Sampling Kelompok Dua Tingkat [PDF]

Citation preview

SAMPLING KELOMPOK DUA TINGKAT (TWO STAGE CLUSTER SAMPLE) A. PENGERTIAN SAMPLING KELOMPOK DUA TINGKAT Sampling kelompok dua tingkat ( two stage cluster sampling) ialah sampling kelompok dimana setiap kelompok yang terpilih sebagai sampel,dipilih lagi sampel elemen dari masing – masing kelompok. Dengan demikian memang ada dua tingkat kegiatan yaitu: Pertama : memilih kelompok sebagai sampel. Kedua: memilih elemen dari kelompok yang terpilih. Sebagai contoh misalnya pertama memilih universitas sebagai sampel, kemudian memilih sampel mahasiswa dari setiap universitas yang terpilih; pertama memilih sampel kantor cabang kemudian memilih sampel karyawan dari kantor cabang yang terpilih,pertama memilih desa sebagai sampel kemudian memilih sampel petani dari desa yang terpilih; pertama memilih blok took sebagai sampel kemudian memilih sampel took dari blok yang terpilih;pertama memilih rumah sakit sebagai sampel kemudian memilih sampel pasien dari rumah -rumah sakit yang terpilih; pertama memilih sampel tambak ikan, kemudian memilih sampel ikan dari tambak yang terpilih; pertama memilih sampel tambak ikan , kemudian memilih sampel ikan dari tambak yang terpilih. Dalam hal ini yang menjadi kelompok atau cluster ialah universitas, kantor cabang, desa, blok took, rumah sakit dan tambak ikan. Dengan elemen mahasiswa, karyawan, petani, took, pasien, dan ikan. Kelompok (cluster)terpilih



elemen



Sampel elemen dari kelompok yang terpilih. Perhatikan persamaan antara sampling kelompok dua tingkat dan sampling acak berlapis, dimana dalam hal ini kelompok dapat diperlakukan sebagai stratum, sedangkan perbedaannya



kelompok harus dipilih dari populasi kelompok, sebagai sampel kelompok, tidak semua kelompok diteliti, tetapi semua stratum diteliti melaluii sampel yang dipilih dari stratum. stratum



sampel dari semua stratum kelompok



sampel



hanya



dari



kelompok yang terpilih Kelompok yang terpilih Bagaimana cara memilih sampelnya? Dua syarat harus dipenuhi: 1. Secara geografis elemen dalam kelompok harus saling berdekatan. 2. Kelompok sedikit saja agar mudah mengadministrasikannya. Pemilihan kelompok yang tepat juga tergantung pada keadaan , apakah peneliti akan memilih sedikit kelompok dengan banyak elemen yang dikandung atau banyak kelompok dengan sedikit elemen yang dikandung dari setiap kelompok. Pemilihan biasanya tergantung pada biaya. Kelompok yang besar cenderung memiliki elemen yang heterogen dengan demikian diperlukan pemilihan banyak elemen dari setiap kelompok sehingga diperoleh hasil penelitian dengan tingkat ketelitian yang tinggi. Perhatikan contoh berikut: Seorang pengamat politik ingin memperkirakan berapa mahasiswa yang setuju program kerja partai A. kalau ada anggapan yang patut dipercaya bahwa mahasiswa dalam suatu universitas biasanya mempunyai pendapat yang hampir sama,tak jauh berbeda, maka perlu dipilih sampel universitas yang cukup banyak akan tetapi sampel mahasiswa yang dipilih dari universitas yang terpilih tidak perlu terlalu banyak. Tetapi sebaliknya kalau pendapat mahasiswa sangat berbeda



dari setiap universitas dan sangat mirip antar universitas, universitas yang dipilih sebagai sampel sedikit saja dan mahasiswa yang dipilih sebagai sampel dari universitas yang terpilih harus banyak. B. CARA MEMPERKIRAKAN RATA – RATA (U) DAN TOTAL (T) Kita akan membuat perkiraan untuk rata – rata (U), total (T) dan sekaligus menghitung besarnya kesalahan sampling. Sekarang perhatikan notasi berikut : N = banyaknya kelompok dalam populasi n = banyaknya kelompok dalam sampel acak = banyaknya seluruh elemen dalam kelompok i = banyaknya sampel elemen dalam I yang dipilih secara acak =∑



= banyaknya elemen dalam populasi



=∑



= banyaknya elemen dalam sampel



̅=



= rata –rata banyaknya elemen per kelompok dalam populasi



̅=



= rata –rata banyaknya elemen per kelompok dalam sampel



nilai observasi ke j dari kelompok ke i



̅=



∑



= rata – rata perkiraan dari kelompok i.



