Statistik Non Parametrik [PDF]

Citation preview

Statistik Non Parametrik Oleh : Ipin Aripin



Asumsi Non Parametrik 1. Observasi harus independen. 2. Data tidak berdistribusi normal & homogen 3. Pengukuran variabel dengan skala ordinal dan skala nominal (kategorikal). 4. Jumlah sampel kecil (kurang dari 30).



Jenis Statistik Non Parametrik



Uji Mann-Whitney • Digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya perbedaan dari dua sampel yg independen. • Merupakan uji non parametrik yang menjadi alternatif dari uji-t (uji parametrik). • Data berskala nominal atau ordinal. • Disebut juga uji U, karena statistik yg digunakan untuk menguji hipotesis nolnya disebut U.



Prosedur Uji 1. Formulasikan hipotesisnya Ho : Tidak terdapat perbedaan rata-rata sample satu dengan yang lainnya. Ha : Ada perbedaan rata-rata sample satu dengan dengan yang lainnya 2. Tentukan nilai α dan U tabel - α yang digunakan biasanya 5% (0,05) atau 1% (0,01) - Nilai U tabel dengan n1 dan n2 tertentu. 3. Hitung nilai U 4. Tentukan kriteria pengujian apabila U ≥ Utabel  Ho diterima (H1 ditolak) apabila U < Utabel  Ho ditolak (H1 diterima)



• Menentukan nilai uji statistik (Nilai U) Penentuan nilai uji statsitik melalui tahap-tahap sebagai berikut : – Mengabungkan kedua sampel dan memberi urutan tiap-tiap anggota, dimulai dari pengamatan terkecil sampai terbesar – Peringkat untuk X dipisahkan dan dijumlahkan menjadi RX – Peringkat untuk Y dipisahkan dan dijumlahkan menjadi RY – Menghitung statistik U dengan rumus :



UX = (nX x nY) +



Uy = (nX x nY) +



(nX + 1) x nX 2



(nY + 1) x nY 2



Keterangan :



UX = Jumlah peringkat 1 UY = Jumlah peringkat 2 nX = Jumlah sample 1 nY = Jumlah sample 2 ∑RX = Jumlah rangking pada sampel X ∑RY = Jumlah rangking pada sampel Y



- ∑RX



- ∑RY



Contoh 1 Sampel X dan Y adalah sebagai berikut X 1,9 0,5 2,8 3,1 Y 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9



1. Gabungkan data dari kedua kelompok kemudian urutkan dan beri peribgkat, lalu jumlahkan peringkat masing2 kelompok



Asal Data Peringkat X 0,5 1 Y 0,9 2 Y 1,4 3 X 1,9 4 Y 2,1 5 X 2,8 6 X 3,1 7 Y 4,6 8 Y 5,3 9



Per X 1



Per Y 2 3



4 5



6 7



18 RX



8 9 27 RY



2. Hitung nilai statistik U



UX = (nX x nY) +



UX= (4 x 5) +



(nX + 1) x nX



2



(4 + 1) x 4 2



UX = 20 + 10 – 18 = 12



- ∑RX



- 18



Uy = (nX x nY) +



UY= (4 x 5) +



(nY + 1) x nY



2



(5 + 1) x 5



UY = 20 + 15 – 27 = 8



2



- ∑RY



- 27



Step 3. Pilih nilai statistik U terkecil bandingkan dengan U tabel • U tabel pada n1=4 dan n2=5  1 • U terkecil = UY = 8  Tolak H0 jika U terkecil < 1 Terima H0 jika U terkecil ≥ 1



Step 4. Ambil kesimpulan uji statistik • U hitung (8) > U tabel (1)  H0 gagal ditolak • Tidak ada perbedaan median antara kelompok X dan Y



Latihan 2 Lakukanlah uji hipotesis pada derajat kemaknaan 0,05% untuk menguji apakah memang pria dan wanita berbeda tingkat kesetiaannya. Pria 70 70 30 70 90 55 90 30 45 70 60



65 63 30 35 25 20 Wanita 20 10 75 66 95 66 82 67 70 70 10 30 47 15 35 60 30 30 90 80 50 30 66 83



