Terjemahan Geometri Analitik Dasar [PDF]

Citation preview

1. Konsep dasar Selama beberapa abad geometri dan aljabar berkembang perlahan, sedikit demi sedikit, sebagai disiplin matematika yang berbeda. Pada 1637, bagaimanapun, seorang ahli matematika dan filsuf Perancis, Renė Descartes, menerbitkan La Gėomėtrie, yang memperkenalkan alat untuk menyatukan dua cabang matematika ini. Fitur dasar dari proses baru ini, sekarang disebut geometri analitik, adalah penggunaan sistem koordinat. Melalui metode sistem koordinat aljabar dapat diterapkan dengan kuat dalam studi geometri, dan mungkin yang lebih penting lagi adalah keuntungan yang diperoleh aljabar melalui representasi grafis dari persamaan aljabar. Memang, kontribusi luar biasa Descartes membuka jalan bagi perkembangan matematika yang cepat dan luas, karena hal itu memberikan pekerjaan yang sangat penting bagi penciptaan kalkulus. Banyak konsep yang dibahas dalam buku ini berasal dari zaman kuno. Jangan salah mengira bahwa mereka dipelajari hanya untuk nilai sejarah. Sebaliknya, ide-ide ini telah bertahan dalam ujian waktu dan dipelajari hari ini karena kegunaannya dalam menangani masalah hari ini (dan mungkin besok). Topik-topik yang hanya menjadi kepentingan sejarah, yang tidak membuahkan hasil saat ini, sebagian besar telah hilang dari studi aktif. Topik-topik berikut dalam buku ini memiliki aplikasi yang berarti dalam berbagai penyelidikan matematika dan disiplin ilmu seperti astronomi, ilmu alam, teknik, bisnis, kedokteran, ilmu sosial, psikologi, statiscis, dan aconimics. 1.1 KONSEP DASAR Garis di mana satu arah dipilih sebagai positif dan sebaliknya sebagai negatif disebut garis berarah. Ruas garis, terdiri dari dua titik dan bagian di antaranya, disebut ruas garis berarah. Pada Gambar 1.1, arah positif ditunjukkan dengan panah. Titik A dan B menentukan a.



B B



A A



GAMBAR 1.1 segmen, yang kami tunjukkan dengan AB atau BA. Kami menetapkan bahwa jarak dari A ke B, yang diartikan ke arah positif, adalah positif; dan jarak dari B ke A, diukur dalam arah negatif, adalah negatif. Kedua jarak ini, yang kami nyatakan dengan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 dan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴 , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ disebut jarak terarah. Jika panjang ruas garis adalah 3, maka 𝐴𝐵 = 3, dan 𝐵𝐴 = −3. jarak, oleh karena itu, dalam segmen garis berarah memenuhi persamaan. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴



Konsep lain yang berkaitan dengan jarak pada segmen AB adalah jarak tidak terarah



antara A dan B. Jarak tidak terarah adalah panjang segmen, yang kita anggap positif. Kami akan menggunakan notasi



⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐴𝐵| = |𝐵𝐴| = 3, 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −|𝐴𝐵| = −|𝐵𝐴| = −3. 𝐵𝐴 Seringkali konsep nilai absolut sebuah angka memiliki signifikansi tertentu. Sehubungan dengan konsep ini, kami memiliki definisi berikut. DEFINISI 1.1 ● Nilai absolut dari bilangan real a, dilambangkan dengan |𝑎|, adalah bilangan real seperti itu



|𝑎| = 𝑎 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝑎 𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑜𝑟 𝑧𝑒𝑟𝑜, |𝑎| = − 𝑤ℎ𝑒𝑛𝑎 𝑖𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒. Menurut definisi ini, nilai absolut setiap bilangan bukan nol adalah positif dan nilai absolut nol adalah nol. Jadi,



|5| = 5, |−5| = −(−5) = 5,



|0| = 0



Kami melihat kemudian, itu



|𝑎| = √𝑎2 Untuk bilangan real a, karena akar kuadrat dari bilangan nonnegatif apa pun adalah nonnegative.



A



B



C



GAMBAR 1.2 TEORI 1.1 ● Jika A, B, dan C adalah tiga titik garis berarah, maka jarak terarah yang ditentukan oleh titik-titik ini memenuhi persamaan



⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵



⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶



⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐴



⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , dan 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ semua memiliki tanda Bukti. Jika B berada di antara A dan C, jaraknya 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ sama dengan jumlah dari dua lainnya (Gbr. 1.2). Persamaan kedua yang sama, dan 𝐴𝐶 dan ketiga mengikuti dengan mudah dari yang pertama. Untuk menetapkan persamaan ⃗⃗⃗⃗⃗ ke kedua sisi persamaan pertama dan kemudian kedua, kami menambahkan −𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Jadi , gunakan kondisi itu −𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 − 𝐵𝐶 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵



Garis Bilangan Nyata Konsep dasar geometri analitik adalah representasi dari semua bilangan real, kita catat, terdiri dari bilangan positif, bilangan negatif dan nol. Untuk menetapkan representasi yang diinginkan, pertama-tama kita memilih arah pada garis sebagai positif (ke kanan pada Gambar 1.3) dan memilih titik O dari garis, yang kita sebut titik asal, untuk mewakili angka nol. Selanjutnya kami menandai titik pada jarak 1,2,3, dan seterusnya, unit di sebelah kanan titik asal. Kita biarkan titik yang terletak mewakili angka 1,2,3, dan seterusnya. Dengan cara yang sama kami menemukan titik ke kiri asal untuk mewakili angka -1, -2, -3, dan seterusnya. Kita sekarang memiliki titik yang dihubungkan ke bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan bulat nol. Angka yang nilainya antara bilangan bulat berurutan memiliki titik yang sesuai antara titik yang diasosiasikan dengan bilangan bulat tersebut, sehingga 1



1



4



4



jumlahnya 2 sesuai dengan intinya 2 unit di sebelah kanan asal. Dan, secara umum, setiap bilangan positif p diwakili oleh satuan titik p di sebelah kanan titik asal, dan bilangan negatif –n diwakili oleh satuan titik n di sebelah kiri titik asal. Selanjutnya, kami mengasumsikan bahwa setiap bilangan real sesuai dengan satu.