 Perkiraan untuk rata – rata (U)



̂ =



∑



̅̅̅



 Perkiraan untuk rata – rata ( ̂)



̂ =*



+



b=



Dimana



̅̅̅̅̅



̅̅̅̅̅



̅̅̅



∑



∑



*



̅ ̂



Penjabarannya: ∑



∑



Dan



̅



̅̂



̅



̅ ̅̂



̅ ̂



∑(



̅ )



̅̂∑



̅



∑̅ ̂



∑(



̅ )



̅̂∑



̅



(̅ ̂



∑



Kesalahan sampling = KS = 2



̂



+



+



Contoh soal 1: Seorang pengusaha pakaian jadi mempunyai 90 pabrik yang tersebar di seluruh pelosok tanah air ingin membuat perkiraan rata – rata waktu rusak per mesin jahit yang memerlukan perbaikan bulan yang lalu. Oleh karena pabrik leraknya berjauhan satu sama lain secara geografis, maka diputuskan untuk memnggunakan pabrik sebagai kelompok (cluster) dan mesin jahit sebagai elemennya. Oleh karena setiap pabrik terdapat banyan mesin, akan tidak praktis kalau harus memeriksa cacatan mengenai kerusakan dari setiap mesin. Maka dari itu diputuskan untuk menggunakan sampling dua tingkat, yaitu pertama memilih sampel pabrik, kemudian kedua memilih sampel mesin jahit dari pabrik yang telah terpilih. Untuk keperluan ini dipilih sampel sebanyak n = 10 pabrik., kemudian dari setiap pabrik dipilih sampel mesin jahit sebanyak



20 %.



Dengan menggunakan data dari table berikut, buat perkiraan rata – rata waktu rusak per mesin jahit dan hitung juga kesalahan samplingnya. Pergunakan tingkat keyakinan 95%. Diketahui dari seluruh pabrik terdapat 4500 mesin jahit.



Pabrik Mi



mi,



̅̅̅



Lamanya (waktu rusak dalam jam)



1



50



10



5,7,9,11,2,8,4,3,5



5,40



11,38



2



65



13



4,3,7,2,11,9,1,9,4,3,2,1,5



4,00



10,67



3



45



9



5,6,4,11,12,0,1,8,4



5,67



16,75



4



48



10



6,4,0,1,0,9,8,4,6,10



4,80



13,29



5



52



10



11,4,3,1,0,2,8,6,5,3



4,30



11,12



6



58



12



12,11,3,4,2,0,0,1,4,3,2,4



3,83



14,88



7



42



8



3,7,6,7,8,4,3,2



5,00



5,14



8



66



13



3,6,4,3,2,2,8,4,0,4,5,6,3



3,85



4,31



9



40



8



6,4,7,3,9,1,4,5



4,88



6,13



10



56



11



6,7,5,10,11,2,1,4,0,5,4



5,00



11,80



Penyelesaian:



N N Uˆ   Mi X i Mn i 1



90 [(50)(5,40)  (65)(4,00)  ..... (56)(5,00)] 4500(10) 90  (2400,59) 4500(10)  4,80 



S 2b 



1 n  (M i X i  MUˆ ) n  1 i 1 ∑



̅̅̅



̅̂∑



̅



̅̂



(



*



Dan ∑



(



*



(



*



(



*



̂



(



(



*



̅



̅



∑



(



̂



√



*



*



Ingat ̅



Interval perkiraan rata – rata ̂



̂



Jadi dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan interval antara 4,42 jam sampai dengan 5,18 jam akanmemuat rata – rata waktu rusak per mesin jahit.  Perkiraan total



Seperti halnya dalam sampling acak sederhana dimana jumlah perkiraan maka di dalam sampling dua tingkat ̂



̂



∑



̅



̂



̅



,



̂



̂



([



]



([



]



