Metode Beda Hingga 1 [PDF]

Citation preview

METODE BEDA HINGGA (FINITE DIFFERENCE METHOD) Metode beda hingga adalah suatu pendekatan numerik yang didasarkan pada ekspansi deret Taylor DERET TAYLOR



f (x) 2  2f (x)3  3f f (x  x)  f (x)  (x)    2 3 x 2! x 3! x



f (x) 2  2f (x)3 3f f (x  x)  f (x)  ( x)    2 3 x 2! x 3! x  ( x) n  n f f (x  x)  f (x)   n n 1 n! x



1



• Pendekatan beda hingga untuk turunan pertama  f     x   Pendekatan beda maju (forward difference) f fi 1  fi   (x) x x



 Pendekatan beda mundur (backward difference) f fi  fi 1   (x) x x



 Pendekatan beda tengah (central difference) f fi 1  fi 1   (x) 2 x 2x 2



• Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua



  2f   2   x 



Untuk turunan kedua pendekatan yang biasa dipakai adalah pendektan beda tengah(central difference)  2f



f  2fi  fi 1 2  i 1    x  x 2  x 2



3



Persamaan perpindahan panas konduksi • Persamaan perpindahan panas konduksi 1D T  2T  t x 2



 2T x 2



unsteady steady



0



• Persamaan perpindahan panas konduksi 2D   2 T  2T  T    2 2   t y   x



unsteady



 2T



steady



x 2







 2T y 2



0



4



Keterangan : T = temperatur x = dimensi ruang arah x y = dimensi ruang arah y t = dimensi waktu  = difusivitas thermal PENYELESAIAN PERSAMAAN KONDUKSI 1D UNSTEADY Metode yang digunakan : 1. Metode FTCS (forward in time central in space) 2. Metode Laasonen 3. Metode Crank-Nicolson



5



1. Metode FTCS (forward in time central in space) n+1



i = indeks ruang



t



n= indeks waktu n i-1



i



i+1



x Skema metode FTCS



Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode FTCS T  2T  2 t x



• Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju • Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah



6



• Diskretisasi turunan waktu



T  t



Tin 1  Tin t



   x 



• Diskretisasi turunan ruang



2



 T x 2







Tin1  2Tin  Tin1



 x 2



   x 



2



Sehingga :



Tin 1  Tin t n 1



Ti



n



 Ti 



Tin1  2Tin  Tin1   x 2



t







Tin1  2Tin  Tin1  x 2



 7



2. Metode Laasonen x i-1



i



i+1



n+1



i = indeks ruang n = indeks waktu



t n Skema metode Laasonen



Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Laasonen T  2T



t







x 2



Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah 8



• Diskretisasi turunan waktu T Tin 1  Tin     x  t t



• Diskretisasi turunan ruang  2T x 2







Tin11  2Tin 1  Tin11



 x 2



   x 



2



Sehingga : Tin 1  Tin Tin11  2Tin 1  Tin11  t  x 2  Tin 1  Tin 



t



Tin11  2Tin 1  Tin11    x 2



9







t



Tin11  2Tin 1  Tin11   Tin 1  Tin   x 2



 t  n 1 t n 1 n 1  Ti   Ti 1  1  2 Ti 1  Tin   x 2  x 2   x 2 t











 a i Tin11  bi Tin 1  ci Tin11  d i Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks Dimana :



ai  



ci  



t



 x 2 t



 x 2



bi  1  2



t



 x 2



di  Tin 10



Persamaan Tridiagaonal matriks dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut : T1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a4 b4 c4



T2 T3 T4 anx-2 bnx-2 cnx-2 anx-1 bnx-1 cnx-1



Tnx-2 Tnx-1



=



d2 d3 d4 dnx-2 dnx-1



Tnx T1 dan Tnx berada pada kondisi batas (boundary candition)



