Modul Olimpiade SD [PDF]

Citation preview

Penulis : Dewi Wulandari, S.Si., M.Sc. // Dr. Muhtarom, M.Pd. Ali Shodiqin, M.Si.// Dr. Ida Dwijayanti, M.Pd. Namira Putri U // Hendrisa Adrillian // Maria Stephania W // Aulia Putri F



UNIVERSITAS PGRI SEMARANG



DAFTAR ISI



DAFTAR ISI ....................................................................................................... i PETA INFORMASI ........................................................................................... iii UJUAN KOMPETENSI ..................................................................................... iv TES AWAL ......................................................................................................... 1 BAB I PENGENALAN PROGRAM OSN SD ................................................. 4 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.



Program OSN SD...................................................................................... 4 Dasar-dasar Hukum yang Melandasi ........................................................ 4 Cakupan Materi OSN SD ......................................................................... 4 Tujuan Pelaksanaan OSN SD ................................................................... 5 Persyaratan Peserta OSN SD .................................................................... 6 Skema dan Prosedur Seleksi ..................................................................... 7 Teknis Pelaksanaan ................................................................................... 7



BAB II MATERI DAN STRATEGI PENYELESAIAN SOAL ..................... 8 1. 2. 3. 4.



Bilangan .................................................................................................... 8 Geometri ................................................................................................... 19 Teknik Hitung, Data dan Pengukuran....................................................... 65 Rekreasi Matematika ................................................................................ 79



BAB III PENYUSUNAN SOAL OSN-LIKE .................................................... 88 1. Analisis Soal ............................................................................................. 88 1.1.Materi Bilangan .................................................................................. 90 1.2.Materi Geometri .................................................................................. 91 1.3.Materi Teknik Hitung, Data dan Pengukuran ..................................... 91 1.4.Materi Rekreasi Matematika ............................................................... 92 2. Penyusunan Soal ....................................................................................... 93 2.1.Materi Bilangan .................................................................................. 96 2.2.Materi Geometri .................................................................................. 99 2.3.Materi Teknik Hitung, data dan pengukuran ...................................... 103 2.4.Materi Rekreasi Matematika ............................................................... 106



i



3. Evaluasi ..................................................................................................... 108 BAB IV RANCANGAN PEMBELAJARAN ................................................... 109 1. 2. 3. 4. 5.



Materi Bilangan ........................................................................................ 111 Materi Geometri ........................................................................................ 113 Materi Teknik Hitung, Data dan Pengukuran ........................................... 114 Materi Rekreasi Matematika ..................................................................... 118 Evaluasi ..................................................................................................... 119



TEST AKHIR ...................................................................................................... 120 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 123



ii



PETA INFORMASI MODUL PELATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA SD



PRE-TEST



POST-TEST MATERI PELATIHAN



PENGANTAR OSN



MATERI OSN SD



PENYUSUNAN SOAL



RANCANGAN PEMBELAJARAN



Program



Bilangan



Analisis Soal



Bilangan



Dasar Hukum



Geometri



Penyusunan Soal



Geometri



Scope



Data dan Pengukuran



Evaluasi



Tujuan



Rekreasi Matematika



Data dan Pengukuran Rekreasi Matematika



Persyaratan



Prosedur



Teknis



iii



TUJUAN KOMPETENSI



Tujuan yang diharapkan dapat dicapai oleh peserta pelatihan adalah 1. Peserta memahami program OSN lengkap beserta hokum-hukum yang melandasi, alur pelaksanaan, teknis pelaksanaan dan ketentuan-ketentuan pelaksanaan. 2. Peserta mampu mengaplikasikan teknik penyelesaian yang sesuai dengan usia SD untuk menyelesaikan soal-soal OSN SD 3. Peserta mampu melakukan analisis soal-soal OSN SD kemudian menjadikannya sebagai salah satu bahan untuk bisa create soal OSN-Like 4. Peserta mampu menyusun rancangan pembelajaran setiap materi yang dicakup dalam scope OSN SD 5. Peserta mampu menciptakan teknik penyampaian materi yang sistematis dan menyenangkan sesuai dengan rancnagan pembelajaran yang telah disusun



iv



TEST AWAL (PRE-TEST)



1. Soal-soal pengetahuan mengenai program OSN a. Apa yang anda ketahui mengenai program OSN SD? b. Kapan program ini dilaksanakan? c. Sebutkan persyaratan yang harus dipenuhi untuk mengikuti program ini d. Jelaskan urutan skema atau prosedur dalam mengikuti program ini. e. Ada berapa jenis soal yang ada dalam program ini. f. Sebutkan cakupan materi dalam program ini. 2. Menyelesaikan soal-soal OSN SD Pahami soal-soal berikut ini kemudian jelaskanlah cara menyelesaikan soal-soal tersebut sesuai dengan usia siswa SD. a. Tiga calon bupati yaitu Amir, Budi dan Chairul mengikuti pemilihan kepala desa atau lurah. Amir mendapatkan suara tiga kali lebih banyak dari suara Budi. Chairul mendapatkan suara dua kali dari suama untuk Amir. Jika jumlah warga yang mengikuti pemilu ada 30.000 warga, tentukan banyak suara yang diperoleh Budi. b. Sebuah wadah berbentuk balok dengan alas persegi berukuran 10 cm x 10 cm dan tinggi 40 cm, berisi air dengan ketinggian 32 cm. saat wadah direbahkan maka ketinggian air adalah… cm c. Di suatu perpustakaan di sebuah sekolah, tercatat ada 150 pengunjung di hari senin, ada 17A pengunjung di hari selasa, 162 pengunjung di hari rabu, 170 pengunjung di hari kamis, 1B3 pengunjung di hari jumat, dan 153 pengujung di hari sabtu. Jika rata-rata pengunjung perpustakaan sekolah tersebut dalam enam hari ternyatasama banyaknya dengan salah satu dari kunjungan itu. Apabila 17A dab 1B3 menyatakan bilangan 3 digit, tentukanlah nilai A dan B yang memenuhi. d. Tuliskan sebanyak mungkin bilangan asli yang memenuhi semua empat sifat berikut ini. 1. Terdiri atas 4 digit yang semuanya berbeda 2. Tidak memuat digit 0 3. Jumlah keempat digitnya habis dibagi 4 4. Hasil kali 2 digit pertama sama dengan hasil kali dua digit terakhir 3. Melakukan Analisis Soal OSN SDD Pahami soal pada nomor 2 sesuai dengan poinnya, kemudian lengkapilah tabel di bawah ini untuk melakukan analisis soal.



1



a. Soal 2a. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten Jenis Soal Level Kognitif Konsep Matematika Kemungkinan Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan Kesalahan Teknis b. Soal 2b. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten Jenis Soal Level Kognitif Konsep Matematika Kemungkinan Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan Kesalahan Teknis c. Soal 2c. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten Jenis Soal Level Kognitif Konsep Matematika Kemungkinan Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan Kesalahan Teknis



2



d. Soal 2d. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten Jenis Soal Level Kognitif Konsep Matematika Kemungkinan Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan Kesalahan Teknis 4. Melakukan Penyusunan SOAL OSN SD Susunlah 1 saja soal OSN SD lengkap dengan penyelesaiannya. 5. Melakukan Penyusunan Rancangan Pembelajaran Tentukan satu konten materi OSN Matematika SD kemudian susunlah rancangan pembelajaran untuk konten tersebut.



3



BAB I



PENGENALAN PROGRAM OSN SD



1. PROGRAM OSN SD Program OSN SD merupakan salah satu ajang tahunan yang diselenggarakan oleh kemendikbud yang diikuti oleh siswa Sekolah dasar sederajat di seluruh Indonesia di bidang Sains dan Matematika. Peserta yang maju di tingkat nasional merupakan siswa yang sudah lolos di tahap seleksi timgkat kota/kabupaten dan provinsi. Siswa-siswa yang memenangkan kompetisi di tingkat nasional, selanjutnya akan dibimbing oleh tim khusus sesuai bidang masing-masing dan akan diikutsertakan dalam ajang olimpiade internasional. Program OSN SD ini diadakan sejak tahun 2003 dan berubah nama menjadi KSN (Kompetisi Sains Nasional) SD sejak tahun 2020. Program ini diselenggarakan sebagai salah satu upaya pengembangan karakter. Dampak yang diharapkan secara umum adalah meningkatnya kualitas pendidikan nasional.



2. DASAR HUKUM Dasar-dasar hokum yang melandasi program OSN SD adalah sebagai berikut: 1. UU No. 20 Th. 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional 2. UU No. 24 Th. 2009 tentang Bendera, Bahasa dan lambing Negara serta Lagu Kebangsaan 3. PP No. 19 Th. 2005 tentang Standar nasional Pendidkan sebagaimana telah diubah dengan PP No. 23 tahun 2013 4. UU No. 9 Th. 2015 tentang Perubahan Kedua atas UU No. 23 Th. 2004 Tentang Pemerintah Daerah



3. CAKUPAN MATERI Tabel 1.3. berikut ini menampilkan cakupan materi yang dikompetisikan dalam ajang OSN SD.



4



Materi Bilangan



Sub Materi Klasifikasi bilangan, operasi bilangan, pemfaktoran, urutan, dll



Geometri



Sifat-sifat bagun datar, bangun ruang, sudut, luas, volume, dll.



Teknik



Pemangkatan, barisan



Menghitung,



representasi data, interpretasi data.



Data



dan deret,



mean, median, modus,



dan



Pengukuran Rekreasi Matematika



Mathematics hands on, teka-teki, mathematics games, dll.



4. TUJUAN Beberapa tujuan diselenggarakannya kompetisi OSN SD adalah sebagai berikut: 1. Memberikan wadah bagi siswa-siswa SD sederajat untuk dapat mengembangkan bakat di bidang sains dan Matematika 2. Menjadikan peserta OSN SD sederajat menjadi lebih terampil dan kreatif, mampu memecahkan permasalahan-permasalahan matematika dalam kehidupan seharihari dan mampu mengembangkan aspek kepribadiannya 3. Memberikan motivasi siswa-siswa SD untuk selalu improve kemampuan intelektual dan emosional 4. Menjadikan peserta mampu mengaplikasikan matematika ke dalam permasalahan-permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari 5. Memberikan motivasi bagi pendidik untuk selalu melakukan improvisasi dalam kegiatan belajar mengajar 6. Memberikan dorongan kepada institusi untuk lebih meningkatkan kualitas penyelenggaraan pendidikan



5. PERSYARATAN PESERTA Berikut ini merupakan persyaratan yang harus dipenuhi oleh peserta OSN SN 1. 2.



3.



Peserta merupakan Warga Negara Indonesia (WNI) Peserta adalah peserta didik SD/MI dan atau sederajat baik negeri maupun swasta yang telah lolos seleksi tingkat provinsi yang dibuktikan dengan SK Direktur Pembinaan Sekolah Dasar Peserta belum pernah meraih medali emas, perak, perunggu pada OSN di tahuntahun sebelumnya. 5



4.



Peserta belum pernah meraih medali emas, perak, perunggu pada IMC (International Mathematics Competition) di tahun-tahun sebelumnya.



6. SKEMA DAN PROSEDUR 6.1. Seleksi Tingkat Kecamatan 1. Seleksi dilaksanakan oleh koordinator wilayah kecamatan/UPTD/satuan pelayanan yang menangani bidang pendidikan pada tingkat kecamatan. 2. Peserta seleksi tingkat kecamatan adalah peserta didik kelas IV atau V SD dan atau yang sederajat dengan usia maksimal 13 tahun pada tanggal pendaftaran dan memenuhi persyaratan yang telah di sampaikan dalam bagian % di atas. 3. Seleks tingkat kecamatan menentukan masing-masing 3 (tiga) orang peserta didik terbaik untuk dikirim pada seleksi OSN tingkat kabupaten/kota. 4. Membuat surat keputusan pemenang yang ditandatangani: a. Kepala UPTD, atau b. Koordinator wilayah kecamatan/satuan pelayanan yang menangani bidang pendidikan pada tingkat kecamatan dan diketahui oleh camat setempat, apabila satuan pelayanan UPTD tidak ada di daerah tersebut. Surat keputusan tersebut dikirimkan kepada kepala dinas pendidikan kabupaten/kota



6.2. Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota 1. Selekseksi tingkat Kabupaten/Kota dilaksanakan serenatak pada bulan Februari setiap tahunnya. 2. Peserta seleksi tingkat Kabupaten adalah wakil dari hasil seleksi tingkat Kecamatan 3. Peserta seleksi tingkat Kabupaten/Kota adalah peserta didik SD dan atau yang sederajat yang masih duduk di bangku kelas IV atau V dengan usia maksimal 13 tahun dan memenuhi persyaratan yang disebutkan dalam poin 5 di atas. 4. Peserta seleksi tingkat Kabupaten/Kota adalah 3 (tiga) orang peserta terbaik di bidang Matematika hasil tingkat Kecamatan yang ditunjukkan dengan surat keputusan pemenang yang telah ditetapkan oleh ditandatangani oleh pejabat terkait. 5. Kegiatan seleksi OSN SD tingkat Kabupaten atau tingkat kota dilaksanakan oleh dinas pendidikan kabupaten/kota dengan menggunakan naskah soal seleksi yang disusun oleh tim pusat yang ditunjuk oleh Kementerian Pend idikan dan Kebudayaan. 6



6.3. Seleksi Tingkat Provinsi 1. Ketentuan seleksi tiingkat Provinsi adalah sebagai berikut: 2. Peserta seleksi tingkat provinsi adalah peserta didik SD dan atau yang sederajat baik negeri maupun swasta yang masih duduk di kelas IV atau V dengan usia maksimal 13 tahun dan memenuhi persyaratan yang telah disebutkan dalam sub bab poin 5. 3. Transportasi dan akomodasi peserta menuju Ibu Kota Provinsi dibebankan kepada APBD Kabupaten/Kota atau APBD Provinsi 4. Kepala dinas pendidikan Provinsi membentuk panitia seleksi OSN SD tingkat Provinsi dengan tugas sebagai berikut. a. Melakukan koordinasi dan kerjasama dengan panitia seleksi tingkat Kabupaten/Kota dan panitia pusat. b. Menetapkan dan menyiapkan tempat penyelenggaraan seleksi tingkat Provinsi c. Membentuk tin Pembina tingkat Provinsi yang berasal dari Perguruan Tinggi, LPMP, pengawas atau Guru untuk pembinaan peserta OSN tingkat nasional.



7. TEKNIS PELAKSANAAN 1. Peserta dan pembina akan diikutsertakan dalam technical meeting yang diselenggarakan sebelum hari H. Technical meeting ini membahas mengenai petunjuk teknis pelaksanaan OSN SD. 2. Tes dilaksanakan selama 2 hari. Hari pertama menyelesaikan 25 soal isian singkat dan 13 soal uraian. Hari kedua menyelesaikan 6 soal eksplorasi. 40% soal dituliskan dalam bahasa inggris. Nilai maksimal 1 soal isian singkat adalah 1, 1 soal uraian adalah 3 dan 1 soal eksplorasi adalah 6. 3. Skema penilaian disusun oleh tim juri dan didiskusikan dengan seluruh Pembina Provinsi. 4. Jawaban peserta digandakan 1 rangkap. Asli untuk tim juri dan diserahkan kepada panitia setelah dinilai dan satu salinan untuk tim Pembina. 5. Tim juri dan Pembina melakukan penilaian hasil jawaban peserta OSN dengan skema penialian yang sudah didiskusikan dan ditentukan. 6. Pembina bidang matematika diberikan kesempatan untuk menanggapi penilaian tim juri dalam forum moderasi. Tanggapan terhadap jawaban didasarkan pada kaidah keilmuan yang ada dan lazim digunakan dalam forum-forum ilmiah. Tanggapan di luar forum ini tidak akan diperhatikan dan tidak mempengaruhui penilaian. Peserta moderasi adalah seorang Pembina bidang matematika. 7



MATERI DAN STRATEGI PENYELESAIAN SOAL



BAB II



Materi KSN (Kompetisi Sains Nasional) Matematika Tingkat SD adalah sebagai barikut:



1. BILANGAN 1.1 Operasi Bilangan



A. Macam-macam Bilangan 1. Bilangan Asli Himpunan bilangan asli: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … }. Garis bilangan asli:



−2



−1



0



1



2



3



4



5



6



Gambar 1.1 Garis Bilangan Asli



2. Bilangan Cacah Himpunan bilangan cacah: ℕ0 = {1, 2, 3, 4, 5, … } Garis bilangan cacah:



−3



−2



−1



0



1



2



3



4



5



Gambar 1.2 Garis Bilangan Cacah



8



3. Bilangan Prima Bilangan prima yaitu bilangan asli yang mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . ., dan sebagainya.



4. Bilangan Bulat Himpunan bilangan bulat: ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } Garis bilangan bulat:



−3



−2



−1



0



1



2



3



4



5



Gambar 1.3 Garis Bilangan Bulat



5. Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk pembagian dengan a dan b bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0. Contoh: 0=



0 1



=



0 2



= ⋯ , 0,5 =



5 10



=



1 2



1



2



2



4



, 1 = 1 = 2 = ⋯ , 2 = 1 = 2 = ⋯, dan



sebagainya.



B. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat Sifat operasi hitung pada bilangan bulat adalah sebagai berikut: 1. Sifat assosiatif untuk penjumlahan dan perkalian: a. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) b. (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) 2. Sifat komutatif untuk penjumlahan dan perkalian: a. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 b. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 3. Unsur identitas terhadap penjumlahan dan perkalian: a. 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 b. 𝑎(1) = (1)𝑎 = 𝑎 9



4. Unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian: a. 𝑎 + (−𝑎) = 0 1



1



b. Untuk setiap 𝑎 di 𝑅 yang tak nol terhadap 𝑎 di R maka: 𝑎 . 𝑎 = 1. 5. Sifat distributif: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 C. Bilangan Pecahan Bilangan pecahan yaitu bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut yang keduanya merupakan bilangan bulat, penyebutnya tidak sama dengan nol dan bukan merupakan faktor dari pembilang. 1 1 3



Contoh: 5 , 2 , 5 , …, dan sebagainya. Jenis-jenis pecahan, yaitu: 1. Pecahan biasa 1 1 13



Contoh: 3 , 2 ,



4



, …, dan sebagainya



2. Pecahan murni 1 1 3



Contoh: , , , …, dan sebagainya 3 2 2



3. Pecahan campuran 2



1



2



Contoh: 4 3 , 2 2 , 7 5 , …, dan sebagainya 4. Pecahan desimal Contoh: 0,25; 0,5; 0,77; 1,13; 2,35; … ; dan sebagainya 5. Persen atau per seratus Contoh: 15%, 20%, 50%, …, dan sebagainya 6. Permil atau per seribu Contoh: 7‰, 20‰, 600‰, ..., dan sebagainya



D. Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan Berikut operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan pecahan: 1. 2. 3. 4.



𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎



+ + −



− 𝑐



𝑏 𝑐 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏



= = =



= 𝑑



𝑎+𝑏 𝑐



, dengan 𝑐 ≠ 0



𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑐 ×𝑑 𝑎−𝑏 𝑐



, dengan 𝑐, 𝑑 ≠ 0



, dengan 𝑐 ≠ 0



𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑐 ×𝑑



, dengan 𝑐, 𝑑 ≠ 0 10



5. 6.



𝑎



𝑏



× 𝑐



= 𝑑



𝑎 𝑏



: 𝑐



= 𝑑



𝑎 ×𝑏 𝑐 ×𝑑



𝑎 ×𝑑 𝑏×𝑐



, dengan 𝑐, 𝑑 ≠ 0



, dengan 𝑏, 𝑐, 𝑑 ≠ 0



1.2 Bentuk Pangkat Dan Akar A. Bentuk Pangkat Diberikan a bilangan nyata (real) dan n bilangan bulat positif lebih besar dari 1, maka nilai 𝑎𝑛 adalah hasil kali a sebanyak n faktor. 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎



n faktor Misalkan 𝑎 ≠ 0, maka nilai 𝑎−𝑛 adalah: 𝑎−𝑛 =



1 𝑎𝑛



Sifat-sifat bilangan berpangkat Diberikan a,b bilangan nyata (real) dan x,y bilangan bulat, maka berlaku hubungan: 1. 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 2.



𝑎𝑥 𝑎𝑦



= 𝑎 𝑥−𝑦



𝑎 𝑥



1



6. 𝑎−𝑥 =



3. (𝑎 × 𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 × 𝑏 𝑥 4. (𝑏) =



5. (𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥𝑦



7. 𝑎0 = 1 𝑥



𝑎𝑥



𝑎𝑥



𝑦



8. 𝑎𝑦 = √𝑎 𝑥



𝑏𝑥



B. Notasi Ilmiah Diberikan suatu bilangan bulat n, notasi ilmiah suatu bilangan dinyatakan dengan 𝑎 × 10𝑛 dengan 1 ≤ 𝑎 ≤ 10.



C. Bentuk Akar 1. Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk 𝑎



pembagian 𝑏 dengan a dan b bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0. 2. Bilangan Irasional



11



Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai 𝑎



bentuk pembagian 𝑏 dengan a dan b bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0. 3. Bentuk Akar Bentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah tanda akar yang apabila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional. Misalkan a,b,c bilangan nyara (real) dan p,q bilangan asli, maka berlaku hubungan: 𝑝



𝑝



𝑞



a. 𝑎 𝑞 = √𝑎𝑝 𝑞



d. 𝑞



𝑞



b. 𝑏 √𝑎𝑝 ± 𝑐 √𝑎𝑝 = (𝑏 ± 𝑐) √𝑎𝑝 𝑝



𝑝



√𝑎



𝑝



√𝑏



𝑝



𝑝



𝑎



= √𝑏



𝑞 e. √ √𝑎 =



𝑝𝑞



√𝑎



𝑝



c. √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏



1.3 Faktor Dan Kelipatan A. Faktor dan Kelipatan Bilangan 1. Faktor Bilangan Faktor bilangan adalah bilangan-bilangan yang membagi habis bilangan lainnya, yaitu bersisa 0. Contoh: 9 1 9 3 9 9



= 9, 𝑠𝑖𝑠𝑎 0 = 3, 𝑠𝑖𝑠𝑎 0



Faktor dari 9 adalah 1, 3, dan 9.



= 1, 𝑠𝑖𝑠𝑎 0



2. Kelipatan Bilangan Kelipatan bilangan adalahn bilangan-bilangan yang merupakan hasil kali bilangan tersebut dengan bilangan asli. Contoh: Kelipatan 2 = 2 × 1, 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4, 2 × … = 2, 4, 6, 8, ….



12



B. Kelipatan Persekutuan dan Kelipatan Persekutuan Terkecil 1. Kelipatan Persekutuan (KP) Kelipatan Persekutuan (KP) dari bilangan-bilangan adalah kelipatan dari bilangan-bilangan tersebut yang mempunyai nilai sama. Contoh: Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, … KP dari 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, . .. Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, …



2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan adalah bilangan terkecil dari kelipatan bilangan-bilangan tersebut. Contoh: Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, … KP dari 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, . .. Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, … Bilangan terkecil dari KP adalah 6, maka KPK (2,3) = 6.



C. Faktor Persekutuan dan Faktor Persekutuan Terbesar 1. Faktor Persekutuan (FP) Faktor Persekutuan (FP) dari bilangan-bilangan adalah faktor dari bilangan-bilangan tersebut yang mempunyai nilai sama. Contoh: Faktor 4 = 1, 2, 4 FP dari 4 dan 6 adalah 1 dan 2. Faktor 6 = 1, 2, 3, 6



2. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari bilangan-bilangan adalah bilangan terbesar dari faktor bilangan-bilangan tersebut. Contoh:



13



Faktor 4 = 1, 2, 4 FP dari 4 dan 6 adalah 1 dan 2. Faktor 6 = 1, 2, 3, 6 Nilai terbesar dari FB adalah 2, maka FPB (2, 6) = 2.



D. KPK dan FPB Bentuk Aljabar 1. KPK Bentuk Aljabar KPK dapat ditentukan dengan faktorisasi prima. Jika terdapat faktor prima yang sama, maka dipilih yang terbesar. Contoh: KPK dari 4𝑥 2 , 6𝑥𝑦, dan 8𝑥 3 𝑦 3 . 𝑥 2 = 22 × 𝑥 2 6𝑥𝑦 = 2 × 3 × 𝑥 × 𝑦 8𝑥 3 𝑦 3 = 23 × 𝑥 3 × 𝑦 3 KPK = 23 × 3 × 𝑥 3 × 𝑦 3 = 24𝑥 3 𝑦 3



2. FPB Bentuk Aljabar FPB dapat dibentuk dengan menuliskan faktor prima yang memiliki semua bilangan dan dipilih faktor berderajat terkecil. Contoh: FPB dari 4𝑥 2 , 6𝑥𝑦, dan 8𝑥 3 𝑦 3 . 𝑥 2 = 22 × 𝑥 2 6𝑥𝑦 = 2 × 3 × 𝑥 × 𝑦 8𝑥 3 𝑦 3 = 23 × 𝑥 3 × 𝑦 3 FPB = 2𝑥



1.4 Pembagian Bersisa Pengertian Keterbagian Misalkan a dan b merupakan bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0 , maka akan terdapat m dan n bilangan bulat sehingga: 𝑎 = 𝑏𝑚 + 𝑛 dan 0 ≤ 𝑛 < |𝑏|. Jika n=0 maka b dikatakan membagi habis a dan biasa ditulis 𝑏 | 𝑎 maka b disebut faktor dari a,



14



sebalikna jika 𝑛 ≠ 0 maka b dikatakan tidak membagi habis a dan biasa ditulis 𝑏 ∤ 𝑎. Contoh: 1) 5 | 20 karena 20 = 5 𝑥 4 2) 3 ∤23 karena 23 = 3 𝑥 7 + 2 Sifat-sifat keterbagian: 1) Jika 𝑎 | 1 maka 𝑎 = ± 1 2) Jika 𝑎 | 𝑏 dan 𝑏 | 𝑐 maka 𝑎 | 𝑐 3) Jika 𝑎 | 𝑏 maka 𝑎 | 𝑏𝑐, untuk setiap c bilangan bulat 4) Jika 𝑐 | 𝑎 dan 𝑐 | 𝑏 maka 𝑐 | (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦), untuk setiap bilangan bulat x dan y 5) 𝑎 | 𝑏 dan 𝑏 | 𝑎 jika dan hanya jika 𝑎 = ± 𝑏 6) Jika 𝑚 ≠ 0 , maka 𝑎 | 𝑏 jika dan hanya jika 𝑚𝑎 | 𝑚𝑏 7) Jika 𝑎 | 𝑏 dan 𝑏 ≠ 0, maka |𝑎| ≤ |𝑏|.



CONTOH SOAL 1. Diketahui (𝑎 # 𝑏) menyatakan operasi (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 − 𝑏). Hasil dari 10 # (5 # 4) dengan operasi diatas adalah . . . (OSK – Isian singkat) Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal diatas kita analisis terlebih dahulu apa yang diketahui dan ditanyakan. Diketahui (𝑎 # 𝑏) menyatakan operasi (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 − 𝑏). Ditanya 10 # (5 # 4) Jawab: Kita uraikan/kerjakan mulai dari yang didalam kurung 10 # (5 # 4) = 10 # [(5 + 4) × (5 − 4)] = 10 # (9 × 1) = 10 # 9 = (10 + 9) × (10 − 9) = 19 × 1 = 19 Jadi, jawabannya adalah 19



15



2. Jika a adalah hasil penjumlahan 5 bilangan prima pertama dan b adalah hasil penjumlahan faktor-faktor prima dari 12, berapa selisih dari a dan b? (OSN – Isian Singkat) Penyelesaian: Diketahui: -



a adalah hasil penjumlahan 5 bilangan prima pertama Bilangan prima pertama 2, 3, 5, 7, 11, maka a = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28



-



b adalah hasil penjumlahan faktor-faktor prima dari 12 faktor dari 12 = (1,2,3,4,6,12) faktor prima dari 12 = (2,3), maka b=2+3=5



Ditanya: selisih a dan b Jawab: a - b = 28 – 5 = 23 Jadi, jawabannya adalah 23



3. Gunakan keempat angka 1, 3, 6, dan 9 untuk membuat sebuah bilangan 4 angka sesuai petunjuk berikut: •



Angka 3 bukan angka ribuan



•



Angka 1 terletak tepat diantara 3 dan 9



•



Angka 9 terletak diantara 1 dan 6 -



-



-



-



Tentukan bilangan yang dimaksud! (OSN – Isian Singkat) Penyelesaian: Petunjuk pegisian keempat angka 1, 3, 6, dan 9 untuk membuat sebuah bilangan 4 angka adalah sebagai berikut: •



Angka 3 bukan angka ribuan, maka kemungkinan yang ada 3



Kemungkinan 1 3



Kemungkinan 2 3



Kemungkinan 3



16



•



Angka 1 terletak tepat diantara 3 dan 9, , maka kemungkinan yang ada



9 •



3



1



1



3



9



1



9



3



Angka 9 terletak diantara 1 dan 6, maka kemungkinan yang tepat 6



9



1



3



Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 6



9



1



3



4. Pak Amir memiliki lima kotak besar. Dalam tiap kotak besar tersebut terdapat empat kotak berukuran sedang. Dalam tiap kotak berukuran sedang terdapat enam kotak kecil. Berapa jumlah kotak keseluruhan yang dimiliki pak Amir? (OSN Uraian) Penyelesaian: Banyaknya kotak besar ada 5 Banyaknya kotak sedang ada 4 x 5 = 20 Banyaknya kotak kecil ada 6 x 20 = 120 Banyak kotak keseluruhan 5 + 20 + 120 = 145 Jadi, jumlah kotak keseluruhan yang dimiliki pak Amir ada 145 kotak



5. Pak Lurah menerima sumbangan bahan makanan untuk disampaikan kepada warga yang membutuhkan. Bahan makanan tersebut adalah sebagai berikut: a) 250 bungkus mie b) 150 gula pasir c) 300 bungkus ikan kering Tiap kepala keluarga penerima sumbangan harus memperoleh masing-masing bahan makanan dalam jumlah yang sama. Jika pak Lurah menginginkan agar penerima sumbangan sebanyak mungkin, berapa keluarga yang dapat memperoleh bantuan? (OSN-Uraian) Penyelesaian: Agar tiap kepala keluarga penerima sumbangan harus memperoleh masingmasing bahan makanan dalam jumlah yang sama, maka banyaknya kepala



17



keluarga penerima bantuan dapat ditentukan menggunakan FPB (menggunakan faktorisasi), yaitu



Faktor 250 = 1,2,5,10,25,50,125,250 Faktor 150 = 1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150 Faktor 300 = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,25,30,50,60,75,100,150,300 FPB (250, 150, 300) = 50 Jadi, kepala keluarga yang dapat memperoleh bantuan adalah 50.



LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan pecahan berikut! 11 − 12 + 13 − 14 + ⋯ − 24 + 25 − 26 + 27 18 − 17 + 16 − ⋯ − 13 + 12 − 11 (OSN-Isian Singkat) 2. Bilangan riil a, b, dan c memenuhi −5 ≤ 𝑎 ≤ 4, −8 ≤ 𝑏 ≤ 6, 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏. Nilai yang terbesar adalah . . . (OSK-Isian Singkat) 3. Saya mempunyai empat buah bilangan asli yang berbeda. Hasil kali tiga bilangan pertama adalah 1200, sedangkan umlah ketiga bilangan pertama adala 10 kurangnya dari bilangan keempat. Dari semua kemungkinan susunan empat bilangan tersebut, bilangan keempat terbesar adalah . . . (OSN-Isian Singkat) 4. Aku dilahirkan antara tahun 1900 dan 2000. Bila tahun kelahiranku dibagi 6, 8, atau 9 selalu bersisa 1. Aku dilahirkan pada tahun . . . (OSN-Isian Singkat) 5. Ibu Vira memiliki 40 permen rasa mangga, 30 permen rasa melon, dan 50 permen rasa jeruk. Apabila permen-permen tersebut akan dibagikan kepada sebanyak mungkin murid-muridnya dengan masing-masing anak mendapatkan bagian rasa yang sama banyak, maka banyaknya permen rasa melon yang diberikan kepada setiap murid-muridnya adalah . . . (OSN-Isian Singkat) 6. Berapa banyak bilangan empat angka abcd yang memenuhi ketiga syarat berikut: •



Semua angka a,b,c dan d berbeda



•



Kedua bilangan abcd dan cdba kelipatan 4



•



Hasil operasi (abcd + 2 x cdba) adalah bilangan 4 angka



(OSN-Uraian)



18



7. Ali, Beni, dan Cepi masing-masing memilih satu bilangan positif. Mereka lalu membandingkan bilangan yang mereka pilih sepasang-sepasang. Ada tiga rasio yang mereka dapatkan, ketiganya lebih kecil dari 1. Dua rasio 2



5



adalah 5 dan 7, sedangkan rasio ketiga adalah R. Nilai R terbesar yang mungkin adalah . . . (OSN-Uraian) 8. Suatu tim dokter ahli bedah dapat melakukan operasi pada pasiennya dengan keberhasilan 65%. Bila operasi pertama gagal, tim dokter tersebut melakukan operasi kedua tetapi dengan keberhasian 20%. Setelah operasi kedua, maka tidak ada pasien yang dapat diselamatkan lagi. Berapakah banyak pasien yang dapat diselamatkan dari setiap 100 orang pasien yang dioperasi? (OSN-Uraian) 9. Berapa banyakkah bilangan prima 2 angka yang hasil jumlah kedua angkanya juga bilangan prima? (OSN-Uraian) 10. Sebanyak 500 susunan kotak ditata dalam satu baris. Setiap susunan terdiri dari 2 kotak, seperti tampak pada gambar.



Kotak-kotak bagian atas yang bernomor kelipatan 7 diberi warna merah. Kotakkotak pada bagian bawah yang bernomor kelipatan 9 uga diberi warna merah. Banyaknya susunan yang kedua kotak-kotak berwarna merah adalah . . . (OSNUraian)



2. GEOMETRI 2.1 Garis Dan Sudut A. Pengertian Titik, Garis, dan Bidang 1. Pengertian Titik, Garis, dan Bidang



19



Titik adalah suatu noktah yang ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai besaran. Titik biasanya dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan sebagainya. B A



Gambar 2.1 Titik A dan B



Garis merupakan himpunan titik-titik yang banyaknya tidak terbatas. Sebuah garis dinotasikan dengan huruf kecil, misalkan garis m, garis n, dan sebagainya. Ruas garis dinotasikan dengan menyebutkan kedua titik ujung pada garis tersebut, misalkan ruas garis AB, dan sebagainya. B



g A Gambar 2.2 Ruas Garis AB dan Garis g



Bidang merupakan himpunan titik-titik yang mempunyai ukuran panjang dan lebar, sehingga bidang dikatakan berdimensi dua. Bidang dinotasikan dengan 𝛼, 𝛽, 𝛾 atau titik-titik pada sudut bidang, misalkan bidang 𝛼, bidang ABCD, dan sebagainya. C



D



𝛼 A B Gambar 2.3 Bidang 𝛼 dan ABCD



20



2. Kedudukan Titik terhadap Garis Kedudukan titik terhadap garis ada dua macam, yaitu titik terletak pada garis dan titik terletak di luar garis.



a. Titik Terletak Pada Garis Titik terletak pada garis jika titik tersebut dilalui ole garis.



P h Gambar 2.4 Titik P terletak pada garis h



b. Titik Terletak di Luar Garis Titik terletak di luar garis jika titik tersebut tidak dilalui oleh garis. A m Gambar 2.5 Titik A terletak diluar garis m



3. Kedudukan Titik terhadap Bidang Kedudukan titik terhadap bidang ada dua macam, yaitu titik terletak pada bidang dan titik terletak di luar bidang a. Titik Terletak pada Bidang Titik terletak pada bidang jika titik tersebut dilalui oleh bidang.



P



𝛼 Gambar 2.6 Titik P terletak pada bidang 𝛼



21



b. TitikTterletak di Luar Bidang Titik terletak di luar bidang jika titik tersebut tidak dilalui oleh bidang.



