Mekrek 3. Cross [PDF]

Citation preview

ANALISIS STRUKTUR BALOK MENERUS dengan METODE DISTRIBUSI MOMEN (Metode Cross) Prosedur Analisis metode Cross : I. Analisis Struktur dengan metode Cross 1. Hitung momen primer setiap balok dengan rumus sbb : Momen Primer dititik A ( MFAB )



Gambar Struktur dengan Sistem Pembebanan



Momen Primer dititik B ( MFBA )



P







P.a.b



2



P.a 2 .b



B



A



L2



a



L2



b



q







2



q.L 12



q.L2 12



B



A L q







11 q.L2 192



B



A L/2



L/2



5 .q.L2 192



P



-



B



A a



2L2



b



A



-



B



q.L2 8



B



7 .q.L2 128



B



9 .q.L2 128



L A



-



L/2



L/2



A L/2







P.a.(L2  a 2 )



L/2 B



6EI.







2



L



L







6EI. L2



Struktur Statis Tak Tentu 21



1. Hitung nilai kekakuan lentur setiap balok a. Struktur dengan tumpuan Jepit – Jepit => b. Struktur dengan tumpuan Jepit – Sendi =>



4EI L 3EI k L



k



2. Hitung koefisien distribusi balok pada setiap titik kumpul balok :







ki  ki



3. Buat Tabel Cross dan lakukan distribusi momen sebagai berikut : a. Hitung resultan momen (momen tak imbang) setiap titik kumpul b. Distribusikan momen tak imbang tersebut sebanding dengan koefisien distribusi balok pada masing-masing cabang titik kumpul c. Induksikan momen hasil distribusi di atas pada ujung berseberangan d. Hitung resultan momen akibat distribusi dan induksi di atas kemudian distribusikan kembali sesuai koefisien distribusi pada masing-masing cabang titik kumpul e. Ulangi langkah di atas (c – d) sampai resultan momen (momen tak imbang) relatif sangat kecil ( ≈ 0 ) 4. Jumlahkan momen pada setiap ujung balok. Hasil penjumlahan tersebut merupakan momen ujung setiap balok II. Analisis Free body Analisis free body dilakukan untuk menghitung reaksi perletakan akibat beban luar dan momen ujung pada setiap balok. 1. Nyatakan struktur dalam bentuk batang-batang yang bebas (free body) dengan beban dan momen yang bekerja pada batang tersebut 2. Hitung besarya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat : a. beban luar dan b. momen ujung yang telah diperoleh. 3. Jumlahkan semua hasil perhitungan langkah 2 untuk memperoleh besarnya reaksi perletakan total. III. Gambar Bidang Momen, Lintang dan Normal a. Dengan menggunakan data-data yang telah diperoleh, hitung momen maksimum yang terjadi pada setiap balok. b. Gambar bidang momen (M), bidang lintang (D) dan gaya Normal (N).



Struktur Statis Tak Tentu 22



.



Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini : 2 T/m A



8 T/m



EI



C



EI B



5m



3m



3m



Diminta : 3. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Cross ! 4. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut ! Penyelesaian : IV. Analisis Struktur Metode Cross 1. Momen Primer MBA = =



q.L2 8



;



2.5 2 8



MBC =



= 6,25 Tm



=







P.a.(L2  a 2 )







2L2



8.3.(6 2  3 2 ) 2.6 2



= -9 Tm



2. Kekakuan Balok kBA =



3EI L



(jepit – sendi) ;



=



3EI 5



= 0,6 EI



kBC =



3EI L



=



3EI 6



;



(jepit – sendi) = 0,5 EI



3. Faktor distribusi balok  BA 



0,6EI 0,6EI  0,5EI



= 0,545



; ;



 BC 



0,5EI 0,6EI  0,5EI



= 0,455



Struktur Statis Tak Tentu 23



4. Tabel distribusi Titik Kumpul Balok Faktor distribusi Momen Primer



A AB -



Momen Ujung



0



B BA 0,545 6,25 1,499 7,749



C CB -



BC 0,455 -9 1,251 -7,749



0



Arah momen ujung sesuai dengan perjanjian tanda, bernilai positif searah jarum jam dan sebaliknya berlawanan arah jarum jam bernilai negatif. V.



Analisis Free body 2 T/m A



8 T/m



EI B



5m



2 T/m



3m



7,749 Tm



7,749/5 = 1,550 T



3,45 T



3m



8 T/m EI



EI (2 x 5)/2 = 5 T



C



EI



5T



8/2 = 4 T



4T



1,550 T



7,749/6 = 1,292 T



1,292 T



6,55 T



5,292 T



2,708 T



Struktur Statis Tak Tentu 24



VI.



Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur 1. Bidang Momen Balok AB Mx



= RAB.X – ½.q.X2 = 3,45X – ½.2.X2



2 T/m



= 3,45X – X2



8 T/m



EI



Momen Max pada saat



EI



5m



3m



dMx =0 dx



3m



dMx = 3,45 – 2X dx



7,749



=0







2X







X = 1,725 m



= 3,45



Maka momen Max. balok AB Mmax = 3,45(1,725)– (1,725)2



2,976



= 2,976 Tm Balok BC



8,127



Mx



= RBC.X - MBC = 5,292.X – 7,749



5,292 3,45



Mmax = 5,292 x 3 – 7,749 = 8,127 Tm



2,708



2. Bidang Lintang 6,55



DAB



= RA = 3,45 T



DBC



= -6,55 +11,842 = 5,292 T



DBA



= 3,45 – 2 x 5 = -6,55 T



DCB



= 5,292 – 8 = -2,708 T Struktur Statis Tak Tentu 25



Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini : P1 = 6 T



P3 = 6 T



P2 = 6 T



q = 3 T/m



2EI



D



1,5EI



C



B



A 1



3



1



2



2



1



Diminta : 1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Cross ! 2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut ! Penyelesaian : IV.



Analisis Struktur Metode Cross



1. Momen Primer MAB =







P.a.b 2 L2 6.1.4 2







;



L2 6.4.12



=







MBC =







q.L2 P.a (L2  a 2 )  8 2L2



=







3.4 2 6.2.(4 2  2 2 )  =-10,5 8 2.4 2



52







P.a.b 2



52



MBA =



= -4,8 Tm ;



= ;



Tm ;



P.a 2 .b L2 6.12.4 52











P.a 2 .b L2 6.4 2.1 52



=4,8 Tm



MCD = - ½.q.L2 = -1,5 Tm MCB = -MCD = 1,5 Tm



2. Faktor Kekakuan balok kBA =



4(2EI ) L



(jepit – jepit)



=



4(2EI ) 5



= 1,6 EI



3. Faktor distribusi balok 1,6EI  BA  = 0,587 1,6EI  1,125EI



; kBC =



3(1,5EI ) L



(jepit – sendi)



=



3(1,5EI ) 4



= 1,125 EI



;



;



 BC 



1,125EI 1,6EI  1,125EI



= 0,413



Struktur Statis Tak Tentu 26



4. Tabel distribusi Titik Kumpul Balok Faktor distribusi Momen Primer Dist Induksi Dist Induksi Momen Ujung



A AB -4,8



B BA 0,587 4,8 3,346 0 -0,44



1,673 -0,22 -3,35



7,706



C BC 0,413 -10,5 2,354 0,75 -0,31



CB 1,5



CD -1,5



0 0 1,5



-7,706



-1,5



Arah momen ujung sesuai dengan perjanjian tanda, bernilai positif searah jarum jam dan sebaliknya berlawanan arah jarum jam bernilai negatif. V. Analisis Free body P1 = 6 T



P3 = 6 T



P2 = 6 T



q = 3 T/m



2EI A 1



6 ton



3



1



2



C 2



1



6 ton



6 ton



3 ton/m



7,706



6x4/5+6x1/5 = 6 T



D



1,5EI B



6T



6/2+3x4/2 = 9T



1,5



9T



0,669 T



7,706/4 = 1,927 T



1,927 T



7,706/5 = 1,541 T



1,541 T



1,5/4 = 0,375 T



0,375 T



5,128 T



6,872 T



10,552 T



7,448 T



3,347/5 = 0,669 T



3 ton/m



3,0x1 =3T



3T



Struktur Statis Tak Tentu 27



VI. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur 6 ton



1. Bidang Momen



6 ton



6 ton



3 ton/m



Balok AB MP1 = RAB.XP1 - MA



2EI 1



1,5EI



B



A 3



1



= 5,131 x 1 – 3,35



C



2



2



1



= 1,781 Tm MP2 = RAB.X P2 - P1.X - MA



7,697



= 5,131 x 4 – 6 x 3 - 3,35



3,35 1,5



0,826



= -0,826 Tm MP1 dan MP2 masing-masing adalah



1,781



momen di bawah beban P1 dan P2. Balok BC 7,401



MP3 = RBC.X – ½ q.X2 - MBC = 10,549 x 2 – ½ .3.22 – 7,697



10,549



= 7,401 Tm



4,549



5,131



3



2. Bidang Lintang -0,869



-1,451



-6,869



DAB = RA -7,451 DP3



= 5,131T



= 10,549 – 3x2 – 6 = -1,451 T



DP1 = 5,131 – 6



= -0,869 T



DCB = -1,451 – 3x2



= -7,451 T



DP2 = -0,869 – 6



= -6,869 T



DCD = -7,451 + 10,451



=3T



DBC = -6,869 +17,418



= 10,549 T



DD = 3 – 3.1



= 0 (OK)



