Engineering Electromagnetics - 6th Edition Solutions - William H. Hayt, John A. Buck [PDF]

Citation preview

mengukur transformasi dalam dielektrik yang kaku dengan konstitutif kopling magnetoelektrik



Andreas Ricoeur, Eugen Merkel *



Institut Mekanika, Universitas Kassel, Moenchebergstrasse 7, Kassel 34125, Jerman



a t i k a t i k a n ya Riwayat artikel: Menerima 15 Juli 2015 Revisi 20 Juli 2016 Diterima 15 September 2016 Tersedia xxx online Kata kunci: Pengukur Coulomb, Pengukur Lorenz Transformasi pengukur Persamaan Maxwell Masalah digabungkan Efek magnetoelectric



abstrak Transformasi pengukur umumnya diterapkan untuk memisahkan persamaan Maxwell, mengenalkan mengukur vektor invandans dan potensi skalar sehubungan dengan perbedaan pengukur yang sesuai persamaan tial. Langkah ini menyederhanakan solusi analitik atau numerik elektrodinamik masalah nilai batas. Dalam dielectrics, propagasi gelombang elektromagnetik biasanya terjadi. sekutu diselidiki membatasi masalah untuk bahan non-fungsional isotropik sederhana. Di padatan lain, padatan magnetoelectric (ME) sangat menarik, mengubah listrik untuk energi magnetik dan sebaliknya. Perilaku konstitutif dari bahan-bahan tersebut telah diselidiki secara ekstensif, namun membatasi pertimbangan untuk beban statis atau quasi-statising. Tujuan dari makalah ini adalah untuk menggabungkan elektrodinamika dalam hal Maxwell klasik persamaan dengan perilaku konstitutif bahan ME. Mekanisme berinteraksi dari ME konversi energi mengarah ke perilaku yang kompleks dan seharusnya menimbulkan infenomena teresting mempengaruhi dispersi gelombang, defleksi dan refleksi. Yang digabungkan masalah nilai batas dirumuskan secara komprehensif terlebih dahulu, termasuk tekanan mekanis



dan medan regangan serta kekuatan yang diinduksi secara elektromagnetik. Transformasi pengukur adalah disajikan untuk memisahkan persamaan potensial elektrodinamik untuk badan ME anisotropik, mengabaikan kepatuhan mekanis pada saat itu. Formulasi yang lemah diturunkan sebagai basis untuk prosedur diskritisasi numerik seperti metode elemen hingga dan ujian sederhanaples menunjukkan dampak ME kopling pada kecepatan fase elektromagnetik gelombang. ę2016ElsevierInc.Allrightsreserved.



1. pengantar



Dalam tubuh dielektrik, konversi energi listrik dan magnetik dapat dicapai dengan dua cara. Pertama, sementara fluks magnetik menginduksi medan vortex listrik, sebaliknya fluks listrik sementara menginduksi medan pusaran magnet. Kedua, itu kopling dapat disebabkan oleh perilaku konstitutif dari suatu dielektrik. Efek magnetoelectric (ME) ini juga diamati pada statis batas medan listrik dan magnet dan jarang ditemukan pada material secara native. Beberapa kelas kristal secara intrinsik ditampilkaning efek ME menunjukkan kopling lemah pada suhu yang sangat rendah [1]. Dalam struktur komposit, bagaimanapun, kopling ME dapat diamati pada suhu kamar dan intensitasnya sesuai untuk aplikasi teknis, mis. sebagai majalah yang sangat sensitif sensor medan netic atau perangkat penyimpanan data yang efisien [2,3]. Dalam ME komposit, konstituen piezoelektrik dan magnetostrictive



Gambar Gambar. 1 Gambar. 1. Interaksi antara medan magnet (H i), listrik (E i) dan mekanik (ij) karena hubungan konstitutif (q ijk, e ijk, g ij), gaya elektromagnetik (T ij, S i) dan persamaan Maxwell (asumsi regangan kecil).