P



𝛼



Gambar 2.7 Titik P terletak diluar bidang 𝛼



4. Kedudukan Garis terrhadap Garis Kedudukan garis terhadap garis ada beberapa kemungkinan, yaitu dua garis sejajar, berpotongan, dan bersilangan. a. Dua Garis Sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis tidak memiliki titik persekutuan.



m n 𝛼 Gambar 2.8 Dua Garis Sejajar



b. Dua Garis Berpotongan Dua garis dikatakan berpotongan jika kedua garis tersebut memiliki sebuah titik persekutuan atau titik potong



h g



𝛼 Gambar 2.9 Dua Garis Berpotongan



22



c. Dua Garis Bersilangan Dua garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tersebut terletak pada bidang yang berbeda dan tidak memiliki titik potong, tidak sejajar, dan tidak memiliki titik potong.



m



n



𝛼



Gambar 2.10 Dua Garis Bersilangan



5. Kedudukan Garis terhadap Bidang Kedudukan garis terhadap bidang ada beberapa kemungkinan, yaitu garis terletak pada bidang, garis sejajar dengan bidang, dan garis menembus bidang. a. Garis Terletak pada Bidang Garis dikatakan terletak pada bidang jika paling sedikit dua titik pada garis tersebut berada di bidang.



m 𝛼 Gambar 2.11 Garis terletak pada Bidang



23



b. Garis Sejajar dengan Bidang Garis dikatakan sejajar dengan bidang jika garis dan bidang tidak memiliki titik persekutuan.



𝛼 Gambar 2.12 Garis sejajar dengan Bidang



c. Garis Menembus Bidang Garis dikatakan menembus bidang jika garis dan bidang hanya memiliki satu titik persekutuan dan titik persekutuan tersebut merupakan titik potong atau titik tembus. m



𝛼



Gambar 2.13 Garis menembus bidang



6. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Kedudukan bidang terhadap bidang ada tiga kemungkinan, yaitu dua bidang sejajar, berpotongan, dan berimpit.



24



a. Dua bidang sejajar Dua bidang dikatakan sejajar jika kedua bidang tidak memiliki titik persekutuan .



Gambar 2.14 Dua Bidang Sejajar



b. Dua bidang perpotongan Dua bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang memiliki tepat titik persekutuan yang disebut garis potong.



Gambar 2.15 Dua Bidang Berpotongan



c. Dua bidang berimpit Dua bidang dikatakan berimpit jika kedua bidang tidak memiliki daerah persekutuan.



Gambar 2.16 Dua Bidang Berhimpit



25



B. Jarak pada Bangun Ruang 1. Jarak antara dua titik Jarak antara dua titik keadaan panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik tersebut .



Gambar 2.17 Jarak Antara Dua Titik



2. Jarak antara titik dan garis Jarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis.



Gambar 2.18 Jarak Antara Titik dan Garis



3. Jarak antara titik dan bidang Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus yang menghubungkan titik tersebut dengan bidang.



26



Gambar 2.19 Jarak Antara Titik Dan Bidang



4. Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua garis tersebut .



Gambar 2.20 Jarak Antara Dua Garis Sejajar



5. Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah panjang garis yang tegak lurus terhadap garis dan bidang tersebut.



Gambar 2.21 Jarak Antara Garis Dan Bidang Yang Saling Sejajar



27



6. Jarak antara dua bidang Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut .



Gambar 2.22 Jarak Antara Dua Bidang Yang Sejajar



C. Sudut 1. Pengertian sudut Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah garis lurus. Sudut dinotasikan dengan "∠", ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐵𝐴 = ∠𝐵 = sudut.



Gambar 2.23 Sudut



2. Jenis-jenis sudut berdasarkan besar sudut a. Sudut lancip Sudut yang besarnya antara 0º dan 90 º



28



Gambar 2.24 Sudut Lancip



b. Sudut siku-siku Sudut yang besarnya tepat 90º



Gambar 2.25 Sudut Siku-Siku



c. Sudut tumpul Sudut yang besarnya antara 90º dan 180º



Gambar 2.26 Sudut Tumpul



29



d. Sudut lurus Sudut yang besarnya tepat 180º



Gambar 2.27 Sudut Lurus



e. Sudut refleks Sudut yang besarnya antara 180 º dan 360 º



Gambar 2.28 Sudut Refleks



3. Hubungan antara sudut a. Dua sudut yang saling berpenyiku Dua sudut berpenyiku jika jumlah kedua sudut tersebut 90 º. ∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝐶 = 90 º



Gambar 2.29 Sudut Saling Berpenyiku



30



b. Dua sudut yang saling berpelurus Dua sudut berpelurus jika jumlah kedua sudut tersebut 180 º ∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝐶 = 180 º



Gambar 2.30 Sudut Saling Berpelurus



c. Dua sudut yang saling bertolak belakang Dua sudut bertolak belakang jika kedua sudut tersebut sama besar dan dan saling membelakangi. ∠𝐴𝑂𝐶 − ∠𝐵𝑂𝐶



Gambar 2.31 Sudut Saling Bertolak Belakang



4. Satuan sudut Berikut beberapa satuan sudut: 1 derajat = 60 menit, dapat ditulis 1 º = 60’ 1 menit = 60 detik, dapat ditulis 1 menit = 60” 1 derajat = 3600 detik, dapat ditulis 1 º = 3600”.



5. Hubungan Antarsudut pada Dua Garis Sejajar yang Dipotong Oleh Garis Dua garis A dan B yang saling sejajar yang dipotong oleh garis l 31



Gambar 2.32 Dua Garis Sejajar Yang Dipotong Oleh Garis



a. Sudut-sudut sehadap ∠𝐴1 sehadap dengan ∠𝐵1 , ∠𝐴1 = ∠𝐵1 ∠𝐴2 sehadap dengan ∠𝐵2 , ∠𝐴2 = ∠𝐵2 ∠𝐴3 sehadap dengan ∠𝐵3 , ∠𝐴3 = ∠𝐵3 ∠𝐴4 sehadap dengan ∠𝐵4 , ∠𝐴4 = ∠𝐵4 b. Sudut-sudut berseberangan ∠𝐴1 luar berseberangan dengan ∠𝐵4 , ∠𝐴1 = ∠𝐵4 ∠𝐴2 luar berseberangan dengan ∠𝐵3 , ∠𝐴2 = ∠𝐵3 ∠𝐴3 dalam berseberangan dengan ∠𝐵2 , ∠𝐴3 = ∠𝐵2 ∠𝐴4 dalam berseberangan dengan ∠𝐵1 , ∠𝐴4 = ∠𝐵1 c. Sudut sepihak ∠𝐴1 luar sepihak dengan ∠𝐵3 , ∠𝐴1 + ∠𝐵3 = 180° ∠𝐴2 luar sepihak dengan ∠𝐵4 , ∠𝐴2 + ∠𝐵4 = 180° ∠𝐴3 dalam sepihak dengan ∠𝐵1 , ∠𝐴3 + ∠𝐵1 = 180° ∠𝐴4 dalam sepihak dengan ∠𝐵2 , ∠𝐴4 + ∠𝐵2 = 180° D. Besar sudut pada bangun ruang 1. Sudut antara dua garis bersilangan Diberikan dua garis saling misalkan garis m dan n maka langkah-langkah untuk menentukan sudut yang dibentuk kedua garis tersebut adalah sebagai berikut: a. Membuat garis 𝑚’ yang sejajar dengan m b. Membuat garis 𝑛’ sejajar dengan garis n dan berpotongan dengan m’ 32



c. Besar sudut yang dibentuk m’ dan n’ merupakan besar sudut antara m dan n yang dinotasikan dengan ∠(𝑚, 𝑛) ≡ ∠(𝑚′ , 𝑛′ ) = 𝜃



Gambar 2.33 Sudut Antara Dua Garis Bersilangan



2. Sudut antara garis dan bidang Diberikan garis m dan bidang 𝛼, maka sudut yang dibentuk dapat ditentukan sebagai berikut: a. Garis m diperpanjang sehingga menembus bidang 𝛼 b. Garis m diproyeksikan pada bidang 𝛼 sehingga diperoleh m’ c. Sudut yang dibentuk antara garis m dan m’ merupakan garis m dan bidang 𝛼.



Gambar 2.34 Sudut Antara Garsi Dan Bidang



33



3. Sudut antara dua bidang Diberikan dua bidang, misalkan bidang 𝛼 dan 𝛽 maka sudut yang dibentuk kedua bidang tersebut dapat ditentukan sebagai berikut: a. Menentukan titik, misakan titik P adalah garis potong kedua bidang b. Membuat garis pada bidang 𝛼 yang melalui titik P dan tegak lurus dengan garis potong kedua bidang tersebut, misalkan garis m c. Membuat garis pada bidang 𝛽 yang melalui titik P dan tegak lurus dengan garis potong kedua bidang tersebut, misalkan garis n d. Sudut yang dibentuk garis m dan n merupakan sudut antara dua bidang yang dinotasikan dengan ∠(𝛼, 𝛽) = 𝜃.



Gambar 2.35 Sudut Antara Dua Bidang



2.2 Bangun Datar Dan Teorema Pythagoras A. Pengertian Segitiga Segitiga adalah bangun yang dibentuk oleh tiga ruas garis dan mempunyai tiga titik sudut.



Gambar 2.36 Segitiga Sembarang 34



Jumlah sudut suatu segitiga sama dengan 180 º, dapat dituliskan ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°



B. Jenis-jenis segitiga 1. Jenis segitiga ditinjau dari sudut-sudutnya a. Segitiga lancip yaitu segitiga yang sudut-sudutnya kurang dari 90 º b. Segitiga siku-siku yaitu segitiga yang salah satu sudutnya 90 º c. Segitiga tumpul yaitu segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 90° 2. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sis-sisinya a. Segitiga sama sisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya mempunyai panjang yang sama b. Segitiga sama kaki yaitu segitiga yang mempunyai dua sisi yang sama panjang c. Segitiga sembarang yaitu segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang



C. Keliling dan Luas segitiga Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c serta mempunyai tinggi t.



Gambar 2.37 Segitiga Sembarang Dengan Tinggi t Keliling ∆𝐴𝐵𝐶 yaitu 𝐾 =𝑎+𝑏+𝑐



35



Luas ∆𝐴𝐵𝐶 yaitu 𝐿=



1 .𝑎 .𝑡 2



Heron’s Formula, misalkan a, b, dan c berturut-turut merupakan panjang sisi dihadapan sudut sudut A, B, dan C pada segitiga sembarang ABC dan 𝑠 = 1 2



(𝑎 + 𝑏 + 𝑐), maka luas segitiga sebarang ABC adalah sebagai berikut: 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)



D. Rumus segitiga sama sisi



Gambar 2.38 Segitiga Sama Sisi Rumus segitiga sama sisi ABC yang panjang sisinya a yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal dimensi tiga antara lain sebagai berikut: 1. 𝐴𝐸 = 𝐵𝐹 = 𝐶𝐷 = 2. 𝐴𝑂 = 𝐵0 = 𝐶0 = 3. 𝐷𝑂 = 𝐸𝑂 = 𝐹𝑂 =



1 2 1 3 1 6



𝑎 √2 𝑎 √3 𝑎 √3



4. 𝐸𝐹 ∶ 𝐴𝐵 = 2 ∶ 3 5. 𝐸𝑂 ∶ 𝐴𝐸 = 𝐹𝑂 ∶ 𝐵𝐹 = 𝐷𝑂 ∶ 𝐶𝐷 = 1 ∶ 3 6. 𝐴𝑂: 𝐴𝐸 = 𝐵𝑂: 𝐵𝐹 = 𝐶𝑂: 𝐶𝐷 = 2 ∶ 3 7. 𝐸𝑂: 𝐴𝑂 = 𝐹𝑂: 𝐵𝑂 = 𝐷𝑂: 𝐶𝑂 = 1 ∶ 3



E. Segiempat 1. Persegi Persegi adalah bangun datar segiempat yang sisi-sisinya sama panjang.



36



Gambar 2.39 Persegi



Misalkan panjang sisi persegi adalah s dan panjang diagonal d maka keliling dan luas persegi dapat dituliskan: Keliling: 𝐾 = 4 𝑠 = 2𝑑 √2 Luas: 𝐿 = 𝑠 × 𝑠 = 𝑠 2 =



1 2



𝑑2



2. Persegi Panjang Persegi panjang adalah bangun datar segi empat yang sisi-sisi berhadapan sama panjang dan sejajar serta sisi-sisi yang bersebelahan saling tegak lurus.



Gambar 2.40 Persegi Panjang



Misalkan persegi panjang mempunyai panjang p dan lebar l maka keliling dan luas persegi panjang dapat dituliskan: Keliling: 𝐾 = 2 (𝑝 + 𝑙) Luas: 𝐿 = 𝑃 × 𝑙



37



3. Belah Ketupat Belah Ketupat adalah bangun datar yang segi empat yang sisi-sisinya sama panjang dan sisi-sisi yang berhadapan saling sejajar serta sisi-sisi tidak saling tegak lurus.



Gambar 2.41 Belah Ketupat Misalkan panjang sisi belah ketupat adalah s, maka keliling dan luas belah ketupat dapat dituliskan: Keliling: 𝐾 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 = 4𝑠 Luas: 𝐿 =



1 2



× 𝑑1 × 𝑑2



4. Jajaran Genjang Jajaran genjang adalah bangun datar segi empat yang sisi-sisi berhadapan sama panjang dan sejajar serta sisi-sisi yang bersebelahan tidak saling tegak lurus.



Gambar 2.42 Jajaran Genjang Keliling dan luas jajaran genjang dapat dituliskan: 38



Keliling: 𝐾 = 2 (𝐴𝐵 + 𝐴𝐷) Luas: 𝐿 = 𝑎 × 𝑡



5. Layang-layang Layang-layang adalah bangun datar segi empat yang dibentuk dari dua buah segitiga sama kaki dengan alas yang berimpit dan sama panjang.



Gambar 2.43 Layang-Layang



Keliling dan luas saya dapat dituliskan: Keliling: 𝐾 = 2 (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶) Luas: 𝐿 =



1 2



× 𝑑1 × 𝑑2



6. Trapesium Trapesium adalah bangun datar segi empat yang sepasang sisinya saling sejajar.



Gambar 2.44 Trapesium



39



Keliling dan luas trapesium dapat dituliskan: Keliling: 𝐾 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 = Luas: 𝐿 =



1 2



× (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶) × 𝑡



7. Segi-n beraturan Segi-n beraturan adalah sebuah bangun datar yang mempunyai sisi sama panjang sebanyak n.



Segi-4 beraturan



Segi-5 beraturan



Segi-6 beraturan



Gambar 2.45 Segi-n Beraturan Luas segi n beraturan adalah 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑛 × 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 Sifat-sifat segi-n beraturan: 𝑛−2



•



Besar sudut dalam = (



•



Jumlah sudut dalam = (𝑛 − 2) × 180°



•



Besar sudut luar =



•



Jumlah sudut luar = 360º



𝑛



) × 180°



360° 𝑛



F. Kesebangunan dan Kekongruenan 1. Bangun-bangun yang sebangun dan kongruen a. Pengertian Kesebangunan Syarat dua bangun datar sebangun yaitu: •



Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut mempunyai perbandingan yang senilai (sebanding)



•



Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut sama besar



40



b. Pengertian Kekongruenan Bangun-bangun yang kongruen adalah bangun-bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. 2. Segitiga-segitiga yang sebangun a. Syarat dua segitiga yang sebangun Syarat dua segitiga yang sebangun, yaitu: •



Sisi yang bersesuaian sebanding, atau



•



Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar



b. Perbandingan ruas garis pada segitiga Perhatikan gambar berikut.



Gambar 2.46 Segitiga Sebangun



Pada gambar diatas, diketahui bahwa 𝐾𝑀//𝑁𝑂, maka : •



∆𝑁𝐿𝑂 = ∆𝐾𝐿𝑀 (berimpit)



•



∆𝑂𝑁𝐿 = ∆𝑀𝐾𝐿 (sehadap)



•



∆𝑁𝑂 = ∆𝐾𝑀𝐿 (sehadap)



Disimpulkan bahwa ∆𝑁𝐿𝑂 sebangun dengan ∆𝐾𝐿𝑀, sehingga: 𝑁𝐿 𝑂𝐿 𝑁𝑂 = = 𝐾𝐿 𝑀𝐿 𝐾𝑀 Berlaku perbandingan ruas garis pada segitiga



𝑢 𝑠



=



𝑛 𝑘



.



3. Dua segitiga yang kongruen a. Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat yaitu sudut-sudut yang seletak sama besar



41



b. Syarat dua segitiga kongruen antara lain: •



Tiga sisi yang bersesuaian sama panjang (S-S-S)



•



Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (S-Sd-S)



•



Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan Sisi yang berada diantaranya sama panjang (Sd-S-Sd)



•



Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan Sisi yang berada di hadapan sama panjang (Sd-Sd-S)



G. Teorema Pythagoras Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi-sisinya x, dan r dengan r merupakan panjang sisi miring.



Gambar 2.47 Segitiga Siku-siku Hubungan sisi-sisinya adalah: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2



2.3 Bangun Ruang A. Kubus Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah bidang sisi yang kongruen berbentuk persegi dan panjang semua rusuknya sama.



42



Gambar 2.48 Kubus Bagian-bagian kubus, yaitu: •



Memiliki 8 titik sudut kubus yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H



•



Memiliki 12 rusuk yaitu AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, GH, dan EH



•



Memiliki 6 Sisi yang berbentuk persegi yaitu ABCD, EFGH, ABFE, CDHG, BCGF, dan ADHE



Luas dan volume kubus Pada kubus dengan rusuk a, maka: Luas permukaan: 𝐿 = 6𝑎2 Volume: 𝑉 = 𝑎3 Rumus-rumus pada kubus: 1. Jumlah panjang rusuknya = 12𝑎 2. Panjang diagonal sisi = AC = BD = BG = CF = EG = FH = ED = AH = CH = DG = AF = BE = 𝑎√2 3. Panjang diagonal ruang = AG = BH = DF = EC = 𝑎√3 2



4. Jarak A ke CHF = 3 𝑎√3 1



5. Jarak A ke BDE = 3 𝑎√3 1



6. Jarak AF ke BG = 3 𝑎√3 1



7. Jarak BD ke CE = 6 𝑎√6 8. jarak bidang CHF dan BDG =



1 3



𝑎√3



1



9. Jarak A ke DF = 3 𝑎√6



43



𝐴𝐵𝐹𝐸 = bidang yang sejajar dengan bidang gambar, disebut bidang frontal 𝐴𝐵𝐶𝐷 = bidang yang tegak lurus dengan bidang gambar, disebut bidang ortogonal



Jaring-jaring kubus:



Gambar 2.49 Jaring-Jaring Kubus



B. Balok Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah persegi panjang yang terdiri dari tiga pasang persegi panjang yang kongruen.



