Peluang [PDF]

Citation preview

UKURAN PENYEBARAN DATA (DISPERSI) Ukuran penyebaran data (dispersi) meliputi : jangkauan, kuartil,desil,presentil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata dan simpangan baku. 1. Jangkauan. Jangkauan atau Range (R) adalah selisih data terbesar (xmax) dengan data terkecil (xmin). R = xmax - xmin Contoh. Tentukan jangkauan data : 7, 12, 9, 11, 15, 27, 14, 17, 19, 24, 16 Jawab : R = 27 –7 = 20 2. Kuartil Jika median membagi data terurut menjadi 2 bagian yang sama maka kuartil adalah nilai yang mambagi data terurut menjadi 4 bagian yang sama. Q1 = kuartil bawah Q2 = kuartil tengah (median) Q3 = kuartil atas







Kuartil data tunggal Letak Qi = data ke



dengan i = 1,2, 3



i .(n+1) 4



Contoh .Tentukan semua kuartil pada data : a) 4, 5, 8, 9, 7, 6, 5 (banyak data ganjil) b) 2, 3, 8, 4, 5, 8, 9, 7, 6, 6, 1, 7 (banyak data genap) Jawab : a) data diurutkan menjadi 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9



↑



↑



Q1 Jadi kuartil bawah ( Q1 ) kuartil tengah ( Q2 ) kuartil atas ( Q3 )



Q2



Q3



=5 =6 =8



b ) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9



↑ Q1



↑ Q2



↑ Q3



Kuartil bawah Q1 =



Kuartil tengah Q2 =



Kuartil atas



Q3 =



3+4 2 6 +6 2 7 +8 2



1



= 3,5



=6



= 7,5



↑



 Kuartil data berkelompok Untuk menghitung kuartil data berkelompok digunakan rumus :



dengan i = 1,2,3 ; untuk i = 1 (kuarti bawah); untuk i = 2 (kuartil tengah/median); untuk i = 3 (kuartil atas)



Qi = Tb + p.



Qi = kuartil ke-i Tb = tepi bawah kelas interval Qi P = panjang kelas interval Qi n = = banyak data



∑f



F = frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi f = frekuensi pada kelas Qi Contoh. Hitung kuartil bawah dan kuartil atas pada data berikut : Interval 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 Penyelesaian : Kuartil bawah (Q1) terletak pada Nilai Q1 = 25,5 + 5.



(



1 4



. 40−3



)



9 Kuartil atas (Q3) terletak pada Nilai Q3 = 45,5 + 5.



(



3 . 40−29 4



11



3 . 40=30 4



)



(kelas interval 26-30)



1 . 40=10 4 = 25,5 +



= 45,5 +



35 9



= 29,39



(kelas interval 46-50)



5 11



= 45,95



 Jangkauan Antar Kuartil ( Hamparan = H ) Adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah. H = Q3 – Q1



2



f 3 9 4 10 3 11



Fk 3 12 16 26 29 40



 Jangkauan Semi Inter Kuartl (Simpangan Kuartil = Qd ) Adalah setengah dari hamparan ; Qd = H = .( Q3 – Q1)



 Langkah (L) Satu langkah adalah satu setengah hamparan Qd = . H = .( Q3 – Q1)



3. Desil Desil adalah suatu ukuran yang membagi sekelompok data menjadi 10 bagian sama panjang setelah data diurutkan. Ada 9 macam desil, yaitu; desil ke-1 (D1), desil ke-2 (D2), …..,dan seterusnya hingga desil ke-9 (D9). Untuk data tunggal, jika banyak data n dan Di adalah desil ke-i, maka Letak Di = data ke dengan i = 1,2,3,4,…,9



i .(n+1) 10



Contoh; Tentukan D3, dan D5 dari ; 6, 4, 6, 4, 7, 5, 6, 5, 8, 7, 7, 7, 8, 6 ! Penyelesaian; Data diurutkan menjadi ; 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8 Data 4 4 5 5 6 6 6 6 Data ke1 2 3 4 5 6 7 8 Letak Di = data ke



