1 di mana pompa tidak dapat beroperasi tanpa kavitasi. Nilai spesifik tergantung pada kerugian head dan nilai dari tekanan uap. Selanjutnya perlu diperhatikan bahwa jika tangki penyedia atau reservoir terdapat di atas pompa, maka z, pada Persamaan 59) akan negatif, dan NPSHA akan naik seiring dengan naiknya reservoir tersebut.



4.



Karakteristik Sistem dan Pemilihan Pompa.



Suatu contoh sistem aliran di mana sebuah pompa digunakan ditunjukan pada Gambar 2.22. Persamaan energi yang digunakan antara titik (1) dan (2) menunjukkan bahwa hp = z 2 – z 1 +∑h L



60)



di mana hp adalah head aktual yang diperoleh fluida dari pompa, dan ∑hL. menyatakan seluruh kerugian gesekan pada pompa dan kerugian minor untuk sambungan dan katup pada pipa. Dari apa yang telah kita pelajari tentang aliran dalam pipa, kita mengetahui bahwa secara umum hL bervariasi karena lebih sebesar kuadrat laju alirannya; yakni, hL∞ Q2. Sehingga Persamaan 60) dapat ditulis dalam bentuk hp = z 2 - z l + K Q 2



61 )



di mana K tergantung dari ukuran dan panjang pipa, faktor gesekan. dan koefisien kerugian minor. Persamaan 61) adalah persamaan sistem dan



Gambar 2.22 Contoh umum sebuah sistem aliran



Gambar 2.23 Pemanfaatan dari suatu kurva sistem dan kurva unjuk kerja pompa untuk memperoleh titik operasi bagi sistem memperlihatkan bagaimana head aktual yang diperoleh fluida dari pompa mempunyai hubungan dengan parameter sistem. Pada kasus ini parameter yang termasuk adalah perubahan head elevasi, z2 – z1, dan kerugian akibat gesekan yang dinyatakan oleh KQ2. Setiap sistem aliran masing-masingnya mempunyai persamaan sistem yang spesifik. Jika aliran laminer, kerugian gesek akan sebanding terhadap Q dibandingkan dengan Q2. Terdapat hubungan yang unik antara head aktual pompa yang diberikan pada fluida dan laju alirannya, yang ditentukan oleh desain pompa (seperti yang ditunjukkan oleh kurva unjuk kerja pompa). Dalam memilih pompa untuk suatu penggunaan khusus, kita perlu memanfaatkan baik kurva sistem, seperti yang ditentukan oleh persamaan sistem, dan kurva unjuk kerja pompa. Jika kedua kurva tersebut digambar pada satu grafik yang sama, seperti yang



ditunjukkan pada Gambar 2.23, maka perpotongannya (titik A) menyatakan titik operasi sistem. Maka, titik tersebut memberikan besarnya head dan laju aliran yang memenuhi, baik untuk persamaan sistem maupun persamaan pompa. Pada grafik yang sama ditunjukkan juga efisiensi pompa. Secara ideal, kita menginginkan titik operasi pompa mendekati titik efisiensi terbaik (BEP). Untuk suatu pompa yang ditentukan, jelas bahwa apabila persamaan sistem berubah, titik operasinya akan bergeser. Sebagai contoh, jika gesekan pipa naik akibat dari kotornya dinding pipa, kurva dari sistem akan berubah, dan menghasilkan pergeseran titik operasi A ke titik B seperti pada Gambar 2.23 dan akan mengurangi laju aliran dan efisiensinya. Contoh berikut akan memperlihatkan bagaimana karakteristik sistem dan pompa dapat digunakan untuk menentukan apakah sebuah pompa tertentu cocok untuk suatu aplikasi.



Pompa dapat disusun secara seri atau paralel untuk memenuhi tambahan head atau kapasitas aliran. Jika dua pompa dipasang secara seri, kurva unjuk kerja susunan pompa ini diperoleh dengan menambahkan head pada laju aliran yang sama. Seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.24a, untuk dua buah pompa identik yang disusun secara seri, head aktual yang diperoleh oleh fluida maupun untuk laju alirannya akan meningkat, tetapi keduanya tidak akan menjadi dua kali lipat jika kurva sistem tetap sama. Titik operasi



Gambar 2.24 Pengaruh operasi pompa untuk pemasangan secara (a) seri dan (b) paralel pada (A) untuk satu pompa dan bergerak ke titik (B) untuk dua pompa yang dipasang seri. Untuk dua buah pompa identik yang dipasang secara paralel, kombinasi kurva unjuk kerja diperoleh dengan menambahkan laju aliran pada head yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.24b. Seperti yang



diilustrasikan, laju aliran untuk sistem tidak menjadi dua kali lipat dengan tambahan dua pompa secara paralel (jika kurva sistem yang digunakan sama). Namun demikian, untuk kurva sistem yang relatif mendatar, seperti yang ditunjukkan Gambar 2.24b, dapat diperoleh kenaikan laju aliran yang cukup besar dengan bergeraknya titik operasi dari titik (A) ke titik (B).



5.



Parameter Tak Berdimensi dan Hukum Keserupaan



Analisis dimensi (dimensional analysis) merupakan hal yang sangat bermanfaat untuk perencanaan dan pelaksanaan eksperimen. Karena pada umumnya karakteristik pompa ditentukan dan diperoleh secara eksperimental, diharapkan bahwa tinjauan secara analisis dimensi dan keserupaan (similitude) akan terbukti berguna dalam mempelajari dan mendokumentasikan karakteristik-karakteristiknya. Dari subbab sebelumnya kita ketahui bahwa prinsip dasar, variabel bebas pompa adalah kenaikan head aktual, ha, daya poros, Wshaft, dan efisiensi η. Kita harapkan variabel ini akan tergantung pada konfigurasi geometrik yang dapat dinyatakan oleh diameter karakteristik, D, panjang lain yang mempunyai hubungan, ℓi, dan kekasaran permukaan, ε. Sebagai tambahan variabel lain yang penting adalah laju aliran, Q, kecepatan putar poros pompa ω, kekentalan fluida, μ, dan kerapatan fluida, ρ. Pada saat ini kita hanya akan membahas fluida tak mampu-mampat, sehingga pengaruh kemampu mampatan belum diperhatikan. Oleh karena itu, masing-masing variabel tak bebas h a, Wshaft , dan η dapat dinyatakan sebagai variabel tak bebas = f (D, ℓi, ε, Q, ω, μ, p) dan penggunaan analisis dimensi secara langsung akan menghasilkan 𝗌



Q



2



𝑃 𝜌𝜔𝐷 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝i 𝑡𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠 = Ø ( 𝐷i , , 𝜔𝐷3 , ) 𝐷 𝜇



62)



Suku pi tak bebas yang mengandung head umumnya dinyatakan sebagai CH = gha/ω2D2 , di mana gha adalah kenaikan head aktual dalam bentuk energi per unit massa, dibandingkan dengan bentuk yang lebih sederhana h a, yaitu energi per unit berat. Parameter tanpa dimensi ini disebut koefisien kenaikan head. Suku pi tak bebas yang mengandung daya poros dinyatakan sebagai C= WShaft/ρω3D5 , dan parameter tak berdimensi standar ini dikenal sebagai koefisien daya. Daya yang muncul pada parameter tak berdimensi ini umumnya didasarkan atas daya kuda poros (shaft horsepower), bhp, sehingga satuannya dalam BG, Wshaft= 550 x (bhp). Kecepatan putar, ω, yang muncul pada kelompok tanpa dimensi ini dinyatakan dalam rad/s. Suku pi tak bebas yang terakhir adalah efisiensi, η, yang telah merupakan parameter tak



berdimensi. Sehingga dalam bentuk parameter tak berdimensi karakteristik unjuk kerja akan dinyatakan 𝑔ℎ𝑎



𝐶𝐻 =



2 𝑃i 𝜀 𝑄 𝜌𝜔𝐷 = Ø ( 1 , , , ) 𝜔2𝐷2 𝐷 3 𝜇 𝐷 𝜔𝐷



W𝑠ℎ̇𝑎f𝑡



𝑃i 𝜀 𝑄 𝜌𝜔𝐷2 , , , ) 𝐶𝑝 = = Ø2 ( 3 5 𝜇 𝜌𝜔 𝐷 𝐷 𝐷 𝜔𝐷3



𝜌𝑔𝑄ℎ𝑎 𝜂=



W𝑠ℎ𝑎f𝑡 ̇ 𝐷



𝑃i 𝜀 = Ø3 ( ,



𝜌𝜔𝐷2



𝑄 ,



3 𝐷 𝜔𝐷



,



𝜇



)



Suku pi yang terakhir pada setiap persamaan di atas merupakan bilangan Reynolds yang menyatakan pengaruh relatif efek viskos. Saat aliran pompa mempunyai bilangan Reynolds yang tinggi, yang umumnya terjadi dalam kehidupan sehari-hari, pengalaman menunjukkan bahwa efek bilangan Reynolds dapat diabaikan. Untuk penyederhanaannya, kekasaran relatif, ε/D, juga dapat diabaikan dalam pompa karena parahnya ketidakteraturan bentuk ruang (chamber) pompa lebih berpengaruh dibandingkan dengan kekasaran permukaan. Sehingga dengan adanya penyederhanaan ini dan untuk keserupaan geometrik pompa (semua dimensi yang berhubungan dengan, ℓi, diskalakan ke Skala panjang yang umum), suku pi tak bebas hanya merupakan fungsi dari, Q/ω D 3 Sehingga gℎ𝑎



=Ø ( 1



𝜔2 𝐷 2 𝖶𝑠ℎ̇𝑎f𝑡 𝜌𝜔3𝐷5



Q



,)



63)



𝜔𝐷3



=Ø (



Q 𝜔𝐷 3



,)



64)



2



𝜂 = Ø3



(𝜔𝐷3 , ) Q



65)



Parameter tak berdimensi CQ = Q/ω D3, dikenal sebagai koefisien aliran. Ketiga persamaan ini berguna untuk mendapatkan hubungan keserupaan yang diinginkan di antara keluarga pompa yang serupa secara geometrik. Jika dua pompa dalam satu keluarga beroperasi pada harga koefisien aliran yang sama.



Q



Gambar 2.25 Contoh tipikal data unjuk kerja pompa sentrifugal (a) kurva karakteristik pompa sentrifugal dengan diameter impeller 12 in, pada putaran operasi 1000 rpm, (b) kurva karakteristik tak berdimensi Q



(



Q



)



𝜔𝐷3



1



= (



𝜔𝐷3



)



66)



2



sehingga selanjutnya akan diperoleh (



gℎ 𝑎



) = ( gℎ𝑎 )



𝜔2𝐷2 1 𝖶𝑠ℎ̇𝑎f𝑡



(



𝜌𝜔3𝐷5



67)



𝜔2𝐷2 2



)



𝖶̇ 𝑠ℎ𝑎f𝑡



1



= (𝜌𝜔3𝐷5 )



68)



2



η1 = η2



69)



di mana subskrip 1 dan 2 merujuk pada sembarang dua buah pompa dari keluarga pompa yang serupa secara geometrik. Dengan persamaan tersebut, kita memperoleh apa yang dikenal sebagai hukum penskalaan pompa (pump scaling laws) dan dengan hukum ini dapat dilakukan penentuan secara eksperimental karakteristik unjuk kerja dari satu pompa dalam laboratorium dan data yang diperoleh kemudian digunakan



untuk memprediksi karakteristik yang bersesuaian untuk pompa lain yang masuk dalam keluarga pompa pada kondisi operasi yang berbeda. Pada Gambar 2.25a ditunjukkan sebuah kurva umum yang diperoleh untuk sebuah pompa sentrifugal. Gambar 2.25b menunjukkan hasil yang digambar dalam bentuk koefisien tak berdimensi CQ, CH, Cp, dan η. Dari kurva unjuk kerja berbagai ukuran ini, akan dapat diprediksi keserupaan geometrik pompa, sebagaimana pengaruh perubahan kecepatan pada unjuk kerja pompa diperoleh dari kurva. Perlu diperhatikan bahwa efisiensi, η berkaitan dengan koefisien lain melalui hubungan η= CQ CH 𝐶−1 . Hal ini diperoleh secara 𝑝 langsung dari definisi η.