Gambar 2.50 Balok Bagian-bagian balok yaitu: •



Memiliki 8 titik sudut kubus yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H



•



Memiliki 12 rusuk yaitu AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, dan EH 44



•



Memiliki 6 Sisi yang berbentuk persegi panjang yaitu ABCD, EFGH, ABFE, CDHG, BCGF, dan ADHE



Luas dan volume balok Luas Permukaan Balok: 𝐿 = 2 {(𝑝 × 𝑙) + (𝑝 × 𝑡) + (𝑙 × 𝑡)} Volume: 𝑉 = 𝑝 × 𝑙 × 𝑡 Panjang diagonal sisi depan = √𝑝2 + 𝑡 2 Panjang diagonal sisi samping = √𝑙 2 + 𝑡 2 Panjang diagonal sisi alas = √𝑝2 + 𝑙 2 Panjang diagonal sisi ruang = √𝑝2 + 𝑙 2 + 𝑡 2 Jaring-jaring balok



Gambar 2.51 Jaring-Jaring Balok



C. Prisma Prisma adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang segin sejajar dan dibatasi oleh sisi-sisi tegak yang berbentuk segiempat



1. Prisma segitiga



Jaring-jaring prisma segitiga



Gambar 2.52 Prisma Segitiga



Gambar 2.53 Jaring-Jaring Prisma Segitiga 45



2. Prisma segiempat Jaring-jaring prisma segiempat



Gambar 2.54 Prisma Segiempat



Gambar 2.55 Jaring-Jaring Prisma Segiempat



3. Prisma segilima Jaring-jaring prisma segilima



Gambar 2.56 Prisma Segilima



Gambar 2.57 Jaring-Jaring Prisma Segilima



Luas dan volume prisma Luas: 𝐿 = (2 × 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠) + 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ𝑎𝑛 Volume: 𝑉 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡



D. Limas Limas merupakan suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah alas berbentuk segi-n dan sisi samping berupa segitiga yang bertemu di satu titik.



46



Gambar 2.58 Limas Segiempat Luas dan volume limas Luas: 𝐿 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 + 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ𝑎𝑛 1



Volume: 𝑉 = × 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡 3



Jaring-jaring limas segiempat



Gambar 2.59 Jaring-Jaring Limas Segiempat



E. Tabung 1. Unsur-unsur tabung Gambar dibawah adalah sebuah tabung dengan jari-jari r. Luas garis AB disebut tinggi tabung (t). Sisi alas dan tutup masing-masing berbentuk lingkaran yang kongruen. Sisi lengkung tabung disebut selimut tabung. Bangun ruang tabung mempunyai tiga sisi yaitu sisi alas, sisi tutup dan sisi selimut



47



Gambar 2.60 Tabung



Gambar 2.61 Jaring-Jaring Tabung



2. Luas permukaan tabung Luas = luas selimut tabung + 2 x luas lingkaran 𝐿 = 2𝜋𝑟𝑡 + 2𝑝𝑟 2 = 2𝜋𝑟𝑡 (𝑡 + 𝑟) 3. Volume tabung Volume tabung = luas alas x tinggi 𝑉 = 𝑝𝑟 2 𝑡



F. Kerucut 1. Unsur-unsur kerucut Gambar dibawah adalah sebuah kerucut yang tingginya CO dan alasnya berupa lingkaran berpusat di titik O dan berjari-jari r. CA dan CB masingmasing merupakan contoh garis pelukis kerucut (s). Bangun ruang kerucut memiliki dua sisi yaitu sebuah alas yang berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung yang disebut selimut kerucut.



Gambar 2.62 Kerucut



Gambar 2.63 Jaring-Jaring Kerucut 48



2. Luas permukaan kerucut Luas = luas selimut kerucut + luas alas kerucut 𝐿 = 𝜋𝑟𝑠 + 𝜋𝑟 2 = 𝜋𝑟 (𝑠 + 𝑟) 3. Volume kerucut 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉=



1 3



1 3



× 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖



× 𝜋𝑟 2 × 𝑡



G. Bola 1. Unsur-unsur bola Gambar di bawah adalah bangun ruang bola. Permukaan bola atau kulit bola disebut juga bidang bola atau selimut bola. Titik O disebut titik pusat bola. Ruas garis yang melalui pusat bola dan berakhir pada bidang bola disebut jari-jari (OA = OB = OC = OD) . Ruas garis CD dan AB disebut diameter bola.



Gambar 2.64 Bola 2. Luas permukaan Bola 𝐿 = 4𝜋𝑟 2 Keterangan: L = luas permukaan bola V = volume bola r = jari-jari 𝜋 = 3,14 =



22 7



49



3. Volume Bola 𝑉=



4 3



𝜋 𝑟3



2.4 Teorema-Teorema Pada Segitiga Dan Lingkaran A. kesebangunan segitiga Dua buah segitiga dikatakan sebangun jika perbandingan sisi-sisinya sama dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.



Gambar 2.65 Dua Segitiga Sebangun



Dua buah segitiga dikatakan kongruen (sama dan sebangun) jika sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar



Gambar 2.66 Dua Segitiga Kongruen



50



Garis-garis istimewa pada segitiga a. Garis bagi Garis bagi adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga dan membagi sudut tersebut menjadi dua sama besar.



Gambar 2.67 Garis Bagi



b. Garis tinggi Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari salah satu titik-titik sudut segitiga dan memotong tegak lurus Sisi di depan sudut tersebut



Gambar 2.68 (a) Garis Tinggi Dalam (b) Garis Tinggi Luar



c. Garis sumbu Garis sumbu adalah garis yang melalui titik Tengah suatu sisi segitiga dan tegak lurus dengan sisi tersebut 51



Gambar 2.69 Garis Sumbu



d. Garis berat Garis berat adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga dan memotong pertengahan Sisi depan sudut tersebut



Gambar 2.70 Garis Berat



B. Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu yang dinamakan pusat lingkaran.



Gambar 2.71 Lingkaran 52



Luas dan Keliling Lingkaran Keliling: 𝐾 = 𝜋 × 𝑑 atau 𝐾 = 2 × 𝜋 × 𝑟 Luas: 𝐿 = 𝜋 × 𝑟 2 atau 𝐿 =



1 4



× 𝜋 × 𝑑2



CONTOH SOAL 1. Perhatikan garis tebal yang menyusuri permukaan balok berukuran 2 cm x 3 cm x 4 cm. Jika P adalah titik potong pertemuan diagonal bidang dan T adalah titik tengah sisi terpanjang maka panjang garis tebal tersebut adalah . . .



(OSP-Isian Singkat) Penyelesaian: Misalkan nama balok diatas adalah balok ABCD.EFGH



Diketahui: Ukuran balok ABCD.EFGH 2 cm x 3 cm x 4 cm Ditanya: panjang garis tebal = ...? Jawab: “Kunci: Cari masing-masing panjang garis tebal I-VII, lalu jumlahkan panjang garis tebal I-VII”



53



•



Panjang garis tebal I (TB) 1



𝑇𝐵 = •



2



1



× 𝐴𝐵 =



2



× 4 = 2 𝑐𝑚



Panjang garis tebal II (BG) Lihat segitiga BCG 𝐵𝐺 = √𝐵𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 = √32 + 22 = √9 + 4 = √13 𝑐𝑚



•



Panjang garis tebal III (GP) 𝐸𝐺 = √𝐸𝐹 2 + 𝐹𝐺 2 = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5 𝑐𝑚 𝐺𝑃 =



•



1 2



× 𝐸𝐺 =



1 2



× 5 = 2,5 𝑐𝑚



Panjang garis tebal IV (HP) 𝐻𝐹 = 𝐸𝐺 = 5 𝑐𝑚 𝐻𝑃 =



•



1 2



× 𝐻𝐹 =



1 2



× 5 = 2,5 𝑐𝑚



Panjang garis tebal V (HE) 𝐻𝐸 = 3 𝑐𝑚



•



Panjang garis tebal VI (ED) Lihat segitiga HED 𝐸𝐷 = √𝐻𝐸 2 + 𝐻𝐷2 = √32 + 22 = √9 + 4 = √13 𝑐𝑚



•



Panjang garis tebal VII 𝐴𝐷 = 3 𝑐𝑚 Panjang total garis tebal = 𝐼 + 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 + 𝐼𝑉 + 𝑉 + 𝑉𝐼 + 𝑉𝐼𝐼 = 2 + √13 + 2,5 + 2,5 + 3 + √13 + 3 = 13 + 2√13 𝑐𝑚



Jadi, panjang garis tebal tersebut adalah 13 + 2√13 𝑐𝑚



2. Pada gambar berikut, ABC segitiga sama kaki dengan AB=AC. Keempat titik sudut persegi EFGH terletak pada sisi gambar segitiga ABC. Jika BC=30 cm dan EF=12 cm, maka luas segitiga AEF adalah . . .



54



(OSN-Isian Singkat) Penyelesaian:



Cara I Luas ∆𝐴𝐸𝐹 𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 = 𝐿. ∆𝐴𝐵𝐶 − 𝐿. ∆𝐵𝐸𝐻 − 𝐿. 𝐸𝐹𝐺𝐻 − 𝐿. ∆𝐶𝐹𝐺 𝐿. ∆𝐵𝐸𝐻 = 𝐿. ∆𝐶𝐹𝐺, maka 𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 = 𝐿. ∆𝐴𝐵𝐶 − 𝐿. ∆𝐵𝐸𝐻 − 𝐿. 𝐸𝐹𝐺𝐻 − 𝐿. ∆𝐵𝐸𝐻 𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 = 𝐿. ∆𝐴𝐵𝐶 − 2 𝐿. ∆𝐵𝐸𝐻 − 𝐿. 𝐸𝐹𝐺𝐻 1



1



= (2 × 𝐵𝐶 × 𝐴𝑄) − 2 (2 × 𝐵𝐻 × 𝐸𝐻) − (𝐻𝐺 × 𝐸𝐻) 1



𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 = (2 × 𝐵𝐶 × (𝐴𝑃 + 𝑃𝑄)) − (𝐵𝐻 × 𝐸𝐻) − (𝐻𝐺 × 𝐸𝐻) . . . . . . . . (1) ∆𝐵𝐸𝐻 ~ ∆𝐸𝐴𝑃 , maka 𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐵𝐶



= =



𝐴𝑃 𝐴𝑄 𝐴𝑃 𝐴𝑃+𝑃𝑄



𝐸𝐹(𝐴𝑃 + 𝑃𝑄) = 𝐴𝑃 × 𝐵𝐶 (𝐸𝐹 × 𝐴𝑃) + (𝐸𝐹 × 𝑃𝑄) = 𝐴𝑃 × 𝐵𝐶 𝐸𝐹 × 𝑃𝑄 = (𝐴𝑃 × 𝐵𝐶) − (𝐸𝐹 × 𝐴𝑃) 𝐸𝐹 × 𝑃𝑄 = 𝐴𝑃 (𝐵𝐶 − 𝐸𝐹 ) 𝐴𝑃 =



𝐸𝐹 ×𝑃𝑄 𝐵𝐶−𝐸𝐹



. . . . . . . . . . . . . . (2)



Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) 1



𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 = (2 × 𝐵𝐶 × (𝐴𝑃 + 𝑃𝑄)) − (𝐵𝐻 × 𝐸𝐻) − (𝐻𝐺 × 𝐸𝐻) 1



𝐸𝐹 ×𝑃𝑄



1



12×12



𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 = (2 × 𝐵𝐶 × ( 𝐵𝐶−𝐸𝐹 + 𝑃𝑄)) − (𝐵𝐻 × 𝐸𝐻) − (𝐻𝐺 × 𝐸𝐻) = (2 × 30 × (30−12 + 12)) − (9 × 12) − (12 × 12) 144



= (15 × ( 18 + 12)) − 108 − 144 55



= (15 × (8 + 12) − 252 = (15 × 20) − 252 = 300 − 252 = 48 𝑐𝑚2 Jadi, 𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 adalah 48 𝑐𝑚2.



Cara II ∆𝐵𝐸𝐻 ~ ∆𝐸𝐴𝑃 , maka 𝐵𝐻 𝐸𝐻 9 12



= =



𝐸𝑃 𝐴𝑃 6 𝐴𝑃



𝐴𝑃 = 6 ×



12 9



= 8 𝑐𝑚



Luas ∆𝐴𝐸𝐹 𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 = =



1 2 1 2



× 𝐸𝑃 × 𝐴𝑃 × 12 × 8



=6 ×8 = 48 𝑐𝑚2 Jadi, 𝐿. ∆𝐴𝐸𝐹 adalah 48 𝑐𝑚2.



3. Dua buah roda berjari-jari 21 cm dan 6 cm dipasang pada sebuah gerobak dengan jarak 132 cm (lihat gambar dibawah ini). Bagian bawah dari masing-masing roda diberi cat. Kemudian gerobak tersebut didorong kearah kanan. Pada jarak 132 cm dari titik A, jejak cat dari roda besar untuk pertama kalinya berhimpit dengan titik berangkat roda kecil. Titik T adalah lokasi dimana jejak cat dari roda besar dan jeak cat dari roda kecil saling berhimpit untuk kedua kalinya. Jarak titik T dan titik A adalah . . . (𝜋 =



22 7



)



(OSN-Isian Singkat)



56



Penyelesaian: “Kunci: menggunakan konsep perbandingan”



Cara I Perpindahan titik pada roda besar sama dengan keliling lingkaran besar, yaitu 𝐾𝑏 = 2𝜋𝑟𝑏 22



=2 ×



7



× 21



= 132 𝑐𝑚 Perpindahan titik pada roda kecil sama dengan keliling lingkaran kecil, yaitu 𝐾𝑘 = 2𝜋𝑟𝑘 22



=2 ×



7



5



= 37



7



×6



𝑐𝑚



Maka 𝐾𝑏 𝐾𝑘



=



𝐾𝑏 = 𝐾𝑏 =



132 37



5 7



132 37 7 2



5 7



𝐾𝑘



𝐾𝑘



2 𝐾𝑏 = 7 𝐾𝑘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (∗) Dari persamaan (*) dapat disimpulkan bahwa agar jejak cat dari roda besar dan jejak cat dari roda kecil saling berhimpit untuk kedua kalinya, maka lingkaran besar harus melakukan dua kali putaran lagi setelah berhimpit pertama, sehingga roda kecil akan berputar tujuh kali setelah berhimpit pertama. Diperoleh jarak dari A ke T, yaitu: 132 + (2 × 𝐾𝑏 ) = 132 + (2 × 132) = 396 𝑐𝑚 Jadi, jarak titik T dari titik A adalah 396 cm.



57



Cara II Perbandingan perpindahan roda besar terhadap perpindahan roda kecil dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝐾𝑏 𝐾𝑘



=



𝑟𝑏 𝑟𝑘



𝑟𝑏 𝐾𝑘 = 𝑟𝑘 𝐾𝑏 21𝐾𝑘 = 6𝐾𝑏 7𝐾𝑘 = 2𝐾𝑏 Setiap roda kecil berputar 7 kali maka roda besar berputar 2 kali, sehingga jejak cat kedua roda akan berhimpit kedua kali setelah roda kecil bergerak 7 kali yang dihitung setelah berhimpit pertama. Oleh karena itu, jarak dari A ke T, yaitu: 132 + (7 × 𝐾𝑘 ) = 132 + (7 ×



264 7



) = 132 + 264 = 396 𝑐𝑚



Jadi, jarak titik T dari titik A adalah 396 cm. 4. Luas A,B, dan C berturut-turut adala 90 𝑚2 , 120 𝑚2 , 𝑑𝑎𝑛 36 𝑚2 . Berapakah luas daerah D?



(OSN-Uraian) Penyelesaian: Jika dilihat dari gambar A dan B merupakan persegi panjang dan C merupakan persegi. Cara I



58



Luas C adalah 36 𝑚2 , maka 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐶 = 𝑦 × 𝑦 36 = 𝑦 2 √36 = 𝑦 𝑦 =6𝑚 Luas A adalah 90 𝑚2 , maka 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴 = 𝑥 × 𝑦 90 = 𝑥 × 𝑦 𝑥= 𝑥=



90 𝑦 90 6



𝑥 = 15 𝑚 Luas B adalah 120 𝑚2 , maka 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐵 = 𝑥 × 𝑧 120 = 𝑥 × 𝑧 𝑧= 𝑧=



1200 𝑥 120 15



𝑧=8𝑚 Luas D, yaitu: 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐷 = 𝑧 × 𝑦 = 8 ×6 = 48 𝑚2 Jadi, luas daerah D adalah 48 𝑚2 Cara II



Luas C adalah 36 𝑚2 , maka



59



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐶 = 𝑦 × 𝑦 36 = 𝑦 2 √36 = 𝑦 𝑦 =6𝑚 Luas A adalah 90 𝑚2 , maka 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴 = 𝑥 × 𝑦 90 = 𝑥 × 𝑦 𝑥= 𝑥=



90 𝑦 90 6



𝑥 = 15 𝑚 Luas B adalah 120 𝑚2 , maka 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐵 = 𝑥 × 𝑧 120 = 𝑥 × 𝑧 𝑧= 𝑧=



1200 𝑥 120 15



𝑧=8𝑚 Luas total A, B, C, dan D yaitu (𝑥 + 𝑦)(𝑦 + 𝑧) = (15 + 6)(6 + 8) = 21 × 14 = 293 𝑚2 Luas D sama dengan luas total dikurangi luas A, B, dan C, yaitu: 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐷 = 294 − 90 − 120 − 36 = 48 𝑚2 Jadi, luas daerah D adalah 48 𝑚2



Cara III



𝐿𝐴 𝐿𝐵



=



𝐿𝐶 𝐿𝐷



60



90



= 120 3 4 1 4



= =



36 𝐿𝐷



36 𝐿𝐷 12 𝐿𝐷



𝐿𝐷 = 12 × 4 = 48 𝑚2 Jadi, luas daerah D adalah 48 𝑚2



5. Sebuah bak air berbentuk balok. Panjang, lebar, dan tinggi bagian dalamnya berturut-turut 60 cm, 50 cm, dan 40 cm. Jika bak diisi air secara hati-hati dengan menggunakan ember yang berkapasitas 9 liter, maka air dalam bak akan mulai tumpah setelah takaran yang keberapa?



(OSN-Uraian) Penyelesaian: Diketahui: Panjang = 60 cm Lebar = 50 cm Tinggi = 40 cm Kapasitas ember 9 liter Ditanya: Air dalam bak akan mulai tumpah setelah takaran yang keberapa?