digabungkan pada nano, mikro, atau macroscale [4ľ6]. Kopling medan magnet dan listrik dapat diselesaikan. rektal melalui medan regangan karena adanya efek piezoelektrik dan piezomagnetik baik langsung maupun invers. Jadi, dari sudut pandang matematika, masalah tiga bidang harus dipecahkan dalam hal medan listrik, magnetik dan mekanik. Kopling elektromagnetik yang digambarkan pada awal bagian ini dijelaskan oleh persamaan Maxwell yang terkenal elektrodinamika. Merupakan sistem persamaan diferensial parsial yang ringkas, solusinya tidak langsung, meskipun. Setidaknya enam kuantitas skalar yang tidak diketahui harus ditentukan dalam ruang medan listrik dan magnet. Sebuah vektor dan potensi skalar dapat digantikan ke dalam persamaan, meninggalkan empat yang tidak diketahui. Pendekatan kuasi-statis dalam suatu pemilihan konteks trodynamical mengarah ke pengurangan lebih lanjut dari masalah, mis. mengabaikan tingkat pemindahan listrik, sehingga masih mempertahankan satu vektor dan satu potensi skalar yang dihasilkan, bagaimanapun, dalam sistem persamaan diferensial yang lebih kompak. Paling banyak kasus sederhana dan membatasi elektromagnetostatik murni dua dipisahkan persamaan diferensial Laplace dengan dua tidak diketahui potensi skalar diperoleh [7]. Dalam makalah ini, kasus dinamis yang paling umum dari kopling elektromagnetik dalam dielektrik sedang istirahat akan dipertimbangkan. Memperkenalkan dua potensi pengganti induksi magnetik dan medan listrik, beberapa Transformasi pengukur diketahui dari literatur [8]. Tujuannya selalu untuk menyederhanakan prosedur solusi dengan sepenuhnya atau setidaknya sebagian decoupling persamaan Maxwell. Dengan demikian, perilaku konstitutif dari medium yang dianggap harus ditentukan. Transformasi pengukur, bagaimanapun, sampai saat ini hanya tersedia untuk media isotropik seperti vakum atau udara. Menjadi milik material, efek ME secara matematis dijelaskan oleh persamaan konstitutif. Ini lebih banyak kompleks daripada yang untuk dielektrik non-fungsional, menunjukkan koefisien kopling dan secara umum menunjukkan anisotropik menjadi-



havior. Dalam sebuah komposit, prinsip konversi energi ME didasarkan pada medan regangan, kerangka konstitutif harus mencakup mekanisme penggandengan tambahan, yaitu piezoelektrik dan magnetostriction. Secara umum, koefisien merekaDiri adalah fungsi nonlinier dari variabel magnetik, listrik dan mekanik independen dan sejarah waktu mereka, memimpin karakteristik histeresis. Namun, dalam kisaran sinyal kecil, perilaku konstitutif dapat diasumsikan linier. Hal yang sama berlaku untuk pemuatan frekuensi tinggi, mis. karena gelombang elektromagnetik. Pemodelan linear dan nonlinier sistem ME kontinyu adalah subyek dari berbagai makalah ilmiah [4,911]. Terikat terkaitmasalah nilai ary adalah, untuk pengetahuan terbaik kami, selalu statis atau kuasi-statis dalam rentang frekuensi rendah. Di samping itu, metode analitik dan numerik dalam elektrodinamika cukup maju, namun membatasi aplikasi ke nonfungsional bahan. Kombinasi dari kedua aspek konversi energi magnetoelectric, yaitu dalam kerangka konstitutif Bahan ME dan persamaan Maxwell, adalah tujuan dari makalah ini. Aspek-aspek yang berbeda harus dipertimbangkan karenanya. Pertama, a kerangka kerja matematis yang komprehensif sudah diatur, memperhitungkan berbagai interaksi di antara mekanis (ij), elecmedan tegang (E i) dan magnetik (H i). Gambar 1 mengilustrasikan beberapa interaksi. Hubungan konstitutif, ditunjukkan oleh koefisien q ijk, g ij dan e ijk, pada prinsipnya menghubungkan ketiga bidang. Dalam materi ME asli hubungan langsung, yaitu ditandai dengan garis putus-putus, dieksploitasi, namun kopling piezoelektrik dan magnetostrictive dapat diamati juga. Dalam komposit, efek yang terakhir pada skala mikro mengarah pada kopling ME pada tingkat kontinum atau makro. The Maxwell persamaan hanya menghubungkan medan listrik dan magnet. Yang terakhir hanya berlaku untuk asumsi strain kecil, sedangkan strain terbatas mengarah ke kopling dengan bidang mekanis karena perubahan domain dari masalah nilai batas elektrodinamika. Ini efek sangat penting untuk pemodelan polimer elektroaktif atau magnetoactive yang, bagaimanapun, tidak dalam ruang lingkup con-



siderations. Akhirnya, ada kekuatan dan tekanan yang disebabkan oleh medan elektromagnetik, bertindak pada batas dan di domain dari dielektrik. Di sini, Maxwell menekankan (T ij) dan vektor Poynting (S i) memainkan peran penting, yang akan terjadi ditunjukkan di bagian selanjutnya. Kopling semacam ini hanya satu sisi jika deformasi terbatas tetap diabaikan.