6.



Hukum Penskalaan Pompa Khusus



Dalam masalah keserupaan pompa, umumnya akan muncul dua buah kasus. Pada kasus pertama kita akan mempelajari bagaimana perubahan kecepatan operasi, ω, untuk suatu pompa, mempengaruhi karakteristik pompa Dari Persamaan 66) untuk koefisien aliran yang sama (sehingga efisiensinya sama) dengan DI = D2 (pompa yang sama), Q1 Q2



=



𝜔1



70)



𝜔2



Tanda di bawah garis (subskrip) 1 dan 2 menunjukkan pompa yang sama yang beroperasi pada dua kecepatan berbeda dengan koefisien aliran yang sama. Dari Persamaan 67) dan 68) juga akan diperoleh ℎ𝑎1 ℎ𝑎2



𝜔



71)



2



= 𝜔212



dan 𝖶̇ 𝑠ℎ𝑎f𝑡 𝖶̇ 𝑠ℎ𝑎f𝑡



𝜔 3



72)



= 𝜔312



Sehingga suatu pompa yang beroperasi pada koefisien aliran yang ditentukan alirannya bervariasi secara langsung dengan kecepatan, sedang headnya, bervariasi terhadap kuadrat kecepatannya, dan dayanya bervariasi terhadap pangkat tiga kecepatannya. Hukum penskalaan ini berguna un tuk memperkirakan pengaruh perubahan kecepatan pompa ketika terdapat sejumlah data dari pengujian pompa ketika pompa yang diperoleh dioperasikan pada kecepatan tertentu. Pada kasus khusus kedua, kita tertarik untuk mempelajari bagaimana pengaruh terhadap karakteristik pompa jika terjadi perubahan diameter impeller, D, dari suatu keluarga pompa yang mempunyai keserupaan geometri,



dan beroperasi pada suatu kecepatan tertentu. Sesuai dengan Persamaan



66) bahwa pada koefisien aliran yang sama dengan ω1 = ω2 𝐷 3



Q1 Q2



73)



= 𝐷123



Serupa dengan itu, dari Persamaan 67) dan 68) ℎ𝑎1 ℎ𝑎2



𝐷



74)



2



= 𝐷122



Dan 𝖶̇ 𝑠ℎ𝑎f𝑡1 𝖶̇ 𝑠ℎ𝑎f𝑡2



𝐷 5



75)



= 𝐷125



Sehingga untuk keluarga pompa yang mempunyai keserupaan geometrik yang beroperasi pada kecepatan tertentu dan mempunyai koefisien aliran yang sama, aliran bervariasi terhadap pangkat tiga diameternya, head bervariasi terhadap kuadrat diameternya, dan daya bervariasi terhadap pangkat lima diameternya. Hubungan penskalaan didasarkan pada kondisi bahwa apabila diameter impellernya berubah, seluruh variabel geometrik lain yang penting juga akan disesuaikan skalanya agar keserupaan geometriknya selalu terjaga. Tipe Skala geometrik ini tidak selalu mungkin diperoleh, hal ini diakibatkan karena adanya kesulitan dalam praktek pembuatan pompa. Dalam praktek pembuatan pompa pada umumnya dilakukan pemasangan impeller dengan diameter yang berbeda pada rumah pompa yang sama. Pada kasus ini, keserupaan geometrik secara menyeluruh tidak dipertahankan, dan secara umum hubungan penskalaan yang dinyatakan oleh Persamaan 73), 74) dan 75) tidak berlaku. Namun demikian, pengalaman menunjukkan bahwa jika diameter impeller berubah tidak terlalu besar, yakni kurang dari 20 %, hubungan penskalaan ini akan tetap dapat digunakan untuk memperkirakan pengaruh dari perubahan diameter impeller. Hukum keserupaan pompa seperti yang dinyatakan oleh Persamaan 70) sampai 75) sering disebut sebagai hukum afinitas pompa. Pengaruh kekentalan dan kekasaran permukaan diabaikan dalam hubungan keserupaan sebelumnya. Namun demikian, diketahui bahwa jika ukuran pompa mengecil, pengaruhnya akan lebih besar terhadap efisiensinya sebab ukuran celah dan sudunya lebih kecil. Pendekatan pada hubungan secara empirik untuk memperkirakan pengaruh mengecilnya ukuran terhadap efisiensi adalah 1⁄ 5



𝐷



1−𝜂 2



1−𝜂1



≈ (𝐷1)



76)



2



Secara umum, dapat diperkirakan bahwa hukum keserupaan akan sangat



ticlak akurat jika pengujian dilakukan pada model pompa yang memakai air untuk memperkirakan unjuk kerja suatu prototipe pompa yang memakai fluida dengan kekentalan tinggi, seperti minyak, sebab pada bilangan Reynolds yang lebih kecil dengan menggunakan aliran minyak, sifat fisik fluida yang terkait berbeda dengan aliran dengan bilangan Reynolds yang tinggi pada air.



7.



Kecepatan Spesifik Suku pi dapat diperoleh dengan mengeliminasi diameter D di antara



koefisien aliran dan koefisien kenaikan tekanan. Hal ini dilakukan dengan menaikkan koefisien aliran sampai mendekati pangkat (1/2) dan hasilnya dibagi dengan koefisien head yang dinaikkan ke pangkat lain yang cocok (3/4) sehingga 1



⁄ (Q⁄ ) 2 𝜔𝐷3 3



(gℎ𝑎/𝜔2𝐷2)



⁄4



=



𝜔√Q



3



=𝑁𝑠



77)



(gℎ𝑎) ⁄4



Parameter tidak berdimensi Ns disebut kecepatan spesifik. Kecepatan spesifik bervariasi dengan koefisien aliran sebagaimana koefisien lain dan efisiensi seperti yang telah dibahas sebelumnya. Namun demikian, untuk sembarang pompa lumrah saja untuk menentukan harga kecepatan spesifik pada koefisien aliran yang terkait dengan efisiensi puncak saja. Untuk pompa yang mempunyai Q rendah dan ha tinggi, kecepatan spesifiknya rendah dibandingkan dengan pompa yang mempunyai Q tinggi dan ha rendah. Pada umumnya pompa sentrifugal mempunyai kapasitas aliran rendah dan head tinggi, oleh karenanya mempunyai kecepatan spesifik rendah. Kecepatan spesifik seperti yang didefinisikan Persamaan 77 tidak berdimensi, oleh karena itu perhitungannya tidak tergantung pada sistem satuan yang digunakan selama sistem satuan yang digunakan tetap sama/ konsisten. Namun demikian di Amerika Serikat modifikasi bentuk berdimensi kecepatan spesifik yang umum dipakai adalah, Nsd, di mana 𝑁𝑠𝑑 =



𝜔(𝑟𝑝𝑚)√Q(g𝑝𝑚) 3⁄ 4 [ ℎ𝑎(f𝑡)]



78)



Nsd ini dinyatakan dalam satuan yang umum digunakan di Amerika Serikat. Nilai umum Nsd berada pada rentang 500 < Nsd < 4000 untuk pompa sentrifugal. Ns dan Nsd mempunyai arti fisik yang sama, tetapi besarnya dibedakan melalui suatu konstanta faktor konversi (Nsd = 2773 Ns) di mana ω dalam Persamaan 77) dinyatakan dalam rad/s.



Setiap keluarga atau kelas pompa mempunyai rentang harga kecepatan spesifik tertentu yang berkaitan dengan keluarga atau kelasnya masing-masing. Maka, pompa dengan kapasitas aliran rendah dan karakteristik head tinggi, akan mempunyai kecepatan spesifik yang lebih rendah dibandingkan dengan pompa dengan kapasitas aliran tinggi dan karakteristik head rendah. Konsep kecepatan spesifik sangat berguna untuk para ahli teknik dan desainer, karena jika head, kapasitas aliran, dan kecepatan yang diperlukan telah dapat ditentukan, kita dapat memilih secara tepat (lebih efisien) tipe pompa cocok untuk keperluan tertentu. Pada saat kecepatan spesifik, Nsd, naik diatas 2000, efisiensi puncak pompa sentrifugal dengan aliran yang sepe nya radial mulai menurun, dan harus dipilih tipe lain dengan desain pompa yang lebih efisien. Selain pompa sentrifugal yang banyak digunakan adalah pompa aliran-aksial. Pompa aliran-aksial arah aliran sebagian besar sejajar dengan poros putar dibandingkan dengan arah radial seperti pada pompa sentrifugal. Pompa aliran-aksial pada dasarnya mempunyai kapasitas besar, head rendah, oleh karena itu mempunyai kecepatan spesifik besar (Nsd > 9000) dibanding dengan pompa sentrifugal. Pompa aliran campuran menggabungkan ciri- ciri/sifat pompa aliran-radial dan aksial, dan mempunyai kecepatan spesifik setengahnya. Gambar 2.26 menunjukkan bagaimana perubahan kecepatan spesifik jika konfigurasi pompa berubah dari sentrifugal atau radial ke aksial.



Gambar 2.26 Variasi kecepatan spesifik untuk jenis pompa



8.



Kecepatan Spesifik Hisap



Dengan analisis yang serupa seperti yang digunakan untuk memperoleh suku pi kecepatan spesifik, kecepatan spesifik hisap, Ss, dapat dinyatakan sebagai berikut, 𝑆𝑠



𝜔√Q



= [g(𝑁𝑃𝑆𝐻𝑅)]3⁄4



79)



di mana ha dalam Persamaan 77) telah diganti dengan net positive suction head yang diperlukan (NPSH R). Parameter tak berdimensi ini berguna untuk menentukan kondisi operasi yang diperlukan pada sisi hisap pompa. Adalah benar bahwa untuk kecepatan spesifik, Ns, nilai Ss pada umumnya digunakan untuk efisiensi puncak. Untuk keluarga pompa yang mempunyai keserupaan geometri, Ss sebaiknya mempunyai nilai tetap. Jika nilai ini diketahui, maka NPSHR dapat diperkirakan untuk pompa lain dalam satu keluarga yang sama yang beroperasi pada harga ω dan Q berbeda. Seperti Ns, kecepatan hisap spesifik seperti yang didefinisikan melalui Persamaan 79) juga tak berdimensi, dan nilai Ss tidak tergantung pada sistem satuan yang digunakan. Namun demikian, seperti kasus kecepatan spesifik, di Amerika Serikat umum digunakan bentuk modifikasi berdimensi untuk kecepatan hisap spesifik, yang dinyatakan sebagai SSd, di mana 𝑆𝑠𝑑



=



𝜔(𝑟𝑝𝑚)√Q(g𝑝𝑚) [𝑁𝑃𝑆𝐻𝑅(f𝑡)]3⁄4



80)



Untuk pompa hisap ganda kapasitas buang, Q, pada Persamaan 80) adalah setengah kapasitas buang totalnya. Nilai tipikal Ssd berada pada rentang 7000 sampai 12.000. Jika Ssd dispesifikasikan, Persamaan 80) dapat digunakan untuk memperkirakan NPSHR pada suatu kumpulan kondisi operasi yang ditentukan. Namun demikian, perhitungan ini pada umumnya hanya memberikan nilai perkiraan bagi NPSH R, dan penentuan NPSHR yang sesungguhnya untuk suatu pompa tertentu sebaiknya dibuat melalui pengukuran langsung kapanpun hal itu dimungkinkan. Catatlah bahwa Ssd = 2733 Ss di mana ω dinyatakan dalam rad/s untuk Persamaan 80).



I.