61



Jawab: Cari Volume bak 𝑉 =𝑝 ×𝑙 ×𝑡 = 60 × 50 × 40 = 120.000 𝑐𝑚3 1 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟 = 1.000 𝑐𝑚2, maka 𝑉 = 120 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟 Agar bak terisi penuh air dengan menggunakan ember berkapasitas 9 liter, maka bak akan penuh air pada n kali volume ember, yaitu 𝑛=



120 1 = 13 9 3



Pada takaran ke 14, volume air akan melebihi volume bak sehingga air akan tumpah. Jadi, air dalam bak akan mulai tumpah setelah takaran yang ke-14.



6. Dari pukul 07.00 pagi sampai dengan pukul 10.00 pagi, jarum menit pada jam sudah berputar berapa derajat? (OSN-Isian Singkat) Penyelesaian: Cara I Jarum menit adalah jarum panjang. Waktu dari pukul 07.00 pagi sampai dengan pukul 10.00 pagi adalah 3 jam, maka jarum menit telah melakukan 3 putaran. 1



putaran = 360º, maka



2



putaran = 3 x 360º = 1080º



Jadi, jarum menit pada jam sudah berputar 1080 derajat



Cara II Waktu dari pukul 07.00 pagi sampai dengan pukul 10.00 pagi adalah 3 am = 180 menit. Konversi jarum menit ke derajat 60 menit = 360º 1 menit =



1 60



× 360°



62



Ole karena itu, 180 menit =



180 60



× 360° = 1080°



Jadi, jarum menit pada jam sudah berputar 1080 derajat



LATIHAN SOAL 1. Jika pada gambar dibawah ∠𝐴𝑂𝐸 = 85° dan ∠𝐵𝑂𝐷 = 15°, berapakah besar sudut C?



(OSN-Uraian) 2. Ukuran panjang, lebar, dan tinggi suatu balok mempunyai perbandingan 54:3. Jika luas alasnya 180 𝑐𝑚2 , maka volume balok tersebut adaah . . . (OSN-Isian Singkat) 3. ABCD adalah persegi panjang.



Jika DE = EA = 4 cm, AF = 6 cm, dan FB = 4 cm, berapa 𝑐𝑚2 luas bagian yang diarsir? (OSN-Isian Singkat)



63



4. Segitiga BEF pada gambar adalah segitiga sama sisi.



Berapa derajatkah besar sudut DCE ditambah besar sudut DAF? (OSN-Isian Singkat) 5. Sebuah bak berbentuk balok tanpa tutup. Bak berukuran 2,1 m x 1,3 m x 1 m dengan tebal bahan pembuat 5 cm. Berapa kapasitas (volume bagian dalam) bak tersebut? (OSN-Uraian) 6. Tentukan perbandingan luas daerah yang diitamkan pada gambar dibawah ini terhadap luas persegi besar.



(OSN-Uraian) 7. Bagian atas segitiga ABC dilipat ke arah alas pada garis DE pada gambar berikut.



64



AB dan DE sejajar dengan panjang berturut-turut 10 cm dan 8 cm. Tinggi segitiga ABC adalah 15 cm. Luas daerah yang diarsir adalah . . . (OSN-Isian Singkat) 8. Luas bangun A adalah tiga kali luas bangun C, luas bangun A tiga kali luas bangun B, sedangkan bangun B berbentuk persegi. Tentukan rasio luas bangun D terhadap luas bangun A.



(OSN-Isian Singkat) 9. Setiap pagi pak Ahmad berjalan memeriksa pagar kebunnya. Kebun pak Ahmad berbentuk belah ketupat dengan salah satu sudutnya adalah 60º. Pada peta dalam surat (sertifikat) tanah, panjang diagonal pendek kebun pak Ahmad itu adalah 5 cm. Jika skala pada peta itu adalah 1:1000, berapa jauh kira-kira pak Ahmad berjalan setiap pagi? (OSN-Isian Singkat) 10. Antar pukul 06.00 dan pukul 12.00, berapa kali jarum pendek dan jarum panjang jam membentuk sudut 175º? (OSN-Isian Singkat)



3. Teknik Hitung, Data, dan Pengukuran 3.1 Aritmatika Sosial A. Untung dan Rugi Untung Syarat untung yaitu harga penualan lebih besar dari harga pembelian Besar keuntungan yaitu: 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔 = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑗𝑢𝑎𝑙 – ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖



65



Presentas keuntungan: % 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔 =



𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔 × 100% ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖



Rugi Syarat rugi yaitu harga penjualan lebih kecil dari harga pembelian. Besarnya kerugian yaitu: 𝑅𝑢𝑔𝑖 = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖 – ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑗𝑢𝑎𝑙 Presentasi kerugian: % 𝑟𝑢𝑔𝑖 =



𝑟𝑢𝑔𝑖 × 100% ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖



B. Rabat, Bruto, Tara, dan Netto Rabat atau diskon adalah potongan harga. Besarnya diskon, yaitu: 𝐷𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛 = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑙𝑎 – ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑦𝑎𝑟 Presentasi diskon: % 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛 =



𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛 × 100% ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑙𝑎



Bruto adalah berat kotor barang. Netto adalah berat bersih barang. Tara adalah berat kemasan. Hubungan antara bruto, netto, dan tara yaitu: 𝑁𝑒𝑡𝑡𝑜 = 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑜 – 𝑡𝑎𝑟𝑎 Presentasi netto: % 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 =



𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 × 100% 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑜



% 𝑡𝑎𝑟𝑎 =



𝑡𝑎𝑟𝑎 × 100% 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑜



Presentasi tara:



C. Bunga Tabungan Bunga selama satu tahun = 𝑏% × 𝑀 Bunga selama t tahun = 𝑏% × 𝑀 × 𝑡 Bunga selama n bulan =



𝑛 12



× 𝑏% × 𝑀



66



𝑆𝑢𝑘𝑢 𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎 =



𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 × 100% 12



Jumlah tabungan = M + bunga Keterangan: b=besarnya bunga dari bank, dan M=besarnya uang yang ditabung



3.2 Statistika A. Pengertian statistika Statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang cara pengumpulan data, pengolahan, penganlisisan, dan penarikan kesimpulan dari data. Statistika adalah kumpulan data yang disusun dalam dan atau diagram sehingga dapat memberikan informasi. 1. Populasi dan sampel Populasi adalah keseluruhan objek yang diteliti sedangkan sampel adalah sebagian atau keseluruhan populasi yang mewakili populasinya 2. Datum dan data Datum adalah keterangan yang diperoleh dari hasil pengamatan, sedangkan data adalah kumpulan dari datum-datum. Data yang berupa bilangan disebut data kuantitatif, sedangkan yang bukan berupa bilangan disebut data kualitatif. Data kuantitatif dibedakan menjadi 2 yaitu a. Data diskrit yaitu data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung b. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur



B. Penyajian data dalam bentuk diagram 1. Diagram garis Diagram garis merupakan cara penyajian data statistik dengan menggunakan garis-garis lurus. Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan suatu data yang berkelanjutan dalam jangka waktu tertentu. Sumbu X merupakan sumbu yang menunjukkan variabel yang mempengaruhi, sedangkan sumbu Y menunjukkan fungsi yang dipengaruhi oleh variabel tersebut. Oleh karena itu, sumbu X menunjukkan waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan hasil pengamatan. 67



Misalkan tabel pemakaian data listrik suatu rumah dari bulan ke-1 sampai ke-7



Bulan ke



Pemakaian (kwh)



1



144



2



150



3



178



4



186



5



180



6



156



7



187



Tabel pemakaian daya listrik diatas dapat disajikan dalam bentuk diagram garis berikut:



2. Diagram lingkaran Diagram lingkaran merupakan cara penyajian data statistik dengan menggunakan daerah lingkaran. Satu lingkaran penuh menunjukkan keseluruhan data yaitu mempunyai persentase 100%. Lingkaran tersebut dibagi beberapa juring lingkaran yang menunjukkan bagian atau persentase dari masing-masing data.



68



Misalkan jenis ekstrakurikuler di SMA yang diikuti oleh 500 orang siswa yang dinyatakan dalam diagram lingkaran berikut.



Presentase siswa SMA yang mengikuti olahraga adalah 𝑥 = 100% − 30% − 20% − 10% = 40% Banyaknya siswa yang mengikuti ekstrakurikuler olahraga adalah 40% 100%



× 500 = 200 siswa



3. Diagram batang Diagram batang merupakan cara penyajian data statistik dengan dalam bentuk batang batang diagram batang dapat disajikan dalam bentuk diagram batang vertikal maupun horizontal Contoh diagram batang:



69



C. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram adalah bentuk penyajian daftar distribusi frekuensi frekuensi menggunakan batang-batang yang lebarnya sama. Perbedaan antara histogram dan diagram batang yaitu antara batang yang satu dengan yang lain tidak terdapat jarak. Setiap batang menunjukkan kelas tertentu. Lebar batang menunjukkan kelas interval, sedangkan tinggi batang menunjukkan frekuensi setiap kelas interval. Poligon frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik titik tengah pada puncak-puncak histogram Misalkan nilai ulangan matematika siswa Suatu kelas disajikan dalam bentuk tabel berikut: Nilai



Nilai Tengah



Frekuensi



50-60



55,5



2



60-70



65,5



5



70-80



75,5



10



80-90



85,5



6



90-100



95,5



2



Histogram dan poligon frekuensi dari tabel nilai ulangan matematika siswa Suatu kelas tersebut adalah



70



D. Mean Mean dari suatu data adalah semua nilai datum dibagi banyaknya datum. Mean juga bisa disebut rataan hitung, rata-rata hitung, dan rata-rata.



1. Mean dari data tunggal Misalkan terdapat data kuantitatif 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 maka mean data tersebut dapat dituliskan: 𝑋̅ =



∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛 𝑛



2. Mean dari data berkelompok 𝑋̅ =



∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 . 𝑥𝑖 𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 = 𝑛 ∑𝑖=1 𝑓𝑖 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛



dengan: 𝑓𝑖 = frekuensi data ke-i 𝑥𝑖 = data ke-i 𝑛 = banyaknya data



3. Mean gabungan 𝑋̅ =



∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 . 𝑥̅𝑖 𝑓1 ̅̅̅ 𝑥1 + 𝑓2 𝑥 ̅̅̅2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 = 𝑛 ∑𝑖=1 𝑓𝑖 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛



dengan: 𝑓𝑖 = frekuensi data ke-i 𝑥̅𝑖 = rata-rata data ke-i 𝑛 = banyaknya data



CONTOH SOAL



1. Suatu perusahaan memutuskan untuk menurunkan semua harga barang yang dijualnya dengan persentase yang sama Jika harga sebuah celana diturunkan



71



harganya dari Rp 66.000 menjadi Rp 45.000 Tentukan harga baru sebuah baju yang harganya Rp22.000. (OSN-Isian Singkat) Penyelesaian: Diketahui: Harga beli celana = 66.000 Harga jual celana = 45.000 Harga beli baju = 22.000 Ditanya: Harga jual baju jika perusahaan memutuskan untuk menurunkan semua harga barang yang dijualnya dengan persentase yang sama Jawab Cara I Besarnya penurunan (kerugian) harga celana yaitu: 𝑅𝑢𝑔𝑖 = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖 – ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑗𝑢𝑎𝑙 = 66.000 − 45.000 = 21.000 Presentase penurunan (kerugian) harga baju : % 𝑟𝑢𝑔𝑖 = =



𝑟𝑢𝑔𝑖



× 100%



ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖 21.000 66.000



× 100%



7



= 22 × 100% Besarnya penurunan (kerugian) harga baju yaitu: Misalkan: Harga jual baju = b 𝑅𝑢𝑔𝑖 = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖 – ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑗𝑢𝑎𝑙 = 22.000 − 𝑏 Presentase penurunan (kerugian) harga celana : % 𝑟𝑢𝑔𝑖 = =



𝑟𝑢𝑔𝑖 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑙𝑖 22.000−𝑏 22.000



× 100% × 100%



Presentase penurunan (kerugian) harga celana dan harga baju adalah sama, maka 22.000 − 𝑏 7 × 100% = × 100% 22.000 22 22.000 − 𝑏 7 = 22.000 22 72



22.000 − 𝑏 7 = 1.000 1 22.000 − 𝑏 = 7.000 𝑏 = 22.000 − 7.000 = 15.000 Jadi, harga baru sebuah baju yang harganya Rp 22.000 adalah Rp 15.000



Cara II Presentase penurunan harga semua barang adalah sama, maka diperoleh persamaan berikut tanpa harus mengetahui besar presentase penurunan harga barang, yaitu 𝑥1 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑥1 𝑦1 Keterangan: 𝑥1 = harga beli celana 𝑥2 = harga jual celana 𝑦1 = harga beli baju 𝑦2 = harga jual baju Diperoleh, 𝑥1 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑥1 𝑦1 66.000 − 45.000 22.000 − 𝑦2 × 100% = × 100% 66.000 22.000 21.000 22.000 − 𝑦2 = 66.000 22.000 7 22.000 − 𝑦2 = 22 22.000 7 22.000 − 𝑦2 = 7.000 = 22.000 − 𝑦2 1 1.000 𝑦2 = 22.000 − 7.000 = 15.000 Jadi, harga baru sebuah baju yang harganya Rp 22.000 adalah Rp 15.000



2. Pak Abun menjual dua buah rumah yang masing-masing harganya Rp 52.000.000,00. Ia memperoleh keuntungan 30% dari rumah pertama tetapi menderita kerugian 20% dari rumah kedua. Ternyata secara keseluruhan Pak Abun mengalami kerugian. Berapa rupiahkah kerugiannya? (OSN-Uraian)



73



Penyelesaian: Diketahui: Harga Jual Rumah I = Rp 52.000.000 Harga Jual Rumah II = Rp 52.000.000 Keuntungan Rumah I = 30% Kerugian Rumah II = 20%



Ditanya: Berapa rupiah kerugian jika ternyata secara keseluruhan Pak Abun mengalami kerugian? Jawab: Rumah I Pak Abun menjual rumah I dengan harga Rp 52.000.000 dan memperoleh keuntungan 30%, maka harga rumah I dapat dicari dengan cara: 𝐻1 + 30%𝐻1 = 52.000.000 𝐻1 + 0,3𝐻1 = 52.000.000 𝐻1 (1 + 0,3) = 52.000.000 𝐻1 (1,3) = 52.000.0000 𝐻1 =



52.000.000 1,3



= 40.000.000



Keuntungan yang diperoleh pak abun adalah 52.000.000 – 40.000.000 = 12.000.000 Rumah II Pak Abun menjual rumah II dengan harga Rp 52.000.000 dan memperoleh kerugian 20%, maka harga rumah iI dapat dicari dengan cara: 𝐻2 − 20%𝐻2 = 52.000.000 𝐻2 − 0,2𝐻2 = 52.000.000 𝐻2 (1 − 0,2) = 52.000.000 𝐻1 (0,8) = 52.000.0000 𝐻1 =



52.000.000 0,8



= 65.000.000



Kerugian yang diperoleh pak abun adalah 65.000.000 - 52.000.000 = 13.000.000 Diperoleh kerugian dari penjualan rumah I dan II adalah 74



13.000.000 – 12.000.000 = 1.000.000 Jadi, kerugian pak Abun seesar Rp 1.000.0000



3. Berapa banyakkah anak dengan nilai dibawah rata-rata bila diketahui data sebagai berikut:



Nilai



5



6



7



8



9



10



Banyak Anak



4



2



13



3



2



1



(OSN-Isian Singkat) Penyelesaian: Untuk dapat menjari banyaknya anak yang nilainya dibawah rata-rata maka kita cari terlebih dahulu nilai rata-ratamya. Misalkan 𝑥̅ menyeatakan nilai rata-rata dari tabel diatas, maka (5 × 4) + (6 × 2) + (7 × 13) + (8 × 3) + (9 × 2) + (10 × 1) 4 + 2 + 13 + 3 + 2 + 1 20 + 12 + 91 + 24 + 18 + 10 = 25 175 = =7 25



𝑥̅ =



Diperoleh nilai rata-rata 7, sedangkan banyaknya anak yang mendapat nilai dibawah 7 adalah untuk anak yang mendapat nilai 5 ada 4 anak dan untuk anak yang mendapat nilai 6 ada 2 anak. Maka banyaknya anak yang mempunyai nilai kurang dari 7 adalah 4+2 == 6 anak



4. Diagram batang dibawah ini menggambarkan menggambarkan produksi teh perkebunan Sukawana pada tahun 2004.



75



Berdasarkan catatan diketahui bahwa pada bulan Mei perkebunan tersebut rugi sedangkan pada bulan Juni untung. Berapa bulankah pada tahun 2004 perkebunan teh Sukawana merugi? (OSN-Isian Singkat) Penyelesaian: Berdasarkan catatan diketahui bahwa pada bulan Mei perkebunan tersebut rugi sedangkan pada bulan Juni untung. Cara I Pendapatan perkebunan Sukawana pada bulan Mei kurang lebih adalah 3,2 sedangkan pada bulan Juni kurang lebih adalah 4,2 sehingga diperoleh batas keuntungan yaitu lebih dari 3,2 dan kurang dari 4,2. Terlihat pada diagram batang bahwa pada bulan ke 5, 7 dan 9 nilainya kurang dari batas keuntungan. Jadi, pada tahun 2004 perkebunan Sukawana merugi selama tiga bulan, yaitu pada bulan Mei, Juli dan September Cara II Cara ini menggunakan sketsa perkiraan batas keuntungan pada grafik. Diketahui bahwa pada bulan Mei pendapatan perkebunan Sukawana adalah 3,2 dan pada kondisi ini mengalaimi kerugian, maka pendapat yang kurang dari atau sama dengan 3,2 mengalami kerugian, yaitu terjadi pada bulan Mei, Juli dan September.