Arahkan pada garis dan, sebaliknya, setiap titik pada garis berhubungan dengan satu bilangan real. Hubungan himpunan bilangan real dan himpunan titik pada garis berarah ini disebut korespondensi satu-ke-satu. Garis berarah pada Gambar 1.3, dengan titik-titik yang sesuai dengan bilangan real, disebut garis bilangan real. Angka yang sesuai dengan suatu titik pada garis disebut koordinat titik. Karena bilangan positif sesuai dengan titik dalam arah positif yang dipilih dari asal dan bilangan negatif sesuai dengan titik yang berlawanan atau arah negatif pada titik asal, kita akan mempertimbangkan koordinat titik pada garis bilangan sebagai jarak terarah dari asalnya. Untuk kenyamanan, terkadang kita berbicara tentang suatu poin sebagai angka, dan sebaliknya. Misalnya, kita dapat mengatakan "titik 5" saat yang kita maksud adalah "angka 5" dan "angka 5 ketika yang kita maksud adalah" titik 5 ".



Koordinat Persegi Panjang Setelah memperoleh korespondensi satu-ke-satu antara titik pada sebuah garis dan sistem bilangan real, selanjutnya kita mengembangkan skema untuk meletakkan titik



sebuah



bidang menjadi korespondensi satu-ke-satu dengan sekumpulan pasangan urutan riil. angka. DEFINISI 1.2 ● Bilangan pairof (x, y) di mana urutan kemunculan bilangan tersebut dibedakan adalah pasangan bilangan yang berurutan. Dua pasangan orde (x, y) dan (x’y’) adalah sama jika dan hanya jika x = x’ dan y = y’. Perhatikan bahwa (3,2) ≠ (2,3), dan (1,1) = (x, y) jika dan hanya jika x = 1 dan y = 1. Kami menggambar garis horizontal dan garis vertikal bertemu di asal O (Gbr. 1.4). Garis horizontal OX disebut sumbu x dan garis vertikal OY disebut sumbu y. Sumbu x dan sumbu y, jika digabungkan, disebut sumbu koordinat, dan bidang yang ditentukan oleh sumbu koordinat disebut bidang koordinat. Sumbu x, biasanya digambar secara horizontal, disebut sumbu horizontal dan sumbu y sebagai sumbu vertikal. Dengan satuan panjang yang dapat dipercaya, kami membuat skala bilangan real pada setiap sumbu koordinat, membiarkan titik awal menjadi titik nol. Arah positif dipilih ke kanan pada sumbu x dan upwar pada sumbu y, seperti ditunjukkan oleh panah pada gambar. Sangatlah penting bahwa sumbu koordinat diberi label. Siswa harus segera meninggalkan kebiasaan ini. Sebuah panah sederhana dalam arah positif dari setiap sumbu koordinat sudah cukup, tetapi nama setiap koordinat, x atau y dalam situasi kita sekarang, juga harus ditunjukkan, seperti pada Gambar 1.4 dan di sepanjang teks lainnya. Jika P adalah sebuah titik pada bidang koordinat, kita tentukan jarak titik dari sumbu koordinat yang akan dijadikan jarak terarah. Artinya, jarak dari sumbu y bernilai positif jika P di kanan sumbu y dan negatif jika p di sebelah kiri, dan jarak dari sumbu x. Setiap titik P dari bidang telah diasosiasikan dengan sepasang angka yang disebut koordinat.



Gambar 1.4



nomor yang disebut koordinat. Koordinat ditentukan dalam jarak tegak lurus dari sumbu ke titik. DIFINISI 1.3 ● Koordinat x, atau absis, dari titik P adalah jarak terarah dari sumbu y ke titik. Koordinat y, atau ordinat, dari titik P adalah jarak terarah dari sumbu ke titik. Sebuah titik yang absisnya adalah s dan yang ordinatnya adalah y disignated oleh (x, y), dalam urutan itu, absis selalu didahulukan. Oleh karena itu, koordinat suatu titik adalah pasangan angka yang berurutan. Meskipun sepasang koordinat menentukan suatu titik, tema koordinat sering disebut sebagai titik. Kami berasumsi bahwa untuk setiap pasangan bilangan real (koordinat) ada yang sesuai dengan satu titik yang ditentukan. Sebaliknya, kami berasumsi bahwa untuk setiap titik bidang ada satu pasangan koordinat yang pasti. Titik relasi ini pada bidang dan pasangan bilangan real disebut korespondensi satu-ke-satu. Perangkat yang telah kami jelaskan untuk memperoleh korespondensi ini disebut sistem koordinat persegi panjang. Sebuah titik dengan koordinat yang diberikan diplot dengan mengukur jarak yang tepat dari sumbu dan menandai titik yang terletak demikian. Sebagai contoh, jika koordinat suatu titik adalah (−4,3), maka absis −4 artinya titik tersebut 4 satuan di sebelah kiri sumbu y dan ordinat 3 (tanda tambah dipahami) berarti titik tersebut adalah 3 satuan di atas sumbu x. Akibatnya, kami menemukan titik dengan pergi dari 4 unit awal ke kiri sepanjang kiri sepanjang sumbu x dan kemudian 3 unit ke atas sejajar dengan sumbu y (Gbr. 1.5).



Demikian pula, jika kita ingin memplot titik (5, −3), kita pindahkan 5 unit ke kanan asal sepanjang sumbu x dan unit ke bawah (karena ordinatnya negatif) sejajar dengan sumbu y. Kami sekarang telah menemukan titik yang diinginkan.



