![Teknik Optimasi Program Linier Dengan Excel Dan Lotus [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/teknik-optimasi-program-linier-dengan-excel-dan-lotus.jpg)
5 0 3 MB
Kamarul Imam [email protected]
KATA PENGANTAR Dengan adanya kecenderungan perkembangan ilmu manajemen yang mengarah kepada pembuatan keputusan yang bersifat ilmiah (scientific), maka staf edukasi di FE –UNEJ khususnya Program Studi Manajemen, tidak bisa dihindari selayaknya mengikuti trend tersebut. Mendefinisikan persoalan adalah kunci utama untuk memperoleh solusi yang tepat kepada persoalan yang dihadapi. Selanjutnya, salah satu upaya mencapai solusi optimal adalah dengan memanfaatkan scientific management sebagai alat bantu bagi pembuat keputusan. Prosedur pembuatan keputusan yang dimaksud di sini adalah : memodelkan persoalan secara matematis, membuat penyelesaian matematis (solve), mengintepretasi hasil (solusi optimal) dan selanjutnya mengimplementasi menjadi keputusan setelah disesuaikan dengan kebijakankebijakan managerial lainnya yang belum dilibatkan dalam model matematik. Inilah yang disebut pembuatan keputusan heuristik. Penekanan tulisan ini adalah pada kontribusi penyelesaian (solve) dengan memanfaatkan program aplikasi komputer yang berkaitan dengan optimasi, antara lain : LINDO, PM, QM, TORA, STROM dan QSB++. Namun dengan keterbatasan tersedianya program-program tersebut, maka perlu ada satu alternatif penyelesaian lain, yaitu dengan bantuan program EXCEL (Microsoft Office) melalui fasilitas SOLVER. Namun untuk komparasi, di sini juga diperlihatkan hasil optimasi dengan program aplikasi LINDO atau PM. Dengan program EXCEL yang merupakan program umum dan dimiliki oleh hampir semua pengguna komputer hitung, maka keterbatasan tersebut di atas bisa dihindari. Akhirnya, penulis maklum dengan banyaknya keterbatasan penulis dalam berbagai hal, diperkirakan kandungan dalam tulisan ini masih belum sempurna; maka kritik positif sangat diharapkan. Harapan penulis adalah : tulisan ini akan berkembang dengan masukan-masukan siapapun yang berdedikasi. Terima kasih untuk itu.
Juni, 2004
Kamarul Imam Dosen Jurusan Manajemen FE-UNEJ
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
Kamarul Imam [email protected]
TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL, LINDO DAN PM 1. Introduksi. Teknik optimasi pada program linier dapat dilakukan dengan pendekatan grafis atau Simplex. Pendekatan Simplex dengan iterasi yang dikembangkan Dantzig, pada persoalan yang sederhana biasanya dikerjakan secara manual. Untuk persoalan yang lebih rumit, program komputer tentang optimasi seperti : Computerized Model Operation Management (CMOM), Linear Integrated Discrete Optimizer (LINDO), WINGO, Quantitative Method (QM), Professional Method (PM), Production Operation Model (POM), Quantitative Systems for Businesses (QSB), STORM dan TORA telah mampu menyelesaikannya. Persoalan timbul jika program aplikasi tersebut sulit ditemui. Sebuah alternatif program yang lebih umum adalah Microsoft Excel (under Windows) atau Lotus Versi 3.00 (under DOS atau under Windows). Solver adalah paket add-in pada Excel yang berfungsi untuk optimasi dengan kendala (constraints). Untuk pemanfaatannya, perlu terlebih dahulu membuat formulasi model matematik untuk menghasilkan solusi optimal secara efisien. Prinsip kerja Solver adalah metode Simplex. Solver dapat dimanfaatkan untuk optimasi model linier dan non linier. Namun dalam pembahasan ini, Solver dibatasi untuk optimasi model linier mengingat model non linier sangat rumit dalam menuliskan data inputnya dalam spreadsheet. Keterbatasan dalam asumsi linieritas tersebut menyebabkan Solver bekerja sempurna jika seluruh hubungan langsung maupun tidak langsung yang berpengaruh kepada fungsi obyektif, bersifat linier. Perlu diingat, banyak fungsi built in pada Excel yang melibatkan hubungan non linier, sehingga fungsi-fungsi tersebut tidak bermanfaat jika optimasi modelnya bersifat linier. Contoh : -
adanya persamaan yang bersifat eksponensial, fungsi IF( ), ABS ( ) dan LOG ( ), serta ratio, seperti (X/Y) atau perkalian (X*Y) pada variabel keputusan.
Hal tersebut dapat menimbulkan pelanggaran (violate) terhadap asumsi linieritas jika nilai fungsi obyektif dipengaruhi baik langsung maupun tak langsung melalui kendala. 2. Penggunaan Solver. Paket add-in Solver meliputi dua program penting. Pertama, program Excel Visual Basic yang menterjemahkan model dalam spreadsheet ke dalam representasi internal yang digunakan oleh program kedua. Kedua, program di luar Excel yang merupakan program terpisah dan memanfaatkan sisa memory yang digunakan Excel untuk optimasinya serta mengirimkan solusi optimal tersebut kepada program pertama untuk meng-update spreadsheet. Kedua program ini dikomunikasikan oleh program aplikasi interface milik Microsoft. Selama penggunaan Solver, program Visual Basic akan bekerja terlebih dahulu untuk menulis model matematiknya dan berikutnya program kedua akan bekerja untuk menghasilkan optimasinya. Langkah prosedural dalam penggunaan Solver adalah : a. buatlah model matematik pada spreadsheet seperti biasa, dan bisa memanfaatkan what-if jika dirasa perlu untuk men-debug model, b. jika tidak ada persoalan dalam penulisan model, maka model tersebut dapat disimpan ke dalam file. Kemudian gunakan paket add-in Solver.