Pipa-pipa seri dan paralel 1.Pipa hubungan seri



Apabila suatu saluran pipa terdiri dari pipa-pipa dengan ukuran berbeda, pipa tersebut adalah dalam hubungan seri- Gambar 2.27. menunjukan suatu sistim tiga pipa dengan karakteristik berbeda yang



dihubungkan secara seri. Panjang, diameter dan koefisien gesekan masingmasing pipa adalah L1, L2, L3; D1, D2, D3 dan f1, f2, f3.



Gambar 2.27. Pipa dalam hubungan seri Jika beda tinggi muka air kedua kolam diketahui, akan dicari besar debit aliran Q dengan menggunakan persamaan kontinuitas dan energi (Bernaulli). Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggambarkan garis tenaga. Seperti terlihat dalam gambar 2.27. garis tenaga akan menurun ke arah aliran. Kehilangan tenaga pada masing-masing pipa adalah h fl, hf2 dan hf3. Dianggap bahwa kehilangan tenaga sekunder kecil sehingga diabaikan. Persamaan kontinuitas : Q = Q1 = Q 2 = Q3



81)



Dengan menggunakan persamaan Bernoulli untuk titik 1 dan 2 (pada garis aliran): 𝑧, + 𝑝1 𝛾



2



2



+ 𝑉1 = 𝑧 + 𝑝2 + 𝑉2 + ℎf1 + ℎf2 + ℎf3 2g 2g 2



82)



𝛾



Pada kedua titik, tinggi tekanan adalah H1 dan H2, dan kecepatan V1= V2= 0 (tampang aliran sangat besar), sehingga persamaan di atas menjadi: Z1 +H1 = Z2 + H2 + hf1+ hf2 + hf3 (Z1 + H1) - (z2+H2) = hfl + hf2 + hf3 atau H = hf1 + hf2 + hf3



83)



Dengan menggunakan persamaan Darcy-Weisbach, persamaan (83)



menjadi: 𝐿1 𝑉2



𝐿2 𝑉22 𝐷2 2g



+ ƒ2



1



𝐻= ƒ1



𝐷1 2g



𝐿3 𝑉32 𝐷2 2g



+ ƒ3



84)



Untuk masing-masing pipa, kecepatan aliran adalah : 𝑉1 =



𝑄 𝑉2 = 𝑄2 2 𝜋𝐷 /4 𝜋𝐷 /4 1



𝑉3 =



2



𝑄 𝜋𝐷2/4 3



Substitusi nilai V1, V2 dan V3 ke dalam persamaan (84) didapat : 𝐻=



8Q2 f1𝐿1 g𝜋



( 2



f2𝐿



𝐷15



f3𝐿3



2



+



𝐷25



+



)



𝐷35



85)



Debit aliran adalah : 𝑄=



𝜋√2gℎ ⁄𝐷 5 +f 𝐿1⁄2



4(f5 ⁄𝐷 )



1 1



2 2



1



86)



𝐿 ⁄𝐷5 +f 𝐿 2



3 3



3



Kadang-kadang penyelesaian pipa seri dilakukan dengan suatu pipa ekivalen yang mempunyai penampang seragam. Pipa disebut ekivalen apabila ke hilangan tekanan pada pengaliran di dalam pipa ekivalen sama dengan ,pipapipa yang diganti. Sejumlah pipa dengan bermacam-macam nilai f, L, dan D akan dijadikan menjadi satu pipa ekivalen. Untuk itu diambil diameter De dan koefisien gesekan fe



dari pipa yang terpanjang (atau yang telah ditentukan),



dan kemudian ditentukan panjang pipa ekivalen. Kehilangan tenaga dalam pipa ekivalen :



𝐻=



8Q2 f𝑒𝐿𝑒 g𝜋2



(



𝐷5𝑒



)



86)



Subsitusi dari persamaan tersebut ke persamaan (85) didapat : 𝐷5 f 𝐿



𝐿𝑒 = f 𝑒 ( 1 51 + 𝑒



𝐷1



f𝐿 2 2



𝐷25



f𝐿



+



3 3



𝐷35



)



87)



Contoh 1 Kolam A dan B dengan beda tinggi muka air 25 m (kolam A lebih tinggi dari kolam B) dihubungkan oleh serangkaian pipa 1, 2, dan 3 yang dihubungkan



secara seri. Pipa 1 (D1=30", L1=600 m, f1=0,016; pipa 2 (D2=20”,



L2=400 m, f 2 =0,014); pipa 3 (D3=24", L3=450 m, f3 = 0,18). Kehilangar tinggi tenaga sekunder diabaikan. 1. Tentukan debit pipa 2. Tentukan tekanan pada titik-titik sambung pipa jika jarak antara muka air pada kedua kolam den sumbu pipa 10 m (rangkaian pipa dianggap lurus) 3. Tentukan panjang pipa ekivalen (terhadap pipa terpanjang)



Gambar 2.28. Pipa seri Karakteristik pipa : Ll = 600 m D1 = 30" = 0,762 m L2 = 400 m D2 = 20" = 0,508 m L3 = 450M D3 = 24" = 0,6096 m a) Mencari debit aliran



f1 = 0,016 f2 = 0,014 f3 =0,018



Persamaan tenaga, 8ƒ1𝐿1𝑄12



8ƒ2𝐿2𝑄22



8ƒ3𝐿3𝑄32 𝑔𝜋2𝐷53 𝑔𝜋2𝐷15 𝑔𝜋2𝐷52 8𝑥0,014𝑥400 25 = 8𝑥0,016𝑥600 2 𝑄2 2 5 𝑄1 + 2 5 2 9,81𝑥𝜋 𝑥(0,762) 9,81𝑥𝜋 𝑥(0,508) 8𝑥0,018𝑥450 + 2 9,81𝑥𝜋2𝑥(0,6096)5 𝑄3 𝐻 = ℎf1 + ℎf2 + ℎf3 =



+



+



Dengan persamaan kontinuitas Q=Q1=Q2=Q3, maka persamaan diatas menjadi: 25 = 3,088Q2 + 13,667Q2 + 7,95Q2 = 24,715Q2 Atau Q = 1,006 m3/d



 Tekanan pada titik sambung



Tekanan di titik C dan E dapat dihitung berdasar tinggi tekanan di titik C dan E (jarak vertikal dari kedua titik tersebut terhadap garis tekanan). Sebagai contoh tinggi tekanan di C adalah : 𝑝𝑐 = 10 + 𝑥 − ℎ f1



𝛾



Dengan x adalah jarak verikal dari titik C ke sambungan kolam dan ujunghulu pipa 1. Jarak vertikal dari titik C dan E sampai garis horisontal melalui ujung hulu sumbu pipa 1, 𝐿1



𝑥=



𝐻=



(𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3) 𝐿1 + 𝐿2



𝑦=



ℎ



(𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3) =



f1



ℎ



8ƒ2𝐿2



1450 𝐻=



1000 1450



𝑥25 = 10,345 𝑚 𝑥25 = 17,241 𝑚



𝑄2 = 3,088𝑥(1,006)2 = 3,125 𝑚



𝑔𝜋2𝐷15 =



f2



8ƒ1𝐿1



600



1



𝑄2 = 13,677𝑥(1,006)2 = 13,842 𝑚



𝑔𝜋2𝐷25



2



Tinggi tekanan di titik C : Pc/ γ=10 + x – h fl = 10 + 10,345 – 3,125 = 17,22 m PC = 17,22 y = 17,22 t/m2 = 17,22 x1000/10.000



= 1,722 kgf/cm 2 (MKS) atau pc = 17,22pg = 17,22 x 1000 x 9,81



= 1 6 8 . 9 2 8 N /m



2



= 1 6 8 , 9 2 8 kN /m 2 ( S I )



Tekanan di titik E: 𝑝𝐸 𝛾



=10 + y – (ℎf1 + ℎ2 ) = 10 + 17,241 − 16,967 = 10,274 𝑚



PE = 10,274 x 1 = 10,274 t/m2 = 1,0274 kgf/cm2 (MKS)



atau



PE = 10,274 x 1000 x 9,81 = 100,788 N/m2 = 100,788 kN/m2 (SI)



 Panjang pipa ekivalen Panjang pipa ekivalen dihitung dengan persamaan (87) ℎ = 𝑒



𝐷𝑒5 ƒ1𝐿1 ƒ 𝐿 ( + 2 2 ƒ𝑒



𝐷15



𝐷25



ƒ𝐿 +



3 3



𝐷35



)



Nilai De dan fe disamakan dengan nilai tersebut dari pipa 1, sehingga : (0,762)5 0,016𝑥600 ( 𝐿𝑒 = (0,762)5 0,016 +



0,014𝑥400 0,018𝑥450 + ) (0,508)5 (0,6096)5



= 4802,76 m



2. Pipa hubungan paralel Pada keadaan di mana aliran melalui dua atau lebih pipa dihubungkan secara paralel seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.29, maka persamaan kontinyuitas adalah : Q = Ql + Q2 + Q3



88)



Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk 𝜋



𝑄 = (𝐷2𝑉 + 𝐷2𝑉 + 𝐷3𝑉 ) 4



2 2



1 1



2 3



89)



Persamaan energi H = hfl =hf2=hf3



90)



Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk : 𝐻 = ƒ1



𝐿1 𝑉12 𝐷1 2g



= ƒ2



𝐿2 𝑉22 𝐷2 2g



= ƒ3



𝐿3 𝑉32 𝐷3 2g



91)



Gambar 2.29. Pipa hubungan paralel Panjang pipe ekivalen ditentukan dengan cara yang same seperti pads hubungan serI. Dari persamaan (86) di dapat : 𝐷5



𝜋



𝑒



) 𝑄 = √2𝑔 ( 4 ƒ𝑒𝐿𝑒



1⁄ 2 1⁄ 2



𝐻



Dengan cara seperti di atas: 1⁄



𝐷15



𝜋



𝑄1 = √2𝑔 ( ) 2 𝐻1⁄2 4 ƒ1𝐿1 𝜋 𝑄2 =



1⁄ 2



𝐷25



4



) √2𝑔 ( ƒ2𝐿2



𝜋 𝑄3 =



1⁄ 2



𝐷35



4



1⁄ 2



𝐻



) √2𝑔 ( ƒ3𝐿3



1⁄ 2



𝐻



Substitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan (3.7.a) didapat 𝐷5 1⁄ 𝑒 2



* +



f𝑒𝐿𝑒



=*



5 1



1⁄



+2



f1𝐿1



+*



5 2



1⁄



+2



f2𝐿2



+*



5 3



1⁄



+2



f3𝐿3



92)



Contoh 2 Air dipompa dari kolam A ke kolam B melalui pipa 1 (D1 = 24", L1=



450m) yang kemudian bercabang menjadi pipa 2 (D2 =12", L2 = 600m) dan pipa 3 (D3 = 18", L3 = 600 m). Pompa terletak pada kolam A dan muka air kolam B berada 60 m di atas muka air kolam A. Koefisien gesekan (f) untuk semua pipa 0,02. Debit aliran 300 l/d. 1. 2.



Tentukan panjang pipa ekivalen terhadap pipa 1 Daya pompa dalam tenaga kuda (efisiensi pompa 75 %)



3.