5. Dalam satu kelas terdapat 3 kelompok siswa yang mengerjakan soal ujian. Kelompok A terdiri dari 9 orang dengan rata-rata nilai ujian 70. Kelompok B dan C berturut-turut, terdiri dari 5 dan 6 siswa. Jika kelompok A digabung dengan kelompok B rata-ratanya menjadi 69. Jika kelompok A digabung dengan kelompok C rata-ratanya menjadi 72. Berapakah rata-rata nilai ujian jika ketiga kelompok A, B, dan C digabung? (OSN-Uraian) Penyelesaian: Soal diatas dapat diselesaikan menggunakan cara rata-rata gabungan Rata-rata nilai gabungan ujian ketiga kelompok : 𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ̅̅̅̅̅̅̅



𝑛𝐴 . 𝑥̅ 𝐴 +𝑛𝐵 . 𝑥̅𝐵 +𝑛𝐶 . 𝑥̅ 𝐶 𝑛𝐴 +𝑛𝐵 +𝑛𝐶



=



(𝑛𝐴 . 𝑥̅ 𝐴 +𝑛𝐵 . 𝑥̅𝐵 )+(𝑛𝐴 . 𝑥̅ 𝐴 +𝑛𝐶 . 𝑥̅ 𝐶 )−𝑛𝐴 . 𝑥̅ 𝐴 𝑛𝐴 +𝑛𝐵 +𝑛𝐶



76



= = = = =



(𝑛𝐴 +𝑛𝐵 ) . 𝑥̅ 𝐴𝐵 +(𝑛𝐴 +𝑛𝐶 ) . 𝑥̅ 𝐴𝐶 − 𝑛𝐴 . 𝑥̅ 𝐴 𝑛𝐴 +𝑛𝐵 +𝑛𝐶 (9+5).69 .(9+6).72−9 .70 9+5+6 14.69+15 .72−9 .70 20 7.69+5 .36−9 .35 10 708 10



= 70,8 Jadi, rata-rata nilai ujian jika ketiga kelompok A,B dan C digabung adalah 70,8



LATIHAN SOAL



1. Empat bilangan ganjil berurutan hasil kalinya 9009. Rata-rata keempat bilangan ganjil tersebut adalah… (OSN-Isian Singkat) 2. Hasil tes matematika kelas 5 telah diumumkan. Nilai rata-rata kelas 5A adalah 7, sedangkan untuk kelas 5B adalah 8. Jika ada 27 siswa di kelas 5A dan 23 siswa di kelas 5B, berapakah nilai rata-rata untuk kedua kelas itu? (OSN-Isian Singkat) 3. Siti membutuhkan uang sebesar Rp. 4.550.000,00 untuk membeli sebuah komputer. Agar bisa membelinya siti harus menyisihkan sebagian dari 30.000 rupiah uang jajannya setiap pergi sekolah. Jika siti selalu masuk sekolah selama sebulan, maka minimal rata-rata uang jajan yang ditabung siti per hari supaya dapat membeli komputer setelah 10 bulan adalah… (OSN-Isian Singkat) 4. Rata-rata dari 100 data adalah 200. Jika data pertama ditambah 1, data ke dua ditambah 2, data ke tiga ditambah 3, data keempat ditambah 4, dan seterusnya hingga data terakhir ditambah 100, berapa rata-rata data yang baru? (OSN-Uraian) 77



5. Data bayi sehat di lima kotamadya DKI Jakarta dari tahun 2014 sampai dengan 2016 tercatat sebagai berikut: Kotamadya



2014



2015



2016



Jakarta Utara



200



x



162



Jakarta Selatan



110



132



140



Jakarta Pusat



105



125



y



Jakarta Timur



z



180



216



Jakarta Barat



143



130



158



Diketahui dari tahun 2014 sampai dengan tahun 2016 bayi sehat pada kotamadya Jakarta Utara menurun 10%, pada kotamadya Jakarta Timur meningkat 20%, sementara pada kotamdya Jakarta Pusat rata-rata bayi sehat adalah 120 bayi pertahun. Berdasarkan data di atas nilai x + y + z adalah… (OSN-Uraian) 6. Data penduduk suatu desa adalah sebagai berikut a) Sebanyak 70% penduduk berusia di bawah 50 tahun b) Sebanyak 45% penduduk berusia di atas 40 tahun c) Desa tersebut berpenduduk 1200 orang Berapakah penduduk desa tersebut yang berusia mulai dari 40 sampai dengan 50 tahun? (OSN-Isian Singkat) 7. Harga satu buah baju di Toka A adalah Rp5.000,00 lebih mahal dibanding harga satu buah baju ditoko B. Toko B memberikan diskon 10% untuk setiap baju sedangkan toko A memberi harga khusus jika seseorang membeli baju lebih dari satu buah, seseorang akan memperoleh dikon 40% untuk baju kedua yang dia beli. Dengan kondisi seperti itu ternyata harga dua buah baju di toko A sama dengan harga dua buah baju di Toko B. Berapa harga satu buah baju di Toko A? (OSN-Uraian) 8. The price of a shirt is reduced from Rp24.000,00 to Rp18.000,00. If normally the profit is 60%, how many percent is the profit or loss after the price reduction? (OSN-Uraian) 9. Halaman rumah Ibu Selvi berukuran panjang 25 m dan lebar 18m. tiga puluh persen dari halaman tersebut terkena program pelebaran jalan. Ganti rugi tanah yang diberikan sebesar 40% dari harga pada umumnya. Jika harga tanah pada 78



umunya Rp12.000,00 per meter persegi, berapa rupiahkah ganti rugi yang diterima Ibu Selvi? (OSN-Uraian) 10. Two different shirts at a shop were sold at the same price. While one shirt made a profit of 30%, the shop had incurred a 30% loss for the other one. Did the shop record a profit or loss from these two transactions, and by how many %? (OSN-IsianSingkat)



4. Rekreasi Matematika Pengertian



Rekreasi matematika merupakan serangkaian aktivitas menyenangkan yang ditunjukkan untuk meningkatkan minat terhadap matematika. Aktivitas rekreasi matematika dapat berupa eksplorasi, menemukan pola, kegiatan hands on mathematics, teka-teki, permainan-permainan bilangan, permainan-permainan geometry, paradoks-paradoks dalam matematika, terapan matematika dalam kehidupan, menyaksikan tayangan film-film matematika dan permainan-permainan komputer.



CONTOH SOAL



1. Perhatikan ketentuan berikut: 1) Pada awal Januari, Andi diberi sepasang bayi kelinci 2) Setiap bayi kelinci menjadi dewasa dalam waktu 1 bulan 3) Setiap pasang kelinci dewasa melahirkan sepasang bayi kelinci dalam waktu 1 bulan 4) Tidak ada kelinci yang mati Berapakah pasangan kelinci yang dimiliki Andi pada bulan-bulan berikutnya dalam waktu 1 tahu?



79



Penyelesaian: Awalnya terdapat sepasang bayi kelinci. Setelah 1 bulan, sepasang bayi kelinci tersebut menjadi dewasa. Pada bulan ke-3, sepasang kelinci tersebut melahirkan pasang bayi kelinci, sehingga pada bulan ke-3 terdapat 2 pasang kelinci. Pasangan kelinci yang sudah melahirkan menghasilkan pasangan muda lagi tiap bulan. Perilaku pasangan kelinci yang baru ini sama seperti pasangan kelinci sebelumnya. Permasalahan ini dapat dibentuk dalam sebuah pola yaitu total pasangan pada bulan ini merupakan jumlah dari total pasangan bulan sebelumnya dan bulan sebelumnya lagi. Permasalahan tersebut dapat dibuat dalam bentuk sebuah tabel. Bulan ke-



Kelinci (pasang)



1



1



2



1



3



1+1 = 2



4



1+2=3



5



2+3=5



6



3+5=8



7



5 + 8 = 13



8



8 + 13 = 21



9



13 + 21 = 34



10



21 + 34 = 55



11



34 + 55 = 89



12



55 + 89 = 144



Berdasarkan tabel diatas diperoleh bahwa setelah 1 tahun atau 12 bulan total kelinci Andi adalah 144 pasang kelinci.



2. Perhatikan papan berpaku berukuran 5 x 5 seperti gambar disamping ini. Persegi pada contoh memuat tepat sembilan paku.



80



a. Ada berapa persegi yang memuat tepat empat buah paku? b. Ada berapa persegi yang memuat tepat lima buah paku? c. Ada berapa persegi yang memuat tepat delapan buah paku? d. Ada berapa persegi yang memuat tepat 13 buah paku? e. Ada berapa persegi yang memuat tepat 16 buah paku? Penyelesaian: Untuk dapat menyelesaikan permasalahan diatas kita dapat mempraktekan langsung menggambar persegi pada papan berpaku sesuai apa yang diminta soal. a. Banyaknya persegi yang memuat tepat empat buah paku ada 16



b. Banyaknya persegi yang memuat tepat lima buah paku ada 9



81



c. Banyaknya persegi yang memuat tepat delapan buah paku ada 8



d. Banyaknya persegi yang memuat tepat 13 buah paku ada 3



e. Banyaknya persegi yang memuat tepat 16 buah paku ada 4



3. When I was 14 years old, my father was 42 years old, which was three times my age. Now he is twice my age, how od am I? Penyelesaian: Misalkan a merupakan umur saya, dan b merupakan umur ayah saya, sehingga umur ayah saya adalah 42 – 14 = 28 lebih tua dari umur saya. b = a + 28. sekarang b = 2a sehingga 2a = a + 28 2a - a = 28 a = 28 Maka umur saya sekarang adalah 28 tahun. 82



4. Andaikan permainan ini menggunakan sistem koordinat kartesius. Pada permainan ini setiap peserta akan diberikan beberapa soal, dan setiap peserta diminta untuk menjawab. Apabila penyelesaiannya benar, maka dia akan maju satu langkah sekaligus naik satu langkah. Akan tetapi jika penyelesaiannya salah, maka dia akan mundur satu langkah dan turun satu langkah. Jika tidak menjawab maka dia akan tetap pada posisi awal. Andi ikut berpartisipasi dalam permainan tersebut dengan asumsi bahwa Andi berada pada posisi awal O (0,0), pada pertanyaan pertama sampai keenam dia menjawab benar, akan tetapi dia tidak menjawab sebanyak 2 kali. Apabila banyak soal yang disediakan adalah 10 soal maka posisi Andi sekarang adalah . . . Penyelesaian: Andi menjawab Benar untuk soal nomor 1 sampai 6 sehingga posisi anda sekarang ada adalah (6,6) kemudian Adi tidak menjawab 2 soal sehingga posisinya tidak berubah. Diketahui bahwa soal yang disediakan 10 soal, jadi dapat disimpulkan bahwa Andi menjawab salah untuk 2 soal yang tersisa sehingga posisi Andi sekarang adalah (4,4)



5. Dalam suatu kelas perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan adalah 10:7 serta perbandingan banyak siswa laki-laki yang suka badminton dan sepakbola adalah 3:2. Perbandingan banyaknya siswa laki-laki yang suka badminton dan siswa perempuan adalah . . . Penyelesaian: Misalkan banyaknya laki-laki = L dan perempuan = P sehingga Badminton = 3y L = 10x



dan P = 7x Sepakbola = 2y



Dalam hal ini x dan y adalah pembandingnya. Misalkan ambil x = 1 sehingga diperoleh banyaknya laki-laki 10 orang, dan perempuan 7 orang. Akibatnya y = 2. Jadi, perbandingan banyaknya laki-laki yang suka badminton dan siswa perempuan adalah 6:7.



83



LATIHAN SOAL



1. Setiap bilangan asli yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan sebagai jumlah beberapa bilangan asli yang lebih kecil daripada dirinya. Adi ingin mencacah berapa banyak cara penulisan kalau suku-suku penjumlahan berselisih paling banyak 1. Sebagai contoh bilangan 4 dapat dituliskan sebagai: 4=1+1+1+1 =2+1+1 = 2 + 2, sehingga ada tiga cara penulisan untuk bilangan 4 [Catatan: 1 + 2 + 1 dan 1 + 1 + 2 dihitung sebagai cara yang sama dengan 2 + 1 + 1 sedangkan 3 + 3 tidak memenuhi syarat karena selisih antara 3 dan 1 lebih besar dari 1] (a) Tuliskan sebanyak mungkin cara penulisan untuk bilangan 6 (b) Tuliskan sebanyak mungkin cara penulisan untuk bilangan 8 (c) Berapa banyak cara penulisan untuk bilangan 24? (OSN-Eksplorasi) 2. Dua bilangan asli yang apabila ditambah atau dikurang kan dengan suatu bilangan asli yang sama menghasilkan bilangan kuadrat sempurna disebut bilangan seimbang. Sebagai contoh bilangan 53 dan 28 adalah bilangan seimbang karena 53 + 28 = 81 = 92 dan 53 - 28 = 25 = 52 . Temukan sebanyak mungkin bilangan seimbang yang kurang dari 50. (OSN-Eksplorasi) 3. Segitiga sama sisi A dan persegi B dibawah ini memiliki ukuran sisi 1 satuan. Pola-1 dan pola-2 dibentuk dengan menggunakan segitiga dan persegi tersebut.



84



(a) Gunakan sejumlah segitiga dan persegi yang tersedia untuk membentuk pola3. Berapa persegi dan segitiga yang diperlukan? (b) Gunakan sejumlah persegi dan segitiga yang tersedia untuk membentuk pola4. Berapa persegi dan segitiga yang diperlukan? (c) Jika susunan persegi dan segitiga tersebut diteruskan sampai pola-10. Berapakah persegi dan segitiga yang diperlukan? (OSN-Eksplorasi) 4. Gambar dibawah ini menunjukkan tiga pola segitiga tingkat 1, tingkat 2, dan tingkat 3 yang terbuat dari batang korek api. Dibutuhkan 3 batang korek api untuk membuat segitiga tingkat 1, 9 batang korek api untuk membuat segitiga tingkat 2 dan 18 batang korek api untuk membuat segitiga tingkat 3.



(a) Berapa banyak korek api yang dibutuhkan untuk membuat segitiga tingkat 5 (b) Berapa banyak korek api yang dibutuhkan untuk membuat segitiga tingkat 10 (OSN-Eksplorasi) 5. Perhatikan penyataan berikut. (a) Dengan menggunakan 10 koin susunlah empat tumpukan koin yang memenuhi tiga persyaratan berikut: i. Tumpukan pertama mengandung lebih banyak satu koin dari tumpukan kedua ii. Tumbukan kedua mengandung lebih banyak dua koin dari tumpukan ketiga, dan iii. Tumpukan keempat mengandung koin 2 kali lebih banyak dari koin di tumpukan ke-3 (b) Lakukan sekali lagi soal (a), kali ini dengan menggunakan 15 koin. (c) Lakukan sekali lagi soal (a), kali ini ini dengan menggunakan 20 koin (d) Bagaimana menyusun 4 tumpukan koin seperti soal (a) bila diberikan 2005 koin? (OSN-Eksplorasi) 85



6. Pada susunan batang-batang korek api berikut ini terdapat 4 persegi yang kongruen (sama dan sebangun)



(a) Dengan memindahkan 4 batang korek api, paling banyak ada berapa persegi kongruen yang dapat terbentuk? (b) Dengan memindahkan 5 batang korek api, paling banyak ada berapa persegi kongruen yang dapat terbentuk? (c) Dengan memindahkan 6 batang korek api, paling banyak ada berapa persegi kongruen yang dapat terbentuk? (OSN-Eksplorasi) 7. Kita ingin membuat persegi-persegi yang setiap titik sudutnya terletak pada titiktitik yang disediakan. Untuk susunan titik 3x3 ada 6 persegi yang dapat kita buat. Salah satunya adalah persegi ACIG.



(a) Tuliskan lima persegi lainnya pada susunan titik 3x3 itu! (b) Gambarlah sebanyak mungkin persegi dengan panjang sisi berbeda yang susunan titiknya 4x4 (c) Berapa banyak persegi yang dapat dibuat pada susunan titik 4x4 (d) Gambarlah sebanyak mungkin persegi dengan panjang sisi berbeda pada susunan 5x5 86



(OSN-Eksplorasi) 8. Gambar dibawah ini menunjukkan kubus yang sama dilihat dari 3 sudut berbeda. Pilih 6 huruf dari beberapa huruf yang diberikan dan tempelkan pada permukaan kubus sehingga terlihat seperti gambar tersebut. (OSN-Eksplorasi)



Pada gambar, ABCD adalah sebuah persegi. Pada papan berpaku 4x4 hanya dapat dibentuk dua persegi yang kongruen dengan persegi ABCD seperti ditunjukkan pada gambar b.



(a) Pada papan berpaku 5x5, berapa banyak persegi yang kongruen dengan persegi ABCD yang dapat dibentuk? (b) Pada papan berukuran 6x6, berapa banyak persegi yang kongruen dengan persegi ABCD yang dapat dibentuk? (c) Berapa banyak persegi kongruen dengan persegi ABCD yang dapat dibentuk pada papan berpaku 10x10? (OSN-Eksplorasi) 9. Dalam suatu permainan catur, masing-masing pemain mempunyai kesempatan bermain satu kali dengan pemain lain. Enam pemain yakni Albert, Ben, Charles, Dennis, Ethan, dan Francis ikut dalam permainan tersebut.Sejauh ini, Albert bermain 5 kali, Charles bermain tiga kali, Dennis bermain dua kali dan Ethan bermain satu kali. Berapa kali Francis bermain? (OSN-Eksplorasi)



87



BAB III



PENYUSUNAN SOAL OSN-LIKE



Jika dalam Bab II sudah disampaikan materi dan strategi pemecahannya, maka dalam Bab III ini akan disampaikan mengenai analisis soal yang kemudian akan dilanjutkan dengan penyusunan soal-soal OSN-Like. Analisis soal dan penyusunan soal ini dilakukan satu per satu dan contoh-contoh akan diberikan satu per satu sesuai materi OSN.