7 9



7 10



7 11



7 12



8 13



i .(n+1) 10



3.(14 + 1) 10 Letak D3 = data ke= data ke- 4,5 (x 4,5) Dengan interpolasi diperoleh : Nilai D3 = x4 + 0,5(x5 – x4) D3 = 5 + 0,5(6 – 5) D3 = 5,5



5.(14 + 1) 10 Letak D5 = data ke= data ke- 7,5 (x 7,5) Dengan interpolasi diperoleh : Nilai D5 = x7 + 0,5(x8 – x7) D5 = 6 + 0,5(6 – 6) D5 = 6 (bandingkan dengan menghitung nilai median) Desil data berkelompok dapat dihitung dengan rumus : Di = Tb + p.



i = 1,2,3,4,…,9



Dengan Di = desil ke-i 3



8 14



Tb = tepi bawah interval kelas Di P = panjang kelas interval Di n = = banyak data



∑f



F = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di f = frekuensi pada kelas Di Contoh. Hitung nilai D5 dan D8 dari data berdistribusi kelompok berikut : Interval f 21-25 3 26-30 9 31-35 4 36-40 10 41-45 3 46-50 11 Penyelesaian ; Desil ke-5 terletak pada (kelas interval 36-40)



Fk 3 12 16 26 29 40



5 . 40=20 10



D5 = 35,5 + 5



(20-16 ) 10



D5 = 35,5 + 2 = 37,5 Desil ke-8 terletak pada D8 = 45,5 + 5



8 . 40=32 10



(kelas interval 46-50)



32 -29 11



D8 = 45,5 + 1,4 = 46,9 4. Persentil Persentil adalah ukuran yang membagi sekelompok data terurut menjadi 100 bagian sama panjang. Ada 99 macam persentil yang masing-masing adalah P1, P2, P3, …, P99. Persentil data tunggal maka : Letak Pi = data ke , dengan i = 1,2,3,……,99



i .(n+1) 100



Contoh; Tentukan P30, dan P75 dari ; 6, 4, 6, 4, 7, 5, 6, 5, 9, 7, 10, 7, 10, 6 ! Penyelesaian; Data diurutkan menjadi ; 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 10 Data 4 4 5 5 6 6 6 6 7 Data ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 Letak Pi = data ke



i .(n+1) 100



4



7 10



7 11



9 12



10 13



10 14



30.(14 + 1) 100 Letak D30 = data ke= data ke- 4,5 (x 4,5) Dengan interpolasi diperoleh : Nilai P3 = x4 + 0,5(x5 – x4) P3 = 5 + 0,5(6 – 5) P3 = 5,5



75.(14 + 1) 100 Letak D75 = data ke= data ke- 11,25 (x 11,25) Dengan interpolasi diperoleh : Nilai P75 = x 11 + 0,25(x 12 – x 11) P75 = 7 + 0,25(9 – 7) P75 = 7,5



Persentil data berkelompok dihitung dengan rumus :



Pi = Tb + p.



i = 1,2,3,……,99



Dengan : Pi = persentil ke-i Tb = tepi bawah interval kelas Pi p = panjang kelas interval Pi n = = banyak data



∑f



F = frekuensi kumulatif sebelum kelas Pi f = frekuensi pada kelas Pi Contoh. Hitung nilai P 25 dari data berdistribusi kelompok berikut : Interval f 21-25 3 26-30 9 31-35 4 36-40 10 41-45 3 46-50 11 Penyelesaian ; Persentil ke-25 terletak pada (kelas interval 26-30)



Fk 3 12 16 26 29 40



25 . 40=10 100



P25 = 25,5 + 5



(10-3 9 )



P25 = 25,5 + 3,9 = 29,4 5.