Debit masing-masing pipa bercabang



Penyelesaian



Gambar 2.30. Pipa paralel Karakteristik pipa : Ll = 450 m L2 = 400m L3 = 450m



D 1 = 24" = 0,6096



m fl = 0,02



D 2 = 12 " = 0 , 3048 m f 2 = 0 , 02 D 3 = 18 " = 0 , 4572 m f 3 = 0 , 02



Rumus kehilangan tenaga karena gesekan : ℎf =



8ƒ𝐿 𝑔𝜋 2𝐷 5 𝑄2



Atau



𝑄 = √ℎf 𝑔𝜋 2 𝐷 5 8ƒ𝐿



 Panjang ekivalen untuk pipa paralel



Bagian pipa yang mempunyai hubungan paralel (pipa 2 dan 3) diganti oleh pipa ekivalen terhadap pipa 1. Pipa ekivalen dihitung dengan menggunakan persamaan (92). 𝐷5 1⁄ 𝑒 2



*



=*



+



1⁄



5 2



+2



f2𝐿2



+*



5 3



+



1⁄2



f3𝐿3



f𝑒𝐿𝑒



Dengan mengambil fe = f1 dan De = D1, maka: *



(0,6096)5 0,02𝑥𝐿𝑒



1⁄2 (0,3048)5



+



=*



0,02𝑥600



1⁄2



+



(0,4572)5



+*



0,02𝑥600



1⁄2



+



2,051 6 = 0,0148 + 0,0408 √𝐿𝑒 Le = 1361,2 m Le total = L1 + Le = 1811,2 m



 Menghit un g day a pompa Hitungan didasarkan pada panjang pipa ekivalen. ℎf = Tinggi tekanan efektif :



8𝑥0,02𝑥1811,2



(03, )2 = 3,2 𝑚



9,81𝑥𝜋 2 𝑥(0,6096)5 H = HS + hf = 60 + 3,2 = 63,2 m



Daya pompa : 𝐷=



Q𝐻𝛾 75𝜂



=



0,3𝑥63,2𝑥1000 75𝑥0,75



 Menghitung debit pipa 2 dan 3.



=337,1 hp



Dalam pertanyaan 1 telah dihitung panjang pipa ekivalen yang menggantikan pipa pararel 2 dan 3. Debit aliran yang melalui pipa ekivalen ter-



sebut adalah Q = 300 l/d. Kehilangan tenaga pada masing-masing pipa yang mempunyai hubungan pararel adalah sama. hfe = hf2 = hf3 ℎ



f𝑒



=



8f2𝐿2 g𝜋2𝐷5𝑒



8𝑥0,02𝑥1361,2



𝑄2 =



(0,3)2=2,4049 m



𝜋2𝑥9,81𝑥(0,6096)5



Untuk menghitung debit pipa 2, digunakan hubungan hf2= hfe= 2,4049 m 2,4049 =



8ƒ2𝐿2



8𝑥0,02𝑥600



2



𝑄 =



2



Atau



5



2



𝑄2



𝑔𝜋 𝐷 𝜋 𝑥9,81𝑥(0,3048)5 2 2



2



Q2 = 0,07988 m3/d= 79,88 l/d Menghitung debit pipa 3, hf3 = hfe = 2,4049 m 2,4049 =



8ƒ3𝐿3 𝑔𝜋2𝐷53



2



𝑄3 =



8𝑥0,02𝑥600



𝑄32 𝜋2𝑥9,81𝑥(0,4572)5



didapat :



Q3 = 0,22012 m3/d= 220,12 l/d Dalam pertanyaan 3 di atas hitungan dilakukan berdasarkan pipa ekivalen. Untuk menghitung debit aliran bisa juga menggunakan sistem pipa yang ada. Berikut ini diberikan cara hitungan tersebut. Kehilangan tenaga sepanjang aliran : ∑hf = hfl + hf2 atau ∑hf = hfl + hf3 Dengan menyamakan kedua persamaan tersebut, didapat : hf2 = hf3 8ƒ2𝐿2 2 8ƒ3𝐿3 2 2 3 𝑔𝜋2𝐷25 𝑄 = 𝑔𝜋2𝐷35𝑄



8𝑥0,02𝑥600



8𝑥0,02𝑥600 2 𝑄2 𝑄 = 9,81𝑥𝜋 𝑥(0,3048)5 2 9,81𝑥𝜋2𝑥(0,4572)5 3 2



atau Q2 = 0,363 Q3 Persamaan kontinuitas: Q1 = Q2 + Q3 0,3 = 0,363 Q3 + Q3 Q3 = 0,2201 m3/d = 220,1 l/d



Debit pipa 2: Q2 = Q1 - Q3 = 300 — 220,1 = 79,9 l/d Daya pompa :



ℎ



=



f2



ℎ



8ƒ2𝐿2



𝑔𝜋2𝐷25 =



f1



8ƒ1𝐿1 2



8𝑥0,02𝑥600



2



𝑄 = 2



2



𝑄 = 5



𝑔𝜋 𝐷1



1



(0,07988)2 = 2,4049 𝑚



9,81𝑥𝜋2𝑥(0,3048)5 8𝑥0,02𝑥450



(0,3)2 = 2,4049 𝑚 9,81𝑥𝜋2𝑥(0,6096)5



∑hf = hfl + hf2 = 2,4049 + 0,795 = 3,20 m H = Hs + ∑hf = 60 + 3,2 = 63,2 m



𝐷=



J.



𝑄𝐻𝛾 75𝜂



Pipa bercabang Sering suatu sistem pipa menghubungkan tiga atau lebih kolam.



Gambar



2.31.



menunjukkan



suatu



sistem



pipa



bercabang



yang



menghubungkan tiga buah kolam. Akan dicari debit aliran melalui tiap-tiap pipa yang menghubungkan ketiga kolam tersebut apabila panjang, diameter, macam pipa (kekasaran k) diberikan dan rapat massa serta kekentalan zat cair diketahui. Garis tekanan akan berada pada muka air di tiap-tiap kolam,



dan akan bertemu pada satu titik di atas titik cabang T. Debit aliran melalui tiap pipa ditentukan oleh kemiringan garis tekanan masing-masing. Arah aliran adalah sama dengan arah kemiringan (penurunan) garis tenaga.



Gambar 2.31. Pipa menghubungkan tiga kolam



Persamaan kontinyuitas pada titik cabang, yaitu aliran menuju titik cabang T harus sama dengan yang meninggalkan T. Pada gambar tersebut terlihat bahwa aliran akan keluar dari kolam A dan masuk ke kolam C. Aliran keluar atau masuk ke dalam kolam B tergantung pada sifat pipa 1 dan 2 serta elevasi muka air kolam A, B, dan. C. Persamaan kontinyuitas adalah salah satu dari kedua bentuk berikut Q1 = Q2 + Q3



93)



Q1 + Q2 = Q3



94)



atau



yang tergantung apakah elevasi garis tekanan di titik cabang lebih besar atau lebih kecil dari pada elevasi muka air kolam B. Persamaan berlaku apabila elevasi garis tekanan di T lebih tinggi dari elevasi muka air kolam B, dan apabila sebaliknya berlaku persamaan. Prosedur hitungan adalah sebagai berikut ini. 1. Anggap garis tekanan di titik T mempunyai elevasi hT. 2. Hitung Q1, Q2, dan Q3 untuk keadaan tersebut. 3. Jika persamaan kontinyuitas dipenuhi, maka nilai Q1, Q2, dan Q3 adalah benar. 4. Jika aliran. menuju T tidak sama dengan aliran meninggalkan T, dibuat anggapan bare elevasi garis tekanan di T, yaitu dengan menaikkan garis tekanan. di T apabila aliran masuk lebih besar dari pads aliran keluar



dan menurunkannya apabila aliran masuk lebih kecil dari aliran keluar. 5. Ulangi prosedur tersebut sampai dipenuhinya persamaan kontinyuitas.



Pada keadaan seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.31, dengan menganggap bahwa elevasi muka air kolam C sebagai bidang referensi dan dianggap bahwa elevasi garis tekanan di T di bawah elevasi muka air kolam B (h T < zB), maka persamaan aliran mempunyai hubungan sebagai berikut ini. Persamaan energi : 𝑧𝐴 − ℎ 𝑇 = ℎf1 = ƒ1 𝑧𝐵 − ℎ 𝑇 = ℎf2 = ƒ2 ℎ 𝑇 = ℎf3 = ƒ3



𝐿1 𝑉12 𝐷1 2g



95)



𝐿2 𝑉22 𝐷2 2g



96)



𝐿3 𝑉2 3



𝐷3 2g



97)



Persamaan kontinuitas



Q1 + Q2 = Q3



98)



Dari persamaan di atas, jika zA, zB, dan sifat-sifat pipa diketahui maka hT, Q1, Q2, dan Q3 dapat dihitung.



Contoh 3 Diketahui pipa bercabang seperti yang ditunjukkan dalam gambar di bawah. Ujung pipa D terbuka ke udara luar (tekanan atmosfer). Data pipa adalah L 1 =2440 m, D l =610 mm; L 2 =1200m,D 2 =406 mm; L3=1220m, D3=350 mm nilai f semua pipa adalah sama yaitu 0,029. Berapakah debit masing-masing pipa.



Penyelesaian ZA = elevasiA — elevasi D = 196,7 — 162,6 = 34,1 m zB = elevasi B — elevasi D = 190,0 — 162,6 = 27,4 m



Gambar 2.32. Pipa bercabang Karena elevasi garis tekanan di C tidak diketahui (semua aliran tidak diketahui), maka penyelesaian dilakukan dengan cara coba-banding.



Pemisalan I Dianggap elevasi garis tekanan di C sama dengan elevasi muka air di B. Jadi aliran ke atau dari kolam B adalah nol. hf2 = 0 h c = elevasi garis tekanan di C — elevasi D= = 190,0 - 162,6 = 27,4 m



Kehilangan tenaga di pipa 1,



hfl = zA — hC = 34,1 — 27,4 = 6,7 m



6,7 =



8ƒ1𝐿1 2



5



2



𝑄 =



𝑔𝜋 𝐷 1



1



8𝑥0,029𝑥2440



𝑄12 5 ( ) 9,81𝑥𝜋2𝑥 0,61



didapat : Q1= 0,311 m3/ d



Kehilangan tenaga di pipa 2: hf2 = 0



ZB



atau Q2=0



Kehilangan tenaga di pipa 3: hf3 = hC = 27,4m 27,4 =



8ƒ3𝐿3 2



5



𝑔𝜋 𝐷 3



2



𝑄3 =



8𝑥0,029𝑥1220



𝑄32 9,81𝑥𝜋2𝑥(0,305)5



didapat : Q3 = 0,157 m3/d



Diselidiki persamaan kontinuitas, Q1 — (Q2 + Q3) = 0,311 — (0 + 0,157) = 0,154 > 0 Jadi persamaan kontinuitas belum dipenuhi. Hasil hitungan dengan pemisalan tersebut menunjukkan bahwa garis tekanan di C harus dinaikkan, sehingga akan mengurangi aliran dari A dan menaikkan aliran ke D dan dengan penambahan aliran ke B.



Pemisalan II Elevasi garis tekanan di C adalah 193,0 m (pemisalan sembarang) h C = 193,0 —162,6 = 30,4 m hfl = 34,1 — 30,4 = 3,7 m 𝑔𝜋2𝐷5 𝑄 = *ℎf 1 1



1



8ƒ1𝐿1



1⁄2



+



3,7𝑥9,81𝑥𝜋2𝑥(0,61)5 +1⁄2 = 0,231 =* 8𝑥0,029𝑥2440



hf2 = hC — zB = 30,4 — 27,4 = 3,0 m ℎ 𝑔𝜋2𝐷5 𝑄2 = *



f2



2



* 8ƒ2𝐿2



3,0𝑥9,81𝑥𝜋2𝑥(0,406)5



1⁄2



+



=



8𝑥0,029𝑥1200



1⁄2



+



= 0,107 𝑚3/𝑑



hf3 = hC = 30,4m



ℎ 𝑔𝜋2𝐷5 𝑄3 = *



f3



*



30,4𝑥9,81𝑥𝜋2𝑥(0,305)5



1⁄2



3



8ƒ3𝐿3 +



=



8𝑥0,029𝑥1220



1⁄2



+



= 0,166 m 3 /d



Diselidiki persamaan kontinuitas: Q1 — (Q2 + Q3)= 0,231 — (0,107 + 0,166) = —0,042 < 0



Jadi persamaan kontinuitas belum dipenuhi.