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
1
Kamarul Imam [email protected] c. Solver dan modul optimasinya akan masuk ke dalam memory komputer1. Setelah loading selesai, maka di layar akan muncul kotak dialog (dialog box) untuk mengumpulkan informasi dalam proses optimasi berikutnya, d. setelah tahapan penentuan fungsi obyektif dan kendala selesai, maka tombol “Solve” dapat di-click. e. Solver menterjemahkan model dan membuat optimasinya. Untuk persoalan LP yang kecil, Solver membutuhkan waktu proses beberapa detik saja dan dapat lebih panjang waktunya untuk persoalan LP yang lebih besar, f. dengan asumsi tidak terjadi error dalam modelnya, Solver akan menampilkan kotak dialog untuk hasil optimasinya, g. pada tahap ini, proyeksi what-if bisa dilanjutkan untuk memperoleh hasil analisis sensitivitas.
Start
Build or retrieve the optimization model SAVE YOUR WORKBOOK Choose Solver in the TOOLS menu Specify in Solver dialog box : 1. target cell be optimized 2. changing cells 3. constraints
Modify model
In option Dialog, click “assume linear model” and click the OK button Click on “Solve” button to begin optimization Review Solver completion message
Do Solver found the optimum solution ?
No
Yes Click “Keep Solver Solution” and click OK button 1
Penggunaan Solver dengan McIntosh, harus menambah alokasi memory sebesar 1 Mb agar kecepatan proses kerja Excel tidak menurun.
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
2
Kamarul Imam [email protected]
3. Terminologi dalam Solver. Terminologi dalam model LP berbeda dengan Solver. Berikut ini perbandingan terminologi antara model LP dengan Solver : Tabel 1. No. 1 2 3 4 5 6
Komparasi Terminologi Model LP dan Solver. Terminologi LP Solver Objective function Target cell Decision variables Changing cells Constraints Constraints Constraints function (LHS) Constraints cell reference RHS Constraints LP Model Assume Linear Model
4. Contoh Aplikasi. Contoh-1 : Kombinasi Pakan Ternak. Sebuah usaha penggemukan ayam potong menggunakan tiga jenis pakan ternak, Grade 1, Grade 2 dan Grade 3. Biaya ketiga jenis pakan ternak tersebut per pon berturut-turut adalah sebagai berikut : $ 0.25, $ 0.10 dan $ 0.08. Sebagai syarat nutrisi pakan ternak per hari adalah : -
kandungan kandungan kandungan kandungan
kalsium minimal 10 gram, zat besi minimum 12 gram, protein minimum 15 gram, lemak maksimum 7.5 gram.
Kasus ini dapat diformulasikan sebagai model LP dengan tujuan meminimumkan biaya pakan ternak per hari melalui kombinasi penggunaan Grade 1, Grade 2 dan Grade 3. Min. Z = 0.25 X1 + 0.10 X2 + 0.08 X3 s/t. 0.70 X1 + 0.90 X1 + 0.80 X1 + 0.50 X1 + ∀ Xi > 0
0.80 0.80 1.50 0.60
X2 X2 X2 X2
+ + + +
0.00 0.80 0.90 0.40
X3 X3 X3 X3
> > >
= 10 ? .9X1 + .8X2 + .8X3 >= 12 ? .8X1 + 1.5X2 + .9X3 >= 15 ? .5X1 + 0.6X2 + .4X3 =10 3) .9X1 + .8X2 + .8X3 >=12
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
3
Kamarul Imam [email protected]
4) .8X1 + 1.5X2 + .9X3 >=15 5) .5X1 + .6X2 + .4X3 =0 $B20:$B$22 >=$E$7:$E$9 protein $B24 =$E$7
Binding
12 $B$21>=$E$8
Binding
Slack
$B$20
Calcium Amount
$B$21
Iron Amount
$B$22
Protein Amount
$B$24
Fat Amount
$B$15
Quantity
7,9999999 $B$15>=0
Not Binding
7,9999999
$C$15
Quantity
5,5000000 $C$15>=0
Not Binding
5,5000000
$D$15
Quantity
0,5000000 $D$15>=0
Not Binding
0,5000000
15,100000 $B$22>=$E$9 7,5 $B$24 5 ∀ Xi > 0 dan integer. Solusi dengan Excel adalah sebagai berikut : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
A Contoh-2 :
B
C
D
E
F
Parameters and uncontrollable variables
TopLathe BigPress
Components 10 7
Available
49
Profit/unit 50000 34000
Total Required
5
Decision Variables Quantity TopLathe BigPress
Model Outputs :
Quantity Components Used Profit
TopLathe =B15 =B6*B15
BigPress =B16 =B7*B16
Total =B22+C22 =B23+C23
=C6*B15
=C7*B16
=-B24+C24
Tampilan di sheet1 pada program Excel adalah sebagai berikut :
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
10
Kamarul Imam [email protected]