Memecahkan masalah nilai batas sederhana yang sesuai dengan kerangka matematika yang diilustrasikan pada Gambar. 1 sangat kompleks. Namun demikian, sistem persamaan diferensial lengkap akan diturunkan terlebih dahulu. Ini kemudian akan disederhanakan dengan melirik tegangan yang diinduksi secara elektromagnetik dan mengurangi persamaan konstitutif ke kopling ME langsung. SubseAkhirnya, dua transformasi pengukur akan disajikan untuk memisahkan persamaan Maxwell untuk tubuh ME anisotropik. Akhirnya, formulasi lemah dari persamaan diferensial diturunkan, berfungsi sebagai titik awal untuk solusi numerik, mis. oleh metode elemen hingga. Contoh sederhana diberikan untuk menunjukkan pengaruh kopling ME pada propagasi gelombang, menunjukkan aplikasi yang menjanjikan sehubungan dengan interaksi gelombang elektromagnetik dan struktur ME. 2



Kerangka elektrodinamik dan mekanik



Di satu sisi, fenomena kopling medan listrik, magnetik dan mekanik dijelaskan pada konstituen. tingkat tive bahan dielektrik. Dalam kerangka linear deformasi kecil, mekanisme kopling seperti piezoelektrik, efek magnetostrictive atau magnetoelectric dijelaskan oleh persamaan konstitutif berikut: sij = C ijkl kl-e ijl E l-q ijl H l, (1) D i = e ikl kl + .il E l + g il H l, (2) B i = q ikl kl + g il E l + Áil H l, (3)



di mana sij, D i, B i, ij, E i dan H i adalah tegangan, perpindahan listrik, induksi magnetik, ketegangan, medan listrik dan medan magnet masing-masing. Kuantitas lainnya C ijkl, e ijl, q ijl, .il, g il, Áil menggambarkan sifat material. Di sini, seperti dalam berikut ini, notasi analitis digunakan menyiratkan penjumlahan atas indeks ganda. Di sisi lain, listrik dan medan magnet digabungkan oleh persamaan Maxwell. Untuk bahan dielektrik, tanpa aliran biaya gratis dikenal sebagai [12] e ijk E k, j = .B i .t , (4) B i, i = 0, (5) e ijk H k, j = .D i .t , (6) D i, i =. V, (7) dimana. V terikat volume muatan dan Levi-Civita tensor e ijk menyampaikan produk vektor. Selanjutnya, koma convention digunakan untuk menyatakan derivatif sehubungan dengan x i, i.e. (..), i =. (...) /.x i. Medan elektromagnetik menghasilkan elektrogaya magnet [13] F EM i=V 1 c2 K .S i .t



dV+ V TK ij, j d V + TS ij -T K ij n j d, (8) di mana T ij mengekspresikan tensor tegangan Maxwell, bertindak di batas dan di domain V dari tubuh dielektrik [7] T ij = D j E i + B j H i 1 2 (D l E l + B l H l) dij (9) dan S i mengekspresikan vektor Poynting S i = e ijk E j H k. (10) Tensor identitas diperkenalkan ke Persamaan. (9) sebagai delta Kronecker dij. Kecepatan fase gelombang elektromagnetik adalah dilambangkan dengan c K, dalam medium isotropik yang dikenal sebagai c K = 1 / v .Á. Superskrip K dan S merujuk pada bidang di material dan lingkungan sekitarnya, masing-masing. Traksi batas t i = (T S ij -T K ij) n j sesuai dengan Persamaan. (8) pergi bersama dengan lompatan tensor tegangan Maxwell di permukaan tubuh. Dalam masalah multi-bidang yang melibatkan listrik dan medan magnet, keseimbangan mekanis dengan demikian diatur oleh keseimbangan momentum .. 2 u i .t 2 = sij, j + T K ij, j + b i 1 c2