Struktur Statis Tak Tentu 28



Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini : P1 = 20 Kg



q1 = 3 Kg



q2 = 2 Kg



3EI



10EI



A



B 12 m



C



24 m



4m



P2 = 18 Kg



P3 = 6 Kg



2EI



E D



8m



3m



Diminta : 1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Cross ! 2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut ! Penyelesaian : I. Analisis Struktur Metode Cross 1. Momen Primer MBA =



q1 .L2 8



MCB =



q 2 .L2 P.a.b 2  12 L2



=



=



3.12 2 8



2.24 2 20.12.12 2  12 24 2



= 54 kgm



; MBC =



q 2 .L2 P.a.b 2   12 L2



2.24 2 20.12.12 2  = 12 24 2



= 156 kgm



MCD =







=







=-156



P.a.(L2  a 2 ) 2L2 18.8.(12 2  8 2 ) 2.12 2



= -40 kgm



MDC = -MDE = P3.L = 6.3 = 18 kgm 2. Faktor Kekakuan balok kBA =



3(3EI ) = 12



kCD =



3(2EI ) 12



0,75 EI



; kBC =



4(10EI ) 24



= 1,667 EI



= 0,5 EI Struktur Statis Tak Tentu 29



3. Faktor distribusi balok  BA 



0,75EI 0,75EI  1,667EI



 CB 



1,667EI 1,667EI  0,5EI



= 0,310



= 0,769



;



 BC 



1,667EI 0,75EI  1,667EI



;



 CD 



0,5EI 1,667EI  0,5EI



= 0,690 = 0,231



4. Tabel distribusi Titik Kumpul B Balok BA BC Faktor distribusi 0,310 0,690 Momen Primer 54 -156 Distribusi 31,62 70,38 Induksi -44,602 Distribusi 13,827 30,775 Induksi -16,991 Distribusi 5,267 11,724 Induksi -5,917 Distribusi 1,834 4,083 Induksi -2,254 Distribusi 0,699 1,555 Induksi -0,785 Distribusi 0,243 0,542 Induksi -0,299 Distribusi 0,093 0,206 Induksi -0,104 Distribusi 0,032 0,072 Induksi -0,040 Distribusi 0,012 0,028 Induksi -0,014 Distribusi 0,004 0,010 Induksi -0,005 Distribusi 0,002 0,003 Induksi -0,002 Distribusi 0,001 0,001 Momen Ujung 107,634 -107,634



C CB 0,769 156 -89,204 35,19 -33,982 15,387 -11,833 5,862 -4,508 2,042 -1,570 0,778 -0,598 0,271 -0,208 0,103 -0,079 0,036 -0,028 0,014 -0,011 0,005 -0,004 0,001 -0,001 73,663



D CD DC DE 0,231 1 -40 18 -18 -26,796 9 -10,208 -3,554 -1,354 -0,472 -0,180 -0,063 -0,024 -0,008 -0,003 -0,001 0 -73,663



18 -18



Struktur Statis Tak Tentu 30



II. Analisis Free body



P1 = 20 Kg



q1 = 3 Kg



q2 = 2 Kg



3EI A



10EI



12 m



24 m



E



2EI



C



B



P3 = 6 Kg



P2 = 18 Kg



4m



D 3m



8m



P1 = 20 Kg q1 = 3 Kg



3x12/2 = 18 kg



18 kg



107,698/12 = 8,975 kg



8,975 Kg



107,698



q2 = 2 Kg



2x24/2 +20/2= 34 kg



34 Kg



107,698/24 = 4,487 kg



4,487 Kg



73,615/24 = 3,067 kg



9,025 Kg



26,975 Kg



35,420 Kg



18x8/12 = 12 kg



18



18x4/12 = 6 kg



73,615/12 = 6,135 kg



18/12 = 1,5 kg



1,5 Kg



32,58 Kg



16,635 Kg



1,365 Kg



6 Kg



P1 = 20 Kg q2 = 2 Kg



3EI A



6 Kg



6,135 Kg



3,067 Kg



q1 = 3 Kg



III. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur



P3 = 6 Kg



73,615 P2 = 18 Kg



10EI



P2 = 18 Kg 2EI



C



B



E D



107,698 73,615 7,075



18



BID. M 13,575



173,342 35,420 16,635 11,420 6



9,025



BID. D 1,365



8,580 26,975 32,580



Struktur Statis Tak Tentu 31



Analisis dan Gambar diagram M dan D struktur balok menerus di bawah ini dengan metode Cross ! 3 kg



4m



q1 = 1,2 kg/m



2EI



4EI



12 m



16 m



8 kg



3EI 6m



6m



(1) q1 = 1,2 kg/m



3 kg



4m



2EI



4EI



12 m



16 m



8 kg



3EI 6m



6m



(2) q2 = 6 kg/m



q1 = 3 kg/m



36 kg



EI



EI



EI



16 m



24 m



12 m



(3) q2 = 6 kg/m



q1 = 3 kg/m



36 kg



EI



3EI



EI



16 m



24 m



12 m



(4) q1 = 1,2 kg/m



3 kg



B



A 4m



12 m



8 kg



C 16 m



D 6m



6m



I = Konstan Balok AB = 40/75 Balok BC = 60/100 Balok CD = 40/75



(5)



Struktur Statis Tak Tentu 32