Teorema Green [PDF]

Citation preview

TEOREMA GREEN Makalah Diajukan untuk memenuhi tugas dari mata kuliah Matematika Terapan yang diampu oleh



Disusun Oleh: Erica Disativa Suwenda (1901562) Deyadra Nur Shafa’ (1909167 ) Salsa Kamilah Insani (1904659) Tiara Reza Hanandita (1904622) Nadhif Akhdan (1900950) Galih Leo Dalili (1900890)



PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL DEPARTEMEN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA



2020 KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Mahakuasa karena telah memberikan kesempatan pada penulis untuk menyelesaikan makalah ini. Atas rahmat dan hidayah-Nya lah penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Teorema Green tepat waktu. Makalah Teorema Green disusun guna memenuhi tugas Drs. Anto pada mata kuliah Matematika Terapan. Selain itu, Kami berharap agar makalah ini dapat menambah wawasan bagi pembaca tentang Teorema Green. Kami mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada Drs. Anto selaku dosen mata kuliah Matematika Terapan. Tugas yang telah diberikan ini dapat menambah pengetahuan dan wawasan terkait bidang yang ditekuni kami. Kami juga mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu proses penyusunan makalah ini. Kami menyadari makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan penulis terima demi kesempurnaan makalah ini.



Bandung, 20 September 2020



DAFTAR ISI



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................i DAFTAR ISI ............................................................................................ ii DAFTAR GAMBAR............................................................................... iii DAFTAR TABEL ....................................................................................iv BAB IPENDAHULUAN ............................... 1.1. Latar Belakang.............................. 1.2 Identifikasi Masalah...................................................................1 1.3 Pembatasan Masalah ..................... 1.4 Rumusan Masalah.......................... 1.5 Tujuan ............................................ 1.6 Sistematika ..................................... BAB II HASIL DAN PEMBAHASAN..................................................... 2.1 BAB III SIMPULAN DAN REKOMENDASI....................................... DAFTAR PUSTAKA..............................................................................



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Integral merupakan operasi kebalikan dari turunan. Salah satu bentuk dari penerapan integral adalah integral garis. Dalam menyelesaikan perhitungan integral garis dapat dilakukan menggunakan Teorema Green. Teorema ini dipilih karena proses perhitungannya lebih cepat dan tepat. Namun, dalam menggunakan teorema green diharuskan memiliki keahlian dalam mencari turunan parsial. Pada dasarnya fungsi dari teorema green sama dengan integral garis yaitu untuk mengetahui panjang lintasan sekeliling kurva C. integral sekeliling C seringkali dinamakan suatu integral Contour (integral Lintasan). Teorema green dapat diterapkan dalam kurva atau daerah terhubung sederhana dan berganda. Kelebihan lain dari teorema green adalah tidak harus memperhatikan arah positif seperti halnya secara langsung jika dengan cara lang-sung arah positif tersebut berlawanan arah putaran jarum jam.



1.2 Identifikasi Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, penulis mengidentifikasi beberapa masalah yang menjadi bahan pembahasan: a. Kurangnya pemahaman tentang teorema green b. Kurangnya pemahaman tentang notasinya c. Kurangnya pemahaman tenteng transformasi dari integral lipat ke integral garis 1.3 Pembatasan Masalah



Agar pembelajaran dapat dilakukan dengan lebih fokus, sempurna dan mendalam. Maka penulis membatasi permasalahan yang berkaitan dengan teorema green. 1.4 Rumusan Masalah 1. Apa definisi dari teorema green? 2. Bagaimana notasi teorema green? 3. Bagaimana transformasi dari integral lipat ke integral garis? 1.5 Tujuan 1. Untuk mengetahui definisi teorema green 2. Untuk mengetahui notasi teorema green 3. Untuk mengetahui bagaimana transformasi dari integral lipat ke integral garis 1.6 Sistematika Untuk memahami lebih jelas mengenai makalah ini. Maka materi-materi yang terdapat di dalam makalah ini dikelompokan menjadi beberapa subbab dengan sistematika sebagai berikut:



BAB I PENDAHULUAN Bab pendahuluan mendeskripsikan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat dan sistematika penulisan.



BAB II HASIL DAN PEMBAHASAN Memaparkan dari hasil-hasil tahapan penelitian, mulai dari analisis, desain, hasil testing dan implementasinya. Bab ini berupa pembahasan dari pertanyaan yang terdapat pada bagian rumusan masalah.



BAB III SIMPULAN DAN REKOMENDASI Berisi kesimpulan dan rekomendasi dari seluruh pembelajaran yang telah dilakukan.



BAB II PEMBAHASAN



2.1 Teorema Green Teori ini adalah teori yang sangat penting jika dihubungkan dengan integrasi garis pada kurva tertutup bidang. Teori ini menjelaskan hubungan antara integral garis di sepanjang kurva (atau kurva-kurva) yang membentuk atau membangun sebuah daerah/domain dan integral ganda (double integral) atau integral integral permukaan yang di ambil di daerah tersebut. Dengan kata lain teori ini menjelaskan bahwa permasalahan integral garis dapat di selesaikan dengan Teorema Green dan demikian sebaliknya. Misalkan C kurva mulus sepeotong-sepotong, tertutup sederhana, yang membentuk batas dari suatu daerah S di bidang xy. Jika M dan N kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C , maka atau



Bukti, Misalkan



dan



batasnya C terdiri atas empat busur C1, C2, C3, dan C4. Dan



Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai suatu himpunan x sederhana, maka diperoleh



Hasil di atas dapat diperluas ke daerah S tak sederhana yaitu dengan memecah menjadi suatu gabungan daerah-daerah S1, S2, ..., Sk yang berupa himpunan x sederhana dan y sederhana (Gambar 1).