Beberapa koordinat dan titik-titiknya diplot pada Gambar 1.6. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat bagian, yang disebut kuadran, yang diberi nomor I sampai IV pada Gambar 1.4. Koordinat suatu titik di kuadran pertama



Gambar 1.6



(3,4) (−4,2) (0,1) (−2, −2)



0 (0, −3) (2, −4)



(−5, −5)



Keduanya positif, yang ditunjukkan pada gambar dengan (+, +). Tanda-tanda koordinat di setiap kuadran lainnya ditunjukkan dengan cara yang sama.



Jarak Antara Dua Titik Dalam banyak masalah jarak antara dua titik dari bidang koordinat ditentukan. Jarak antara dua titik, atau panjang ruas garis yang menghubungkan keduanya, dapat ditentukan dari koordinat titik-titik tersebut. Kita akan mengklasifikasikan ruas garis (atau garis) sebagai horizontal, vertikal, atau miring, bergantung pada apakah ruas tersebut sejajar dengan sumbu x, sumbu y, atau tidak satu pun sumbu. Untuk mendapatkan rumus yang sesuai untuk panjang segmen jenis ini, kita akan menggunakan gagasan segmen berarah. Misalkan P1(𝑥1, 𝑦) dan P2(𝑥2, ,y) menjadi dua titik pada garis horizontal, dan misalkan A menjadi titik di mana garis memotong sumbu y (Gbr. 1.7). kami memiliki, dengan Teorema 1.1,



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑷𝟏 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝟏 𝑷𝟐 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑷𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝟏 𝑷𝟐 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑷𝟐 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑷𝟏 = 𝑿𝟐 − 𝑿𝟏 .



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Begitu pula untuk jarak vertikal, 𝑄 1 𝑄2, kita punya



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑸𝟏 𝑸𝟐, = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑸𝟏 𝑩 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑩𝑸𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 −𝑩𝑸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 = 𝑩𝑸 = 𝒚𝟐− 𝒚𝟏 . Oleh karena itu jarak terarah dari titik pertama ke titik kedua pada garis horizontal sama dengan absis dari titik kedua dikurangi absis dari titik pertama. Jaraknya positif atau negatif tergantung apakah titik kedua berada di sebelah kanan atau kiri titik pertama. Pernyataan terkait dapat dibuat relatif terhadap segmen avertikal.



Gambar 1.7



𝑄2 (𝑥, 𝑦2 ) 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦)



𝑃2 (𝑥2 , 𝑦)



𝐴(0, 𝑦)



𝐵(𝑥, 0)



0



𝑄1 (𝑥, 𝑦1 ) Karena panjang segmen, tanpa memperhatikan arah, sering diinginkan, kami menyatakan aturan yang memberikan hasil dalam jumlah positif. Panjang ruas garis horizontal yang menghubungkan dua titik merupakan absis dari titik di minus absis dari titik di sebelah kiri. Panjang ruas garis vertikal yang menghubungkan dua titik dua titik adalah ordinat titik atas dikurangi ordinat titik bawah. Jika tidak diketahui titik mana di sebelah kanan yang lain, kita dapat menggunakan ekspresi yang setara



|𝑷𝟏 𝑷𝟐 | = |𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 | = √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 )𝟐 Untuk jarak tak terarah antar 𝑃1 (𝑥1, 𝑦) dan 𝑃2 (𝑥2, 𝑦). demikian pula,



|𝑸𝟏 𝑸𝟐 | = |𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 | = √(𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 )𝟐 Jarak antar 𝑄1 (𝑥, 𝑦1 ) and 𝑄2 (𝑥, 𝑦2 ).



Kami menerapkan ini untuk menemukan panjang segmen garis pada Gambar 1.8:



|𝐴𝐵| = 5 − 1 = 4, |𝐶𝐷| = 6 − (−2) = 6 + 2 = 8, |𝐸𝐹| = 1— 4 = 1 + 4 = 5, |𝐺𝐻| = −2— 5 = −2 + 5 = 3. y



𝐶(−2,4)



𝐷(6,4)



𝐹(−3,1) 𝐴(1,0)



𝐵(5,0)



x 𝐻(3, −2)



𝐸(−3, −4) 𝐺(3, −5)



Selanjutnya kita pertimbangkan titik P1 (x1, y1) dan P2 (x2, y2), yang menentukan garis miring. Tarik garis melalui P1 sejajar dengan sumbu x dan garis melalui P2 sejajar dengan sumbu y (Gbr. 1.9). kedua garis ini berpotongan pada titik R, yang absisnya x2 dan ordinatnya adalah y1. Karenanya



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑅 = 𝑥2 − 𝑥1 dan



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑃2 = 𝑦2 −𝑦1.



Y 𝑃2 (𝑥2 𝑦2 ) d



𝑦2 − 𝑦1



𝑥2 − 𝑥1



𝑅(𝑥2 , 𝑦1 )



𝑃1 (𝑥1, 𝑦1 )



X 0



FIGURE 1.9



Dengan teorema Pythagoras.



d =|𝑷𝟏 𝑷𝟐 │𝟐 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 .



Menunjukkan panjang segmen 𝑃1 𝑃2 dengan 𝑑, kami memiliki rumus :



𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 Untuk memperjelas jarak dua titik, tambahkan kuadrat selisih absis kuadrat selisih ordinat dan ambil akar kuadrat dari jumlah tersebut. Dalam menggunakan rumus jarak, kita dapat menunjuk salah satu titik dengan (𝑥1 , 𝑦1 ) dan lainnya oleh (𝑥2 , 𝑦2 ). Hasil ini dari fakta bahwa dua perbedaan yang terlibat dikuadratkan. Kuadrat selisih kedua angka tidak berubah saat urutan substraksi dicadangkan. EXAMPLE 1 ●Temukan panjang sisi-sisi segitiga (Gbr 1.10) dengan simpul A (−2, −3), B (6,1), dan C (−2,5). Solusi. Absis dari A dan C adalah sama, dan oleh karena itu AC sisi vertikal. Panjang sisi vertikal adalah perbedaan ordinat. Sisi lainnya adalah segmen miring, dan jarak umum fomula menghasilkan panjangnya. *Teorema Pythagoras menyatakan bahwa jumlah kuadrat pada sisi tegak lurus segitiga siku-siku sama dengan kuadrat pada titik sudut. Artinya, jika a dan b adalah panjang sisi tegak lurus dan c adalah panjang hipotenusa, maka 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 .