Uji untuk Sampel Besar :  Tabel di Lampiran K meliputi nilai Uα hanya untuk ukuran sampel antara 9 dan 20  Statistik U mendekati distri-busi normal apabila ukuran sampelnya besar  Jika sampel lebih besar dari 20, pendekatan normal dapat digunakan



Uji untuk Sampel Besar :  Rata-Rata dan Standar deviasi untuk Uji Mann-Whitney U :



Dimana n1 and n2 Ukuran Sampel dari Populasi 1 and 2



Uji untuk Sampel Besar :  Pendekatan Distribusi Normal Uji Statistik Mann-Whitney U :



Contoh Sampel Besar :  Hipotesa:



=



 Misalkan dua sampel diperoleh:  Ketika peringkat selesai, jumlah peringkat untuk sampel 1 adalah  Ketika peringkat selesai, jumlah peringkat untuk sampel 2 adalah



Contoh Sampel Besar :  Hitung statistik U :



Karena hipotesis alternatif menunjukkan bahwa populasi 2 memiliki tinggi rata-rata, gunakan U2 sebagai uji statistik U statistik U=655



Contoh Sampel Besar :



=



Uji Median



Median test • Untuk menggunakan median test – Hitung gabungan dua kelompok (median untuk semua kelompok) – Bagi dua dan masukkan dalam tabel berikut



Kelompok



Kel I



Kel II



jumlah



Diatas median gabungan



A



B



A+B



Dibawah median gabungan



C



D



C+D



A + C =n1



B + D = n2



N =n1+n2



Jumlah



Keterangan A = banyak kasus klp I diatas median gabung =1/2 n1 B = banyak kasus klp II diatas median gabung =1/2 n2 C = banyak kasus klp I dibawah median gabung =1/2 n1 D = banyak kasus klp II dibawah median gabung =1/2 n2



• Pengujian dengan menggunakan rumus Chi kuadrat : 2



N  N  AD  BC    2  2   ( A  B )(C  D )( A  C )( B  D )



Contoh • Dilakukan penelitian untuk mengetahui apakah penghasilan guru biologi dan guru kimia berbeda berdasarkan mediannya. • Dari hasil wawancara terhadap 10 guru biologi dan 9 guru kimia diperoleh hasil sebagai berikut :



Pendapatan Guru Biologi dan Kimia



NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Guru Biologi 50 60 70 70 75 80 90 95 95 100



Guru Kimia 45 50 55 60 65 65 70 80 100



– Hipotesis : • Ho : Tidak ada perbedaan pendapatan guru biologi dan guru kimia • Ha : ada perbedaan pendapatan guru bio dan guru kimia • Untuk menghitung nilai media maka data diurutkan, sbb : • 45 50 50 55 60 60 65 65 70 80 90 95 95 100 100



70



70 75 80



• Nilai median untuk klp tsb adalah pada urutan 10 yaitu = 70 • Maka dapat diketahui A = 6 , B = 2, C = 4, D = 7



Jml Skor



Bio



Kimia



Jml



Diatas Med



A= 6



B=2



A+B = 8



Dibawah Med



C=4



D=7



C+D = 11 N = 19



Perhitungan 2



19   19 6.7  2.4    2  2   (6  2)(4  7)(6  4)(2  7)



11404,75   1,43 7920



Interpretasi • Nilai tabel chi kuadrat dengan dk=1 pada taraf nyata 5% = 3,841 • Dengan demikian nilai hitung < nilai tabel • Ho diterima yang berarti • Tidak ada perbedaan yang bermakna pendapatan guru biologi dan guru kimia



Uji Chi Square (Kai Kuadrat)



Syarat Chi - Square • Kelompok yang dibandingkan pada variabel independen • Variabel yang dihubungkan katagorik dengan katagorik • Uji statistik chi square dapat digunakan untuk menguji hipotesis bila data populasi terdiri dari 2 atau lebih kelas dan data berbentuk nominal. • Sampel yang berpasangan sering di gunakan dalam penelitian eksperimen. • kontingensi 2 x 2 (dua baris x dua kolom).



