Teorema Binomial [PDF]

Citation preview

Teorema binomial



Koefisien binomial muncul sebagai masukan dari segitiga Pascal. The koefisien binomial muncul sebagai entri 's Segitiga Pascal. Dalam aljabar dasar, teorema binomial menggambarkan perluasan aljabar dari kekuatan sebuah binomial. Dalam Aljabar ditempatkan teorema, binomial menggambarkan kekuatan perluasan Aljabar USING USING binomial. Menurut teorema ini, adalah mungkin untuk memperluas daya (xy) n menjadi jumlah yang melibatkan segi bentuk kapak byc, di mana setiap periode koefisien adalah bilangan bulat positif, dan jumlah dari unsur x dan y dalam setiap istilah n. Menurut teorema inisial, adalah mungkin untuk Artikel memperluas daya (xy) menjadi n Shares Yang melibatkan segi bentuk kapak bcy, dimana koefisien USING berlangganan My terkait masih berlangsung periode adalah positif integer, Number Dan eksponen USING x y Dan terkait masih berlangsung dalam periode adalah n. Sebagai contoh, Sebagai Contoh,



Koefisien muncul dalam ekspansi binomial dikenal sebagai koefisien binomial. Koefisien muncul dalam ekspansi binomial dikenal sebagai koefisien binomial. Mereka adalah sama dengan entri segitiga Pascal, dan dapat ditentukan dengan rumus sederhana yang melibatkan faktorial. Mereka adalah entri Artikel Baru Yang Sama Segitiga Pascal dan Jaksa dapat ditentukan Artikel Baru Sederhana Yang melibatkan rumus faktorial. Jumlah ini juga muncul dalam kombinatorik, di mana koefisien xn - kyk adalah sama dengan jumlah kombinasi yang berbeda dari unsur k yang dapat dipilih dari sebuah set-n elemen. Angka-angka dalam kombinatorik Suami juga muncul, asam di mana koefisien xn - adalah Sama kky Number Artikel Baru Yang berbeda Kombinasi k unsur ditetapkan Yang dapat dipilih USING n-elemen.



[Sejarah] Riwayat Ini formula dan susunan segitiga koefisien binomial sering dikaitkan dengan Blaise Pascal, yang menggambarkan mereka di abad ke-17, tapi mereka diketahui banyak matematikawan yang mendahuluinya. Suami Dan susunan formula koefisien binomial Segitiga sering dikaitkan Artikel Baru Blaise Pascal, Yang menggambarkan mereka Di Abad ke-17, tapi mereka diketahui banyak matematikawan mendahuluinya yang. Abad ke 4 SM matematikawan Yunani Euclid menyebutkan kasus khusus dari teorema binomial untuk pangkat 2 [1] [2] seperti yang dilakukan abad ke-3 SM matematikawan India pingala untuk perintah yang lebih tinggi. Abad ke-4 SM Euclid matematikawan Yunani menyebutkan kasus Khusus USING teorema binomial untuk Artikel pangkat 2 [1] [2] seperti dilakukan Yang Ke-3 SM Abad matematikawan India pingala perintah untuk Artikel Yang lebih Tinggi. Sebuah teorema binomial lebih umum dan apa yang disebut "segitiga Pascal" itu dikenal dalam AD abad ke-10 untuk Halayudha matematikawan India dan Persia matematikawan Al-Karaji, [3] dan pada abad ke-13 untuk matematikawan Cina Yang Hui, yang semuanya berasal hasil yang serupa. [4] AlKaraji juga memberikan bukti baik matematika dari teorema binomial dan segitiga Pascal, dengan menggunakan induksi matematika. [3] Sebuah teorema binomial Umum Dan Yang disebut lebih "begitu 's Segitiga Pascal" dikenal dalam ITU Abad 10 Masehi matematikawan India Dan Halayudha matematikawan Persia Al-Karaji, [3] Dan PADA Abad ke-13 untuk Artikel matematikawan Cina Yang Hui, Yang Semuanya berasal Hasil Yang sama. [4] Al-Karaji juga memberikan bukti Matematika USING kedua teorema binomial Segitiga Pascal Dan itu, untuk Artikel menggunakan INDUKSI Matematika. [3]



Pernyataan teorema Menurut teorema ini, sangat mungkin untuk memperluas kekuatan dari xy ke sejumlah bentuk inisial Menurut teorema, adalah mungkin untuk Artikel memperluas kekuatan USING Ke sejumlah bentuk xy



dimana menunjukkan koefisien binomial yang sesuai. Yang menunjukkan Sesuai koefisien binomial. Menggunakan notasi penjumlahan, formula diatas dapat ditulis Menggunakan notasi penjumlahan, Diatas rumus dapat ditulis