Untuk menyelesaikan persamaan tridiagonal matriks digunakan Algoritma Thomas (dalam program komputer berupa Subroutine Tridi)



11



3. Metode Crank-Nicolson



n+1



t/2



i = indeks ruang n= indeks waktu t/2 i-1



i



i+1



n+1/2 n



x



Skema metode Crank-Nicolson



12



Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Crank-Nicolson T  2T  t x 2



Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu : 1. Langkah waktu ( nn+1/2) • Diskretisasi turunan waktu T  t



Tin 1/2  Tin



 t / 2 



   t 



• Diskretisasi turunan ruang 2



 T x 2







Tin1  2Tin  Tin1



 x 2



   x 



2 13



Lanjutan… Tin 1/2  Tin



 t / 2 



Tin1  2Tin  Tin1   x 2



2. Langkah waktu ( n+1/2n+1) • Diskretisasi turunan waktu T  t



Tin 1  Tin 1/2



 t / 2 



   x 



• Diskretisasi turunan ruang 2



 T x 2







Tin11  2Tin 1  Tin11



 x 2



   x 



2



14



Lanjutan… Tin 1  Tin 1/2



 t / 2 







Tin11  2Tin 1  Tin11



 x  2



Jika langkah waktu ( nn+1/2) dan ( n+1/2n+1) dijumlahkan menjadi : Tin 1/2  Tin



 t / 2  Tin 1  Tin 1/2



 t / 2 



Tin1  2Tin  Tin1   x 2 



Tin11  2Tin 1  Tin11



 x 2 +



Tin 1  Tin



 t / 2 



n 1 n 1 n 1   T n  2T n  T n T  2T  T i i 1  i 1 i i 1     i 1 2 2    x  x       15



Lanjutan…







t 2  x  Tin 



 t  n 1 n 1 T T  1   2 i 1 2 i  



 x  



t 2  x 



2



Tin11 



t



Tin1  2Tin  Tin1   2 2  x 



 a i Tin11  bi Tin 1  ci Tin11  di Dimana : ai   ci  



t 2



2



di  Tin 



2  x  t 2  x 



t



bi  1 



 x 2 t



Tin1  2Tin  Tin1   2 2  x 



Persamaan tridiagonal matriks diselesaikan dengan Algoritma thomas 16



Contoh soal



T1



T0



L



T2



Sebuah dinding 1D lebar (L) 1ft terbuat dari baja nikel dengan difusivitas thermal =0.1 ft2/hr. Mula-mula temperatur dinding (To) seragam 100ºF, kemudian dinding sebelah kiri (T1) dan kanan (T2) dipertahankan pada temperatur 300ºF. Hitunglah distribusi temperatur pada dinding setelah 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, dan 0.5 jam.



17



Jawab :



Urutan penyelesaian • Diketahui L=1 ft, To=100F, T1=300F dan T2=300F =0.1 ft2/hr. T2=300F



T1=300F



• Membagi domain menjadi nx=41 grid dengan lebar tiap grid x=0.025 • Menentukan langkah waktu t=0.01 • Menentukan batas waktu Tmax( 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 dan 0.5 jam)



i=1



x



1 ft



i=nx



• Menghitung Tn+1 dengan metode FTCS, Lasonen dan Crank-Nicolson • Hasil perhitungan ditampilkan dalam bentuk grafik T-x



18



Program ditulis dengan perangkat lunak Matlab



1. Program FTCS nx=41; % i1=1; % dx=0.025; % dt=0.001; % x=0.:0.025:1.0; % v=0.1; % us=ones(1,41).*100.;% us(1)=300.; % us(41)=300.; % u=us; tmax=input(' tmax= ') t=0.; s=v*dt/dx/dx;



Jumlah grid awal grid Langkah ruang x Langkah waktu t x array Difusivitas thermal  Temperatur awal To Temperatur sisi kiri T1 Temperatur sisi kanan T2 % Input batas waktu Tmax



19



Lanjutan FTCS…



while t