K .S i .t , (11) dimana b i mewakili kepadatan gaya tubuh dan u i adalah pemindahan mekanis. Memperkenalkan potensi skalar fand a potensial vektor A i menurut B i = e ijk A k, j, (12) E i = -f, i .A i .t , (13)



Persamaan Maxwell. (4) dan (5) secara intrinsik puas. Masalah nilai batas kemudian diformulasikan dalam hal ketujuh variabel independen f, A i dan u i, yang terakhir dalam kasus deformasi kecil tak terbatas yang terkait dengan strain tensor sebagai ij = 1 2 u i, j + u j, i. (14) Mengganti persamaan konstitutif dari persamaan magnetoelectroelasticity. (1) ľ (3) ke dalam Maxwell Eqs. (6) dan (7) dan keseimbangan momentum Persamaan. (11), tujuh persamaan diferensial parsial yang digabungkan diperoleh, secara unik menggambarkan setiap magnetomasalah nilai batas elektroelastik: e ikl u k, li + h D il f, li + .A aku, aku



.t + h B ij e jkl A l, ki -q jkl u k, li =. V, (15) Á-1 di e mjn . .x j -g mn . .t e ikl A l, k -q ikl u k, l + g il f, l + .Al .t = e mkl .u k, l .t -.ml .f, l .t + .2Al .t 2, (16) C ijkl u k, li + b D lij f, li + .A aku, aku .t -b B ijm e mkl A l, ki -q mkl u k, li = .. 2 u j .t 2 -T K ij, i -b j + 1 c2 K .S j .t , (17)



di mana perbedaan tensor tegangan Maxwell dan vektor Poynting dalam Persamaan. (17) terkait dengan independen variabel sebagai T ij, j = Á-1 dalam e jop A p, o l nkl A l, k-q nkl u k, l + g nk f, k + .A k .t, j -bD jkl u k, l + h B jk e klm A m, l + h D jk f, k + .A k .t f, i + .A i .t, j + 1 2bD lkm u k, m + h B ln ekm A m, k + h D lk f, k + .A k .t f, l + .Al .t, i 1 2 Á-1 ln e lop A p, o e nkm A m, k -q nkm u k, m + g nk f, k +



.A k .t, i , (18) S i = -Á-1 kl e ijk f, j + .A j .t e lmn A n, m -q lmn u m, n + g lm f, m + .Saya .t (19) dan singkatan berikut hD il = g dalam Á-1 nj g jl -.il, (20) hB ij = g dalam Á-1 nj, (21) bD lij = e lij -g lm Á-1 mn q nij, (22) bB ijm = q ijn Á-1 nm (23) diperkenalkan. Kondisi batas untuk masalah ini adalah: f = »f, A i =» A i, u i = »u i atau t i =» t i + T S ij -T K ij n j. (24) Jelas bahwa mendapatkan solusi untuk sistem persamaan nonlinier ini sulit. Oleh karena itu, Persamaan. (15) ľ (17) akan terjadi



disederhanakan pertama, namun tetap mempertahankan mekanisme kopling ME penting. Untuk mengurangi upaya numerik, skalar dan Potensi vektor kemudian akan dipisahkan dengan menerapkan pendekatan umum transformasi transformasi Coulomb dan Lorenz. 3



Transformasi pengukur



3.1. Pengukur transformasi umum dan pengurangan masalah



Induksi magnetik tidak unik karena lengkungan bidang gradien selalu nol. Jadi, jumlah derajat yang tak terbatas kebebasan tersedia ketika memilih potensi vektor A i: B i = e ijk A k, j = e ijk A k + f, k, j = e ijk A k, j. (25) Persamaan (25) dikenal sebagai kondisi invarians gauge. Jadi, dengan menambahkan gradien dari fungsi halus yang sewenang-wenang f = f (x i, t) ke potensial vektor A i menurut SEBUAH i = A i + f, i, (26)



induksi magnetik tidak berubah. Namun, medan listrik berubah dengan A i: E i = -f, i .A i .t = -f, i . .t A i -f, i = - f-



