13 0 661 KB
MODUL 1 FORMULASI PERMASALAHAN INVERSI
Tujuan Praktikum: a. Mampu menyelesaikan permasalahan inversi linear. b. Mampu mengaplikasikan inversi linear pada metode geofisika. Alat dan Bahan: a. Text Editor Visual Studio Code b. Python 3.6 c. Package : Numpy, Matplotlib
Langkah Pengerjaan 1. Problem 1 Inversi Model Garis Terdapat 10 pengukuran temperature (T) pada kedalaman yang berbeda (zi). Tentukan persamaan model garis untuk mencari hubungan antara temperatur (T) dan kedalaman (zi) dengan persamaan model matematika π1 + π2 π§π = ππ Kemudian tentukan nilai m1dan m2! Keterangan: m1dan m2 adalah parameter model (unknown parameter) yang akan dicari konstantakonstantanya. Tabel 1 Data temperature bawah permukaan tanah terhadap kedalaman.
Solusi : Berdasarkan model tersebut, kita bias menyatakan temperature dan kedalaman masing-masing sebagai berikut: π1 π1 π1 π1 π1 π1 π1
+ + + + + + +
π2π§1 π2π§2 π2π§3 π2π§4 π2π§5 π2π§6 π2π§7
= = = = = = =
π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7
π1 + π2π§8 = π8 π1 + π2π§9 = π9 π1 + π2π§10 = π10 Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:
Secara singkat ditulis: πΊπ = π Keterangan d adalah data yang dinyatakan dalam vector kolom, m adalah model parameter, juga dinyatakan dalam vector kolom, dan G disebut matrik kernel. Nilai m1 dan m2 diperoleh dari hasil vector kolom m? πΊ π πΊπ = πΊ π π T merupakan tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini: πΊ π πΊπ = πΊππ [πΊ π πΊ]β1 πΊ π πΊπ = [πΊ π πΊ]β1 πΊ π π π = [πΊ π πΊ]β1 πΊ π π Langkah pengerjaan program: a. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu πΊ π b. Lakukan perkalian matriks πΊ π πΊ, dimana N = 10 atau sesuai dengan jumlah data observasi; sementara i = 1, 2, 3, ..., 10. c. Kemudian tentukan pula πΊ π π d. Dengan menggunakan hasil dari langkah 2 dan langkah 3, dapat dinyatakan persamaan sebagai πΊ π πΊπ = πΊ π π e. Berdasarkan data observasi pada Tabel 1, diperoleh π = [πΊ π πΊ]β1 πΊ π π Secara lebih lengkap, source code python untuk melakukan inversi data observasi adalah sebagai berikut:
Hasil :
2. Problem 2 Menghitung Gravitasi di Planet X (Latihan) Seorang astronot tiba di suatu planet yang tidak dikenal. Setibanya disana, ia segera mengeluarkan kamera otomatis, lalu melakukan ekperimen kinematika yaitu dengan melempar batu vertical keatas. Hasil foto-foto yang terekam dalam kamera otomatis pada data ketinggian terhadap waktu (Tabel 2).
Pertanyaan Anda diminta untuk membantu proses pengolahan data sehingga diperoleh nilai konstanta gravitasi di planet tersebut dan kecepatan awal batu! Solusi Langkah awal dengan mengasumsi model matematika, yang digali dari konsep-konsep fisika, yang kira-kira paling cocok dengan situasi pengambilan data observasi. Salah satu konsep dari fisika yang bias diajukan adalah konsep tentang Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB), yang formulasinya seperti ini 1 βπ + πππ‘ β ππ‘ 2 = β 2 Berdasarkan tabel data observasi, ketinggian pada saat t = 0 adalah 5 m. Itu artinya ho = 5 m. Sehingga model matematika (formulasi GLBB) dapat dimodifikasi sedikit menjadi 1 πππ‘ β ππ‘ 2 = β β βπ 2 Selanjut, didefinisikan m1 dan m2 sebagai berikut 1 π1 = π£π π2 = β π 2 Sehingga persamaan model GLBB menjadi π1 π‘π + π2 π‘ 2 π = βπ β 5 Dimana i menunjukkan data ke-i. Langkah berikutnya adalah menentukan nilai tiap-tiap elemen matrik kernel, yaitu dengan memasukan data observasi ke dalam model matematika. π1 π‘1 + π2 π‘ 2 1 = β1 β 5 π1 π‘2 + π2 π‘ 2 2 = β2 β 5 π1 π‘3 + π2 π‘ 2 3 = β3 β 5 β¦β¦ = β¦
π1 π‘20 + π2 π‘ 2 20 = β20 β 5 Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:
Operasi matrik di atas memenuhi persamaan matrik πΊπ = π Seperti yang sudah dipelajari pada bab ini, penyelesaian masalah inverse dimulai dari proses manipulasi persamaan matrik sehingga perkalian antara GT dan G menghasilkan matriks bujur sangkar πΊ π πΊπ = πΊ π π Selanjutnya, untuk mendapatkan m1 dan m2, prosedur inverse dilakukan satu per-satu seperti langkah problem 1.