Penjelasan : Sel B22 adalah jumlah mesin TopLathe optimal, pada sel ini ditulis formulanya : = B15, sebagai hasil optimasi changing cell solver. Demikian pula sel C22 adalah jumlah mesin BigPress optimal, pada sel ini ditulis formulanya : =B16. Sel D22 adalah total kedua mesin, formula pada sel ini : = B22+C22. Sel B23 adalah jumlah komponen yang digunakan untuk mesin TopLathe, formulanya ditulis : =B6*B15, yaitu jumlah komponen yang dibutuhkan setiap unit mesin TopLathe dikali dengan jumlah optimal unit mesin TopLathe yang diproduksi. Untuk sel C23, formulanya : =B7*B16. Sel D23 adalah jumlah komponen yang digunakan untuk kedua mesin, formulanya : =B22+C22. Sel B24 adalah total profit yang dihasilkan dari mesin TopLathe, formulanya : =C6*B15, yaitu profit/unit mesin TopLathe dikali dengan jumlah optimal unit mesin TopLathe yang diproduksi. Untuk sel C24, formulanya : =C7*B16. Sel D24 adalah total profit dari kedua mesin, formulanya : =B24+C24. Berikutnya gunakan fasilitas Tools, pilih SOLVER. -
tentukan Set Target Cell : $D$24 equal to : Max by changing cells : $B$15:$B$16 subject to the constraints : $B$15:$D$16 >=0 $B$15:$B$16 =integer $D$22 >=$F$6
→ set cell → maksimasi → (changing cells) → kendala asas non negatif → perintah nilai integer → kendala penjualan
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
11
Kamarul Imam [email protected]
$D$23 0
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
14
Kamarul Imam [email protected]
Penjelasan : - kendala no. 1 s/d. no. 4 adalah kendala yang berkaitan dengan batas dana yang bisa diinvestasikan ke masing-masing elemen portfolio, - kendala no. 5 adalah kendala yang berkaitan dengan tingkat inflasi. Target faktor inflasi yang bisaia terima = 1,00; maka total investasi portfolio tidak boleh melebihi 1 x $ 200,000 = $ 200,000, - kendala no. 6 adalah kendala yang berkaitan dengan penyebaran tingkat bunga, - kendala no. 7 adalah kendala yang berkaitan dengan return. Return/tahun yang tertinggi dari keempat elemen portfolio = 11%, maka total return/tahun dari portfolio tidak bisa melebihi 11% x $ 200,000 = $ 22,000. tetapi investor menginginkan agar total return portfolio yang bisa ia terima lebih tinggi daripada jumlah tersebut. - kendala no. 8 adalah kendala yang berkaitan dengan jumlah dana yang tersedia untuk diinvestasikan ke dalam portfolio. Program LINDO tidak bisa digunakan untuk mencapai solusi optimal, masalahnya adalah dengan adanya perbedaan prioritas dari masing-masing tujuan yang tidak bisa dijelaskan secara pasti (absolute). Prioritas-1 hanya dikatakan jauh lebih penting daripada prioritas-2, demikian pula seterusnya (P1 >>>> P2 >>>> P3). Untuk itu dapat dilakukan solusi optimal dengan Excel. Sheet yang dibuat adalah sebagai berikut :
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
15
Kamarul Imam [email protected]
A 1 2 3 4
5000
Bond Mutual Fund
60000
Stock Mutual Fund
30000 -
Lower Bound
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Max. Return
Savings
Budget
G
H
I
-0,5
-
1,8
-0,5
7%
-
2,1
0
11%
-
-0,3
-1,1
4%
1
0
Return 6%
200000 11%
Decision Variables Investment
Deviations
Life Insurance
d-
d+
Bond Mutual Fund
1
Stock Mutual Fund
2
Savings
3
0
=B21-B7
4
0
=B22-B8
0
=B20-B6
=C6-B20
Insurance Lower Bound 0
Insurance Upper Bound Bonds Lower Bound Stocks Lower Bound
5
=E35-B35
0
Inflation Target
6
=E36-B36
0
Interest Rate Spread Target Return Target
7
0
=B37-E37
Models Output : Value
Deviation
Total
Target
Insurance Lower Bound Insurance Upper Bound Bonds Lower Bound
=B20
=E21-F21
=B31+C31
=B6
=B20
=E22-F22
=B32+C32
=C6
=B21
=E23-F23
=B33+C33
=B7
Stocks Lower Bound
=B22
=E24-F24
=B34+C34
=B8
Inflation Target
=D6*B20+D7*B21 +D8*B22+D9*B23 =E6*B20+E7*B21 +E8*B22+E9*B23 =F6*B20+F7*B21 +F8*B22+F9*B23
=E25-F25
=B35+C35
=D11*B13
=E26-F26
=B36+C36
=E11*B13
=E27-F27
=B37+C37
=B13*B14
37 38 39
Total Investment
=B20+B21+B22+ B23
40 41
Priority-1 Priority-2
=E21+F22+E23+E 24 =F25+F26
Priority-3
=E27
42 43
F
Interest Spread 0,4
Inflation
Target
Interest Spread Target Return Target
36
E
Factors
6 7 8 9 10 11 12 13
33 34 35
D
Upper Bound 10000
Life Insurance
32
C
Parameters and uncontrollable variables