Simpangan rata-rata ( SR) Simpangan rata-rata sekumpulan data adalah rata-rata dari selisih mutlak nilai semua data terhadap rata-ratanya.  Data tunggal Simpangan rata-rata data tunggal dapat ditemukan dengan rumus; 5



dengan xi = nilai data = mean (rata-rata)



SR =



x



n = banyak data Contoh; Tentukan simpangan rata-rata data : 7,11,10,9,8,6



Penyelesaian; =



x



7 +11+10+9+ 8+6 6



SR =



=



= 8,5



|7−8,5|+|11−8,5|+|10−8,5|+|9−8,5|+|8−8,5|+|6−8,5| 6 =



1,5+ 2,5+ 1,5+0,5+0,5+2,5 6



9 6



= 1,5



 Data berkelompok Simpangan rata-rata data berkelompok dirumuskan dengan : dengan fi = frekuensi data kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i = mean (rata-rata)



SR =



x



∑ fi



Contoh : Tentukan simpangan rata-rata data Interval fi xi 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 Jumlah



Penyelesaian; Mean =



x



2 8 9 6 3 2 30



∑ f i . xi ∑ fi



=



fi.xi



23 28 33 38 43 48



46 224 297 228 129 96 1020



= 34



1020 30 6



= n = banyak data



xi  x 11 6 1 4 9 14



fi.



xi  x 22 48 9 24 27 28 158



SR =



∑ f i .|xi− x|



=



= 5,27



158 30



∑ fi



6. Simpangan baku (Deviasi Standar = SD)  Data tunggal Simpangan baku (SD) dari data x1, x2, x3, …..,xn adalah : SD =



dengan xi = data ke-i = mean (rata-rata)



x



n = banyak data



Contoh: Tentukan simpangan baku data 5, 3, 7, 6, 4, 3, 10, 2 Penyelesaian; = = =5



x



5+ 3+7+6+ 4+ 3+ 10+2 8



40 8



SD =



√



(5−5 )2 +(3−5 )2 +(7−5 )2 +(6−5 )2 +( 4−5)2 +(3−5)2 +(10−5 )2 +(2−5 )2 8 =



√



=



0+ 4+4+ 1+1+ 4+25+9 8



√



=



48 8



√6



 Data berkelompok Simpangan baku (SD) dari data yang terdistribusi kelompok dapat ditentukan dengan; SD =



dengan fi = frekuensi kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i = mean(rata-rata)



x



∑ fi



Contoh. Hitung simpangan baku dari data : Interval



fi



xi



21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 Jumlah



2 8 9 6 3 2 30



23 28 33 38 43 48



xi- x -11 -6 -1 4 9 14



7



= n = banyak data



(xi- x )2 121 36 1 16 81 196



fi.(xi- x )2 242 288 9 96 243 392 1270



Penyelesaian; Mean SD =



x



√



= 34 ( sudah dicari di atas) =



1270 30



√ 42,33



= 6,51



7. Nilai standar (Z-SCORE) Nilai standar (Z-Score) adalah nilai yang menyatakan perbedaan antara besar suatu hal/variabel dengan rata-ratanya. Nilai standar digunakan untuk membandingkan dua hasil pengukuran atau lebih sehingga diketahui keberhasilan dua usaha yang dinyatakan dalam data (angka). Untuk menghitung besarnya Nilai Standar (Z-Score) digunakan rumus : Z=



dengan Z = nilai standar x = nilai data = mean (rata-rata)



x



s = simpangan baku (SD) Contoh 1. Pada ujian matematika, Anik mendapat nilai 63, rata-rata kelasnya 50 dan simpangan baku 10. Berapa Nilai Standar matematika Anik ? Jawab : x = 65 , = 50 , s = 10



x



Z=



x− x s



=



65−50 10



= 1,5



Berarti nilai matematika Anik menyimpang 1,5 di atas nilai rata-rata. Contoh 2. Nilai matematika 40 siswa rata-ratanya = 68 dan simpangan bakunya 10. Nilai fisika ke 40 siswa rata-ratanya =75 dan simpangan bakunya 15. Surya mendapat nilai matematika 80 dan nilai fisika 85. Dalam mata pelajaran apa Surya mendapatkan kedudukan yang lebih baik dari 40 siswa ? Jawab : Nilai standar matematika Zm = = 1,2