Menghitung nilai chi-square • Rumus: X 2 = Σ ( O – E )2 E O : nilai Observasi (pengamatan) E : nilai Expected (harapan)



Df = (b-1) (k-1) df=degree of freedom b : jumlah baris k : jumlah kolom



Tabel Silang Paparan



Frekuensi Obyek 1 Obyek 2



Total



Sampel A



a



b



a+b



Sampel B



c



d



c+d



a+c



b+d



a+b+c+d



Total



Rumus chi square n ad  bc  1 / 2n 



2



X  2



a  ba  c b  d c  d 



• E = total barisnya x total kolomnya jumlah seluruh data Ea = (a+b) (a+c) n Eb = (a+b) (b+d) n Ec = (a+c) (c+d) n Ed = (b+d) (c+d) n



Contoh Soal Sebuah penelitian ingin mengetahui adakah hubungan tingkat pendidikan dengan jenis Bank yg dipilih dalam menyimpan uang. Dari 80 lulusan SLTA memilih Bank Pemerintah sebnyk 60 orang dan Bank Swasta 20 orang, sedangkan 70 lulusan PT memilih Bank Pemerintah sebanyk 30 orang dan Bank Swasta 40 orang



Hipotesis Ho= tidak terdapat perbedaan tingkat pendidikan masyarakat dlm memilih dua jenis bank Ha= terdapat perbedaan tingkat pendidikan masyarakat dlm memilih dua jenis bank



Kriteria pengujian Terima Ho bila harga Chi kuadrat hitung lebih kecil dari harga chi kuadrat tabel, dengan dk = 1 dan tarap kesalahan 5%



Tabel Silang Paparan



Frekuensi



Total



BP



BS



PT



60



20



80



SLTA



30



40



70



Total



90



60



150



Perhitungan 150  60  40  150  2



X2 



60  20 60  30 20  30 30  40 



 14,76



Dengan α=0,05, dan dk=1 diperoleh harga chi quadrat tabel = 3,841; karena chi kuadrat hitung > chi kuadrat tabel, dengan demikian maka Ho ditolak dan Ha diterima Kesimpulan: Terdapat perbedaan tingkat pendidikan dlm memilih bank, SLTP cenderung memilih bank pemerinth, PT bank swasta



Uji Wilcoxon (Uji Peringkat Bertanda)



UJI RANK-BERTANDA WILCOXON (WILCOXON SIGNED-RANK TEST) • Uji ini merupakan metode alternatif (nonparametrik) dari uji parametrik sampel berpasangan.



• Metodologi dari analisis sampel berpasangan mensyaratkan: – Data pada skala interval, rasio – Perbedaan antara pasangan-pasangan observasi diasumsikan terdistribusi normal. • Jika asumsi distribusi normal tidak terpenuhi, maka uji rank-bertanda Wilcoxon dapat digunakan.



Untuk sampel besar • Bila sample size  25 memakai pendekatan distribusi normal, yaitu dengan rumus Z T-T n(n+1) – Z=  T







T=  4 n(n+1)(2n+1) T=  24



n (n+1) T -  4 Z =  n(n+1) (2n +1)  24



 Titik kritis lihat tabel Z



Contoh Soal Seorang guru ingin mengetahui perbedaan hasil belajar siswa dengan menggunakan metode pembelajaran X, ia melakukan tes dengan hasil sebagai berikut!



Contoh Soal Pretes



Postes



95



100



98



94



76



78



90



98



87



90



89



85



77



86



92



87



78



80



82



83



Hipotesis & Kriteria Pengujian Ho = tdk terdapat perbedaan hasil belajar siswa sebelum dan sesudah diterapkan metode X Ho = terdapat perbedaan hasil belajar siswa sebelum dan sesudah diterapkan metode X Kriteria pengujian : Terima Ho bila harga jumlah jenjang yg terkecil T > T tabel Wilcoxon



Tabel Penolong No urut



Skor Rasa Kantuk Pre-tes Postes



Selisih



Jenjang



Rank (+) 7.5



1



95



100



+5



7.5



2



98



94



-4



5.5



3



76



78



+2



2.5



2.5



4



90



98



+8



9.0



9.0



5



87



90



+3



4.0



4.0



6



89



85



-4



5.5



7



77



86



+9



10.0



8



92



87



-5



7.5



9



78



80



+2



2.5



2.5



10



82



83



+1



1



1



Rank (-)