̅



∑



*



(



]



([



]



*



(



  N  n  N 2 2   N S 2 Tˆ    S b      n   N  n



[



]



[



[



]



]



)



 M  mi M 2 i  i  i 1  Mi



 S 2i   mi



n



]



,



,



* ∑



∑



)



[



∑ (



]



*



]



([



[



∑ (



([



̅̅̅̅



)



   



Kesalahan sampling = KS = B √



̂



̂



Contoh soal 2 : Berdasarkan data dari contoh soal 1, buat perkiraan interval jumlah (total) waktu / lamanya mesin rusak. Hitung juga kesalahan samplingnya. Tingkat keyakinan 95%. Penyelesaian : ̂



̂



∑



̅



S 2Tˆ  M 2 .S 2Uˆ = (4500)2 (0,37094) =7511535



̂



√



√



̂



Interval perkiraan total ̂



̂



Dengan tingkat keyakinan 95%, jumlah waktu kerusakan mesin akan terletak antara 16123,91 jam sampai dengan 27086,71 jam.



C. PERKIRAAN RASIO UNTUK RATA – RATA Pemerkira ̂ , tergantung pada M = banyaknya seluruh elemen pupulasi. Apabila M tidak diketahui , perlu diperkirakan dengan data dari sampel. Kita peroleh pemerkira M dengan jalan mengalikan rata – rata banyaknya elemen per kelompok yaitu



∑



dengan banyaknya



banyaknya kelompok dalam populasi yaitu N. Apabila kita ganti M dengan pemerkiranya , kita peroleh suatu pemerkira rasio dengan symbol atau notasi ̂ , sebab baik pembilang maupun penyebut keduanyavariabel acak.  Pemerkira rasio untuk rata – rata



Uˆ r  Z  SUˆ  U  Uˆ r  Z  SUˆ r 2



r



2



n



Uˆ r 



M i 1



i



Xi



n



M i 1



i



 Varian perkiraan untuk ̂



  N  n  1   1 S 2 Uˆ r    S 2 r     2 2   nN M   N  n M



 M  mi M 2 i  i  i 1  Mi n



 S 2i   mi



   



Dimana







n



S r2 



 M 2 i Xi  Uˆ r i 1







2



n 1 ∑



(̅



∑(



̅



∑



̅



̅ ̂



̂ )



̅ ̂



̂ )



̂ ∑



̅



̂



∑



Dan mi



S 2i 



(X i 1



ij



 X i )2



mi  1



, i  1,2,......,n



Kesalahan sampling = KS  B  Z SUˆ 2



r



Contoh soal 3 : Berdasarkan data dari contoh soal 1, buat perkiraan rata – rata waktu kerusakan mesin dengan menggunakan perkiraan rasio, dengan tingkat keyakinan 95% buat perkiraan intervalnya. Misalnya M = banyaknya mesin dari seluruh pabrik tidak diketahui.



Hitung juga kesalahan samplingnya. Penyelesaian: Oleh karena M tidak diketahui, kita harus menggunakan ̂ sebagai pemerkira U. n



Uˆ r 



M i 1



i



Xi



n



M i 1



i



Untuk memperkirakan varian ( Uˆ r ) kita harus menghitung







n



S r2 



 M 2 i X i  Uˆ r i 1







2



n 1 ∑



̅



Uˆ r ∑



̅



Uˆ r



∑



Perhatikan bahwa seperti pada contoh soal 1 ∑



(



*



Kita dapat memperkirakan M dengan menggunakan rata – rata banyaknya mesin per pabrik dalam sampel.



∑



Perkiraan varian ( Uˆ r ) adalah sebagai berikut :



S



2



Uˆ r



  N  n  1   1    S 2 r     2 2   nN M   N  n M



 M i  mi  S 2 i    M i    M m i 1 i   i  n



2



*



[(



]



Kesalahan sampling = KS  B  Z  SUˆ  2SUˆ 2



r



√ r



Interval perkiraan rasio untuk rata – rata



Uˆ r  Z SUˆ  U  Uˆ r  Z SUˆ r 2



r



2



Dengan tingkat keyakinan 95% , interval antara 3,37 jam sampai dengan 5,83 jam akan memuat rata – rata waktu kerusakan per mesin.