Rumus ini kadang-kadang disebut sebagai rumus binomial atau binomial identitas. Rumus Suami kadang-kadang disebut sebagai rumus binomial binomial Danijel identitas. Varian dari rumus binomial didapatkan dengan menggantikan 1 untuk x dan x untuk y, sehingga hanya melibatkan variabel tunggal. Varian USING mengganti diperoleh rumus binomial untuk Artikel Artikel Baru 1 x Dan untuk Artikel x y sehingga, hanya variabel melibatkan Satu. Dalam bentuk ini, rumus membaca Suami Dalam bentuk rumus, Kali dibaca



atau



dengan



kata



Danijel



f



Contoh



Segitiga Pascal Segitiga Pascal Contoh yang paling dasar dari teorema binomial adalah rumus persegi ditempatkan x + y: Contoh Yang pagar USING adalah rumus binomial teorema persegi USING x + y:



The binomial koefisien 1, 2, muncul dalam 1 perluasan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. The koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam ekspansi Suami Sesuai Baris Artikel Baru SIBOR USING Segitiga Pascal. Koefisien kekuasaan yang lebih tinggi xy sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga: Koefisien kekuasaan Yang lebih



Tinggi USING xy Sesuai Baris selanjutnya USING Segitiga Artikel Baru:



Teorema binomial dapat diterapkan pada kekuasaan binomial apapun. Teorema apapun kekuasaan dapat diterapkan PADA binomial binomial. Sebagai contoh, Sebagai Contoh,



Untuk pengurangan yang melibatkan binomial, teorema dapat diaplikasikan selama negasi dari istilah kedua digunakan. Pengurangan untuk Artikel Yang melibatkan teorema binomial, dapat diaplikasikan selama negasi USING Istilah kedua digunakan. Hal ini memiliki efek meniadakan setiap istilah lain dari ekspansi: Suami memiliki Efek ekuitas Hal meniadakan Istilah terkait masih berlangsung berbaring USING perluasan:



Penjelasan geometrical



Untuk nilai-nilai positif a dan b, teorema binomial dengan n = 2 adalah fakta geometris jelas bahwa sisi persegi ab dapat dipotong menjadi persegi sisi, sebuah persegi sisi b, dan dua persegi panjang dengan sisi a dan b . Untuk Artikel value-value positif a, b dan, teorema binomial Artikel Baru n = 2 adalah Fakta Nyata bahwa secara geometris persegi Sisi a, b dapat dipotong menjadi persegi Sisi, Sisi b berlangganan My persegi dan Jaksa doa persegi berlangganan My Sisi Panjang b. Dan Artikel Baru Dengan n = 3, teorema menyatakan bahwa sebuah kubus ab samping dapat dipotong menjadi suatu sisi kubus, kubus b sisi, tiga sebuah × × a, b kotak persegi panjang, dan tiga × b × b kotak persegi panjang. n = 3 untuk Artikel, teorema menyatakan bahwa kubus USING Sisi a, b dapat dipotong kubus menjadi suatu Sisi, Sisi kubus b, Tiga berlangganan My × × a, b Kotak Panjang persegi dan Jaksa Tiga × × b b Kotak persegi Panjang.



Koefisien binomial Artikel utama: koefisien Binomial Artikel utama: koefisien Binomial Koefisien yang muncul dalam ekspansi binomial binomial disebut koefisien. Koefisien muncul dalam ekspansi Yang disebut koefisien binomial binomial. Ini biasanya ditulis ini biasanya ditulis



, dan diucapkan “ n choose k ”. , Dan diucapkan "pilih n k".



Rumus Koefisien x n − k y k diberikan oleh rumus Koefisien x n - k k y diberikan oleh rumus



yang didefinisikan dalam istilah fungsi faktorial n!. Yang Istilah didefinisikan dalam Syarat USING faktorial n!. Dengan kata lain, formula ini dapat ditulis berbaring Kata untuk Artikel, inisial dapat ditulis rumus



dengan faktor k baik di pembilang dan penyebut dari fraksi. Faktor k email harian Baik Di pembilang penyebut Dan USING Fraksi. Perhatikan bahwa, walaupun rumus ini melibatkan fraksi, yang bahwa koefisien binomial Pendapatan Internet Layanan Internet, walaupun rumus Suami melibatkan Fraksi, koefisien binomial sebenarnya adalah integer .



is actually an integer .



Interpretasi Kombinatorial Koefisien binomial koefisien yang binomial dapat diinterpretasikan sebagai banyaknya cara untuk memilih k elemen dari serangkaian n-elemen. dapat diinterpretasikan sebagai banyaknya untuk Artikel Cara elemen-elemen k n USING Memilih ditetapkan. Hal ini terkait dengan binomial karena alasan berikut: jika kita menulis ( x + y ) n sebagai Produk? Berlangganan Artikel Baru Hal KARENA ITU binomial alasan berikut: jika Kita menulis ( x + y ) n sebagai Hasil



kemudian, menurut hukum distributif , akan ada satu istilah dalam ekspansi untuk setiap pilihan baik x atau y dari masing-masing binomial produk.. Misalnya, hanya ada satu istilah x n, yang sesuai untuk memilih 'x dari binomial masing-masing. Namun, akan ada beberapa istilah bentuk x n -2 y 2, satu untuk setiap cara memilih tepat dua binomial untuk berkontribusi y a.. Oleh karena itu, setelah menggabungkan seperti istilah , koefisien x n -2 y 2 akan sama dengan jumlah cara untuk memilih tepat 2 elemen-elemen dari n set.