Pemisalan III Pemisalan berikutnya dilakukan dengan cara interpolasi berdasarkan hasil hitungan pada pemisalan I dan II dengan menggunakan gambar 3.33., yang merupakan hubungan antara Q1 (ordinat) dan Q1 — (Q2 + Q3) (absis).



Gambar 2.33. Interpolasi untuk menentukan pemisalan debit



Berdasar hukum segitiga sebangun, 0,042 0,154



=



𝑥 (0,311 − 0,231 − 𝑥)



didapat : x = 0,017 Pemisalan berikutnya adalah : Q1 = 0,231 + x = 0,248



Dengan diketahui Q1 maka dapat dihitung hf1, ℎ



=



f1



8ƒ1𝐿1 2



8𝑥0,029𝑥2440



2



(0,248)2 = 4,26 𝑚 9,81𝑥𝜋2𝑥(0,61)5



𝑄 = 5



𝑔𝜋 𝐷1



1



Elevasi garis tekanan di C =196,7 — 4,26 = 192,44 m hc = 192,44 — 162,6 = 29,84 m h f2 = 29,84 — 27,4 = 2,44 m Debit pipa 2: ℎ 𝑄2 = *



𝑔𝜋2𝐷5



f2



2



* 8ƒ2𝐿2



ℎ 𝑔𝜋2𝐷5 𝑄3 = *



f3



3



* 8ƒ3𝐿3



2,44𝑥9,81𝑥𝜋2𝑥(0,406)5



1⁄ 2



+



=



+



29,84𝑥9,81𝑥𝜋2𝑥(0,305)5



1⁄2



+



8𝑥0,029𝑥1200



1⁄2



=



8𝑥0,029𝑥1220



= 0,097 𝑚3/𝑑



1⁄2



+



= 0,164 𝑚3/𝑑



Diselidiki persamaan kontinuitas, Q1 - (Q2 + Q3) = 0,248 — (0,097 — 0,164) = —0,013 < 0 Jadi persamaan kontinuitas belum dipenuhi.



Pemisalan IV Pemisalan berikutnya dilakukan dengan interpolasi seperti pada pemisalan ketiga, yaitu berdasarkan hasil hitungan pada pemisalan II dan III. 0,042 − 0,013 0,248 − 0,231 = 0,042 𝑥 x = 0,025 Q1 = 0,231 +x = 0,256 m3 /d



Gambar 2.34. Interpolasi untuk menentukan pemisalan debit



dengan cara seperti pada langkah sebelumnya, didapat hf1 = 4,537 m Elevasi garis tekanan di C = 196,7-4,537= 192,163 m hc= 192,163 — 162,6 = 29,563 m h f2= hc — zB = 2,163 m Q2 = 0, 09 1 m 3 /d



Kehilangan tenaga pada pipa 3, hf3 = hC = 29,563 m didapat : Q3 = 0,163 m3/d Persamaan kontinuitas : Q1 — (Q2 + Q3) = 0,001 ≈ 0 (sudah dipenuhi) Jadi : Q1 = 0,256 m 3 /d; Q2 = 0,091 m3 /d; Q3 = 0,163 m3 /d



K.



Jaringan pipa Pemakaian jaringan pipa dalam bidang teknik sipil terdapat pada sis-



tem jaringan distribusi air minum. Sistem jaringan ini merupakan bagian yang paling mahal dari suatu perusahaan air minum. Oleh karena itu harus dibuat perencanaan yang teliti untuk mendapatkan sistem distribusi yang efisien. Jumlah atau debit air yang disediakan tergantung pada jumlah penduduk dan macam industri yang dilayani. Analisis jaringan pipa ini cukup rumit dan memerlukan perhitungan yang besar, oleh karena itu pemakaian komputer untuk analisis ini akan mengurangi kesulitan. Untuk jaringan kecil, pemakaian kalkulator untuk hitungan masih bisa dilakukan. Ada beberapa metoda untuk menyelesaikan perhitungan sistim jaringan pipa, diantaranya adalah metoda Hardy Cross dan metoda matriks. Dalam buku ini hanya akan dibahas metode Hardy



Gambar 2.35. Contoh suatu jaringan pipa



Aliran keluar dari sistem biasanya dianggap terjadi pada titik-titik simpul. Metode Hardy Cross ini dilakukan secara iteratif. Pada awal hitungan ditetapkan debit aliran melalui masing-masing pipa secara sembarang. Kemudian dihitung debit aliran di semua pipa berdasarkan nilai awal tersebut. Prosedur hitungan diulangi lagi sampai persamaan kontinuitas di setiap titik simpul dipenuhi. Pada jaringan pipa harus dipenuhi persamaan kontinyuitas dan tenaga yaitu : 1. Aliran di dalam pipa harus memenuhi hukum-hukum gesekan pipa untuk aliran dalam pipa tunggal : 8ƒ𝐿 ℎf = 2 𝑔𝜋 2𝐷 5 𝑄 2. Aliran masuk ke dalam tiap-tiap titik simpul harus sama dengan aliran yang keluar. ∑Qi= 0



99)



3. Jumlah aljabar dari kehilangan tenaga dalam satu jaringan tertutup harus



sama dengan nol. ∑hf= 0



100)



 Rumus kehilangan tenaga akibat gesekan Setiap pipa dari sistem jaringan terdapat hubungan antara kehilangan tenaga dan debit. Secara umum hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : hf = k Qm



101)



dengan m tergantung pada rumus gesekan pipa yang digunakan, dan koefisien k tergantung pada rumus gesekan pipa dan karakteristik pipa. Sebenarnya nilai pangkat m tidak selalu konstan, kecuali bila pengaliran berada pada keadaan hidraulis kasar, yang sedapat mungkin dihindari. Akan tetapi karena perbedaan kecepatan pada masing-masing pipa tidak besar, maka biasanya nilai m dianggap konstan untuk semua pipa. Sebagai contoh untuk rumus Darcy-Weisbach, ℎf = 𝑘𝑄 2 Dengan 𝑘=



8ƒ𝐿 𝑔𝜋2𝐷5



 Metoda hardy cross Dianggap bahwa karakteristik pipa dan aliran yang masuk dan meninggalkan jaringan pipa diketahui dan akan dihitung debit pada setiap elemen dari jaringan tersebut. Jika tekanan pada seluruh jaringan juga dihitung maka tinggi tekanan, pada satu titik harus diketahui. Prosedur perhitungan dengan metoda Hardy Cross adalah sebagai berikut ini. 1. Pilih pembagian debit melalui tiap-tiap pipa Q0 hingga terpenuhi syarat kontinyuitas. 2. Hitung kehilangan tenaga pada tiap pipa dengan rumus hf = k Q2. 3. Jaringan pipa dibagi menjadi sejumlah jaring tertutup sedemikian sehingga tiap pipa termasuk dalam paling sedikit satu jaring. 4. Hitung jumlah kerugian tinggi tenaga sekeliling tiap-tiap jaring, yaitu I ∑hf. Jika pengaliran seimbang maka ∑hf = 0. 5. Hitung nilai ∑|2𝑘𝑄|I untuk tiap jaring.



6. Pada tiap jaring diadakan koreksi debit ∆Q, supaya kehilangan tinggi tenaga dalam jaring seimbang. Adapun koreksinya adalah sebagai berikut ∆𝑄 =



∑𝑘Q2



0



∑|2𝑘Q0|



102)



7. Dengan debit yang telah dikoreksi sebesar Q = Qo + ∆Q, Prosedur dari 1 sampai 6 diulangi hingga akhirnya AQ ≈ 0, dengan Q adalah debit sebenarnya, Qo adalah debit dimisalkan dan ∆Q adalah debit koreksi. Penurunan rumus adalah sebagai berikut ini. hf = kQ2 = k(Qo +∆Q)2 = kQo2 + 2kQo ∆Q + k ∆Q2 untuk ∆ Q < < Q0, maka ∆Q2 ≈ 0 sehingga : hf = k Qo2 + 2kQo∆Q Jumlah kehilangan tenaga dalam tiap jaringan adalah nol, ∑hf = 0 ∑hf = ∑kQO 2 + ∆Q ∑2kQo = 0



∆𝑄 =



∑𝑘𝑄2 ∑|2𝑘𝑄0|



Untuk jaringan pipa yang cukup besar hitungan dilakukan dengan komputer, tetapii untuk jaringan kecil/sederhana dapat menggunakan kalkulator.



Hitungan jaringan pipa sederhana dilakukan dengan membuat tabel untuk setiap jaring. Dalam setiap jaring tersebut jumlah aljabar kehilangan tenaga adalah nol, dengan catatan aliran searah jarum jam (ditinjau dari pusat jaringan) diberi tanda positip, sedang yang berlawanan bertanda negatip. Untuk memudahkan hitungan, dalam tiap jaringan selalu dimulai dengan aliran yang searah jarum jam. Koreksi debit ∆Q dihitung dengan rumus (102). Arah koreksi harus disesuaikan dengan arah aliran. Apabila dalam satu jaring kehilangan tenaga karena aliran searah jarum jam lebih besar dari yang berlawanan (∑kQ2 > 0) maka arah koreksi debit adalah berlawanan jarum jam (negatip). Jika suatu pipa menyusun dua jaring, maka koreksi debit ∆Q untuk pipa tersebut terdiri dari dua buah ∆Q yang diperoleh dari dua jaring tersebut. Hasil hitungan yang benar dicapai apabila ∆Q = 0.



Gambar 2.36. Jaringan pipa



Contoh 4 Sebuah jaringan pipa seperti tergambar. Hitung besar debit dan arahnya pada tiap-tiap pipa bila m = 2.



Penyelesaian Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menyelesaikan soal tersebut adalah menentukan secara sebarang debit aliran melalui setiap pipa berdasarkan persamaan kontinuitas. Pada setiap titik simpul, debit aliran menuju dan meninggalkan titik tersebut adalah sama. Sebagai contoh, pada titik simpul A, debit menuju titik A adalah 100. Berdasarkan hukum kontinuitas debit meninggalkan titik A (melalui pipa AB dan AC) harus sama dengan 100, yang dalam hal ini dipilih (sebarang) 70 dan 30. Dengan cara yang sama ditentukan debit aliran melalui pipa-pipa lainnya, seperti yang diberikan dalam gambar 2.37. Debit aliran yang ditetapkan dalam langkah pertama ini merupakan debit pendekatan yang biasanya belum benar, sehingga diperlukan koreksi guna memperbaiki debit tersebut yang akhirnya sampai pada debit yang benar. Untuk itu jaringan pipa dibagi menjadi sejumlah jaring tertutup sedemikian sehingga tiap pipa termasuk dalam paling sedikit satu jaring.



Gambar 2.37. Jaringan pipa Dalam soal ini jaringan pipa dibagi menjadi dua yaitu jaring I (ABC) dan II (BCD). Koreksi debit dihitung dengan rumus (102). Hitungan dilakukan dengan menggunakan tabel untuk jaring I dan II, dan berdasarkan pada suatu titik yang berada di dalam suatu jaringan. Aliran yang searah perputaran jarum jam (terhadap titik di dalam jaringan) diberi tanda posisip dan yang berlawanan diberi tanda negatip. Hitungan dalam tabel dilakukan secara berurutan mulai dari aliran yang searah jarum jam. Sebagai contoh dalam jaring I, aliran melalui pipa AB dan BC adalah searah perputaran jarum jam, sedang aliran melalui pipa AC berlawanan. Oleh karena itu hitungan dalam jaring I diurutkan dari pipa AB, BC dan AC. Kemudian dihitung nilai k Q2 dan |2𝑘𝑄|untuk masingmasing pipa, dan selanjutnya dihitung jumlah aljabar dari kedua nilai tersebut, sehingga akhirnya dapat dihitung koreksi debit ∆Q. Dengan cara yang sama dihitung koreksi debit untuk jaring II. Dalam soal tersebut didapat ∆QI = 13 dan ∆QII = –5. Kedua nilai tersebut kemudian dikoreksikan pada debit pemisalan pertama.