.f .t, i .SEBUAH saya .t . (27) Untuk mencegah perubahan medan listrik, potensi skalar harus disesuaikan sebagai: f = f.f .t , (28) menyediakan hubungan yang sama dari medan listrik untuk potensi asli dan potensi yang diukur, yaitu E i = -f, i .A i .t = -f , saya .SEBUAH saya .t . (29) Transformasi pengukur umum (26) dan (28) tidak mengubah bidang fisik. Dengan pilihan pengukur skalar yang tepat fungsi f, skalar dan vektor potensial dalam Persamaan diferensial gabungan. (15) dan (16) dapat dipisahkan. The displaceNamun, bagaimanapun, tidak mengukur invarian, oleh karena itu persamaan diferensial ketiga (17) tidak dapat dipisahkan dari yang lain dua. Oleh karena itu, hanya Persamaan. (15) dan (16) akan dipertimbangkan sebagai berikut. Istilah dengan gradien perpindahan lebih lanjut



diabaikan, pemodelan bahan magnetoelectric kaku tanpa sifat piezoelektrik atau piezomagnetic. Ini mungkin a kristal magnetoelectric asli atau komposit, di mana koefisien kopling g ij harus diinterpretasikan sebagai quanti- efektif ikatan elemen volume yang representatif. Persamaan diferensial parsial linear yang tersisa berevolusi dari Persamaan. (15) dan (16): hD il f, li + .A aku, aku .t + h B im e mjk A k, ji =. V, (30) e ijk Á-1 km e mnl A l, nj + g ml .A l, j .t -h B im e mjk .A k, j .t -h D il. 2 A l .t 2 + .f, l .t + e ijk Á-1 km g ml f, lj = 0. (31) Berikut ini, pengukur Coulomb dan Lorenz umum akan diturunkan untuk anisotropik non-fungsional dan untuk magnebahan toelectric menurut Persamaan. (30) dan (31). Kedua alat pengukur ini terkenal untuk media isotropik dan dapat dilihat di banyak buku teks elektrodinamika klasik [7,12]. Untuk masalah ditambah dan anisotropik tubuh pendekatan ini belum diselidiki.



3.2. Pengukur Coulomb



Pengukur Coulomb mengarah ke satu sisi pemisahan dari persamaan diferensial parsial. Setelah mengukur solusi untuk potensi skalar dapat diperoleh secara mandiri dari potensi vektor. Potensi vektor, di sisi lain, bisa hanya diperoleh dengan pengetahuan tentang potensi skalar. Selain itu, pengukur Coulomb selalu mengarah ke tipe Poisson persamaan untuk potensi skalar. 3.2.1. Bahan non-fungsional anisotropik Mengabaikan kopling ME, yaitu g il = 0 di Pers. (30) dan (31) persamaan diferensial untuk anisotropik non-fungsional materi diperoleh: -.il f, li + .A aku, aku .t =. V, (32) e ijk Á-1 km e mnl A l, nj + .il .f, l .t + .2Al .t 2 = 0. (33) Hubungan klasik untuk media isotropik diperoleh dari Persamaan. (32) dan (33) pengaturan .ij = .dij dan Áij = Ádij akuntansi untuk identitas e kij e knl = din djl -dil djn. Langkah pertama dari decoupling adalah penggantian potensi skalar dan vektor menerapkan persamaan transformasi gauge umum. (26) dan (28): -.il f.f .t, li .



.t .il A l + .il f, l, i =. V, (34) e ijk Á-1 km e mnl A l + f, l, nj + .il. .t f.f .t, l + .2 .t 2 A l + f, l = 0. (35) Fungsi pengukur f dapat dipilih secara acak. Jadi mungkin untuk memilih seperti itu, bahwa istilah kedua Persamaan. (34) vanMenyisakan hanya menyisakan potensial untuk fungsi f yang belum diketahui dalam persamaan diferensial. Untuk mencapai itu, alat ukur fungsi harus memenuhi persamaan diferensial pengukur berikut: .il f, li = -.il A, i. (36) Solusi sebenarnya dari persamaan diferensial ini tidak diperlukan. Pengetahuan bahwa ada solusi sudah cukup. Tipe dari persamaan diferensial adalah satu untuk konduksi panas stasioner dalam media anisotropik dengan sumber panas internal,



dengan demikian ada solusi. Substitusi Persamaan. (26) menjadi Persamaan. (36) menghasilkan kondisi pengukur Coulomb untuk anisotropik nonbahan fungsional: .il A C aku, aku = 0. (37) SEBUAH i dan f akan dilambangkan sebagai A C i dan fC untuk menunjukkan pendekatan Coulomb umum. Akuntansi Persamaan. (36), Persamaan. (26) dan