Bukti Bukti Kombinatorial Contoh Koefisien xy 2 di



sama dengan yaitu,



, karena ada tiga x, y string dengan panjang 3 dengan tepat dua y 's,



sesuai dengan tiga subset 2 elemen dari (1, 2, 3), yaitu,



mana setiap subset menentukan posisi y dalam string yang sesuai. Umum kasus Memperluas (x + y) n menghasilkan jumlah produk n 2 dari bentuk e 1 e 2 ... e n di mana setiap e i adalah x atau y. Menata ulang faktor menunjukkan bahwa setiap produk sama dengan x n - y k k untuk beberapa k antara 0 dan n.Untuk k diberikan, berikut ini adalah terbukti sama berturut-turut: • •



jumlah salinan dari x n - y k k dalam ekspansi jumlah karakter n-x, string y y persis memiliki posisi k



•



•



jumlah-elemen subset k (1, 2, ..., n) (Ini baik menurut definisi, atau dengan argumen kombinatorial pendek jika ada yang mendefinisikan



as sebagai



). ).



Ini membuktikan teorema binomial.



Bukti Induktif Induksi menghasilkan bukti lain dari teorema binomial (1).



Ketika n = 0 kedua sisi sama dengan 1,, karena x 0 = 1 untuk semua x dan .. Sekarang anggaplah bahwa (1) berlaku untuk suatu n yang diberikan, kami akan membuktikan bahwa untuk n + 1. Untuk j, k ≥ 0, biarkan [ƒ (x, y)] jk menunjukkan koefisien x j y k pada ƒ polinomial (x, y). Dengan hipotesis induktif, (x + y) n adalah polinomial dalam x dan y seperti yang [(x + y) sebaliknya. The identity identitas



n



jk]



adalah



if j + k = n , dan 0



dan menunjukkan bahwa (x + y) n +1 juga adalah polinomial dalam x dan y, dan



Jika j + k = n + 1, maka (j - 1) = k + n dan j + (k - 1) = n, sehingga sisi kanan adalah



oleh Pascal identitas . Di sisi lain, jika j + k ≠ n + 1, maka (j - 1) + n dan j ≠ k + (k - 1) n ≠, sehingga kami mendapatkan + 0 = 0 0. Thus Demikian



dan ini melengkapi langkah induktif.



Generalisasi Umum teorema binomial Newton Artikel utama: seri Binomial Sekitar 1665, Isaac Newton rumus umum untuk memungkinkan eksponen riil lainnya dari bilangan bulat negatif, dan sebenarnya dapat digeneralisasi lebih lanjut, untuk eksponen kompleks. Dalam generalisasi ini, jumlah terbatas digantikan oleh serial yang tak terbatas .Untuk melakukan satu ini perlu untuk memberi makna koefisien binomial dengan indeks atas sewenang-wenang, yang tidak dapat dilakukan dengan menggunakan rumus di atas dengan faktorial, namun anjak keluar (n - k)! dari pembilang dan penyebut dalam formula itu, dan mengganti n dengan r yang sekarang berdiri untuk nomor sewenang-wenang, seseorang dapat mendefinisikan



dimana adalah simbol Pochhammer di sini berdiri untuk faktorial jatuh . Lalu, jika x dan y adalah bilangan real dengan | x | y | |>, [5] dan r adalah setiap bilangan kompleks , seseorang



Ketika r adalah bilangan bulat negatif, koefisien binomial untuk> r k adalah nol, jadi (2) spesialisasi untuk (1), dan ada di paling r + 1 istilah nol. Untuk nilai-nilai lain r, seri (2) memiliki jumlah tak terbatas istilah nol, setidaknya jika x dan y adalah nol. Hal ini penting ketika seseorang bekerja dengan seri terbatas dan ingin untuk mewakili mereka dalam hal fungsi Hipergeometris umum . Mengambil r = - s mengarah ke berguna tetapi non-jelas rumus khususnya:



Selanjutnya mengkhususkan untuk s = 1 menghasilkan seri formula geometrik .



Generalisasi Formula (2) dapat digeneralisasi untuk kasus di mana x dan y adalah bilangan kompleks . Untuk versi ini, kita harus mengasumsikan | x |> y | | [5] dan menentukan kekuatan dari x + y dan x menggunakan holomorphic cabang log didefinisikan pada disk terbuka | radius x | berpusat pada x. Formula (2) berlaku juga untuk elemen x dan y dari aljabar Banach selama xy = yx, x invertible, dan | | y / x | |