𝐶(−2,5)



𝐵(6,1) 𝑥



0 𝐴(−2, −3)



Makanya kita dapatkan



|𝐴𝐶| = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8, 4 |𝐴𝐵| = √(6 + 2)2 + (1 + 3)2 = √80 = √5 4



|𝐵𝐶| = √(6 + 2)2 + (1 − 5)2 = √80 = √5 Panjang sisinya menunjukkan bahwa segitiga tersebut sama kaki. Latihan 1. Plot poinnya 𝐴(−1,0), 𝐵(2,0) , 𝐶(5,0). Kemudian temukan jarak yang diarahkan ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ , dan 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵



2. Plot poinnya 𝐴(−3,2), 𝐵(0,2) , dan 𝐶(4,2). Kemudian temukan jarak yang



⃗⃗⃗⃗⃗ , dan 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ . diarahkan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐴, 𝐵𝐶 3. Plot poinnya 𝐴(−2, −3), 𝐵(−2,0) , dan 𝐶(−2,4). Dan verifikasi persamaan berikut dengan substitusi numerik: ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵



⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐴



⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵



Di setiap latihan 4 hingga 12, gambarkan pasangan titik dan temukan jarak di antara keduanya.



4. 5. 6. 7. 8.



(3,1), (7,4) (4.137, −2.394), (−8.419, 2.843) (2,3), (−1,0) (6,3), (-1, -1) (-3, -3), (2,2)



9. (12, −5), (0,0) 10. (0,4), (−3,0) 11. (−1,4), (2,−1) 12. (5,5), (-5,1)



Di masing-masing Latihan 13 sampai 16, gambar segitiga dengan simpul-simpul yang ditentukan dan temukan panjang sisinya.



13. A(-1,1), B(-1,4), C(3,4)



14. A(2, -1), B(4,2), C(5,0)



15. A(0,0), B(5, -2), C(-3,3)



16. A(0,-3), B(3,0), C(0,-4)



Dalam setiap Latihan 17 sampai 20, gambarlah segitiga yang memiliki simpulsimpul yang ditentukan dan tunjukkan bahwa segitiga itu sama kaki.



17. A(6,2), B(2,-3), C(-2,2) 18. A(5,4), B(2,0), C(-2,3) 19. A(2.107, -1.549), B(2.107, 6.743), C(9.167, 2.597) 20. A(-2,-3), B(4,3), C(-3,4) Dalam setiap Latihan 21 sampai 24, gambarlah segitiga dengan simpul-simpul yang diberikan dan tunjukkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. Artinya, kuadrat pada sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat pada sisi yang tersisa.



21. A(1,3), B(10,5), C(2,1)



22. A(-1,1), B(6,-2), C(4,3)



23. A(0,3), B(-3,-3), C(2,2)



24. A(5,-2), B(1,1), C(7,9)



25. tunjukkan bahwa titik A (-2,0), B (2,0), C (0, 2√3 ) adalah simpul dari segitiga sama sisi. 26. tunjukkan bahwa titik (𝐴(−√3,1 ), 𝐵(2√3, − 2), dan 𝐶(2√3 , 4) adalah simpul dari segitiga sama sisi. 27. tunjukkan bahwa titik 𝐴(1, −1), 𝐵(5,2), 𝐶(2,6), 𝐷(−2,3) adalah sisi yang sama dari segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷. 28. Tentukan apakah poin (−5,6 ), (2,5), and (1,−2) adalah jarak yang sama dari (−2,2). 29. Buktikan poin 𝐴(−2,7 ), 𝐵 (5,4), 𝐶(−1, −10 ), 𝑑𝑎𝑛𝐷 (−8, −7) adalah simpul dari persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷.



Tentukan, dengan menggunakan rumus jarak, apakah titik-titik di setiap Latihan 30 sampai 33 terletak pada garis persegi panjang.



30. (3,3), (0,1), (9,7)



31. (8.104, 0.478), (−2.502, 3.766), (2.801, 2.122)



32. (−3,1), (1,3) , (10,8)



33. (−2,−2), (5,−2) ,(−11,2)



34. Jika (x, 4) berjarak sama dari (5, −2) dan (3,4), carilah x. 35. Jika (−3, y) berjarak sama dari (2,6) dan (7, −2). Temukan y. 36. Temukan titik pada sumbu y yang berjarak sama dari (−4, −2) dan (3,1) 37. Tentukan titik pada sumbu x yang berjarak sama dari (−2,5) dan (4,1). (untuk siswa yang mengetahui titik-titik penentu) Kita dapat mencari luas segitiga ABC dengan menjumlahkan luas trapesium DECA dan EFBC kemudian mengurangkan luas DFBA, seperti pada Gambar 1.11. Ingatlah bahwa luas trapesium sama dengan satu setengah jumlah sisi sejajar dikalikan ketinggian. Tunjukkan bahwa are S dari segitiga ABC adalah: 1



S ═ 2 |[𝑥1 (𝑦2 − 𝑦3 ) − 𝑦1 (𝑥2 − 𝑥3 ) + (𝑥2 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2 )]| Dan ini sama dengan setengah nilai absolut dari determinan:



𝑥1 𝑥2 𝑥3



𝑦1 𝑦2 𝑦3



Y



1 1 1 𝐶(𝑥3 , 𝑦3 )



𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ) 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 )