80−68 10



8



Nilai Standar fisika



Zf =



85−75 15



= 0,67



Karena Zm > Zf maka kedudukan Surya lebih tinggi dalam matematika dibandingkan dengan fisika. 8. Koefisien variasi (KV) Koefisien variasi adalah nilai yang menyatakan prosentase simpangan baku dari rataratanya. Digunakan untuk melihat merata tidaknya suatu nilai data (keseragaman). Makin kecil nilai KV data makin seragam (homogen). Makin besar nilai KV data makin heterogen. Koefisien Variasi dirumuskan dengan : KV = x 100 %



dengan KV = koefisien variasi s = simpangan baku (SD) = mean (rata-rata)



x



Contoh. Lampu neon merk A rata-rata dapat dipakai selama 3000 jam dengan simpangan baku 500 jam. Lampu neon merk B rata-rata dapat dipakai selama 5000 jam dengan simpangan baku 600 jam. Lampu merk manakah yang lebih merata masa pakainya ? Jawab : KV lampu merk A = x 100 % = 16,67 %



500 3000



KV lampu merk B =



600 5000



x 100 % = 12 %



Karena KV lampu merk B lebih kecil dari KV lampu merk A, berarti lampu merk B lebih merata masa pakai lampunya.



9



Tugas 1. Berat badan 12 orang (dalam kg) adalah : 60, 55, 57, 81, 78, 72, 69, 62, 60, 52, 49, 45 Hitunglah jangkauan antar kuartil, jangkauan semi inter kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, nilai standar dan koefisien variasinya ? 2. Diketahui tabel nilai matematika 80 siswa : Nilai Frekuensi (f) 36-40 2 41-45 12 46-50 30 51-55 19 56-60 10 61-65 5 66-70 2 Jumlah 80 a. b.



Carilah Q3, D8 dan P70 Carilah nilai H, Qd, SR, SD, Z dan KV



10



SOAL 1. Dari data berikut tentukan nilai simpangan kuartil, desil ke-6 dan jangkauan persentil ! Umur (th) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Jumlah 15 18 21 27 35 25 15 8 6 2.Diketahui data sebagai berikut : Nilai f 41-45 9 46-50 16 51-55 25 56-60 35 61-65 21 66-70 12 71-75 7 Jumlah 125



3.



4.



Tentukan : Q1, D4 dan P10 Nilai praktek komputer dari 8 siswa adalah 60, 57, 81, 78, 72, 69, 62, 60 Tentukan jangkauan, simpangan baku, koefisien variasi dan Z-Score untuk nilai praktek siswa 69 ! Berikut adalah nilai praktek bengkel 40 siswa :



Tentukan :



Nilai



Frekuensi



51-60



2



61-70



28



71-80



8



81-90



2



Jumlah



40



a. simpangan rata-ratanya b. simpangan bakunya 11



5.



Tentukan jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan baku dan koefisien variasi dari data 6, 8, 12, 19, 27, 25, 24, 41, 37, 51 6. Tentukan jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan baku dan koefisien variasi dari data : Nilai f 41-45 5 46-50 10 51-55 13 56-60 10 61-65 8 66-70 4 7. Suatu perusahaan mempunyai dua unit mesin yaitu mesin A dan mesin B. Mesin A rata-rata pakai 15 jam dan simpangan bakunya 1,6. Mesin B rata-rata pakai 12 jam dan simpangan baku 0,9. Mesin manakah yang mempunyai masa pakai lebih baik ?