(28) sekarang diganti menjadi Persamaan. (34) dan (35), akhirnya mendapatkan persamaan diferensial satu-sisi terdeplesi berikut tions: .il fC , li = -. V, (38) e ijk Á-1 km e mnl A C l, nj + .il .2AC l .t 2 = -.il .fC ,l .t . (39) Kondisi batas dan solusi Persamaan. (38) dan (39) dalam A C i dan fC terkait dengan bidang fisik sesuai Persamaan. (25) dan (29). Karena alat ukur invarians, konversi Persamaan. (34) dan (35) hingga Persamaan. (38) dan (39) tidak mempengaruhi isi fisik, agak menjadi masalah matematika. Kondisi pengukur mencerminkan istilah yang dimaksudkan untuk menghilang demi decoupling. Persamaan diferensial pengukur berkembang sebagai konsekuensinya, mendefinisikan fungsi pengukur f. Yang terakhir, Namun, tidak harus ditentukan secara eksplisit. Aspek numerik dan kondisi batas demikian terbatas pada sekumpulan persamaan diferensial yang dipisahkan. 3.2.2. Bahan magnetoelectric Memasukkan persamaan transformasi gauge umum. (26) dan (28) menjadi Persamaan. (30) dan (31) mengarah ke hD il f-



.f .t, li +hD il . .t A l + f, l, i + h B im e mjk A k + f, k, ji =. V, (40) e ijk Á-1 km e mnl A l + f, l, nj + g ml .A l, j .t A l + f, l, j-h D il .2 .t 2 A l + f, l -h B im e mjk . .t A k + f, k, j =hD il . .t f.f .t, l -e ijk Á-1 km g ml f.f .t, lj . (41)



Dengan hubungan berikut, mengeksploitasi properti antimetric dari tensor LeviľCivita, teorema Schwarzĺ dan fakta bahwa indeks dapat denominasi secara sewenang-wenang hB im e mjk f, kji = -h B im e mkj f, kji = -h B im e mkj f, jki = -h B im e mjk f, kji = 0 (42) persamaan diferensial pengukur dapat diperoleh dari Persamaan. (40): hD il .f, li .t = -h B im e mjk A k, ji -h D il .A aku, aku .t (43) dimana hanya istilah pertama di sebelah kiri Eq. (40) tetap sementara yang lain menghilang. Dengan Persamaan. (26) diganti menjadi Persamaan. (43), kondisi pengukur Coulomb untuk bahan magnetoelectric diperoleh: hB im e mjk A C k, ji + h D il .A C aku, aku .t = 0. (44) Mensubstitusi Persamaan. (43) dan Persamaan. (26) dan (28) ke dalam Pers. (40) dan (41) menghasilkan perbedaan satu sisi yang dipisahkan satu



persamaan ential: hD il fC , li =. V, (45) e ijk Á-1 km e mnl A C l, nj + g ml .A C l, j .t -h D il .2AC l .t 2 -h B im e mjk .A C k, j .t = h D il .fC ,l .t -e ijk Á-1 km g ml fC , lj. (46) Solusi pengukur Coulomb yang terkenal untuk material isotropik [7] dapat diperoleh dari Persamaan. (45) dan (46) dengan g ij = 0, .ij = .dij dan Áij = Ádij: fC , ii = -



.V ., (47) AC i, jj -Á .. 2 A C saya .t 2 = Á..fC ,saya .t . (48) Dengan g ij = 0, kasus anisotropik yang diperkenalkan pada bagian sebelumnya dapat diperoleh juga.



3.3. Pengukur Lorenz



Berbeda dengan pengukur Coulomb, pengukur Lorenz sepenuhnya memisahkan persamaan diferensial parsial. Solusi untuk potensi fand A i dengan demikian diperoleh secara independen dari satu sama lain.



3.3.1. Bahan non-fungsional anisotropik Sekali lagi, Persamaan. (34) dan (35) adalah dasar untuk prosedur decoupling. Menulis ulang Persamaan. (35), menambahkan ekstensi formal Á-1 ln (A n + f, n -An -f, n), il = 0, i.e. e ijk Á-1 km e mnl A l + f, l, nj + .il .2 .t 2 A l + f, l + .il . .t f-