1. ANALISIS SOAL Analisis soal merupakan step pertama yang perlu dikuasai sebelum menuju ke langkah Penyusunan Soal yang dalam modul ini akan diberikan dalam Sub 1.3 dalam Bab III ini. Analisis soal dilakukan supaya kita dapat menentukan jenis soal yang sesuai dengan domain konten, menentukan level kognitif soal yang sesuai, juga menemukan kemungkinan-kemungkinan kesalahan yang dilakukan siswa sehingga kita dapat menjadikan sebagai bahan pertimbangan dalam menyusun soal. Berikut ini adalah beberapa aspek yang harus kita penuhi dalam melakukan analisis soal: 1. Domain Konten Domain konten ini merupakan materi apa yang ada dalam soal yang akan kita analisis 2. Jenis Soal Karena dalam OSN ada 3 jenis soal yaitu soal yang berbentuk isian singkat, uraian dan eksplorasi, maka dalam aspek ini dalam menganalisis soal, kita dapat menetukan salah satu dari 3 jenis soal tersebut. 3. Level Kognitif



88



Seperti yang kita sudah ketahui sebelumnya bahwa level kognitif sesuai taksonomi Bloom diurutkan tingkatannya sebagai berikut ini: a. Creating Generating new ideas, products, or ways of viewing things Designing, constructing, planning, producing, inventing. b. Evaluating Justifying a decision or course of action Checking, hypothesising, critiquing, experimenting, judging c. Analysing Breaking information into parts to explore understandings and relationships Comparing, organising, deconstructing, interrogating, finding d. Applying Using information in another familiar situation Implementing, carrying out, using, executing e. Understanding Explaining ideas or concepts Interpreting, summarising, paraphrasing, classifying, explaining f. Remembering Recalling information Recognising, listing, describing, retrieving, naming, finding 4. Konsep Matematika yang Relevan Pada bagian ini, hampir sama dengan domain konten, hanya saja konsep di sini sifatnya lebih spesifik. Sebagai contoh, jika domain kontennya adalah bilangan, maka konsep matematika dapat berupa pecahan, atau kelipatan suatu bilangan, atau barisan bilangan, dll. 5. Kemungkinan Kesalahan atau Kesulitan Siswa Kemungkinan kesalahan atau kesulitan soal dapat berupa kesalahan konsep matematika, misal: salah mendefisiniskan suatu operasi aljabar, atau dapat berupa kesalahan proses berpikir, missal: salah dalam membuat atau menentukan suatu pola. 6. Kemungkinan Kesulitan Teknis Jika dalam poin 5 berhubungan dengan kesalahan secara konsep, maka dalam poin 6 ini kita berkutat dengan kesalahan secara teknis. Sebagai contoh, siswa kesulitan dalam mengoperasikan button-button yang tersedia dalam media ujian atau kompetisi.



89



1.1.



Materi Bilangan



Berikut ini adalah contoh sebuah soal OSN. Seorang tukang sablon membuat nomor dada pada 100 kaus mulai dari nomor 21 sampai dengan nomor 120. Banyaknya angka 0 yang harus ia buat adalah… (Soal OSN Tahun 2007)



Analisis Soal untuk contoh soal di atas adalah sebagai berikut. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten



Bilangan



Jenis Soal



Isian singkat



Level Kognitif



Mengevaluasi (C5)



Konsep



Baris dan deret



Matematika Kemungkinan



Siswa terjebak dengan angka 100 yang ada dalam soal.



Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan



-



Kesalahan Teknis



90



1.2.



Materi Geometri



Berikut ini adalah sebuah contoh soal OSN.



Berapa banyak persegi yang dapat dibentuk pada gambar disamping? (Soal OSN Tahun 2003)



Analisis soal untuk contoh soal di atas adalah sebagai berikut TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten



Geometri



Jenis Soal



Isian Singkat



Level Kognitif



Menganalisis (C4)



Konsep Matematika spasial Kemungkinan



Kurang teliti dalam menemukan persegi-persegi yang dapat



Kesalahan dan



dibentuk dari gambar yang diketahui



Kesulitan Siswa Kemungkinan



-



Kesalahan Teknis



1.3.



Teknik Perhitungan dan Pengukuran Data



Berikut ini adalah sebuah contoh soal OSN. Rata-rata dari empat bilangan bulat yang berbeda adalah 50. Jika bilangan terkecilnya adalah 45, maka bilangan terbesar yang mungkin dari keempat bilangan tersebut adalah… (Soal OSN Tahun 2013)



91



Analisis soal untuk contoh soal di atas adalah sebagai berikut TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten



Pengukuran data



Jenis Soal



Isian singkat



Level Kognitif



Mengevaluasi (C5)



Konsep



Rata-rata suatu data



Matematika Kemungkinan



Siswa bisa jadi melakukan kesalahan dalam mendefinisikan



Kesalahan dan



bilang bulat



Kesulitan Siswa Kemungkinan



-



Kesalahan Teknis



1.4.



Matematika Rekreasi



Berikut ini adalah sebuah contoh soal OSN.



The police arrested 4 suspects who know one another. The suspects know which one of them has stolen the watch, but the police could not find the watch on any one of them.



Albert: I did not steal the watch Bernard: Albert is lying Cecilia: Bernard stole the watch Denise: Bernard is lying If only one of them is telling the truth, who stole the watch? (Singapore International Math Olympiad Challenge 2015)



92



Analisis soal untuk contoh soal di atas adalah sebagai berikut TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten



Rekreasi matematika



Jenis Soal



Eksplorasi



Level Kognitif



C4 dan C5



Konsep Matematika Penalaran Kemungkinan



-Siswa kebingungan dalam breaking information



Kesalahan dan



-Siswa kesulitan dalam melakukan justifikasi



Kesulitan Siswa Kemungkinan



-



Kesalahan Teknis



2. PENYUSUNAN SOAL OSN-LIKE Dalam melakukan penyusunan soal OSN, kita juga harus mempertimbangkan beberapa aspek yaitu domain konten, jenis/bentuk soal, level kognitif dan kompetensi. Domain konten, jenis/bentuk soal dan level kognitif sudah kita pelajari dalam pembahasan-pembahasan sebelumnya. Untuk aspek kompetensi, kita diminta untuk menjelaskan apa yang harus dicapai oleh siswa untuk menyelesaikan soal OSN yang kita susun. Selain mempertimbangkan keempat aspek yang tersebut dalam paragraf 1, kita juga perlu mempertimbangkan soal-soal OSN dari tahun ke tahun sebagai referensi kita dalam menyusun soal. Bukan soal dalam bentuk yang mirip kemudian kita generalisir, namun soal dengan konten, bentuk/jenis soal, level kognitif dan kompetensi yang sama atau mendekati sama, namun dengan kemasan yang berbeda. Kemasan disini dapat berupa case yang kita gunakan, konteks yang kita gunakan, atau dapat berupa perpaduan beberapa soal-soal dari tahun-tahun sebelumnya. Oleh sebab itu, kita perlu melakukan analisis soal terlebih dahulu sebelum melakukan penyusunan soal. Dari hasil analisis ini kita akan mengetahui bagaimana merumuskan stimulus, termasuk kaidah penulisan soal dan bagaimana penyelesaiannya.



93



Alur penyusunan soal OSN dapat dilihat dalam flow chart berikut ini.



Domain Konten



Bentuk/ Jenis Soal



Level Kognitif



Kompetensi



Collecting dan Analysing soal-soal OSN tahun-tahun sebelumnya.



Menuliskan Butir Pertanyaan



94



Langkah-langkah di atas dapat di tuangkan dalam form penyusunan soal OSN-LIKE berikut ini. FORM PENYUSUNAN SOAL OSN-LIKE Domain



:



….



Bentuk Soal



:



....



Kompetensi



:



....



Level Kognitif



:



....



Soal-soal



:



….



referensi



Soal



Penyelesaian dan tekniknya



95



Selanjutnya, kita akan melihat contoh-contoh penyusunan dengan meggunakan form tabel di atas untuk tiap-tiap materi.



2.1. Materi Bilangan FORM PENYUSUNAN SOAL OSN-LIKE Domain



:



Bilangan



Bentuk Soal



:



Isian singkat



Kompetensi



:



Siswa mampu memecah informasi yang ada untuk menentukan hubungan antar informasi tersebut. Siswa mampu mengonstruksi model matematika dari informasiinformasi tersebut.



Level Kognitif



:



Soal-soal



: 1. Banyak pasangan bilangan prima antara 1-50 yang



referensi



Menganalisis dan Mengevaluasi (C4 dan C5)



jumlahnya 60 adalah… (OSN SD 2016) 2. Sebanyak 72 siswa dibagi menjadi 3 kelompok dengan perbandingan banyaknya anggota 3:4:5. Banyaknya siswa pada kelompok terkecil adalah… (OSN SD 2009) 3. Write the following numbers in order, from the smallest to 52 25



63



360



the largest; 65 , 50 , 105 , 900 (OSN SD 2004) 4. Jika a adalah hasil penjumlahan 5 bilangan prima pertama dan b adalah hasil penjumlahan faktor-faktor-faktor prima dari 12, berapakah selisih a dan b? (OSN SD 2003) 5. Seorang pedagang memiliki 210 kg kentang. Ia membungkus kentang tersebut ke dalam dua jenis kemasan plastic, yaitu 2 kg dan 5 kg. Ternyata banyaknya kemasan 2 kg tujuh buah lebih banyak dibandingkan kemasan 5 kg. Banyaknya kemasan 5 kg adalah… (OSN SD 2014)



96



Analisis soal: Dari kelima soal dengan domain bilangan di atas, dapat ditarik beberapa kesimpulan diantaranya: 1. Level soal berkisar antara menganalisis dan mengevaluasi. 2. Soal bisa berbentuk soal rutin maupun soal cerita. Namun meskipun ada beberapa yang berbentuk soal rutin, namun tetap membutuhkan analisis untuk menyelesaikannya 3. Kalimat yang digunakan jelas dan lugas sehingga mudah dipahami. 4. Tantangan soalnya adalah pada kemahiran siswa dalam



mengoperasikan



jenis-jenis



bilangan,



melakukan perbandingan dan dalam beberapa soal menuntut siswa untuk membawanya ke dalam model matematika. Soal



Penyelesaian dan strateginya



Seorang Ayah mewariskan sebidang Strategi: tanah untuk ketiga anaknya. Anak pertama diberi ¼ bagian dari tanah



1. Menggambar diagram lingkaran



ayah, anak kedua mendapatkan ¾ 1/4



bagian dari yang diterima anak pertama, dan anak ketiga mendapatkan dua kali yang diterima anak kedua. Jika tanah ayah sekarang bersisa 30 m2, maka luas tanah adalah…



Ayah



sebelum



diwariskan



Langkah ini bertujuan supaya siswa memiliki imajinasi nyata dari wujud sebidang



tanah



tersebut



sebelum



nantinya membuat model matematika. 2. Membuat model matematika Setelah



menggambar



diagram



lingkaran, diharapkan siswa dapat



97



mengontruksi hubungan antar bagian tanah ke dalam bentuk matematika. a. Menciptakan variabel untuk luas tanah



ayah.



(lakukan



recalling



mengenai definisi variabel). Luas tanah Ayah mula-mula = x b. Memodelkan dan mengonstruksi hubungan antara luas tanah yang diterima anak dengan luas tanah ayah. 1. Tanah anak pertama = ¼ x 2. Tanah anak kedua = ¾ (¼ x) = 3/16 x 3. Tanah anak ketiga = 2*¾ (¼ x) =2*3/16 x = 3/8 x c. Melakukan hubungan luas tanah ayah dengan diterima



luas tanah yang



ketiga



anak-anaknya



secara simultan dan sisa tanah. Luas tanah ayah = luas tanah anak pertama + luas tanah anak kedua + luas tanah anak ketiga + sisa  x = ¼ x + 3/16 x+ 3/8 x +30 m2  x = 13/16 x +30 m2  x – 13/16 x =13/16 x +30 m2 13/16 x  3/16 x =30 m2  3/16 x * 16/3 =30 m2 * 16/3  x = 160 m2



98



2.2. Materi Geometri FORM PENYUSUNAN SOAL OSN-LIKE Domain



:



Geometri



Bentuk Soal



:



Soal Uraian



Kompetensi



:



Siswa



mampu



mengaplikasikan



rumus,



mampu



menemukan bagian-bagian yang hilang dalam informasi yang harus didapatkan, mampu mengkontruksi gambar dari imajinasi visual yang didapatkan siswa dari informasi dalam soal. Level Kognitif



:



Mengaplikasikan, menganalisis, mencipta



Soal-soal



: 1. A spatial figure is put on a tiled floor. Each tile is a square



referensi



of size 30 cm x 30 cm. What is the volume of the figure. (OSN SD 2005)



2. Sebuah lingkaran menyinggung keempat sisi suatu laying-layang. Jika panjang dua sisi laying-layang adalah 30 cm dan 40 cm dan keduanya saling tegak lurus, berapakah luas lingkaran tersebut (OSN SD 2014) 3. KLMN adalah persegi panjang dengan KL = 12 cm dan LM = 8 cm.



99



Jika NP = QM, KO = ON dan LO = 4 LR, tentukan luas segitiga PQR. (OSN SD 2012) 4. Luas daerah yang diarsir adalah 80 cm2. Tentukan nilai a. (OSN SD 2016)



5. Diketahui sebuah tabung dengan jari-jari 2 cm dan tingggi 20 cm dan sebuah kerucut padat dengan jari—jari dan tinggi sama dengan tabung tersebut. Kerucut dipotong setengah dari tinggi tabung sejajar alas. Jika bagian bawah kerucut terpotong tersebut dimasukkan ke dalam tabung maka volume ruang di dalam tabung dan di luar kerucut terpotong (seperti tampak pada gambar) adalah.. (OSN SD 2016)



100



Analisis soal: Dari kelima soal dengan domain bilangan di atas, dapat ditarik beberapa kesimpulan diantaranya: 1. Biasanya disajikan gambar dalam soal-soal jenis ini. Namun juga tetap dapat disusun tanpa gambar sehingga akan



merangsang



kemampuan



siswa



untuk



memvisualisasikan kasus dalam soal. 2. Soal berbentuk soal cerita yang membutuhkan kemampuan analisis spasial. 3. Kalimat yang digunakan jelas dan lugas sehingga mudah dipahami. 4. Level kognitif soal-soal dalam materi ini adalah mengaplikasikan,



menganalisis,



mengevaluasi



dan



mencipta. 5. Tantangan yang biasanya muncul adalah keahlian siswa dalam bermain imajinasi dalam visualisasi spasial atau geometri. Soal



Penyelesaian dan strateginya



Terdapat 2 kaleng berbentuk tabung. Strategi: kaleng pertama yang memiliki tinggi 21 cm dapat terisi 3 bola besi penuh hingga permukaan luar bola besi menyentuh



1. Memvisualisasikan



case



dalam



soal



sisi-sisi kaleng. Jika kaleng kedua berisi 1 liter air dan tingginya hanya sampai setengah



kaleng,



tentukanlah



banyaknya bola besi maksimal dapat masuk kedalamnya hingga air nya tidak tumpah.



101



Langkah ini bertujuan supaya siswa memiliki imajinasi nyata dari wujud kaleng, bola dan kemudian mengetahui runtutan langkah yang harus dilakukan untuk mendapatkan ayang diminta dalam soal. 3. Bergerak dari belakang Setelah menggambar kedua tabung, diharapkan siswa dapat menentukan langkah-langkah untuk mendapatkan apa yang diminta soal. a. Karena butuh mengetahui berapa bola yang harus masuk supaya air penuh, maka ruangan yang masih tersisa adalah ½ liter, sama dengan 500 cm3. b. Butuh berapa bola? Maka harus mencari volume bola Volume



bola



didapatkan



jika



mengetahui jari-jari. Dari gambar kita tau bahwa 3 kali diameter bola sama



dengan



tinggi



tabung,



sehingga diameter bila adalah 21/3 yaitu 7. Sehingga jari-jari bola adalah 7/2. Jadi volume bola 3 bola adalah 3*4/3*22/7*7/2*7/2*7/2= 539 c. Mencari banyak bola Karena volume 3 bola 539 cm3 sementara kapasitas hanya 500 cm3 maka supaya air tidak tumpah maka



102



maksimal bola besi yang dapat masuk adalah 2 bola.



2.3. Materi Teknik menghitung, Data dan Pengukuran FORM PENYUSUNAN SOAL OSN-LIKE Domain



:



Teknik Menghitung, Data dan Pengukuran



Bentuk Soal



:



Isian singkat



Kompetensi



:



Siswa mampu menentukan rumus apa yang akan diimplementasikan. Siswa mampu menganalisis informasi yang didapatkan sehingga mampu memodifikasi rumus yang digunakan supaya mendapatkan apa yang diminta dalam soal.



Level Kognitif



:



Soal-soal



: 1. If a = 2-1 and b = 2/3 find the value of (a-1+b-1)-2



referensi



Mengaplikasikan dan menganalisis.



(Philippine Mathematical Olympiad 2009) 2. Calculate A-B if we have sequence 1,4,9,A,25,36,B. (Asian Science and Math Olympiad 2015) 3. Diketahui 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 999 999 999 = N. tentukan nilai N. (OSN SD 2007) 4. Budi has the following data Q, 19, 7, 15, 18 If the average of the numbers on the data is 20, find the value of Q. 5. Nilai 50 siswa disajikan pada diagram batang berikut.



103



Seorang siswa disebut pintar apabila nilai yang diperoleh lebih dari nilai rata – rata ditambah 1 ½. Berapa banyak siswa yang tergolong pintar? (OSN SD 2014) Analisis soal: Dari kelima soal dengan domain teknik menghitung, data dan pengukuran di atas, dapat ditarik beberapa kesimpulan diantaranya: 1. Beberapa soal disajikan diagram. 2. Soal bisa berbentuk soal rutin atau soal cerita yang membutuhkan kemampuan analisis. 3. Kalimat yang digunakan jelas dan lugas sehingga mudah dipahami. 4. Level kognitif soal-soal dalam materi ini adalah mengaplikasikan, menganalisis dan mengevaluasi 5. Tantangan yang biasanya muncul adalah keahlian siswa dalam



mengubah



bentuk



perpangkatan,



menginterpretasikan diagram, menentukan pola bilangan dan mengaplikasikan rumus-rumus statistika deskriptif untuk menentukan nilai yang dicari. Soal



Penyelesaian dan strateginya



Dalam sebuah kelas, terdapat 20 anak Strategi: dengan rata-rata tinggi badan anak adalah 160 cm. Jika satu anak baru masuk dan rata-rata tinggi badannya



1. Menyelesaikan hal yang lebih sederhana



104



menjadi 160,4 cm, tentukan tinggi anak



Dimulai dari kasus jika didalam kelas



yang baru saja masuk.



hanya ada 3 anak, kemudian ada satu anak



baru



masuk.



