Tugas KB-2 - Set - Theory [PDF]

Citation preview

Name : Abdilla Nurul Azisah MN. NIM



: 1811441002



KB-2 Assignment: Set Theory



1. Apabila f : S → T dengan S, T dan definisi f yang ditentukan berikut ini. Apakah f menyatakan suatu fungsi? Berilah alasan, apabila f bukan suatu fungsi (pemetaan)! a) S = himpunan semua wanita, T = himpunan semua pria dan f(x) = suami dari x, ∀ x ∈ S Jawab: f bukanlah suatu fungsi. Hal ini dikarenakan ada wanita anggota S yang memiliki lebih dari 1 suami atau 1 pasangan di T. Contohnya, Rajo Verma dan Tangsi Sangmo yang memiliki lebih dari 1 suami. b) S = himpunan semua bilangan asli, T = S dan f(x) = x-1, ∀ x ∈ S Jawab: f bukanlah suatu fungsi. Hal ini dikarenakan jika bilangan 1 diambil dari anggota S, maka f(1) = 0. Akan tetapi, T merupakan himpunan bilangan asli, maka bilangan 1 anggota S tidak memiliki pasangan di T. c) S = himpunan semua bilangan asli, T = himpunan semua bilangan cacah dan f(x) = x-1, ∀ x∈S Jawab: f adalah suatu fungsi. Hal ini dikarenakan anggota terkecil dari himpunan S adalah bilangan 1. Jika bilangan 1 diambil dari anggota S, maka f(1) = 0, Karena T merupakan himpunan bilangan cacah, maka bilangan 1 anggota S memiliki pasangan di T. Sedangkan untuk x > 1; x ∈ S, pasti akan selalu memiliki tepat satu pasangan di T. d) S = himpunan semua bilangan cacah, T = S dan f(x) = x2 + 1, ∀ x ∈ S Jawab: f adalah suatu fungsi. Hal ini dikarenakan anggota terkecil dari himpunan S adalah bilangan 0. Jika bilangan 0 diambil dari anggota S, maka f(0) = 1, Karena T merupakan himpunan bilangan cacah, maka bilangan 0 anggota S memiliki pasangan di T yakni



bilangan 1. Sedangkan untuk x > 0, x anggota S, pasti akan selalu memiliki tepat satu pasangan di T. e) S = himpunan semua bilangan bulat, T = S dan f(x) = x-1, ∀ x ∈ S Jawab: f adalah suatu fungsi. Hal ini dikarenakan S merupakan bilangan bulat dan f(x) = x-1 dimana untuk sebarang x bilangan bulat pasti akan menghasilkan f(x) atau range di himpunan bilangan bulat pula. Karena T merupakan himpunan bilangan bulat, maka pemetaan di atas merupakan fungsi. f) S = himpunan semua bilangan real, T = S dan f(x) = √ x , ∀ x ∈ S Jawab: f bukanlah suatu fungsi. Hal ini dikarenakan jika sebarang x bilangan real negatif diambil dari anggota S, maka f(x) tidak ada di himpunan bilangan real. Karena T merupakan himpunan bilangan real, maka bilangan real negatif anggota S tidak memiliki pasangan di T. g) S = himpunan semua bilangan real positif, T = S dan f(x) = √ x , ∀ x ∈ S Jawab: f adalah suatu fungsi. Hal ini dikarenakan S merupakan himpunan semua bilangan real positif sehingga menyebabkan f(x) selalu dapat di temukan di himpunan bilangan real. Karena T merupakan himpunan bilangan real, maka semua anggota S pasti meiliki tepat satu pasangan di T. 2. Pada soal 1, jika f suatu pemetaan, tentukan apakah f injektif, surjektif, atau bijektif? Berilah alasan! Jawab: Pada soal 1, terdapat 4 bagian dimana f termasuk fungsi, yakni c), d), e), g). Sehingga dapat dtentukan sebagai berikut. - Untuk bagian c) f termasuk fungsi/ pemetaan bijektif, karena setiap elemen di anggota S memiliki 1 pasangan di T dan setiap elemen di T hanya memiliki tepat 1 pasangan di himpunan S serta T selalu memiliki pasangan nilai di S.



- Untuk bagian d) f termasuk fungsi injektif, karena setiap elemen di S memiliki pasangan di T dan tidak ada anggota S yang memiliki pasangan yang sama dengan anggota himpunan S lainnya di T. - Untuk bagian e) f termasuk fungsi bijektif, karena setiap elemen di anggota S memiliki 1 pasangan di T dan setiap elemen di T memiliki tepat 1 pasangan di himpunan S serta T selalu memiliki pasangan nilai di S. - Untuk bagian g) f termasuk fungsi injektif, karena setiap elemen di S memilki pasangan di T dan tidak ada anggota S yang memiliki pasangan nilai di T yang sama dengan anggota himpunan S lainnya. 3. Jika f : S → T suatu pemetaan surjektif, g :T →U dan h :T → U dua pemetaan sedemikian hingga g ∘ f =h ∘ f , buktikan g = h Bukti: Misalkan f : S → T adalah pemetaan surjektif. Sehingga, untuk sebarang y ∈T terdapat x ∈ S sedemikian sehingga f(x) = y. Karena g ∘ f =h ∘ f maka g( f ( x ) )=h (f ( x )) Karena seluruh range pemetaan f dari S ke T adalah T, maka untuk sebarang y ∈T diperoleh g( y )=h ( y) Maka diperoleh kesimpulan g = h. 4. Misalkan B = himpunan semua bilangan bulat dan T = [-1 , 1]. Jika f : B →T didefinisikan oleh f ( x )=