Pendekatan I kQ2



Pipa 2



2 kQ



AB



2x 70 =



9800



2x2x70 = 280



BC



1x352 =



1225



2x1x35 = 70



CA



4x 302 = –3600 ∑kQ2 = 7425



2x 4x30 = 240 ∑|2𝑘𝑄| = 590



Jaring II Pipa



kQ2



[2kQ]



BD



5x152=1125



2x5xl5 = 150



DC



1x352 = -1225



2 x l x 35 = 70



CB



1x352 = -1225



2 x l x 35 = 70



∑kQ2 = —1325



∑ |2𝑘𝑄| = 290



Koreksi debit : ∆𝑄1 =



7425



= 13 590 −1325 ∆𝑄𝐼𝐼 = = −5 290 Nilai AQl adalah positip. Agar supaya debit aliran yang searah dan berlawanan perputaran jarum jam seimbang, maka aliran positip (AB dan BC) harus dikurangi sedang aliran negatip ditambah dengan nilai ∆Q. Dengan demikian nilai AQI mempunyai arah berlawanan dengan perputaran jarum jam (gambar 2.37). Koreksi debit juga dilakukan dengan cara yang sama untuk jaring II. Untuk pipa BC yang merupakan anggota dari jaring I dan II, aliran harus dikoreksi dengan Koreksi debit ∆QI dan ∆QII. Gambar 2.38. memberikan debit yang telah dikoreksi. Prosedur hitungan seperti di atas diulangi lagi untuk mendapatkan debit aliran yang lebih baik. Setelah dilakukan tiga kali pendekatan, akhirnya diperoleh nilai ∆Q kecil ( < 5 % debit terkecil), sehingga hitungan dapat dihentikan. Hasil akhir adalah aliran yang telah dikoreksi dengan nila i AQJ dan AQII yang terakhir, dan diberikan dalam gambar 2.39.



Gambar 2.38. Debit terkoreksi



Jaring I AB



kQ2 2x572 = 6498



2x2x57 = 228



BC



1x172 = 289



2x 1 x 1 7 = 34



CA



4 x 432=7396



2x4x43 = 334



Pipa



[2kQ]



∑|2𝑘𝑄|=



∑kQ2= -609



Jaring II Pipa



kQ2



[ 2kQ]



BD



5 x 20 2 = 2000



2x5x20 = 200



DC



1x302 = 900



2x1x30 = 60



CB



1x172 =-289



2x1x17= 34 ∑|2𝑘𝑄| = 299



∑kQ2 = 811



Koreksi debit : ∆𝑄𝐼 =



−609 606 811



∆𝑄𝐼𝐼 =



299



= −1 =3



Pendekatan ke 3 Jaring 1 Pipa



kQ2



[2kQ]



AB



2x 582= 6728



2x 2x 58 = 232



BC



1x212= 441



2x1X21 = 42



CA



4x42=-7056 ∑kQ2



113



2x4x42 = 336 ∑|2𝑘𝑄| = 610



Jaring II Pipa



kQ 2



I2kQI



BD



5 x 17 2 = 1445



2 x 5 x 17 = 170



DC



1 x 332=-1089



2 x 1 x 33 = 16



CB



1 x 212=-441



2 x 1 x 2 1 = 42



∑kQ2= 85



∑|2𝑘𝑄|= 278



Koreksi debit 113 ∆𝑄1 =



≈0 60685 ∆𝑄2 = − ≈0 278 Jadi debit dan arah aliran adalah seperti terlihat dala gambar 2.39.



Gambar 2.39. Debit hasil hitungan



Latihan



1. Tegangan geser di dalam, fluida yang mengalir di antara dua pelat sejajar yang tetap (a) adalah konstan pada seluruh penampang; (b) adalah nol pada pelat dan meningkat secara linear sampai ke titik-tengah; (c) bervariasi secara parabolis pada penampang; (d) adalah nol di bidang-tengah dan berbanding lurus dengan jarak dari bidang-tengah dan berbanding lurus dengan jarak dari bidang tengah; (e) adalah tiada di antara, jawaban-jawaban ini. 2. Distribusi kecepatan untuk aliran di antara dua pelat sejajar yang tetap (a) adalah konstan pada seluruh penampang, (b) adalah nol pada pelat dan meningkat secara linear sampai ke bidang-tengah; (c) bervariasi secara parabolik pada penampang ; (d) sebanding dengan jarak dari titik-tengah yang dipangkatkan satu setengah; (e) adalah tiada di antara jawaban-jawaban ini. 3. Pipa horizontal AB dengan panjang 2000 m dan diameternya 50 cm menghubungkan waduk di ujung A dan mesin hidraulis ( turbin ) di ujung B. Muka air waduk adalah pada



60 m di atas ujung pipa A. Debit aliran adalah 500 l/d. Hitung daya turbin apabila efisiensinya 90 % dan koefisien gesekan f= 0,020.



4. Air dari waduk dialirkan melalui pipa pipa sepanjang 1500 m untuk memutar turbin. Elevasi muka air di waduk adalah 100 m di atas elevasi ujung pipa yang dihubungkan dengan turbin. Debit aliran adalah 0,1 m 3/d dan koefisien gesekan f = 0,015. Jika diharapkan daya yang dihasilkan turbin minimal adalah 100 hp, berapakah diameter pipa ? Efisiensi turbin 90 %.



5. Sebuah pompa sentrifugal rencananya diletakkan di atas sebuah tangki air yang besar dan terbuka seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.20. Pompa memompakan air pada laju rata-rata 0,5 ft 3/s. Pada laju aliran ini net positive sucti on head yang diperlukan, NPSH R , adalah 15 ft, seperti yang dispesifikasikan oleh pabrik pembuatnya. Jika suhu air adalah 800F dan tekanan atmosfir 14,7 psi, hitunglah tinggi maksimum, z 1, di mana pompa dapat diletakkan di atas permukaan air tanpa adanya kavitasi. Anggaplah bahwa kerugian head utama antara tangki dan sisi masuk pompa diakibatkan oleh saringan pada sisi masuk pipa yang mempunyai koefisien kerugian minor KL = 20. Kerugian lain dapat diabaikan. Pipa pada sisi hisap pompa mempunyai diameter dalam 4 in.



81



BAB III TEORI LAPISAN BATAS



A.



Konsep lapis batas



Suatu fluida ideal adalah tidak kompresibel, tidak menguap, tidak mempunyai tegangan permukaan dan tidak mempunyai viskositas. Beberapa fluida, terutama air, bertingkah laku seperti ideal di mana saja mereka jauh dari pengaruh batas yang padat dan kemudian aliran dapat dianalisa memakai konsep dari hidrodinamik teoritis dan mengabaikan gesekan fluida. Tetapi begitu aliran mendapat pengaruh dari batas padat maka hukum yang menguasainya, terutama dekat batasnya, adalah sangat berbeda. Prandtl pertamakali menyelidiki persoalan ini dan setelah itu menjelaskan perubahannya dengan mengungkapkan Teori Lapisan Batas (Boundary Layer Theory) pada awal abad ini. Seringkali kita menganggap aliran yang melewati sebuah benda sebagai sebuah kombinasi dari aliran viskos di dalam lapisan batas dan aliran inviscid di tempat lainnya. Jika bilangan Reynolds cukup besar, efek viskos penting hanya di bagian lapisan batas di dekat benda (dan di daerah olakan di belakang benda). Lapisan batas diperlukan untuk memungkinkan kondisi batas tanpa slip yang mensyaratkan fluida untuk menempel pada suatu permukaan padat yang dilewati alirannya. Di luar lapisan batas, gradien kecepatan tegak lurus terhadap aliran relatif kecil, dan fluida berperilaku seakan-akan inviscid meskipun viskositasnya tidak nol. Kondisi yang diperlukan untuk struktur aliran ini adalah bilangan Reynolds yang besar. Paling baik teorinya dijelaskan dengan menganggap aliran melalui plat yang diletakkan dalam suatu arus seragam. Plat dan lapisan batas tersebut digambarkan dalam Gambar 3.1a, tetapi harus di pahami bahwa untuk membuat gambar berarti, maka skala vertikal sangat diperbesar. Kalau sebuah plat datar dipasang dalam arus samarata seperti ditunjukkan dalam Gamb. 3.1(a) dan kalau dimungkinkan untuk mengambil pengukuran



Gambar 3.1 (a) Detil utama dari lapisan batas. (b) Pemilihan dari sumbu koordinat Definisi dan penamaan : OP 0 OQ Vx δ



: Plat datar : tepi depan dan nol dari sistem x — y : perpanjangan dari lapisan batas. : kecepatan arus bebas = kecepatan samarata dari fluida di mana saja kecuali dalam lapisan batas. : ketebalan lapisan batas pada jarak x dari O.



dengan ketepatan cukup, lapisan bebas akan memperlihatkan ciri seperti daftar di bawah. 1. Suatu lapisan batas akan terbentuk pada kedua sisi plat. Dalam Gamb. 3.1(a) hanya ditunjukkan pada satu sisi plat untuk menyederhanakan penggambaran. 2. Kecepatan fluida dalam lapisan batas adalah nol pada plat dan meningkat sampai harga maksimum V. pada OQ. Hukum yang mdngUasai distribusi kecepatan melintasi lapisan batas adalah berbeda untuk dua daerah A dan C. Untuk semua keperluan praktis kecepatan dalam lapisan batas dapat dianggap sejajar dengan plat. 3. Ketebalan lapisan batas adalah sangat kecil dibandingkan dengan panjangnya oleh sebab itu Skala y harus sangat diperbesar untuk memperoleh gambaran yang berproporsi baik. 4. Tiga daerah yang berbeda, A, B dan C akan terbentuk. Dalam A aliran adalah laminer, dalam B merupakan transisi antara A dan C dan dalam C akan turbulen. 5. Dalam semua persoalan aliran normal perluasan dari daerah A, yang aliran di dalamnya laminer, adalah sangat pendek dan daerah B biasanya lebih pendek. Untuk beberapa persoalan praktis kemudian aliran dapat dipikirkan sebagai aliran turbulen di sepanjang lapisan batas keseluruhan dengan sedikit ketidaktepatan;meskipun ini sangat benar hanya kalau ketebalan dari lapisan batas adalah sangat kecil



82



dibandingkan dengan panjangnya L, dan plat. 6. Bilangan Reynolds dapat didefinisikan yang mempunyai harga kritis antara sekitar 4 x 105 dan 2 x 106 yang di dalamnya aliran berubah dari laminer ke turbulen. Plat datar memberikan tahanan pada aliran sehingga menimbulkan kerugian momentum pada arus. Jelasnya, platnya juga menderita gaga yang sesuai dan biasanya ini disebut gesekan kulit. Dalam daerah A gesekan kulit disebabkan oleh tegangan geser disebabkan viskositas fluida sedangkan dalam daerah C disebabkan oleh tegangan Reynolds yang dihubungkan dengan turbulensi. Persamaan matematis yang menjelaskan aliran dalam kedua daerah adalah sangat berbeda 𝑑𝑣 satu sama lain. Untuk aliran laminer tegangan gesernya ➚ = µ



𝑑𝑦



dimana μ adalah koefisien viskositas dinamik dan lapisan batas. Dalam daerah lapisan batas.