D. CARA MEMPERKIRAKAN PROPORSI Misalnya ingin dibuat perkiraan proporsi bibit ikan yang mati dari seluruh tambak ikan lele di Indonesia, proporsi nasabah bank yang tidak puas dari seluruh bank pemerintah,proporsi siswa SD di Mataram yang pernah sakit gigi, proporsi mahasiswa PTS yang mengeluh biaya sekolah tinggi, proporsi proyek yang belum selesai pada waktunya dan lain sebagainya. Untuk membuat perkiraan P= proporsi , kita bisa menggunakan rumus U atau Ur asalkan n ilai Xij nol atau satu. Xij = 1 jika termasuk dalamkategori yang kita perhatikan. Kalau tidak Xij = 0.



Oleh karena biasanya M tidak ketahui, kita pergunakan rumus untuk menghitung P, seperti untuk menghitung Ur ,misalkan Pi = proporsi sampel elemen dari kelompok ke I yang termasuk dalam kategori yang kita perhatikan.  Perkiraan proporsi



Pˆ  Z  S Pˆ  U  Pˆ  Z  S Pˆ 2



2



n



Pˆ 



 M Pˆ i



i 1 n



M i 1



i



i



 Perkiraan untuk varian ̂ .



  N  n  1   1 S 2 Pˆ    S 2 r     2 2    N  n M   nN M



S Pˆ  S 2 Pˆ



Dimana n



S r2 







 M 2 i Pˆi  Pˆ i 1



n 1



2



, i  1,2,......,n



M  n



2



i 1



∑







̂



i



Pˆi  Pˆ







2



̂ ̂



̂



 M  mi M 2 i  i  i 1  Mi n



 Pˆi Qˆ i     m  1  i 



∑



̂



̂ ̂



[∑



̂



̂∑ ̂



̂



̂ ∑



]



Dan



Pˆi  1  Qˆi



KS  B  Z  S Pˆ  2S Pˆ 2



Contoh soal 4 : Sesuai dengan data contoh soal 1 , pimpinan ingin memperkirakan proporsi mesin jahit yang mengalami kerusakan sebulan yang lalu, sehingga memerlukan perbaikan. Dengan tingkat keyakinan 95%, buat perkiraan interval proporsi mesin jahit yang mengalami kerusakan sebulan yang lalu . hitung juga kesalahan samplingnya dan pergunakan data berikut:



̂



pabrik



Mi



Mi



Pi



1



50



10



0,40



2



65



13



0,38



3



45



9



0,22



4



48



10



0,30



5



52



10



0,50



6



58



12



0,25



7



42



8



0,38



8



66



13



0,31



9



40



8



0,25



10



56



11



0,36



proporsi mesin jahit yang mengalami kerusakan sebulan yang lalu dan memerlukan perbaikan



Penyelesaian: n



Pˆ 



 M Pˆ i



i 1 n



M i 1



i



i



Perkiraan varian



 M Pˆ  Pˆ 



2



n



2



S  2 r



i



i 1



n 1 ̅̅̅̅ ˆ



∑



∑



i



P



(



*



(



*



Pˆ ∑



Pˆ



*



∑



̂ ̂



(



  N  n  1   1 S 2 Pˆ    S 2 r     2 2   N  n M   nN M [((



Pˆ



+



*



(



ˆ ˆ  2  M i  mi  Pi Qi    M i   M  m  1  i 1 i   i  n



(



+]



*



KS  B  Z  S Pˆ  2S Pˆ  2 0,00081  0,056 2



Interval perkiraan proporsi



Pˆ  Z S Pˆ  U  Pˆ  Z S Pˆ 2



2



0,34  0,056  U  0,34  0,056 0,28  U  0,40 Dengan tingkat keyakinan 95%, interval antara 0,28 sampai dengan 0,40 akan memuat proporsi mesin jahit yang rusak.



Teori Sampling



CLUSTER SAMPLING DUA TINGKAT



Disusun Oleh: Kelompok 2 Anggota: Abdurrahman Salim (G1D 010 0) Wirajaya Kusuma (G1D 010 0) Baiq Raudatul Jannah (G1D 010 026) Sri Trisna Yanti (G1D 010 0)



Program Studi Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam



Universitas Mataram 2012



Daftar Pustaka