5
27 28 29 30 31
B
Contoh-3 :
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
16
Kamarul Imam [email protected]
Penyelesaian dengan dengan Solver – Excel adalah sebagai berikut : a. Prioritas 1 : -
tentukan Set Target Cell : $B$41 → set cell equal to : Min → minimasi by changing cells : $B$20:$B$23 → (changing cells) subject to the constraints : $B$20:$B$23 >=0 → kendala asas non negatif $B$31 >=$E$31 → kendala batas minimal investasi asuransi $B$32 =$E$33 → kendala batas minimal investasi obligasi $B$34 >=$E$34 → kendala batas minimal investasi saham $B$39 =$B$13 → kendala jumlah total dana - solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Ini merupakan hasil optimal untuk Prioritas 1. b. Prioritas 2 : -
tentukan Set Target Cell : $B$42 equal to : Min by changing cells : $B$20:$B$23 subject to the constraints : $B$20:$B$23 >=0 → kendala $B$31 >=$E$31 → kendala $B$32 =$E$33 → kendala $B$34 >=$E$34 → kendala $B$39 =B$13 → kendala
→ set cell → minimasi → (changing cells) asas non negatif batas minimal investasi asuransi batas maksimal investasi asuransi batas minimal investasi obligasi batas minimal investasi saham jumlah total dana
Tambahkan kendala baru yang berkaitan dengan Prioritas 2 : $B$35 =$E$31 → kendala batas minimal investasi asuransi $B$32 =$E$33 → kendala batas minimal investasi obligasi $B$34 >=$E$34 → kendala batas minimal investasi saham $B$39 =B$13 → kendala jumlah total dana $B$35 0 kendala logik.
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
22
Kamarul Imam [email protected]
a. printout dengan program QM atau PM adalah : Program : Goal Programming Problem Title : Swenson J.T Minicase ***** Input data ***** Min Z = 1P1d-2 + 1P2d+3 + 1P3d-4 + 1P4d-5 Subject to C1 1x1 + 1x2 =0 → kendala non negatif - solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Hasilnya merupakan solusi optimal untuk Prioritas-1.
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
24
Kamarul Imam [email protected]
b. Feasible Region untuk Goal-2 : A B C D 1 Objective Function Decision Variable 2 =E3 Dollars on TV Dollars on Radio 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
E
Deviation Variable (d2+) =SUMPRODUCT(C3:D3; C7:D7)-D12
Total Exposure per $ 1000 spent in TV 14000
Radio 6000
Constraints Total Expenditures Goal 1 Goal 2
=SUM(C3:D3) =E3+SUMPRODUCT(C3 :D3;C7:D7) =C3-E3
120 840000 90
-
tentukan Set Target Cell : $C$12 → set cell equal to : Min → minimasi by changing cells : $C$3:$D$3 → (changing cells) subject to the constraints : $C$10 =$D$11 → kendala target total konsumen $C$3:$D$3 >=0 → kendala non negatif Tambahkan kendala Goal 1 = 0 dan kendala anggaran biaya media TV $C$11 = 0 $C12 =$D$17 → kendala upper income exposures - solve → perintah untuk melakukan optimasi. Hasilnya merupakan solusi optimal untuk Prioritas-3. d. Feasible Region untuk Goal-4 : A B 1 Objective Function 2 =E3 Dollars on TV
C
D Dollars on Radio
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
E
Decision Variable Deviation Variable (d4-) =D18-SUMPRODUCT (C3:D3;C7:D7)
Total Exposure per $ 1000 spent in TV 14000
Radio 6000
Upper Income Exposures per $ 1000 spent in TV 1200
Radio 1200
=SUM(C3:D3) =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7) =C3-E3 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C11:D11) =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7)
120 840000 90 168000 1680000
Constraints Total Expenditures Goal 1 Goal 2 Goal 3 Goal 4
Untuk Goal 3 tambahkan terlebih dahulu baris yang menjelaskan exposures upper income akibat pengeluaran biaya promosi pada media TV dan radio. -
tentukan Set Target Cell : $C$18 → set cell equal to : Min → minimasi by changing cells : $C$3:$D$3 → (changing cells) subject to the constraints : $C$14 =$D$15 → kendala target total konsumen $C$16 =0 → kendala non negatif
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
26
Kamarul Imam [email protected]
$C$15 =0 $C$16 =0 $C$17 >=$D$17
→ kendala Goal-1 = 0 → kendala Goal-2 = 0 → kendala upper income exposures