X 0



D



E



F



Gambar 1.11



INKLINASI DAN LERENG GARIS Kemiringan garis adalah konsep yang digunakan secara luas dalam kalkulus dan bidang matematika lainnya. Sehubungan dengan konsep ini, kami memiliki definisi berikut. DEFINISI 1.4 ● Kemiringan sebuah garis memotong sumbu x adalah sudut terkecil, lebih besar dari atau sama dengan 00, yang dibuat garis dengan arah positif dari sumbu. Kemiringan garis horizontal adalah 0. Menurut definisi ini, kemiringan θ dari suatu garis adalah sedemikian rupa 00 ≤ θ < 1800 atau dalam ukuran radian 0 ≤ θ < π. Pada Gambar 1.12 kemiringan garis L ditunjukkan oleh panah melengkung. MX adalah sisi awal dan ML adalah sisi terminal. Y



Y



L L



θ



0



X



0



M



X 0



M



Gambar 1.12 DEFINISI 1.5 ● Kemiringan suatu garis adalah tangen dari kemiringan. Garis yang condong ke lereng kanan ha positif karena kemiringannya bersudut lancip. Kemiringan garis yang condong ke kiri adalah negtive. Namun, garis vertikal tidak memiliki kemiringan karena 900 tidak memiliki garis singgung. Jika kemiringan suatu garis nonvertikal diketahui, kemiringannya dapat ditentukan dengan menggunakan tabel fungsi trigonometri. Sebaliknya, jika slpoe suatu garis diketahui, kemiringannya dapat ditemukan. Dalam kebanyakan masalah, bagaimanapun, itu lebih meyakinkan untuk membedakan dengan kemiringan garis daripada dengan kemiringannya. CONTOH 1 ● Buatlah garis melalui P (2,2) dengan kemiringan 350 SOLUSI. Kami menggambar garis melalui P membuat sudut 350 dengan arah x positif, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.1.3. Gambar tersebut juga menunjukkan garis melalui (−4,0) dengan kemiringan 1350.



Gambar 1.1.3. Y



350 P(2,2 )



1350



350 X (−4,0)



0 2



CONTOH 2 ● Tarik garis melalui titik P (−2,2) dengan kemiringan − 3 SOLUSI. Kami memindahkan 3 unit ke kiri P dan kemudian 2 unit ke atas. Garis yang melalui titik yang terletak dan titik P yang diberikan jelas memiliki kemiringan yang dibutuhkan (Gbr.1.14). Y (-5,4)



2



P(-2,2)



−3



X



Gambar.1.14 Definisi kemiringan dan kemiringan segera mengarah ke teorema tentang garis paralel. Jika dua garis memiliki kemiringan yang sama, inklanasinya sama. Karenanya kita tahu dari geometri bahwa mereka sejajar. Sebaliknya, jika dua garis nonvertikal sejajar, keduanya memiliki kemiringan yang sama sehingga kemiringannya sama.



TEORI 1.2 ● Dua garis non-vertikal sejajar jika, dan hanya jika, kemiringannya sama. Jika koordinat dua titik pada suatu garis diketahui, kita dapat memperhalus kemiringan garis dari koordinat yang diberikan, kita tidak menggunakan rumus untuk tujuan ini. Misalkan P1 (x1, y1) dan P2 (x2, y2) menjadi titik-titik yang ditentukan, dan tunjukkan kemiringannya dengan m. Kemudian, mengacu pada Gbr.1.15, kita punya



𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽 =



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑹𝑷𝟐 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝟏 𝑹 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏.



Y



P2 ( x2,Y2)



Y2−y1 θ



R(x2,y1)



P1(x1,y1)



θ



0



x



FIGURE 1.15



Pada Gambar 1.16 garis miring ke kiri. Besaran y1 − y2 dan x2 − x1 keduanya positif dan sudut θ dan ф saling melengkapi. Karena itu



𝑦1 − 𝑦2 = tan 𝜃 = −tan 𝜃 𝑥2 − 𝑥1



Karena itu 𝑦 −𝑦



𝑦 −𝑦



𝑚 = tan 𝜃 = − 𝑥1−𝑥2 ═ 𝑥2−𝑥1. 2



1



2



1



Oleh karena itu, kemiringan ditentukan dengan cara yang sama untuk garis yang miring ke kiri atau ke kanan. TEORI 1.3 ● Kemiringan m suatu garis yang melewati dua titik tertentu P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) sama dengan selisih ordinat dibagi selisih absis yang diambil dengan urutan yang sama: yaitu



𝑚=



𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1



Rumus ini menghasilkan kemiringan jika dua titik berada pada garis miring atau horizontal. Jika garis vertikal, penyebut rumus bocomes nol, hasil kepping dengan fakta yang tidak ditentukan untuk garis vertikal. Kami mengamati lebih jauh bahwa salah satu poin dapat ditetapkan sebagai P1(x1,y1) dan yang lainnya sebagai P2(x2,y2), karena



𝑦2 − 𝑦1 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑥1 − 𝑥2



CONTOH 3 ● Mengingat titik A (−1, −1), B (5,0), C (4,3), dan D (−2,2), tunjukkan bahwa ABCD adalah jajaran genjang. SOLUSI. Kami menentukan dari kemiringan sisi apakah gambar itu adalah jajaran genjang.



𝑘𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐴𝐵 = 𝑘𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐶𝐷 =



0−(−1)



1



5−(−1)



=6



2−3



1



−2−4



𝑘𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵𝐶 =



=6



𝑘𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐷𝐴 =



3−0 4−5



= −3



2−(−1) −2−(−1)



= −3



Sisi berlawanan memiliki kemiringan yang sama, dan oleh karena itu ABCD adalah jajaran genjang.



Sudut antara Dua Garis Dua garis berpotongan dari dua pasang sudut yang sama, dan sudut satu pasang adalah suplemen dari sudut pasangan lainnya. Kami akan menunjukkan bagaimana menemukan ukuran setiap sudut dalam hal kemiringan garis. Memperhatikan Gambar 1.17 dan mengingat bahwa sudut luar segitiga sama dengan jumlah jaraknya Y



ф



ф



θ2



θ



X



0



FIGURE .1.17 Sudut interior, kami melihatnya : ϕ + θ1═ θ2 or



ϕ ═ θ 2 – θ1 .