Menentukan



bagaimana hubunga antara rata-rata sebelum anak masuk dengan setelah anak masuk. 2. Mengaplikasikan



rumus



(membuat model matematika) Menggunakan rumus mean Rata-rata = jumlah tinggi badan anak/ banyak anak  160 = jumlah tinggi badan anak / 20  jumlah tinggi badan anak = 160*20 = 3200 3. Memodifikasi rumus Rata-rata baru = jumlah tinggi badan anak yang baru / jumlah anak yang baru  160,4=(3200+x)/21 3368,4=3200+x 3368,4-3200=x  168,4= x



105



2.4. Materi Rekreasi Matematika FORM PENYUSUNAN SOAL OSN-LIKE Domain



:



Rekreasi Matematika



Bentuk Soal



:



Eksplorasi



Kompetensi



:



Siswa mampu memecah informasi-informasi yang diapat, mampu melakukan experiment kemudian mengecek hasil yang didapat. Siswa mampu menciptkan sesuatu yang analog dengan yang diketahui.



Level Kognitif



:



Menganalisis, mengevaluasi dan mencipta



Soal-soal



: 1. Place the numbers 0, 0, and -1 on the square of the 4 x 4 grid



referensi



so that the eight rows and coloumns sums will be different. (OSN SD 2008) 2. Seorang dermawan berniat menyumbangkan uang sebesar



Rp.



2.000.000.000,00



perpustakaan sekolah. Dia ingin



untuk



sejumlah



menyumbangkan



seluruh uang tersebut kepada tepat 100 sekolah. Dia ingin menyumbang Rp. 60.000.000,00 untuk tiap SMA, Rp. 40.000.000,00 untuk tiap SMP dan Rp. 10.000.000,00 untuk tiap SD. Sebagai contoh dia dapat menyumbangkan pada 20 SMA dan 80 SD. Tentukan semua kemungkinan komposisi



banyaknya



SMA,



SMP,



dan



SD



yang



memungkinkan keinginan dermawan tersebut dapat terlaksana. (OSN SD 2013) 3. Cari sebanyak mungkin pasangan bilangan bulat positif (P, Q) yang memenuhi P/8=6/Q (OSN SD 2015) 4. Terdapat sebelas kartu bilangan 5, enam kartu bilangan 7 dan tujuh kartu bilangan 8. Gunakan semua kartu bilangan tersebut untuk membuat tiga tumpukan kartu



106



bilangan sehingga setiap tumpukan memuat ketiga macam kartu bilangan dengan jumlah bilangan di setiap tumpukan sama. (OSN SD 2016) 5. The independence day of the republic Indonesia is 17-81945. The ordering numbers from that date is 1,4,5,7,8,9. Arrange the numbers into the white triangle on the base of pyramid and then fill the white triangles above which is the sum of two numbers of two adjacent white triangles below, so that the arrangement produces the greatest value at the top of the pyramid. (OSN SD 2017) Analisis soal: Dari kelima soal dengan domain matematika rekreasi, dapat ditarik beberapa kesimpulan diantaranya: 1. Beberapa soal memiliki multi penyelesaian. Artinya jawaban antara anak yang satu dengan yang lain sangat mungkin berbeda-beda. 2.



Tipe soal cenderung seperti kasus games dengan konteks matematika.



3. Soal



tidak



terikat



banyak



peraturan



sehingga



menstimulus siswa untuk berkreasi sebebas mungkin. 4. Kalimat yang digunakan jelas dan lugas sehingga mudah dipahami. 5. Level kognitif soal-soal dalam materi ini adalah mengaplikasikan,



menganalisis,



mengevaluasi dan



menciptakan 6. Tantangan yang biasanya muncul adalah keahlian siswa dalam



mengubah



menginterpretasikan



bentuk diagram,



perpangkatan, menentukan



pola



bilangan dan mengaplikasikan rumus-rumus statistika deskriptif untuk menentukan nilai yang dicari.



107



Soal



Penyelesaian dan Strateginya



Buatlah



sebanyak



mungkin



kotak Strategi:



persegi berikut dengan cara mengisikan bilangan asli kurang dari 20 ke dalam kotak-kotak



kosong



Mencoba-coba secara sitematis



sehingga Solusi yang didapatkan sangat banyak.



didapatkan jumlah yang sama untuk penjumlahan angka-angka horizontal maupun vertikal 5 3



8 10



16 11



4



3. EVALUASI Secara berkelompok, Susunlah 1 set soal OSN SD lengkap dengan form penyusunan soal.



108



BAB IV



RANCANGAN PEMBELAJARAN Rancangan pembelajaran ini merupakan suatu langkah yang perlu kita lakukan



untuk menentukan cara mendampingi siswa untuk menguasai suatu materi tertentu sehingga kita dapat menentukan teknik yang tepat dan menyenangkan. Yang kita lakukan dalam tahapan ini adalah merancang kegiatan pembelajaran untuk menyelesaikan masalah kelemahan siswa dengan memperhatikan konten, konsep dan proses berpikir siswa. Beberapa aspek yang akan kita lengkapi dalam melakukan step ini adalah: 1. Konten Sama dengan bagian 1 dalam analisis soal, konten dapat diisi dengan materi yang akan kita gunakan dalam rencana pembelajaran kita. 2. Konsep Seperti yang telah disampaikan dalam bagian sebelumnya, konsep disini adalah konsep matematika yang diaplikasikan dalam rencana pembelajaran. 3. Proses Berpikir Pada bagian proses berpikir, kita menentukan urutan berpikir siswa dalam menyelesaikan suatu permasalahan atau problem yang sesuai dengan materi yang diberikan. 4. Sumber belajar berupa masalah Sumber belajar yang dimaksudkan di sini adalah sumber-sumber info yang dapat digali siswa untuk menyelesaikan problem yang diberikan. 5. Rancangan kegiatan pembelajaran Dalam poin 5 inilah guru menuliskan urutan kegiatan-kegiatan dalam proses pembelajaran dengan suatu konten tertentu yang telah dipilih supaya nantinya siswa dapat menguasai konten yang kita berikan. Berikut ini adalah form yang dapat dilengkapi dalam melakukan rancangan pembelajaran. 109



FORM PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN Konten Konsep Proses Berpikir Sumber belajar berupa masalah (soal diagnostik) Rancangan Kegiatan Pembelajaran



110



1.1. Materi Bilangan



Berikut ini adalah contoh rencana pembelajaran untuk materi bilangan. FORM PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN Konten



Bilangan



Konsep



Operasi hitung, perbandingan, pecahan, prosentase



Proses Berpikir



Menggunakan konsep, fakta, prosedur dan penalaran matematika



Sumber belajar 1. Jika Ayah mempunyai sebidang tanah seluas 1000 m2, dan ia berupa



memberikan ¾ bagian kepada anaknya yang pertama, maka berapa



masalah



meter persegi tanah yang diterima anak pertamanya tersebut?



(soal diagnostik)



2. Ayah mempunyai sebidang tanah seluas 1000 m2. a. Jika 1/4 bagian diberikan kepada anak pertamanya, tentukan berapa meter persegikah yang diterima anak pertama tersebut. b. Jika anak kedua mendapatkan 50 m2 lebih luas dibandingkan anak pertama, maka tentukan yang diterima anak keduanya. c. Anak ketiga mendapatkan 20% dari luas tanah yang dipunyai ayah. Maka tentukan berapa meter persegi yang diterima anak ketiga. 3. Ayah mempunyai sebidang tanah seluas 1000 m2.



Diberikan untuk anak sulung



20% untuk anak bungsu



50m2 lebih luas dari anak sulung diberikan Untuk anak kedua a. Urutkanlah mana yang mendapatkan bagian dari yang paling sedikit ke yang paling banyak 111



b. Tentukanlah sisa tanah Ayah



Rancangan Kegiatan



1. Guru mengenalkan 1 kasus



Pembelajaran



2. Guru mengenalkan 3 kasus 3. Guru menggunakan 3 kasus lalu memberikan pertanyaan lain yang merupakan implikasi daripertanyaan 3 kasus sebelumnya dan mengerjakan LKPD secara individu da nada siswa yang ditunjuk sebagai



perwakilan



untuk



mempresentasikan



hasil



yang



didapatkan. 4. Siswa dibagi beberapa kelompok, masing-masing kelompok membuat kasus terakhir. Setelah soal terbentuk, masing-masing



112



kelompok bertukar soal, untuk dikerjakan dan dipresentasikan serta didiskusikan bersama.



1.2. Materi Geometri



Konten



Geometri



Konteks



Pekerjaan



Proses



Menggunakan konsep, fakta, prosedur dan penalaran matematika



KD/



Operasi hitung, luas permukaan, perkalian, menentukan penampakan



Topik



dari arah yang berbeda



Matematika Sumber belajar berupa masalah



1. Kasus mengisi bak air.



(soal



Sebuah bak air berbentuk balok. Panjang, lebar dan tinggi bagian



diagnostik)



dalamnya berturut-turut 60 cm, 50 cm dan 40 cm. Ayah ingin mengisi bak air tersebut. Berapa liter airkah yang Ayah butuhkan supaya bak air tersebut penuh dan tidak tumpah.



2. Kasus ember berbentuk kerucut terpotong Ayah mempunyai ember berbentuk kerucut terpotong. Jari-jari alasnya sepanjang 15 cm. dan jari-jari pada lingkaran yang terbentuk pada bagian bibir ember adalah 20 cm. tinggi ember tersebut adalah 50 cm. Gambarkanlah ember tersebut. Tentukanlah berapa liter air yang dapat dimuat oleh ember tersebut.



3. Kasus mengisi bak mandi menggunakan ember Dari kasus nomor 1, ayah harus menggunakan ember pada kasus nomor 2 untuk mengisi bak air. Tentukanlah berapa kali ayah harus



113



mengambil air di sumur dengan menggunakan ember itu supaya bak mandi penuh. 4. Dari kasus nomor 3, air akan mulai tumpah saat ayah menuangkan air pada angkutan yang keberapa?



Rancangan Kegiatan



1. Guru menyampaikan kasus bak air



Pembelajaran



2. Guru menyampaikan kasus ember 3. Guru menyampaikan



kasus



bak mandi yang akan diisi



menggunakan ember 4. Guru menyampaikan kasus air mulai tumpah 5. Guru meminta siswa mengimplementasikan rumus-rumus yang ada untuk mendapatkan jawaban yang diminta 6. Guru menstimulus siswa untuk menemukan hubungan antara ember dengan bak air 7. Secara perwakilan ada siswa yang presentasi. 8. Guru meminta siswa yang lain untuk mengevaluasi hasil yang dipresentasikan siswa yang presentasi.



1.3. Materi Teknik Perhitungan, Data dan Pengukuran



Konten



Statistika



Konteks



Pekerjaan



Proses



Menggunakan konsep, fakta, prosedur dan penalaran matematika



KD/



Membaca diagram, membaca tabel, menentukan rata-rata



Topik Matematika Sumber belajar berupa



4. Disajikan diagram, siswa diminta mencari informasi apa saja yang ada pada diagram, ditambahkan dengan pernyataan B-S.



masalah



114



(soal diagnostik)



5. Disajikan diagram garis, siswa diminta mencari informasi apa saja yang ada pada diagram, ditambahkan dengan pernyataan B-S.



6. Disajikan diagram lingkaran, siswa diminta mencari informasi apa saja yang ada pada diagram (termasuk mengurutkan), ditambahkan dengan pernyataan B-S.



115



7. Disajikan kasus terkait dengan rata-rata nilai.



8. Disajikan kasus terkait dengan peluang.



9. Disajikan kasus terkait dengan peluang



116



10. Disajikan tabel pada spreadsheet, siswa mencoba untuk mengurutkan dan mencari selisih, serta mencari rata-rata



Sumber: https://www.bps.go.id/statictable/2014/09/05/1532/persentasependuduk-berumur-5-tahun-ke-atas-menurut-golongan-umur-daerahtempat-tinggal-dan-partisipasi-sekolah-2000-2016.html Rancangan Kegiatan



1.



Pembelajaran



Guru menyajikan diagram batang, garis, dan lingkaran, siswa menyelesaikan masalah yang diajukan oleh guru.



2.



Guru menyajikan masalah terkait rata-rata, siswa menyelesaikan masalah tersebut.



3. Guru menyajikan masalah terkait peluang, siswa menyelesaikan masalah tersebut. 4. Guru menyajikan tabel terkait prosentase penduduk di suatu perkotaan berdasarkan usia, siswa menyelesaikan masalah dengan bantuan spreadsheet. 5. Masing-masing kelompok membuat kasus yang setipe, kemudian ditukar dengan kelompok lain, dikembalikan ke kelompok pembuat soal, dan berdiskusi. Sumber: P4TK Matematika Yogyakarta



117



1.4. Matematika Rekreasi



Konten



Matematika Rekreasi



Konteks



Personal



Proses



Menggunakan konsep, fakta, prosedur dan penalaran matematika



KD/



Mathematics Logical Games, pola, experiment



Topik Matematika Sumber belajar



1. Susi pergi ke kantor pos membeli 3 buah perangko. Ada banyak



berupa masalah



cara petugas pos memberi susi 3 buah pernagko yang saling



(soal



bergandengan. Buatlah sebanyak mungkin pola pemotongan tiga



diagnostik)



buah perangko tersebut. 2. Dalam kasus nomor 1, tentukanlah jawabanmu jika perangko yang dibeli susi ada 4. 3. Perhatikan gambar berikut.



Dapat terlihat, jika lingkarannya ada 2 maka titik potong yang terbentuk maksimal ada 2, jika lingkarannya ada 3, maka titik potongnya maksimal ada 6, bagaimana jika ada 4 lingkaran? 4. Pada kasus 3, bagaimana jika lingkarannya ada 5? 5. Kita mempunyai beberapa segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 satuan. Susunlah beberapa segiitiga sama sisi sehingga membentuk segi-6 beraturan yang panjang sisinya 1 satuan. Tentukan segitiga yang diperlukan 6. Pada kasus nomor 5, Susunlah beberapa segiitiga sama sisi sehingga membentuk segi-6 beraturan yang panjang sisinya 2 satuan. Tentukan segitiga yang diperlukan 7. Pada kasus nommor 5, berapa banyak segitiga yang diperlukan jika ingin membuat segi enam beratutan dengan panjang sisi 3 satuan? 118



8. Pada kasus nomor 5, tentukan banyak segitiga supaya panjangnya 10 satuan.



Rancangan Kegiatan



1.



Pembelajaran



Guru menyampaikan setiap kasus dengan memulai dari kasus yang paling sederhana



2.



Guru meminta siswa untuk mulai menemukan pola yang kedua, ketiga, keempat dan seterusnya



3.



Guru meminta perwakilan siswa mempresentasikan hasilnya



4.



Guru meminta siswa-siswa lain memberikan tanggapan



5.



Guru memberikan validasi



1.5. Evaluasi



Susunlah sebuah rancangan pembelajaran untuk tiap-tiap materi Olimpiade Matematika SD



119



TEST AKHIR (POST-TEST) 1. Soal-soal pengetahuan mengenai program OSN a. Apa yang anda ketahui mengenai program OSN SD? b. Kapan program ini dilaksanakan? c. Sebutkan persyaratan yang harus dipenuhi untuk mengikuti program ini d. Jelaskan urutan skema atau prosedur dalam mengikuti program ini. e. Ada berapa jenis soal yang ada dalam program ini. f. Sebutkan cakupan materi dalam program ini. 2. Menyelesaikan soal-soal OSN SD Pahami soal-soal berikut ini kemudian jelaskanlah cara strategi menyelesaikan soal-soal tersebut sesuai dengan usia siswa SD. a. Tiga calon bupati yaitu Amir, Budi dan Chairul mengikuti pemilihan kepala desa atau lurah. Amir mendapatkan suara tiga kali lebih banyak dari suara Budi. Chairul mendapatkan suara dua kali dari suama untuk Amir. Jika jumlah warga yang mengikuti pemilu ada 30.000 warga, tentukan banyak suara yang diperoleh Budi. b. Sebuah wadah berbentuk balok dengan alas persegi berukuran 10 cm x 10 cm dan tinggi 40 cm, berisi air dengan ketinggian 32 cm. saat wadah direbahkan maka ketinggian air adalah… cm c. Di suatu perpustakaan di sebuah sekolah, tercatat ada 150 pengunjung di hari senin, ada 17A pengunjung di hari selasa, 162 pengunjung di hari rabu, 170 pengunjung di hari kamis, 1B3 pengunjung di hari jumat, dan 153 pengujung di hari sabtu. Jika rata-rata pengunjung perpustakaan sekolah tersebut dalam enam hari ternyatasama banyaknya dengan salah satu dari kunjungan itu. Apabila 17A dab 1B3 menyatakan bilangan 3 digit, tentukanlah nilai A dan B yang memenuhi. d. Tuliskan sebanyak mungkin bilangan asli yang memenuhi semua empat sifat berikut ini. 1. Terdiri atas 4 digit yang semuanya berbeda 2. Tidak memuat digit 0 3. Jumlah keempat digitnya habis dibagi 4 4. Hasil kali 2 digit pertama sama dengan hasil kali dua digit terakhir 3. Melakukan Analisis Soal OSN SDD Pahami soal pada nomor 2 sesuai dengan poinnya, kemudian lengkapilah tabel di bawah ini untuk melakukan analisis soal.



120



a. Soal 2a. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten Jenis Soal Level Kognitif Konsep Matematika Kemungkinan Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan Kesalahan Teknis b. Soal 2b. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten Jenis Soal Level Kognitif Konsep Matematika Kemungkinan Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan Kesalahan Teknis c. Soal 2c. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten Jenis Soal Level Kognitif Konsep Matematika Kemungkinan Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan Kesalahan Teknis



121



d. Soal 2d. TABEL ANALISIS SOAL Domain Konten Jenis Soal Level Kognitif Konsep Matematika Kemungkinan Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kemungkinan Kesalahan Teknis e. Melakukan Penyusunan SOAL OSN SD Susunlah 1 saja soal OSN SD lengkap dengan penyelesaiannya. f. Melakukan Penyusunan Rancangan Pembelajaran Tentukan satu konten materi OSN Matematika SD kemudian susunlah rancangan pembelajaran untuk konten tersebut.



122



DAFTAR PUSTAKA



Binatari N, Noviyanti D, Ahmadi, dkk. 2020. Pakar Bedah Soal+Materi OSN Olimpiade Sains Naional Matematika SD. Forum Edukasi: Yogyakarta Muslihun. 2020. Insight KSN Kompetisi Sains Nasional Matematika SD. Lesonid: Jakarta Tim Master OSN. Sukses Juara Olimpiade Nasional OSN Matematika SD Sederajat. Graha Publika Cipta & Thema Publishing: Yogyakarta Tim Pustaka Cerdas. 2019. Siap Jadi Juara OSN Matematika. Pustaka Baru Press: Yogyakarta



123