𝑑𝑣 𝑑𝑦



adalah gradien kecepatan



Dalam daerah turbulen rumus yang sama dapat dipakai asalkan μ didefinisikan kembali sebagai viskositas ulakan(eddy viscosity). 7. Ketebalan lapisan batas meningkat dengan bertambahnya jarak ke hilir dari 0 yaitu δ meningkat dengan bertambahnya x. 8. Kalau platnya halus dapat ditemukan bahwa sub-lapisan laminer terbentuk di antara plat dan aliran turbulen dalam daerah C ; terlalu tipis untuk digambarkan pada sketsa. Kalau plat tidak terlalu halus sublapisan laminer tetap dapat terbentuk tergantung pada derajat kekasarannya. Sebagai contoh, dalam percobaan biasanya kekasaran ditirukan dengan menempelkan butiran pasir pada permukaan plat; kemudian kalau diameter dari butirannya, kurang dari ketebalan sublapisan laminer akan tetap terbentuk dan plat akan berkelakuan sebagaimana kalau dia halus. Tetapi kalau kekasaran (atau diameter butiran) lebih besar dari ketebalan sub-lapisan, sehingga tersimbul ke luar, maka titik yang tinggi akan menimbulkan ulakan dan plat dapat dianggap kasar. Sublapisan laminer menipis kalau Re meningkat. Konsekwensinya, setiap plat dapat berperilaku sebagai halus maupun kasar tergantung pada bilangan Reynolds. 9. Meskipun pekerjaan dalam buku berikut didasarkan pada kejadian dari plat datar dalam arus seragam. Tetapi penjelasan utama di sini dibuat untuk aliran pipa, karena dalam pengaruhnya, pipa dapat dibayangkan sebagai plat datar yang dibungkuskan melingkar sampai bersambungan sendiri, dan banyak dari data empiris yang menonjol dalam teori plat datar didapatkan dari percobaan pada aliran pipa. 10. Dalam teori lapisan batas adalah normal untuk membuat anggapan bahwa  tekanan adalah seragam di sepanjang lapisan batas -dan  fluida dianggap berperilaku sebagai tidak kompresibel.



B.



Ketebalan lapisan batas



Harus diingat bahwa δ meningkat kalau y meningkat sehingga kalau ketebalan lapisan batas dibicarakan, secara tidak langsung menunjukkan bahwa harga khusus dari δ sesuai dengan satu harga dari y (yang tidak dapat dispesifikasikan). Distribusi kecepatan melintasi lapisan batas tidak dapat diukur sampai ketepatan tinggi karena lapisan batas sangat tipis dan karena kecepatan dalam lapisan batas yang mendekati harga maksimum V∞ asimtotis, maka harga sebenarnya dari δ pada setiap harga y yang diberikan adalah tidak didefinisikan dengan baik. Sehingga seringkali didefinisikan secara tidak tetap sebagai jarak dari batas ke titik dengan kecepatan dalam lapisan batas mendekati 99 persen dari harga puncaknya,V ∞, dan harga ini ditunjukkan dan dinamakan sebagai δ 99 dalam Gambar. 3.2. Tiga pengukuran lain yang berhubungan dengan ketebalan lapisan batas adalah ketebalan perpindahan, ketebalan energi dan ketebalan momentum. Kecepatan aliran,



Gambar 3.2. (a) Distribusi kecepatan untuk aliran turbulen dalam suatu batas. δd dan δ99 adalah parmeter untuk ketebalan lapisan batas; (b) Distribusi kecepatan dalam lapisan batas laminer dengan distribusi kecepatan “turbulen” yang ditunjukan dengan titik-titik perbandingan.



v, dalam lapisan batas adalah di mana saja kurang dari kecepatan arus beban, V∞, dan diikuti bahwa dengan adanya plat datar, maka (a) arus utama dipindahkan sedikit oleh lapisan batas, (b) timbul kerugian murni dari energi kinetik dalam sistem dan (c) terdapat kerugian murni dari momentum.



C.



Persamaan momentum untuk lapisan batas



Sifat dasar dan karakteristik dari lapisan batas telah diuraikan dalam halaman sebelumnya dan pembaca akan memahami bahwa pertumbuhan dari lapisan batas di sebelah hilir harus disertai dengan perlambatan dari aliran di dalamnya. Satu-satunya gaya yang bekerja pada lapisan batas adalah gesekan kulit dan gaya yang disebabkan variasi tekanan dalam aliran di atas plat. Dalam bagian ini dianggap bahwa tekanan pada plat adalah seragam dan dengan demikian satu-satunya gaya yang ditinjau adalah gesekan kulit. Ini dipersamakan dengan kecepatan perubahan momentum fluida yang melalui daerah NOPQ, lihat Gambar 3.3. (a). OP terletak di sepanjang plat datar, PQ adalah ketebalan lapisan batas, δ, pada jarak x dari O, ON adalah jarak sepanjang sumbu y sedemikian sehingga aliran memotongnya (misalnya diukur dalam m2 /det. tiap meter lebar) adalah sama dengan aliran melalui PQ clan garis lengkung NQ adalah garis arus yang menghubungkan N dan Q ; yaitu tidak ada komponen aliran yang memotongnya. Selanjutnya, aliran yang ditinjau adalah tiap satuan lebar dari saluran.



Gambar. 3.3. (a) Volume kendali untuk pemakaian prinsip momentum; (b) Profil kecepatan pada PQ. ð



Kecepatan aliran memotong PQ adalah : ∫0 𝑣𝑑𝑦



1)



Kecepatan perubahan momentum pada PQ=



2)



ð



∫0 𝜌𝑣2𝑑𝑦



Karena kecepatan aliran yang sama terjadi pada ON dan kecepatan di sana ð



adalah V∞, kecepatan perubahan momentum pada ON = ∫0 𝜌𝑉∞𝑣𝑑𝑦. Lapisan batas adalah sangat tipis dan akibatnya anggapan dapat dibuat kembali bahwa v, yang bervariasi di sepanjang lapisan batas, adalah di mana saja sejajar dengan OP. Karena satu-satunya gaya yang bekerja pada plat adalah gesekan kulit, F (tiap satuan lebar), harus sama dengan kehilangan momentum, yaitu



ð



ð



ð



ð



𝐹 = ∫ 𝜌𝑉∞𝑣𝑑𝑦 − ∫ 𝜌𝑣2𝑑𝑦 = 𝜌 ∫ (𝑣𝑉∞ − 𝑣2) 𝑑𝑦 = 𝜌 ∫ 𝑣(𝑉∞ − 𝑣)𝑑𝑦 0



0



0



ð 𝑣



0



𝑣



Atau 𝐹 = 𝜌𝑉2 ( − 2 )𝑑𝑦 ∞ ∫0 𝑉 𝑉2



3)



∞



∞



Persamaan yang penting ini adalah persamaan momentum untuk lapisan batas. Untuk menyelesaikannya, v/V∞ harus dinyatakan dalam y. Ini dilakukan di bawah untuk lapisan batas laminer dan turbulen berturut-turut, dan pernyataan untuk F diperoleh. Harus juga dicatat bahwa F = p V∞2 δm. dengan δm = ketebalan momentum.



1. Lapisan batas laminer Dalam hal pemakaiannya adalah terbuat dari persamaan profil kecepatan yaitu: (𝑉 − 𝑣) =



𝑉∞ ð2



(𝛿 − 𝑦)2



4)



∞



daripadanya, dengan sedikit manipulasi aljabar, v 𝑉∞



y = 1 − (1 − )2



5)



𝛿



penyederhanaan lebih lanjut didapatkan dengan membuat lagi substitusi,r=δ/y , sehingga bahwa dy= δ dr. Juga, kalau y= δ, r = 1 dan ini menjadi limit atas dalam inte gral. Maka : v 𝑉∞



= 1 − (1 − r)2 = r(2 − r)



𝐹 = 𝜌𝑉2



∞



2



1



𝑣



(1 −



∫0 𝑉



∞



= 𝜌𝑉



ð 𝑣



6a)



)dy



𝑉∞



∞



*𝑟(2 − 𝑟) − 𝑟 2 (2 − 𝑟)2+ 𝛿dy



∫0



= 𝜌𝑉∞2𝛿 *𝑟2 − 5 𝑟3 + 𝑟4 − 3



𝐹=



2 15



𝜌𝑉2𝛿 ∞



1 𝑟5+ 5 0



6b)



2. Lapisan batas turbulen Banyak penyelidikan yang menunjukan bahwa, untuk bilangan 6 7 Reynolds antara sekitar 5 x 10 dan 2 x 10 , distribusi kecepatan dapat digambarkan dengan ketepatan yang cukup oleh hukum pangkat sepertujuh, yaitu : 𝑣 𝑉∞



= 𝑦 (



1⁄7



)



𝑦 ð



7)



ð



𝐹 = 𝜌𝑉2



Maka,



dengan 𝑟 =



= 𝑟 1⁄7



ð 𝑣



∞ ∫0 𝑉



1 ∞



(1 −



𝑣



) 𝑑𝑦



𝑉∞



2 1⁄7 = 𝜌𝑉 − 𝑟2⁄7)𝛿𝑑𝑟 ∞ ∫ (𝑟 0 7 7 9⁄7 1 = 𝜌𝑉2𝛿 [ 8⁄7 ∞ 𝑟 − 𝑟 ] 8 9 0



𝐹=



7



𝜌𝑉2𝛿



D.



8)



∞



72



Persamaan untuk permukaan lapisan batas



Pernyataan lain dapat diperoleh untuk gaya gesekan, F, dengan menambahkan harga dari T0, dari keseluruhan plat datar, jadi 𝐹=



𝑥



∫0



𝜏 𝑑𝑥



9)



0



T0, adalah tegangan geser yang timbul dalam fluida pada y = 0, yaitu pada batasnya, dan dapat digambarkan dengan persamaan 𝑑𝑣



𝜏 =𝜇, 0 𝑑𝑣



Dengan , -



𝑑𝑦 𝑦=0



10)



𝑑𝑦 𝑦=0



adalah gradien kecepatan pada batasnya (ketika y = 0) dan, untuk



lapisan batas laminer, μ adalah viskositasnya. Persamaan yang sama untuk T0, dapat dipakai untuk lapisan batas turbulen asalkan diingat bahwa, dalam hal ini, μ harus diartikan sebagai viskositas ulakan. Dalam semua hal ketebalan dari lapisan batas tumbuh dengan bertambahnya jarak dari tepi depan (x) dan, karena menebal, 𝑑𝑣



maka kecepatannya dan juga , berkurang. Diikuti bahwa T0, adalah fungsi dari x 𝑑𝑦 meskipun bukan fungsi yang sama untuk semua kejadian laminer maupun turbulen. 𝑥



𝑑𝐹



Harus dicatat juga bahwa karena 𝐹 = ∫0 𝜏0𝑑𝑥, 𝜏0 =



𝑑𝑥



1. Lapisan batas laminer Dari persamaan (6a) 2



2



𝐹 = 𝜌𝑉𝑥 𝛿



11)



5



𝜏 = 0



𝑑𝐹 𝑑𝑥



2



2 𝑑ð



= 𝜌𝑉∞ 5



12)



𝑑𝑥 𝑑𝑣



Persamaan kedua untuk T 0 dapat diperoleh dari 𝑇 = 𝜇 , 0



𝑑𝑦 𝑦=0



Dari persamaan (6b) 𝑣 𝑉∞



= 𝑟(2 − 𝑟)dimana 𝑟 =



𝑦 ð



𝑑𝑣 𝑑𝑟 dan



𝑑𝑣



= 2𝑉∞(1 − 𝑟) = 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑟 = 2𝑉 (1 − 𝑟)𝑥 1



𝑑𝑟



Karena F= 0 kalau y= 0, 𝑑𝑣 , -



𝑑𝑟



𝑑𝑦 𝑦=0



𝜏0 =



∞



𝑑𝑦



2𝑉∞ ð



=



2𝜇𝑉∞ ð



ð



2



𝑑ð



= 15 𝜌𝑉∞2 𝑑𝑥



Dengan mempersamakan kedua pernyataan untuk To: 2𝜇𝑉∞ 2 𝑑𝛿 2 ∞ = 𝜌𝑉 𝛿 15 𝑑𝑥 30𝜇



Dengan memisahkan variabel,



𝜌𝑉∞



∫ 30𝜇𝑥



2



=𝛿 +𝐶



𝑑𝑥 = ∫ 2𝛿𝑑𝛿



13)



𝜌𝑉∞



Karena δ= 0kalau x= 0, maka konstanta integrasi C = 0 2



(ð )



Jadi,



𝑥



ð



Yaitu



=



= 5,48 dengan 𝑅



𝑥



𝜇



dimana 𝑣 =



30𝑣 𝑥𝑉∞



=



𝑒



√𝑅𝑒



𝜌



14)



𝑥𝑉∞ 𝑣



yang merupakan persamaan teoritis untuk permukaan dari lapisan batas laminer.