Menggunakan rumus garis singgung selisih dua sudut, kami temukan



tan 𝜙 = tan(𝜃2 − 𝜃1 ) =



tan 𝜃2 − tan 𝜃1 1 + tan 𝜃2 tan 𝜃1



Jika kita membiarkan m2 ═ tan θ2 dan m1 ═ tan θ1, maka kita punya 𝑚2−𝑚1



Tanϕ ═ 1+𝑚



1 𝑚2



Dimana m2 adalah kemiringan sisi terminal dan m1 adalah kemiringan sisi awal, dan ϕ diukur berlawanan arah jarum jam. Sudut ѱ adalah pelengkap dari ϕ, dan karenanya



tan ѱ ═ −tan 𝜙 ═



𝑚1 − 𝑚2 1 + 𝑚1 𝑚2



Rumus untuk tan ѱ ini sama dengan rumus untuk tan ϕ kecuali suku-suku dalam pembilangnya terbalik. Kita amati dari diagram, bagaimanapun, bahwa sisi terminal ѱ adalah sisi awal dari ϕ dan sisi awal dari ѱ adalah sisi terminal dari ϕ, seperti yang ditunjukkan oleh panah berlawanan arah jarum jam. Oleh karena itu, pembilang untuk tan ѱ sama dengan kemiringan sisi terminal ѱ dikurangi kemiringan sisi awal ѱ. Kata-kata yang sama berlaku untuk tanϕ; yaitu, pembilang untuk tan ϕ sama dengan kemiringan sisi terminal ϕ dikurangi kemiringan sisi awal ϕ. Dengan demikian, dalam hal kemiringan sisi awal dan akhir, garis singgung kedua sudut dapat ditemukan dengan aturan yang sama; Kami menyatakan kesimpulan ini sebagai teorema. TEORI 1.4 ● Jika ϕ adalah sebuah sudut, diukur berlawanan arah jarum jam, antara dua garis, maka 𝑚2 − 𝑚1 tan 𝜙 ═ 1 + 𝑚1 𝑚2 Dimana m2 adalah kemiringan sisi ujung dan m1 adalah kemiringan sisi awal. Rumus ini tidak akan berlaku jika salah satu garis vertikal, karena garis vertikal tidak memiliki kemiringan. Untuk kasus ini, masalahnya adalah menemukan sudut, atau fungsi trigonometri sudut, yang dibuat oleh garis kemiringan yang diketahui dengan vertikal. Oleh karena itu, tidak diperlukan formula baru. Untuk setiap garis miring yang tidak tegak lurus, Persamaan (1.3) akan menghasilkan bilangan tertentu sebagai nilai dari tan∅. Sebaliknya, jika kemiringan garis sedemikian rupa sehingga rumus menghasilkan nilai pasti, garis tidak boleh tegak lurus, karena tidak ada garis singgung sudut siku-siku. Karena formulafails menghasilkan nilai hanya jika penyebutnya sama dengan nol, tampak bahwa garis-garis tersebut tegak lurus jika dan hanya jika 1+ m1m2 ═ 0, atau



𝑚2 = −



1 . 𝑚1



Kami mencatat, penjumlahan, bahwa jika α2 dan α1 adalah kemiringan garis miring yang tegak lurus, maka



α2 ═ α1 + 900 or Dalam kedua kasus, tan α2 ═ −cot α1 dan



α2═ α1−900 m═ −1/ m1.



TEORI 1.5 ● Dua garis miring tegak lurus jika, dan hanya jika, kemiringan salah satunya adalah kebalikan negatif dari kemiringan yang lain. Dua garis tegak lurus terjadi, jika satu garis sejajar dengan sumbu x dan yang lainnya sejajar dengan sumbu y. Kemiringan garis yang sejajar dengan sumbu x adalah nol, tetapi garis yang sejajar dengan sumbu y tidak memiliki kemiringan. CONTOH 4 ● Tentukan garis singgung sudut-sudut segitiga yang simpulnya adalah A (3, −2), B (−5,8), dan C (4,5). Kemudian lihat tabel II di lampiran atau gunakan kalkulator untuk menyatakan setiap sudut ke derajat terdekat. SOLUSI. Kami pertama kali menemukan kemiringan setiap sisi. Jadi, dari Gbr.1.18. −2−8



5



Slope of AB ═ 3 –(−5) ═ − 4 8−5



1



Slope of BC ═ −5−4 ═ − 3 Slope of AC ═



−2−5 3 –4



═7.



Y B(−5,8)



1



m ═− 3



C(4,5)



1



m═− 3



m═7 X 0 A(3,−2)



FIGURE 1.18 Kami sekarang mengganti Persamaan. (1.3) dan dapatkan



tan 𝐴 ═ tan 𝐵 ═



5 4



− −7 5 4



1+(− )(7) 1 3



5 4



− –(− ) 1 3



1+(− (−



5 4



33



A═ 470



11



𝐵═330



═ 31 = 1.60, = 17 ═ 0,647,



tan 𝐶 ═



1 3 1 1 +7(− ) 3



7 –(− )



= −



22 4



𝐶═1000



= −5,5,



CONTOH 5 ● Penampang sebuah pondok dengan rangka-A adalah segitiga sama kaki. Jika kemiringan salah satu sisinya 1,8, tingginya 19 kaki di puncaknya, berapa lebar pondok itu? SOLUSI. Jika sumbu diatur seperti pada Gambar 1.19 Y (0,19)



(m═1.8) 19



(x,0)



X



0 Gambar 1.19



Kemudian: 19 − 0 = 1.8 0 −𝑥 19 −𝑥



𝑥 = − 95 9



19 1.8



= 1.8 = −



95 9



1 9



Karena itulah lebar pondok itu 2( ) ═ 21 𝑓𝑡 CONTOH 6 ● Sebuah kamera televisi terletak di sepanjang garis 40 yd pada pertandingan sepak bola. Jika kamera berada 20 m ke belakang dari garis samping, melalui sudut mana kamera itu bisa menggeser untuk menutupi seluruh bidang permainan, termasuk zona akhir?