Tambahkan kendala Goal 3 = 0 dan kendala maksimal total konsumen $C$17 =0 → kendala Goal-3 = 0 $C$18 >=$D$18 → kendala total konsumen maksimum - solve → perintah untuk melakukan optimasi. Hasilnya merupakan solusi optimal untuk Prioritas-4. Penyelesaian contoh-4 dengan Program PM di atas bisa juga dilihat, untuk dibandingkan dengan hasil solusi optimal Excel. Contoh-5 : Integer Programming untuk MRP The Schwindle Cycle Company memproduksi tiga jenis sepeda : (1) Unicycles (U), (2) Reguler Bicycles (R) dan (3) Twinbikes (T). Setiap jenis produks dirakit dengan berbagai komponen, yaitu : seat (S), wheels (W), hubs (H), spokes (P), chains (C), dan links (L). Bills of materials (BOM) setiap jenis produk dapat dilihat pada product structure di bawah ini :
R U S(1) S(1)
W(2)
C(1)
W(1)
P(36)
H(1) H(1)
L(84)
P(36)
T
S(2)
C(2)
W(2)
H(1)
P(36)
L(84)
Persediaan awal = 0. Schwindle bermaksud mesuplai pasar dengan 100 unit U, 500 unit R dan 200 unit T. Produk jadi sepeda maupun komponen dapat dirakit
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
27
Kamarul Imam [email protected]
sendiri atau membeli ke produsen lain dengan biaya/unit seperti dalam tabel berikut : Items Harga Beli Biaya Merakit
U
R
T
S
W
C
H
P
L
2.60
5.20
3.10
0.25
1.40
0.96
0.19
0.07
0.05
1.04
1.16
1.90
0.20
0.22
0.26
0.16
0.04
0.03
Perlu dicatat, bahwa biaya perakitan adalah biaya langsung pada level perakitan tertentu dan tidak termasuk biaya-biaya komponen yang masuk ke level perakitan yang bersangkutan. Formulasi modelnya adalah : Min. Z = 2.50 UB + 1.04 UM + 5.20 RB + 1.16 RM + 3.10 TB + 1.90 TM + 0.25 SB + 0.20 SM + 1.40 WB + 0.22 WM + 0.96 CB + 0.26 CM + 0.19 HB + 0.16 HM + 0.07 PB + 0.04 PM + 0.05 LB + 0.03 LM s/t. Unicycles : UM + UB = 100 Reguler : RM + RB = 500 Twinbike : TM + TB = 200 Seats : SM + SB = UM + RM + 2TM atau : - UM – RM – 2 TM + SM + SB = 0 Wheels : WM + WB = UM + 2 RM + 2 TM atau : - UM – 2 RM – 2 TM + WM + WB = 0 Chains : CM + CB = 2 TM + RM atau : - 2 TM – RM + CM + CB = 0 Hubs : HM + HB = WM atau : - WM + HM + HB = 0 Spokes : PM + PB = 36 WM atau : - 36 WM + PM + PB = 0 Links : LM + LB = 84 CM atau : - 84 CM + LM + LB = 0 ∀ variables > 0 dan integer. Penulisan formulasi dan hasil solusi dengan LINDO tampak seperti di bawah ini : MIN
2.6 UB + 1.04 UM + 5.2 RB + 1.16 RM + 1.9 TM + 3.1 TB + 0.2 SM + 0.25 SB + 0.22 WM + 1.4 WB + 0.26 CM + 0.96 CB + 0.19 HB + 0.16 HM + 0.07 PB + 0.04 PM + 0.07 LB + 0.03 LM SUBJECT TO 2) UB + UM = 100 3) RB + RM = 500 4) TM + TB = 200 5) - UM - RM - 2 TM + SM + SB = 0 6) - UM - 2 RM - 2 TM + WM + WB = 0 7) - RM - 2 TM + CM + CB = 0 8) - WM + HB + HM = 0 9) - 36 WM + PB + PM = 0 10) - 84 CM + LB + LM = 0 END
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
9
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
3440.000
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
28
Kamarul Imam [email protected]
VARIABLE UB UM RB RM TM TB SM SB WM WB CM CB HB HM PB PM LB LM ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
VALUE 100.000000 0.000000 0.000000 500.000000 0.000000 200.000000 500.000000 0.000000 0.000000 1000.000000 0.000000 500.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
REDUCED COST 0.000000 0.040000 0.080000 0.000000 3.920000 0.000000 0.000000 0.050000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.030000 0.000000 0.041667 0.011667 0.061667 0.021667 DUAL PRICES -2.600000 -5.120000 -3.100000 -0.200000 -1.400000 -0.960000 -0.160000 -0.028333 -0.008333
9
Tampak dari solusi optimal bahwa : Total cost minimum = $ 3,440.00 Dengan komposisi produksi : - pembelian unicycles (UB) untuk kemudian diberi merk perusahaan = 100 unit, - regular bicycles dirakit sendiri (RM) sebanyak 500 unit, - pembelian twinbikes (TB) untuk kemudian diberi merk perusahaan = 200 unit, - akibatnya harus juga memproduksi seats (SM) sebanyak 500 unit untuk melengkapi 500 unit RM yang diproduksi, - wheels harus dibeli (WB) sebanyak 1.000 unit untuk keperluan produksi 500 unit RM (dengan SUR = 2), - chains harus dibeli (CB) sebanyak 500 unit untuk keperluan 500 unit RM (dengan SUR = 1).