3. Problem 3 Aplikasi Regresi pada Analisa Data Seismik Refraksi (Tugas) Gambar 3.1 merupakan data survei seismik refraksi yang dilakukan dengan spasi geophone 10 m. Jika diketahui persamaan waktu tempuh direct wave dan gelombang refraksi sebagaiberikut: π₯
πππππππ‘ = π .....................................................................................................................(3.1) 1
πππππππ = π
2π§ cos ππ π1
1
+ π π₯ .................................................................................................(3.2) 2
sin ππ = π1 ........................................................................................................................(3.3) 2
Gambar 3.1. Pertanyaan Tentukan nilai kecepatan dan ketebalan lapisan pertama! (Kerjakan secara manual dan menggunakan bahasa pemrograman python, gunakan minimal 4 titik data baik itu dari gelombang refraksi maupun direct wave) Solusi Waktu tempuh dari direct wave dan gelombang refraksi di picking Menggunakan data hasil picking, kecepatan lapisan pertama π1ditentunkan menggunakan regresi linier (persamaan 3.1) Proses linearisasi dilakukan terhadap persamaan gelombang refraksi menjadi: πππππππ = π0 + π1 π₯ ........................................................................................................(3.4) Dengan:
π0 =
2π§ cos ππ ....................................................................................................................(3.5) π1
1
π1 = π ............................................................................................................................(3.6) 2
Sistem persamaan dapat disusun menjadi: Berdasarkan linearisasi tersebut, kita bias menyusun system persamaan linear sebagai berikut: π1 = π0 + π1 π₯1 π2 = π0 + π1 π₯2 π3 = π0 + π1 π₯3 π4 = π0 + π1 π₯4 Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik (d = Gm) berikut ini:
Nilai kecepatan lapisan kedua (π2 ) dapat dihitung dengan substitu dinilai π1 yang diperoleh pada persamaan 3.6 Besar sudut kritis dapat dihitung menggunakan persamaan 3.3. Nilai kedalaman dihitung menggunakan persamaan 3.5 dan nilai π0 yang diperoleh
4. Problem 4 Aplikasi Inversi pada Tomografi Seismik
Pertanyaan Tentukan nilai V1 dan V2 dengan menggunkan inversi linear, jika diketahui S1 (0, -250 m); S2 (0, -633 m); S3 (1000 m, 0); R1 (2000 m, -1000 m); R2 (0 m, 0 m); R1b setengah R1R2 dan waktu tempuh masing-masing 1.5AB s, 1.447 s dan 0.7AB s! (Kerjakan secara manual dan menggunakan bahasa pemrograman Python!) (AB = NIM akhir)
Solusi: a. Hitung panjang ray setiap kotak (kecepatan awal) π11 = β(π1π
2)2 + (π
1π
2)2 π21 = β(π2π
2)2 + (π
1π
2)2 π31 = β(ππ)2 + (π
1π
π₯)2 2 2 π
1π π11 π21 = = π
1π
2 π11 π21 2 π11 =
π
1π Γ π11 π
1π
2
1 2 π11 = π11 β π11 2 π21 =
π
1π Γ π21 π
1π
2
1 2 π21 = π21 β π21 2 π31 = π31
b. Menghitung model referensi
c. Mengitung waktu tempuh kalkulasi
d. Menghitung delay time
e. Membuat persamaan matriks tomografi
f.
Hitung V1 dan V2 menggunakan rumus