5.5



5.5 10.0 7.5



T=36,5



18,5



Uji hipotesis • H0 : post-tes=pre-tes Ha : post-tes > pretes α = 0,05 • Tentukan nilai T (jumlah nilai ranking bertanda (-) • Bandingkan dengan nilai T tabel (tabel peringkat bertanda wilcoxon) • Untuk N = 10, α = 0,05  nilai T tabel 8 (2-tailed)/ 11 (1tailed) • Karena jumlah jenjang yang kecil 18,5 > 8, maka Ho diterima. Artinya antara nilai post-test dan pre-test tdk berbeda



Untuk Sampel Besar n (n+1) T -  4 Z =  n(n+1) (2n +1)  24



10 (10+1)



18,5 -  4 Z =  10(10+1) (2.10 +1)  24



Harga Z tabel = 1,96, karena z hitung = -0,918 < -1,96 maka Ho diterima



UJI KRUSKAL WALLIS



Kruskal Wallis • Fungsi :untuk menentukan apakah k sampel independen berasal dari populasi-populasi yang berbeda. • Teknik Kruskal – Wallis menguji hipotesis-nol bahwa k sampel berasal dari populasi yang sama atau populasi identik, dalam hal harga rata-rata. • Pengganti uji Anova



12 k Rj2 H =    - 3 ( N+1)………….8.1 N(N+1) j=1 nj k = banyak sampel nj = banyak kasus dalam sampel ke–j N =  nj = banyak kasus dalam semua sampel k



 = menunjukkuan kita harus menjumlahkan J=1 seluruh k sampel (kolom-kolom) mendekati distribusi chikuadrat dengan db = k -1 untuk ukuran sampel (harga nj) yang cukup besar.



Observasi - observasi berangka sama • Kalau terjadi angka sama antara dua skor atau lebih, tiap-tiap skor mendapatkan ranking yang sama, yaitu rata-rata rankingnya  perlu koreksi  dibagi dengan T 1 -  …………………………… 8.2 N3 – N Dimana : T = t2-1 (kalau t adalah banyak observasi-observasi berangka sama ) N = banyaj observasi dlm seluruh k sampel bersamasama, yakni N =  nj T= menunjukkan kita untuk menjumlahkan semua kelompok berangka sama.



Soal Seorang guru ingin mengetahui adakah perbedaan prestasi belajar biologi siswa berdasarkan jarak rumah ke sekolah, dengan data sbb:



Data Soal 0-5 km



6-10 km



> 10 km



78



82



69



92



89



79



68



72



65



56



57



60



77



62



71



82



75



74



81



64



83



62



77



56



91



84



59



53



56



90



85



88 69



Hipotesis & Kriteria Pengujian Ho= tdk terdapat perbedaan prestasi belajar biologi siswa berdasarkan jarak rumah ke sekolah Ha= terdapat perbedaan prestasi belajar biologi siswa berdasarkan jarak rumah ke sekolah Kriteria : Terima Ho jika Chi kuadrat hitung < chi kuadrat tabel



Kruskal Wallis 0-5 km



Rank



6-10 km



Rank



> 10 km



Rank



78



21



82



24.5



69



13.5



92



33



89



30



79



22



68



12



72



15



65



11



56



3



57



5



60



7



77



19.5



62



8,5



71



16



82



24.5



75



18.5



74



17



81



23



64



10



83



26



62



8.5



77



19.5



56



3



91



32



84



27



59



6



53



1



56



3



90



31



85



28



88



29



69



13.5



205,5



203



152,5



12 k Rj2 H =    - 3 (N + 1) ……………………………. (8.1) N(N+1 ) j-I nj 12 (205,5)2 (203)2 (152,5)2 =    +  +   - 3 ( 33 + 1 ) 33(33+1 ) 11 12 10 = 102,66-102 = 0,66 Harga H hitung kemudian di bandingkan dengan tabel Chi Kuadrat dengan dk= k-2 = 3 -2 =1, dengan tarap kesalahan 5%, diperoleh chi kuadrat tabel 5,59. Karena H hitung 0,66 < 5,59, maka Ho diterima Ha ditolak. Artinya tidak terdapat perbedaan prestasi belajar biologi berdasarkan jarak rumah ke skolah



Hatur Thanks U