Gambar 1. Daerah pecahan S Teorema green tetap berlaku untuk suatu daerah S dengan satu atau beberapa lubang, asal saja tiap bagian dari batas terarah sehingga S selalu di kiri selama seseorang menelusuri kurva dalam arah positif seperti gambar 2.



Gambar 2. Contoh 1 Andaikan C adalah batas dari segitiga dengan titik-titik sudut (0, 0), (1, 2), dan (0, 2). Hitung



Jawab Diketahui M = 4x2y , dan N = 2y. Karena M dan N polinom maka mempunyai turunan yang kontinu, sehingga menurut teorema Green berlaku



Contoh 2 Buktikanlah teorema Green dalam bidang jika C adalah sebuah kurva tertutup yang memiliki sifat bahwa setiap garis lurus yang sejajar sumbu koordinat memotong C paling banyak pada dua titik Jawab :



Misalkan persamaan kurva AEB dan AFB berturut-turut adalah



y = y1(x), y = y2(x). Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C, diperoleh



Sehingga diperoleh



Dengan cara yang sama, misalkan persamaan-persamaan kurva EAF dan EBF berturut-turut adalah x = x1(y), x = x2(y).



Jumlahkan (1) dan (2) maka didapat



2.1.1 Bentuk Vektor Dari Teorema Green Misalkan C kurva tertutup, sederhana, mulus pada bidang xy dan bahwa kurva tersebut diberi arah berlawanan dengan putaran parameterisasinya x = x(s) dan y = y(s), maka



adalah vektor singgung satuan dan



adalah vektor normal satuan yang menunjuk ke arah luar dari daerah S yang dibatasi oleh C. Jika F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j adalah suatu medan vektor, maka



Contoh 2 Jika F = (x2 + y2)i + 2xyj dan melintasi batas C dari bujur sangkar satuan dengan titik-titik sudut (0, 0), (1, 0), (1, 1), dan (0, 1), maka hitung



Jawab Diketahui



M



=



x2



+



y2



dan



N



=



2xy.



Maka



2.2 Teorema Green Untuk Menyelesaikan Perhitungan Integral Garis 2.2.1 Integral Garis Riil Jika P(x,y) dan Q(x,y) adalah fungsi riil dari x dan y yang kontinyu di semua titik pada kurva C, maka integral garis riil dari Pdx + Qdy sepanjang kurva C dapat didefinisikan dengan cara sebagai berikut:



Perhitungan integral garismdapat dilakukan dengan dua cara. 1. Jika diberikan persamaan kurva C sebagai y = f(x), maka integral garis (1) dihitung dengan menempatkan y = f(x), dy = f’(x) dx dan dua titk dalam kurva C yang dihubungkan adalah (a1,b1) dan (a2, b2) maka



untuk



menghitung



integral



tertentunya:



2. Jika C diberikan x = g(y), maka dx = g1(y) dan integral garis tersebut menjadi:



Perhitungan integral garis bertujuan untuk menghitung panjang lintasan kurva dari titik (a1, b1) dan (a2, b2) menggunakan sifat-sifat yang analog dengan sifat-sifat integral biasa.



Jadi pembalikan jalan integrasi akan mengubah tanda integral garis tersebut.



dimana (a3, b3) sebuah titik lain pada C. 2.2.2 Kurva Tertutup Sederhana Daerah Terhubung Sederhana dan daerah Terhubung Lipat Ganda Kurva tertutup seder-hana (simple closed curve) adalah kurva tertutup yang tidak memotong dirinya sendiri di setiap titiknya. Suatu daerah R dinamakan tertutup sederhana (simply connec-ted) jika suatu kurva tertutup sederhana yang terletak dalam R dapat menyusut ke suatu titik tanpa meninggalkan R, dan jika tidak demikian maka daerah tersebut dinamakan terhubung lipat ganda (multiply connected).



Gambar 3. Kurva Kontinu



Gambar 4. Kurva Tertutup dan sederhana



Gambar 5. Kurva tertutup tidak sederhana



BAB III KESIMPULAN Berdasarkan uraian bab-bab sebelumnya, dapat disimpulkan sebagai berikut : 1. Teori Teorema Green menjelaskan hubungan antara integral garis di sepanjang kurva (atau kurva-kurva) yang membentuk atau membangun sebuah daerah/domain dan integral ganda (double integral) atau integral integral permukaan yang di ambil di daerah tersebut. Dengan kata lain teori ini menjelaskan bahwa permasalahan integral garis dapat di selesaikan dengan Teorema Green dan demikian sebaliknya. 2. Teorema Green dapat menyelesaikan perhitungan integral garis dengan du acara. a.Jika diberikan persamaan kurva C sebagai y = f(x), maka integral garis (1) dihitung dengan menempatkan y = f(x), dy = f’(x) dx dan dua titk dalam kurva C yang dihubungkan adalah (a1,b1) dan (a2, b2) maka untuk



menghitung



integral



tertentunya:



b.Jika C diberikan x = g(y), maka dx = g1(y) dan integral garis tersebut menjadi:



3. Perhitungan integral garis bertujuan untuk menghitung panjang lintasan kurva dari titik (a1, b1) dan (a2, b2) menggunakan sifat-sifat yang analog dengan sifat-sifat integral biasa.



DAFTAR PUSTAKA



Darmono,P.B. TEOREMA GREEN UNTUK MENYELESAIKAN PERHITUNGAN INTEGRAL GARIS, diakses pada https://media.neliti.com/media/publications/222163-none.pdf



Lukman, Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes, diakses pada http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/1968 01281994021-LUKMAN/silabus_anvek/Pertemua9.pdf



Rahima & Anny Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Greenhttps://www.academia.edu/17287348/Teorema_Divergensi_Teorem a_Stokes_dan_Teorema_Green