SOLUSI. Tempatkan kamera di titik asal sehingga mampu mencakup semua aksi dari garis melalui (70, 20) ke garis melalui (−50, 20). Jika ϕ adalah sudut yang dimaksud, diukur berlawanan arah jarum jam, lihat dari Gambar 1.20. Bahwa



2 2 − 7 24 5 tan 𝜙 ═ = − 2 2 31 1 − .7 5 −



𝜙 = 1420 . FIGURE 1.20 Y



(−50,2)



(−50,20) ф



X



Kamera harus mampu menyapu melalui suatu sudut 1420



Latihan Tarik garis melalui titik tertentu dengan kemiringan yang ditunjukkan θ di setiap Latihan 1 sampai 6.



1. ( 2,3), θ = 300 4. (−3,−1), θ = 600



2. (−2,1), θ = 450 5. (5,−4), θ = 00



3. (4,−3), θ = 1500 6. (0,0), θ = 750



Tarik garis melalui titik tertentu kemiringan yang diberikan m di setiap latihan 7 sampai 12.



7. (2,2), m = 3



8. (−1,3), m = 1 1



10. (2,−2), m =2



2



11.( 4,0), m =3



9. (3,1), m = −1 3



12.(−3,3), m = − 4



13. Papan datar bersandar di dinding, tepi atas 6 kaki di atas lantai dan tepi bawah 2 kaki dari dinding. Berapakah kemiringan papan? 14. Sebuah tangga sepanjang 10 kaki bersandar ke dinding, menyentuhnya 8 kaki di atas tanah. Berapakah kemiringan tangganya? Dapatkah seseorang dengan jarak 6 kaki mengatakan lewat di bawah tangga 1 kaki dari dinding? Bisakah orang yang sama lewat di bawah tangga sejauh 2 kaki dari tembok? 15. Sebuah penampang sebuah pondok, lebar 18 kaki, adalah segitiga sama kaki. Jika kemiringan suatu sisi adalah 1,5, temukan ketinggian pondok.



Dalam Latihan 16 hingga 21, temukan kemiringan garis yang melewati dua titik. Temukan juga kemiringan ke derajat terdekat dengan menggunakan kalkulator tangan atau dengan menggunakan Tabel di lampiran.



16. (2,3), (3,7) 19. (−9,0), (3,20) 21. ( −2,8), (4,−3)



17. (−13,6), (4,0) 18. (3,−7), (4,8) 20. (11.7142, 40015),(−3.8014, −2.8117)



Tunjukkan bahwa masing-masing dari empat titik dalam latihan 22 hingga 25 adalah simpul dari jajaran genjang ABCD.



22. 𝐴(3,0), 𝐵(7,0), 𝐶(5,3), 𝐷(1,3) 23. 𝐴(−2,3), 𝐵(6,1), 𝐶(5, −2), 𝐷(−3,0) 24. 𝐴(−1, −2), 𝐵(3, −6), 𝐶(11, −1), 𝐷(7,3) 25. 𝐴(0,0), 𝐵(6,3), 𝐶(9,9), 𝐷(3,6) Pastikan bahwa setiap segitiga dengan titik-titik yang ditentukan sebagai simpul dalam Latihan 26 sampai 31 adalah segitiga siku-siku karena kemiringan salah satu sisi adalah kebalikan negatif dari kemiringan di sisi lain.



26. (4,−4), (4,4), (0,0) 28. (7,1), (0,−2), (5,−4) 30. (1,1), (4,−1), (3,4)



27. (−1,2), (3,−6), (3,4) 29. (2,5), (−5,7), (−2,−9) 31. (−1,−1), (16,−1), (0,3)



Tunjukkan bahwa empat titik dalam setiap latihan 32 hingga 35 adalah simpul dari persegi panjang ABCD.



32. 𝐴(−4,3), 𝐵(0, −2), 𝐶(5,2), 𝐷(1,7) 33. 𝐴(2,2), 𝐵(7, −3), 𝐶(10,0), 𝐷(5,5) 34. 𝐴(5, −1), 𝐵(7,6), 𝐶(0,8), 𝐷(−2,1) 35. 𝐴(5,7), 𝐵(1,1), 𝐶(4, −1), 𝐷(8,5) Dengan menggunakan lereng, tentukan set mana dari tiga titik pada latihan 3 sampai 39 yang terletak pada garis lurus.



36. (0,−2), (3,0), (9,4) 38. (0,1),(9,6), (−4,−1)



37. (−1,2), (2,1), (5,0) 39. (−10,2), (1,−2), (6,−5)



Dalam Latihan 40 hingga 43, temukan garis singgung sudut di setiap segitiga ABC. Kemudian gunakan kalkulator tangan atau tabel II di Lampiran untuk mencari setiap sudut ke derajat terdekat.



40. 𝐴(1,1), 𝐵(5,2), 𝐶(3,5) 42. 𝐴(2,2), 𝐵(−4, −1), 𝐶(6, −5)



41. 𝐴(−1,1), 𝐵(2, −1), 𝐶(3,5) 43. 𝐴(3,8), 𝐵(−4, −3), 𝐶(6, −1)



44. Garis melalui titik-titik (3,4) dan (−5,0) memotong garis melalui (0,0) dan (−5,0). Temukan sudut persimpangan. 45. Dua garis yang melewati (3,2) membentuk sudut 450. Jika kemiringan salah satu garis adalah 1, carilah kemiringan dari garis lainnya (dua solusi). 3 46. Berapakah sudut lancip yang dibuat oleh garis kemiringan −2 dengan garis vertikal?



Di setiap Latihan 47 sampai 52, temukan kemiringan garis yang melewati dua pasang titik. Kemudian tentukan apakah garis tersebut sejajar, tegak lurus, atau berpotongan miring.