2. Lapisan batas turbulen 𝜇 Persamaan 𝜏0 = 𝑑𝑣 , -



𝑦=0



yang dipakai dalam kejadian laminer tidak dapat



𝑑𝑦



menolong disini, karena kalau distribusi kecepatan adalah



𝑣 𝑉 ∞



𝑑𝑣



, -



=0



= 𝑦 (



1⁄7



)



, maka



ð



dan matematikanya gagal. Jalan lain harus dibuat untuk hasil



𝑑𝑦 𝑦=0



dari percobaan pada aliran pipa dan ini membawa pada : 𝑣 41 𝜏 = 0,023𝜌𝑉2 ( ) 0



Dari persamaan (8)



∞



𝑉∞𝛿



7



𝐹 = 𝜌𝑉2𝛿 7 ∞ = 𝑑𝛿 𝜏0 72 𝜌𝑉∞2 𝑑𝑥 1



72



∫ 𝛿4𝑑𝛿 =



0,023 7



4 5



5



𝛿4 = 0,237 (



𝛿=



Yaitu



ð 𝑥



4 0,237𝑥5 (



( )



𝑣



1 4



𝑥 dengan 𝑣 =



𝜇 𝜌



𝑉∞ 1 𝑣 4



)𝑥 𝑉∞



𝑣



1 5



𝑣



1 5



) = 0,377 ( )𝑥 𝑉∞ 𝑉∞ 𝑥



1



−5



= 0,377𝑅𝑒



yang merupakan persamaan untuk permukaan dari lapisan batas turbulen. Sedangkan pernyataan ini adalah bernilai praktis, ini harus diingat, nilai teoritis yang didapatkan untuk ketebalan dari lapisan batas laminer yang



ditunjukkan dengan percobaan ternyata terlalu tinggi, maka nilai yang dipakai dalam praktek adalah



ð 𝑥



E.



1



−



= 5,00𝑅𝑒 2



15)



Gaya seret dan gaya angkat a. Pendahuluan



Pada bab ini kita akan meninjau berbagai aspek dari aliran yang melalui bendabenda yang terendam di dalam fluida. Contoh-contohnya mencakup aliran udara di sekitar pesawat terbang, mobil, clan gumpalan salju yang turun, atau aliran air di sekitar kapal selam dan ikan. Dalam situasi seperti ini bendabenda tersebut dikelilingi seluruhnya oleh fluida dan alirannya disebut sebagai aliran luar. Aliran luar yang melibatkan udara sering disebut sebagai aerodinamika untuk menunjukkan arti penting dari aliran luar yang dihasilkan ketika sebuah obyek seperti sebuah pesawat terbang menjelajah atmosfer. Meskipun bidang kajian aliran luar aerodinamika ini sangat penting, masih banyak contohcontoh lain yang juga sama pentingnya. Gaya fluida (gaya angkat (lift) dan gaya seret (drag)) pada permukaan kendaraan (mobil, truk, sepeda) telah menjadi topik yang sangat penting. Merancang mobil dan truk secara benar memungkinkan kita untuk mengurangi konsumsi bahan bakar dan meningkatkan karakteristik pengendalian kendaraan. Upaya-upaya yang serupa telah berhasil meningkatkan kualitas kapal-kapal, baik kapal yang bergerak di permukaan air (dikelilingi oleh dua fluida, udara dan air), maupun kapal selam (yang seluruhnya dikelilingi oleh air). Aplikasi lain dari aliran luar melibatkan benda-benda yang tidak seluruhnya dikelilingi oleh fluida, meskipun benda-benda tersebut diletakkan dalam suatu bentuk aliran luar. sebagai contoh, perancangan yang tepat sebuah gedung (baik itu rumah Anda atau gedung pencakar langit) harus menyertakan pertimbangan berbagai pengaruh angin. seperti halnya bidang-bidang lain dari mekanika fluida, dua pendekatan (teoretis dan eksperimental) digunakan untuk memperoleh informasi mengenai gaya-gaya fluida yang terbentuk oleh aliran luar. Teknik teoretis (meliputi kajian analitis



dan numerik) dapat memberikan banyak informasi yang diperlukan mengenai aliran-aliran serupa itu. Namun demikian, karena kompleksitas persamaan pengaturnya dan kompleksitas dari bentuk geometrik benda yang terlibat, banyaknya informasi yang diperoleh secara teoretis murni sangat terbatas. Dengan kemajuan saat ini dan yang akan datang di bidang komputasi mekanika fluida, tampaknya prediksi komputer mengenai gaya-gaya dan pola aliran yang rumit akan dapat lebih cepat diperoleh. Kebanyakan informasi mengenai aliran luar berasal dari eksperimeneksperimen yang dilakukan, sebagian besarnya, pada model-model yang, diskala dari benda sebenarnya. Pengujian tersebut menggunakan pengujian terowongan angin dari model-model pesawat terbang, bangunan-bangunan dan bahkan seluruh kota. Dalam beberapa hal, justru benda sebenarnya bukannya model, yang diuji di terowongan angin. Gambar 3.4 menunjukkan pengujian kendaraan di dalam terowongan angin. Mobil, sepeda, dan berbagai objek lain yang performanya lebih baik telah dihasilkan dari pengujian di terowongan angin ini. Penggunaan terowongan air dan tangki towing juga memberikan informasi yang berguna mengenai aliran di sekitar kapal dan benda-benda lainnya.



G A M B A R 3.4 (a) Aliran melewati sebuah mobil ukuran penuh di dalam terowongan angin laboratorium aerodinamika GM, dengan penampang uji berukuran 18 x 34 ft yang digerakkan oleh fan berdiameter 43 ft dan daya 4000 hp) (b) Aliran permukaan pada sebuah model kendaraan seperti yang diindikasikan oleh tuft yang dipasangkan pada permukaan.



Dalam bab ini kita akan meninjau karakteristik dari aliran luar yang melewati berbagai benda. Kita akan mengkaji aspek-aspek kualitatif dari aliran-aliran serupa itu dan mempelajari cara menentukan berbagai gaya pada benda yang dikelilingi oleh cairan Sebuah benda yang terendam di dalam fluida yang bergerak mengalami gaya-gaya resultan akibat interaksi antara benda dengan fluida di sekelilingnya. Dalam beberapa situasi (seperti pesawat yang terbang melewati udara yang diam), fluida yang berada jauh dari benda berada dalam



keadaan diam dan benda tersebut bergerak melalui fluida dengan kecepatan U. Dalam situasi lainnya (seperti angin yang bertiup melewati sebuah bangunan), benda dalam keadaan diam dan fluida mengalir melewati benda tersebut dengan kecepatan U. Pada kasus manapun, kita dapat menetapkan sistem koordinat pada benda



Gambar 3.5 Klasifikasi aliran: (a) dua dimensi (b) simetri sumbu, (c) tiga dimensi



dan memperlakukan situasi tersebut seperti fluida mengalir melewati benda yang diam dengan kecepatan U, yang disebut kecepatan hulu. Untuk keperluan buku ini, kita akan mengasumsikan bahwa kecepatan hulu konstan baik menurut waktu maupun tempatnya. Artinya, terdapat fluida dengan kecepatan seragam dan tetap yang mengalir melewati benda tersebut. Dalam situasi sesungguhnya, hal ini seringkali tidak benar. Sebagai comoh, angin yang mengalir melewati sebuah cerobong asap hampir selalu turbulen dan bergejolak (tidak tunak) dan mungkin kecepatannya tidak seragam dari atas sampai dasar cerobong. Biasanya ketidak-tunakan dan ketidakseragaman tidak begitu penting. Bahkan dengan aliran hulu yang seragam dan tunak, aliran di sekitar benda dapat menjadi tak-tunak. Contoh perilaku seperti ini mencakup gerak periodik secara cepat (flutter) dalam aliran yang melewati airfoil (sayap), osilasi beraturan dari kabel telepon yang "bernyanyi" akibat tiupan angin, dan fluktuasi turbulen yang tidak beraturan di daerah olakan (wake) di belakang benda. Struktur dari aliran luar dan tingkat kemudahan di mana aliran dapat digambar dan dianalisa sering tergantung pada sifat alamiah dari benda di dalam aliran. Tiga kategori umum dari benda ditunjukkan pada Gambar 3.5. Termasuk di dalamnya adalah (a) benda dua-dimensi (panjang tak terhingga dengan bentuk dan ukuran penampangnya yang konstan), (b) benda simetris sumbu (terbentuk dengan merotasi bentuk penampangnya terhadap sumbu simetrinya), dan (c) benda tiga-dimensi yang mungkin memiliki atau tidak memiliki sebuah garis atau bidang simetri. Dalam prakteknya tidak terdapat benda-benda yang benar-benar dua-dimensi tidak ada yang memiliki panjang tak terhingga. Namun demikian, banyak benda yang cukup panjang sehingga efek-efek ujungnya sedemikian kecil dan dapat diabaikan.



Klasifikasi lain dari bentuk benda dapat tergantung pada apakah benda tersebut dibuat mulus mengikuti garis arus (streamlined) atau tumpul. Karakteristik aliran sangat tergantung pada seberapa banyak bagian yang dibuat mulus tersebut. Secara umum, benda-benda streamlined (seperti airfoil, mobil balap, dan lain-lain.) memiliki pengaruh kecil pada fluida yang mengelilinginya, dibandingkan dengan pengaruh yang dimiliki benda tumpul (misalnya, parasut, gedung-gedung, dan lain-lain.) pada fluida. Biasanya, tapi tidak selalu, akan lebih mudah untuk mendorong sebuah benda streamlined melewati suatu fluida daripada mendorong sebuah benda tumpul yang ukurannya sama agar bergerak dengan kecepatan yang sama. Terdapat beberapa pengecualian penting untuk aturan dasar ini.



 Struktur dan Ketebalan Lapisan Batas pada Sebuah Pelat Datar Terdapat banyak ragam ukuran sebuah lapisan batas dan struktur dari aliran di dalamnya. Sebagian dari variasi ini disebabkan oleh bentuk benda dimana lapisan batas tersebut terbentuk. Dalam subbab ini kita akan meninjau situasi yang paling sederhana, yaitu situasi di mana lapisan batas terbentuk pada sebuah pelat datar dengan panjang tak terhingga yang di sepanjangnya mengalir suatu fluida viskos, tak mampu-mampat seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 3.1. Jika permukaannya melengkung (misalnya sebuah silinder bundar atau airfoil), struktur lapisan batas akan lebih rumit. Jika bilangan Reynolds cukup besar, hanya fluida di dalam lapisan batas relatif tipis pada pelat yang akan merasakan efek dari pelat. Artinya, kecuali di daerah dekat pelat, kecepatan aliran pada dasarnya akan sebesar V= U i, yaitu kecepatan hulu.



Untuk pelat datar dengan panjang tak terhingga yang membentang dari x = 0 sampai x=∞, tidaklah jelas bagaimana mendefinisikan bilangan Reynolds karena tidak ada panjang karakteristik. Pelat tidak memiliki ketebalan dan panjangnya tidak terbatas! Untuk pelat dengan panjang tertentu, jelas bahwa panjang pelat ℓ, dapat digunakan sebagai panjang karakteristik. Untuk pelat dengan panjang tak terhingga.