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
29
Kamarul Imam [email protected]
Contoh-6 : Jaringan Distribusi Sebuah perusahaan memiliki dua buah pabrik, A dan B; tiga buah gudang, X, Y dan Z; dan empat daerah pemasaran, 1, 2, 3 dan 4. Kebutuhan masing-masing daerah pemasaran secara berurutan adalah : 3, 5, 4 dan 5 unit. Persediaan barang yang ada di pabrik A = 9 unit dan di pabrik B = 8 unit. Kapasitas simpan gudang dapat menerima seluruh pengiriman dari masing-masing pabrik. Biaya pengiriman barang/unit dari pabrik ke gudang dan selanjutnya ke daerah pemasaran adalah :
1
A
1
5
X
2
7 9 Y 3
2
6 7
B
1
8
2
3
7 Z 4
4 4
Penulisan formula modelnya adalah : Zmin = AX + 2 AY + 3 BX + BY + 2 BZ + 5 X1 + 7X2 + 9 Y1 + 6 Y2 + 7 Y3 + 8 Z2 + 7 Z3 + 4 Z4 s/t AX + AY = 9 BX + BY + BZ = 8 X1 + X2 = AX + BX atau : - AX – BX + X1 + X2 = 0 Y1 + Y2 + Y3 = AY + BY atau : - AY – BY + Y1 + Y2 + Y3 = 0 Z2 + Z3 + Z4 = BZ atau : - BZ + Z2 + Z3 + Z4 = 0 - X1 – Y1 = -3 - X2 – Y2 – Z2 = -5 - Y3 – Z3 = -4 - Z4 = -5 ∀ variable > 0 Penulisan dan solusi optimal dengan LINDO adalah : MIN
AX + 2 AY + 3 + 9 Y1 + 6 Y2 SUBJECT TO 2) AX + AY 3) BX + BY 4) - AX – BX 5) - AY – BY 6) - BZ + Z2 7) - X1 – Y1 8) - X2 – Y2 9) - Y3 – Z3 10) - Z4 = -5 END
BX + BY + 2 BZ + 5 X1 + 7X2 + 7 Y3 + 8 Z2 + 7 Z3 + 4 Z4 = + + + + = – =
9 BZ X1 Y1 Z3 -3 Z2 -4
= + + +
8 X2 = 0 Y2 + Y3 = 0 Z4 = 0
= -5
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
30
Kamarul Imam [email protected]
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE AX AY BX BY BZ X1 X2 Y1 Y2 Y3 Z2 Z3 Z4 ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
121.0000 VALUE 3.000000 6.000000 0.000000 3.000000 5.000000 3.000000 0.000000 0.000000 5.000000 4.000000 0.000000 0.000000 5.000000
REDUCED COST 0.000000 0.000000 3.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000 3.000000 1.000000 0.000000
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
DUAL PRICES -1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 2.000000 5.000000 7.000000 8.000000 6.000000
4
Solusi optimal tercapai setelah 4 iterasi, dengan nilai total biaya pengiriman = $ 121.00. Pengiriman
Biaya Pengiriman
AX AY
3.000000 6.000000
= 3 x $ 1 = $ 3.00 = 6 x $ 2 = $ 12.00
BX BY BZ X1 X2 Y1 Y2 Y3 Z2 Z3 Z4
0.000000 3.000000 5.000000 3.000000 0.000000 0.000000 5.000000 4.000000 0.000000 0.000000 5.000000
= 3 x $ 1.00 = $ 3.00 = 5 x $ 2.00 = $ 10.00 = 3 x $ 5 = $ 15.00 = 5 x $ 6 = $ 30.00 = 4 x $ 7 = $ 28.00 = 5 x $ 4 = $ 20.00
Total
$ 121.00
Dengan Excel, penulisan formula dalam sheet adalah :
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
31
Kamarul Imam [email protected]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A B C D E F Contoh-6 : Jaringan Distribusi. Transportation Cost/Unit From Plants to Warehouses From\ X Y Z To A 1 2 0 B 3 1 2
G
H
I
3
4
Total
Transportation Cost/Unit Warehouses to Market Areas From\ To X Y Z
1
2 5 9 0
3 7 6 8
4 0 7 7
0 0 4
Shipments
15
From\ To A
16
B
17
X
0
0
0
18
Y
0
0
0
19
Z
0
0
0
0
20
Total
0
0
0
21 22 23
Required
=SUM( E15:E1 9) 3
=SUM( F15:F1 9) 5
=SUM( G15:G 19) 4
=SUM( H15:H1 9) 5
1
2
3
4
14
24 25 26 27
J
X
Y
Z
1 0
Total Cost From\ X To A =B15* B4 B =B16* B5 X 0
Y
Z
=C15* C4 =C16* C5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=D16*D 5 0
=E17* B9 =E18* B10 0
=F17* C9 =F18* C10 =F19* C11 =SUM( F25:F2 9)
0
0
=G18* D10 =G19* D11 =SUM( G25:G 29)
0
28
Y
0
0
0
29
Z
0
0
0
30
Total Cost
=SUM( B25:B 29)
2
=SUM( C25:C2 9)
=SUM(D 25:D29)
=SUM( E25:E2 9)
=H19* E11 =SUM( H25:H2 9)
=SUM(B 15:H15) =SUM(B 16:H16) =SUM(B 17:H17) =SUM(B 18:H18) =SUM(B 19:H19)
Avail able 9 8
=SUM(B 25:H25) =SUM(B 26:H26) =SUM(B 27:H27) =SUM(B 28:H28) =SUM(B 29:H29) =SUM(I 25:I29)
Penjelasan : sel-sel berwarnakuning adalah sel infisibel.