47. (1,−1), (−5,−5); (1,−2), (7,2) 49. (1,8), (−3,−4); (−1,8), (0,10) 51. (6,5), (11,9); (2,5), (12,9)



48. (1,−1), (−4,−4); (1,1), (4,−4) 50. (2,−3), (0,2); (−5,7), (6,2) 52. (−6,−4), (22,8); (−5,7), (7,−8)



53. Sebuah penampang sebuah pondok, lebar 18 kaki, adalah segitiga sama kaki. Jika kemiringan satu sisi adalah 1,75 dan ada lantai dua yang berada 8 kaki di atas lantai dasar, berapa lebar lantai dua? 54. Sebuah jembatan diberi rangka seperti pada Gambar 1.21. Tentukan kemiringan dan kemiringan bagian AB dan BC. 55. Sebuah kamera televisi adalah 30 fr dari garis tepi lapangan basket dengan panjang 94 kaki. Kamera terletak 7 kaki dari tengah lapangan. Melalui sudut mana sapuan harus mencakup semua tindakan di lapangan?



Y A



B



C 1 2



1 6 1 2 1 2



1 8



1 6 1 2



1 2



1 2



FIGURE 1.21



1 2



1 2



X



1.3 DIVISI SEGMEN GARIS



Pada bagian ini kita akan menunjukkan untuk menemukan koordinat titik yang membagi ruas garis menjadi dua bagian yang memiliki relasi tertentu. Pertama-tama kita menemukan rumus untuk koordinat titik yang berada di tengah-tengah antara dua titik koordinat yang diberikan. Misalkan A (x1.y1) dan B (x2, y2) adalah ekstremitas ruas garis, dan misalkan P (x, y) menjadi titik tengah AB. Dari segitiga serupa (Gbr. 1.22), kami punya



⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 𝑀𝑃 1 ═ = = . ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑁 𝑁𝐵 Karenanya



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑁



=



𝑥 − 𝑥1 𝑥2 −𝑥1



=



1 2



dan



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐵



=



𝑦−𝑦2 𝑦2 −𝑦1



1



= . 2



Y B(x2,y2) P(x,y)



A(x1,y1)



M(x,y1)



N(x2,y1) X



0



Memecahkan x dan y memberi 𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 𝑥 = 1 2 dan 𝑦 = 1 2 2 2



(1.4)



TEOREMA 1.6 ● Absis dari titik tengah ruas garis adalah setengah dari jumlah absis dari titik-titik akhir; ordinat adalah setengah jumlah ordinat. Teori ini dapat digeneralisasikan dengan membiarkan p (x,y) menjadi setiap titik pembagian ⃗⃗⃗⃗⃗ ke 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah bilangan r, bukan 1, maka garis melalui A dan B. Jika rasio 𝐴𝑃 2



⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃 𝑥 − 𝑥1 = =𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥2 − 𝑥1 𝐴𝐵



𝑑𝑎𝑛



⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃 𝑦 − 𝑦1 = =𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦2 − 𝑦1 𝐴𝐵



Persamaan ini, ketika diselesaikan untuk x dan y berikan



𝑥 = 𝑥1 + 𝑟(𝑥2 − 𝑥1 ),



𝑦 = 𝑦1 + 𝑟(𝑦2 − 𝑦1 )



(1.5) 1



Jelas bahwa rumus (1.5) dikurangi menjadi rumus titik tengah (1.4). jika r = 2 Mungkin lebih baik siswa mengingat bagaimana cara menurunkan rumus (1.5) Dengan menggunakan segitiga serupa maka siswa menghafalnya. Siswa mungkin memiliki banyak kesempatan dalam hal ini dan dalam kursus matematika berikutnya untuk menggunakan segitiga serupa untuk memecahkan masalah. Ada beberapa kesempatan komparatif untuk menggunakan rumus (1.5) CONTOH 1 ● Salah satu titik ujung ruas garis adalah A (6,4), dan titik tengah ruas tersebut adalah P (−2,9). Temukan koordinat titik akhir lainnya. SOLUSI. Kita biarkan (x2,y2) adalah koordinat yang tidak diketahui. Kemudian dalam rumus (1.4), kita mengganti x dengan −2, y dengan 9, x1 dengan 6, dan y1 dengan 4, dan memiliki



−2 ═



6 + 𝑥2 2



𝑑𝑎𝑛



9=



4 + 𝑦2 . 2



Persamaan ini menghasilkan x2 = −10 dan y2 = 14. Oleh karena itu koordinat keinginan adalah (−10,14). CONTOH 2 ● Temukan dua titik triseksi dari ruas garis yang menghubungkan A (-3, -4) dan B (6,11). SOLUSI. Kami membiarkan 𝑃1 (𝑥, 𝑦)dan 𝑃2 (𝑥, 𝑦)berarti titik tiga. Kemudian kami menggunakan 1



𝑟 3 dalam rumus (1.5) untuk mencariP1, dan memiliki



1 𝑥 = 𝑥1 + 𝑟(𝑥2 − 𝑥1 ) = −3 + (6 + 3) = 0 3



1 𝑦 = 𝑦1 + 𝑟(𝑦2 − 𝑦1 ) = −4 + (11 + 4) = 1. 3



2



Selanjutnya kita menggunakan r = 3 dalam rumus (1.5) untuk mencari P2, dan memiliki



2 𝑥 = 𝑥1 + 𝑟(𝑥2 − 𝑥1 ) = −3 + (6 + 3) = 3. 3 2 𝑦 = 𝑦1 + 𝑟(𝑦2 − 𝑦1 ) = −4 + (11 + 4) = 6 3 Kemungkinan koordinat dari titik-titik triseksi adalah (0,1) dan (3,6), seperti yang ditunjukkan pada gambar 1.23.



Y 6,11 P2 P 1



X



𝐴(−3, −4)



GAMBAR 1.23 Dalam rumus (1.5), titik P berada di antara A dan B jika dan hanya jika 0