{−11 , x, xgenap ganjil



a. Apakah f tersebut merupakan suatu pemetaan surjektif? Tidak, karena T = [-1 , 1] dimana banyaknya bilangan antara -1 dan 1 adalah tak terhingga, sedangkan semua anggota himpunan B yang terdiri dari ganjil dan genap hanya akan dipetakan terhadap dua nilai saja, yakni 1 dan -1. Oleh sebab itu, tidak semua anggota T memiliki pasangan di B, sehingga bukan pemetaan surjektif. b. Tunjukkan bahwa f(xy) = f(x) f(y), ∀ x , y ∈ B Jawab:



Ambil sebarang nilai x , y ∈ B. Akan ditunjukkan f(xy) = f(x) f(y). Karena x,y ∈ B dimana B adalah himpunan bilangan bulat, maka mengenai ganjil dan genap x, y kemungkinan berbeda atau sama. Berikut adalah uraiannya. 1) x genap, y genap, menyebabkan xy genap. Sehingga, f(xy)=1 dan f(x) f(y) = 1 . 1 = 1 Kesimpulan: f(xy) = f(x) f(y) untuk x, y genap. 2) x genap, y ganjil, menyebabkan xy genap. Sehingga, f(xy)= 1 dan f(x) f(y) = 1 . (-1) = -1 Kesimpulan: f(xy) ≠ f(x) f(y) untuk x genap, y ganjil 3) x ganjil, y genap, menyebabkan xy genap. Sehingga, f(xy)= 1 dan f(x) f(y) = (-1) . 1 = -1 Kesimpulan: f(xy) ≠ f(x) f(y) untuk x ganjil, y genap 4) x ganjil, y ganjil, menyebabkan xy ganjil. Sehingga, f(xy)= -1 dan f(x) f(y) = (-1) . (-1) = 1 Kesimpulan: f(xy) ≠ f(x) f(y) untuk x, y ganjil Berdasarkan keempat uraian tersebut diperoleh f(xy) = f(x) f(y), ∀ x , y ∈ bilangan genap. c. Apakah f(x + y) = f(x) + f(y), ∀ x , y ∈ B Jawab: Tidak, alasannya akan ditunjukkan sebagai berikut. Ambil sebarang nilai x , y ∈ B. Akan ditunjukkan f(x + y) = f(x) + f(y). Karena x,y ∈ B dimana B adalah himpunan bilangan bulat, maka mengenai ganjil dan genap x, y kemungkinan berbeda atau sama. Berikut adalah uraiannya. 1) x genap, y genap, menyebabkan x + y genap. Sehingga, f(x + y) = 1 dan f(x) + f(y) = 1 + 1 = 2. Kesimpulan: f(x + y)≠ f(x) + f(y) untuk x, y genap. 2) x genap, y ganjil, menyebabkan x + y ganjil. Sehingga, f(x + y)= -1 dan f(x) + f(y) = 1 + (-1) = 0 Kesimpulan: f(x + y) ≠ f(x) + f(y) untuk x genap, y ganjil 3) x ganjil, y genap, menyebabkan x + y ganjil. Sehingga, f(x + y)= -1 dan f(x) + f(y) = (-1) + 1 = 0



Kesimpulan: f(x + y) ≠ f(x) + f(y) untuk x ganjil, y genap 4) x ganjil, y ganjil, menyebabkan x + y genap. Sehingga, f(x + y) = 1 dan f(x) + f(y) = (-1) + (-1) = -2 Kesimpulan: f(x + y) ≠ f(x) + f(y) untuk x, y ganjil Berdasarkan keempat uraian tersebut diperoleh f(x + y) ≠ f(x) + f(y), ∀ x , y ∈ B. 5. Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real dan f : R → R didefinisikan oleh f(x) = x2, ∀ x ∈ R dan g : R → R didefinisikan oleh g(x) = x + 1, ∀ x ∈ R. Tentukan rumus-rumus definisi untuk f ∘ g , g ∘ f dan apakah f ∘ g=g ∘ f . Jawab: Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real dan f : R → R didefinisikan oleh f(x) = x2, ∀ x ∈ R dan g : R → R didefinisikan oleh g(x) = x + 1, ∀ x ∈ R. Maka, 1) f ∘ g: R → R dimana f ∘ g=f ( g ( x ) ) =f ( x+ 1 )=( x+ 1 )2=x 2+2 x +1 2) g ∘ f : R → R dimana g ∘ f =g ( f ( x ) ) =g ( x2 ) =x2 +1 3) f ∘ g≠ g ∘ f