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
32
Kamarul Imam [email protected]
Dengan aplikasi SOLVER : - tentukan Set Target Cell : $I$30 → set cell - equal to : Min → minimasi - by changing cells : ( hanya sel-sel yang fisibel saja) $B$15:$C$15;$B$16:$D$16;$E$17:$F$17;$E$18:$G$18;$F$19:$H$19 - subject to the constraints : $B$20 >=$I$17 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari X $C$20 >=$I$18 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari Y $D$20 >=$I$19 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari Z $E$20:$H$20 >=$E$21:$H$21 → kendala kebutuhan di daerah pasar 1, 2, 3 dan 4 $I$15:$I$16 0. Solusinya semata-mata karena kebijakan produksi, seperti : P1 = 20, P2 = 30, P3 = 50 dan P4 = 60. Kebijakan ini mengimplikasikan peningkatan produksi pada akhir periode. Ini menyebabkan perlu adanya pengetatan terhadap U1, U2, U3 dan U4 untuk mendapat nilai yang cocok, melalui kendala-kendala berikut : U1 U2 U3 U4
> > > >
P1 P2 P3 P4
– – – –
55 P1 P2 P3
Penurunan produksi juga tidak bisa dihitung dengan tepat, untuk itu perlu ditambahkan kendala-kendala berikut : D1 D2 D3 D4
> > > >
55 – P1 P1 – P2 P2 – P3 P1 – P4
Dengan mempertimbangkan bahwa pada akhir musim winter tingkat produksi kembali ke 55 unit, maka tambahkan variabel U5 dan D5 untuk mengukur perubahan produksi pada akhir musim winter. U5 > 55 – P4 D5 > P4 – 55 Untuk melengkapi formulasi, perlu ditambahkan strategi campuran, seperti berikut : P1 = P2 = 25 P3 = P4 = 55 Sebelum diselesaikan, beberapa kendala bisa disederhanakan menjadi sebuah kendala, seperti : U2 > P2 – P1 D2 > P1 – P2 menjadi sebuah kendala gabungan baru : U2 – D2 = P2 – P1 Pernyataan ini lebih bersifat ekonomis, dibanding matematis. Kegunaannya adalah lebih menekankan U2 = P2 – P1, jika P2 – P1 > 0 dan D2 = P1 – P2, jika P1 – P2 > 0. Dari sisi ekonomi, bisa diargumentasikan bahwa pada solusi optimal paling banyak salah satu dari U2 dan D2 > 0 di dalam kedua kendala di atas. Jika
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
40
Kamarul Imam [email protected]
U2 dan D2 > 0 di dalam formula gabungan, maka keduanya bisa direduksi menjadi suatu persamaan untuk mengurangi biaya tanpa melanggar kendala. Formula model yang lengkap dapat dituliskan dengan LINDO sebagai : MIN 800 I1 + 800 I2 + 800 I3 + 500 U1 + 500 U2 + 500 U3 + 500 U4 + 500 D1 + 500 D2 + 500 D3 + 500 D4 + 500 U5 + 500 D5 SUBJECT TO 2) - I1 + P1 = 20 3) I1 - I2 + P2 = 30 4) I2 - I3 + P3 = 50 5) I3 + P4 = 60 6) U1 - D1 - P1 = - 55 7) U2 - D2 + P1 - P2 = 0 8) U3 - D3 + P2 - P3 = 0 9) U4 - D4 + P3 - P4 = 0 10) U5 - D5 + P4 = 55 END Solusi optimal dicapai setelah iterasi 9 : LP OPTIMUM FOUND AT STEP 9 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 38000.00 VARIABLE I1 I2 I3 U1 U2 U3 U4 D1 D2 D3 D4 U5 D5 P1 P2 P3 P4 ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
VALUE 5.000000 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000 30.000000 0.000000 30.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 25.000000 25.000000 55.000000 55.000000 SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
P1 P2 P3 P4
= = = =
produksi produksi produksi produksi
pada pada pada pada
REDUCED COST 0.000000 700.000000 0.000000 1000.000000 100.000000 0.000000 0.000000 0.000000 900.000000 1000.000000 1000.000000 800.000000 200.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 DUAL PRICES 900.000000 100.000000 0.000000 -800.000000 500.000000 -400.000000 -500.000000 -500.000000 300.000000
9
musim musim musim musim
spring = 25 unit summer = 25 unit autumn = 55 unit winter = 55 unit
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
41
Kamarul Imam [email protected]
Items Beginning Inv. Production Ending Inv. Demand
Spring 0 25 5 20
Summer 5 25 0 30
Autumn 0 55 5 50
Winter 5 55 0 60