SOAL EVALUASI Di bawah ini yang bukan merupakan data kuantitatif adalah : a. Suhu badan pasien d. Pengukuran tinggi pohon jati b. Daftar kegiatan sekolah e. Banyaknya hewan korban c. Hasil pemilu tahun 2004 2. Jika diketahui data ukuran terbesar 90 dan ukuran terkecil 41, sedang banyaknya kelas 7 maka panjang interval kelas adalah……. a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 3. Diketahui data berikut : Kelas f 10-13 5 14-17 4 18-21 7 22-25 8 26-29 2 Maka frekuensi kumulatif lebih dari (>) untuk kelas ke-3 adalah….. a. 10 b. 17 c. 8 d. 21 e. 19 4. Kegiatan seseorang selama 24 jam untuk tidur adalah selama 8 jam. Berapa sudut pusat dari kegiatan tidur tersebut ? a. 1450 b. 1300 c. 1200 d. 900 e. 600 5. Dari data : 6, 7, 6, 8, 6, a, 7, 9, 8, 5 rata-rata hitungnya adalah 6,9. Maka nilai a adalah…. a. 9 b. 8 c. 7 d. 6 e. 5 6. Ulangan matematika dari 6 siswa rata-ratanya 7. Jika 1 siswa baru masuk rata-ratanya menjadi 6,7. Maka nilai matematika siswa baru tersebut adalah……. a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 7. Diketahui data : Upah 25 30 35 40 45 f 8 10 15 3 4 Maka mediannya adalah………….. a. 17 b. 25 c. 30 d. 35 e. 40 8. Diketahui tabel berikut : Interval f 1.



12



20,0-20,3 8 20,4-20,7 6 20,8-21,1 5 21,2-21,5 7 21,6-21,9 4 Median dari data tersebut adalah ……. a. 20 b. 20,5 c. 20,83 d. 21,3 e. 21,4 9. Diketahui data berikut : Nilai 4 5 6 8 9 f 10 23 9 8 7 Modus dari data di atas adalah………… a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 10. Tabel di bawah ini modusnya adalah………… Nilai f 10-19 4 20-29 6 30-39 15 40-49 9 50-59 11 a. 32,5 b. 33,5 c. 34,5 d. 35,5 e. 36,5 11. Jangkauan (Range) dari data : 10, 3, 16, 17, 20, 15, 27, 14 adalah……… a. 10 b. 14 c. 17 d. 23 e. 24 12. Simpangan rata-rata dari data : 6, 5, 7, 8, 13, 9 adalah………… a. 2 b. 2,4 c. 3 d. 3,6 e. 4,8 13. Simpangan baku dari data : 6, 9, 8, 10, 7 adalah………. a. 1,41 b. 1,46 c. 1,48 d. 1,52 e. 1,58 14. Reza mendapat nilai matematika 66 dengan rata-rata kelas 60 dan simpangan baku 12. Maka nilai standar (Z-score) matematika bagi Reza adalah……. a. –0,5 b. 0 c. 0,5 d. 0,6 e. 1,2 15. Mean (rata-rata) suatu data sebesar 80, bila simpangan bakunya 2 maka koefisien variasi…… a. 2,5% b. 4% c. 16% d. 25% e. 40% 16. Kuartil ke 3 dari data : 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50 adalah……… a. 42,5 b. 45 c. 65 d. 70 e. 75 17. Jangkauan antar kuartil dari data : 23, 20, 16, 18, 14, 9, 8, 6 adalah………. a. 8,5 b. 10,5 c. 15 d. 19 e. 2 18. Nilai f 40-49 4 50-59 8 60-69 16 70-79 7 80-89 5 Kuartil bawah (Q1) dari data di atas adalah ……… a. 50,5 b. 54,5 c. 57,5 d. 58 e. 59,5 19.Desil ke 4 dari data : 4, 9, 12, 3, 6, 8, 7, 14, 10, 9, 11, 8, 13, 7, 9 adalah……. a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 20 Nilai f 40 2 13



45 7 50 13 55 25 60 45 65 30 70 12 75 9 80 3 Persentil ke 80 dari data di atas adalah……….. a. 60 b. 65 c. 67 d. 70



14



e. 72