I1 = ending inventory pada periode 1 = 5 unit I2 = ending inventory pada periode 2 = 0 unit I3 = ending inventory pada periode 3 = 5 unit I4 = ending inventory pada periode 4 = 0 unit D1 = penurunan produksi pada periode 1 dibanding periode 4 sebelumnya = 55 – 25 = 30 unit, D2 = penurunan produksi pada periode 2 dibanding periode 1 sebelumnya = 25 – 25 = 0 unit, D3 = tidak terjadi penurunan produksi pada periode 3 dibanding periode 2 sebelumnya, sebab dari 25 unit menjadi 55 unit, atau = 0 unit, D4 = tidak terjadi penurunan produksi pada periode 4 dibanding periode 3 sebelumnya = 55 – 55 = 0 unit. U1 = tidak terjadi peningkatan produksi pada periode 1 dibanding periode 4 sebelumnya, sebab dari 55 unit menjadi 25 unit, atau = 0 unit, U2 = peningkatan produksi pada periode 2 dibanding periode 1 sebelumnya = 25 – 25 = 0 unit, U3 = peningkatan produksi pada periode 3 dibanding periode 2 sebelumnya, sebab dari 25 unit menjadi 55 unit = 30 unit, U4 = tidak terjadi peningkatan produksi pada periode 4 dibanding periode 3 sebelumnya = 55 – 55 = 0 unit. Total biaya yang ditimbulkan oleh pola produksi (dan akibatnya kepada persediaan akhir serta penurunan/peningkatan produksi antar periode) : = 800 x (5 + 5) + 500 x (30) + 500 x (30) = $ 38,000.00. Penyelesaian dengan Excel dimulai dengan menuliskan formula model sebagai berikut :
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
42
Kamarul Imam [email protected]
A
B
C
D
1
Uncontrollable Variables and Parameters
2 3
I1 I2
800 800
4 5 6 7
I3 U1 U2 U3
800 500 500 500
8 9 10 11 12 13 14 15 16
U4 D1 D2 D3 D4 U5 D5
500 500 500 500 500 500 500
E
F
Production Level
17
P1
18 19 20 21 22 23 24 25
P2
Decision Variables
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
P3
P4
Constraints :
RHS
I1 I2 I3 U1 U2
=-B21+A18 =B21-B22+B18 =B22-B23+C18 =B23+D18 =B24-B28-A18
20 30 50 60 -55
U3 U4 D1 D2 D3 D4 U5 D5
=B25-B29+A18-B18 =B26-B30+B18-C18 =B27-B31+C18-D18 =B32-B33+D18
0 0 0 55
Models Output : Total Cost
=SUMPRODUCT(B2:B14;B21:B33)
Gunakan fasilitas SOLVER : -
tentukan Set Target Cell : $B$36 → set cell equal to : Min → minimasi by changing cells : $B$21:$B$33;$A$18:$D$18 subject to the constraints : $D$21:$D$29=$F$21:$F$29 → kendala permintaan, perubahan produksi dan persediaan - solve → perintah untuk melakukan optimasi.
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
43
Kamarul Imam [email protected]
Solusi optimal yang dihasilkan adalah : A B C 1
Uncontrollable Variables and Parameters
2
I1
800
3
I2
800
4
I3
800
5
U1
500
6
U2
500
7
U3
500
8
U4
500
9
D1
500
10
D2
500
11
D3
500
12
D4
500
13
U5
500
14
D5
500
15 16
Production Level
17
P1
P2 25
P3 25
D
E
F
P4
18 19 20
55
55
Decision Variables
21
I1
5
20
20
22
I2
0
30
30
23
I3
5
50
50
24
U1
0
60
60
25
U2
0
-55
-55
26
U3
30
0
0
27
U4
0
0
0
28
D1
30
0
0
29
D2
0
55
55
30
D3
0
31
D4
0
32
U5
0
33
D5
0
Constraints :
RHS
34 35 36
Models Output : Total Cost
38000
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
44
Kamarul Imam [email protected]
Contoh-9 : Transshipment Model. Seymour Miles adalah manajer distribusi Zigwell Inc. Zigwell mendistribusikan traktor perata (crawler tractor), E-9; kepada lima propinsi. Pada saat sekarang perusahaan memiliki 10 traktor di pusat gudang komponen-1 yang harus dikonstruksi di pabrik-3 dan-4, masing-masing 3 unit dan 7 unit. Jaringan distribusi Zigwell adalah :
3
-3
c23 +10
c34 c12
1
2
c43
4 c24
-7 c53
c25
c54
5 Dari gambar jaringan ini, dapat diketahui bahwa ada empat jalur alternatif yang bisa dipilih untuk pendistribusi traktor adalah : 1 – 2 – 3, 1 – 2 – 4 – 3, 1 – 2 – 5 – 3 dan 1 – 2 – 5 – 4 – 3. Biaya distribusi/unit, cij dan kapasitas pengiriman, uij adalah : c12 = 100
u12 = 10
c23 = 105 c24 = 90 c25 = 75
u23 = 3 u24 = 5 u25 = 5
c34 c43 c53 c54
u34 u43 u53 u54
= = = =
110 80 85 100
= = = =
4 8 5 6
Persoalan optimasi adalah : bagaimana bisa mengirim traktor sesuai dengan kebutuhan di pabrik-3 dan pabrik-4 dengan biaya minimum. Formula model LP adalah : Zmin = 100 X12 + 105 X54 s/t. X12 = 10 - X12 + X23 +X24 + X25 - X23 – X43 – X53 + X34 - X24 – X34 – X54 + X43 - X25 + X53 + X 54 = 0 0 < Xij < uij
X23 + 90 X24 + 75 X25 + 110 X34 + 80 X43 + 85 X53 + 100
=0 = -3 = -7
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
45
Kamarul Imam [email protected]
Dengan LINDO formula model dan solusi optimal yang dihasilkan adalah : MIN 100 X12 + 105 X23 + 90 X24 + 75 X25 + 110 X34 + 80 X43 + 80 X53 + 100 X54 SUBJECT TO 2) X12 = 10 3) - X12 + X23 + X24 + X25 = 0 4) - X23 + X34 - X43 - X53 = - 3 5) - X24 - X34 + X43 - X54 = - 7 6) - X25 + X53 + X54 = 0 7) X23