.f .t + Á-1 ln (A n + f, n), i, l -Á-1 ln (A n + f, n), il = 0, (49) persamaan diferensial pengukur berikut diperoleh dari kondisi bahwa istilah ketiga dalam kurung besar adalah dimaksudkan untuk menghilang: .li .2f .t 2 -Á-1 ln f, ni = .li .f.t + Á-1 Pada A n, saya. (50) Menerapkan Persamaan transformasi. (26) dan (28) hingga Persamaan. (50) menghasilkan kondisi pengukur Lorenz untuk anisotropik nonbahan fungsional, di mana superskrip L mengacu pada potensi dalam kerangka pendekatan Lorenz umum: -Áln .ni .fL .t = A L aku, aku. (51) Dengan persamaan dan kondisi diferensial pengukur Lorenz, Persamaan. (50) dan (51), dan Persamaan. (26) dan (28) dimasukkan ke Pers. (34) dan (49), persamaan diferensial dipisahkan sepenuhnya diperoleh: -.il fL , li -Áln .ni . 2 fL .t 2 =. V, (52) e ijk Á-1



km e mnl A L l, nj + .il .2AL l .t 2 -Á-1 Di A L n, il = 0. (53) 3.3.2. Bahan magnetoelectric Persamaan. (40) dan (41) adalah persamaan yang mengatur yang akan dipisahkan, dimulai dengan perpanjangan formal Persamaan. (41) oleh menambahkan hubungan sepele Á-1 ln (A n + f, n -An -f, n), il = 0: e ijk Á-1 km e mnl A l + f, l, nj + g ml . .t A l + f, l, j-h D il .2 .t 2 A l + f, l + e ijk Á-1 km g ml f.f .t, j -h D il . .t f.f



.t + Á-1 ln (A n + f, n), i



,l -h B im e mjk . .t A k + f, k, j -Á-1 ln (A n + f, n), il = 0. (54) Mensubstitusikan Persamaan. (26) dan (28) ke dalam persamaan diferensial pengukur berikut, yang diturunkan dari Persamaan. (54) e ijk Á-1 km g ml .f, j .t -h D li .2f .t 2 -Á-1 ln f, ni = e ijk Á-1 km g ml f, j-h D li .f.t + Á-1 Dalam A n, i (55) menghasilkan kondisi pengukur Lorenz untuk bahan magnetoelectric: Áln h D ni .fL .t -Áln e ijk Á-1 km g mn fL



,j=AL aku, aku. (56) Kondisi pengukuran Persamaan. (56) diterapkan pada Persamaan. (40) dan persamaan diferensial pengukur Persamaan. (55) diterapkan pada (54), akuntansi untuk Persamaan. (26) dan (28) dalam kedua kasus, akhirnya menghasilkan persamaan diferensial yang dipisahkan sepenuhnya: hD il fL , li -Áln e ijk Á-1 km g mn .fL ,j .t + Áln h D ni . 2 fL .t 2 + h B im e mjk Ákn h D nj .fL ,saya .t -Ákn e jpo Á-1 ov g v n fL , pi =. V, (57) e ijk Á-1 km e mnl A L l, nj + g ml .AL l, j .t -h D



il .2AL l .t 2-jam B im e mjk .AL k, j .t -Á-1 Di A L n, il = 0. (58) Kasus non-fungsional anisotropik yang diperkenalkan pada bagian sebelumnya diperoleh dari Persamaan. (57) dan (58) dengan g ij = 0 dan solusi pengukur Lorenz yang terkenal untuk material isotropik [7] diperoleh dengan g ij = 0, .ij = .dij dan Áij = Ádij: fL , ii -Á .. 2 fL .t 2 = .V ., (59) AL i, jj -Á .. 2 A L saya .t 2 = 0. (60)



4.



Formulasi yang lemah dari persamaan yang mengatur



Di bagian ini, formulatime Persamaan yang lemah. (45) dan (46) dan Persamaan. (57) dan (58) akan diturunkan menggunakan metode residu tertimbang [14]. Itu adalah dasar untuk implementasi numerik, mis. dalam hal metode elemen hingga. Demi kesederhanaan, masalah dipertimbangkan dalam domain frekuensi, yang membutuhkan transformasi diferensial persamaan belum dirumuskan dalam domain waktu. Mempertimbangkan hanya gelombang harmonik, dua potensi dan muatan volume dirumuskan sebagai berikut: f (x i, t) = ł f (x i) e j.t, (61) A i (x k, t) = ł A i (x k) e j.t, (62) . V (x i, t) = ł. V (x i) e j.t. (63) Dengan relasi (61) ľ (63) ketergantungan waktu Persamaan. (45) dan (46) dan Persamaan. (57) dan (58) dapat dihilangkan dan berikut persamaan diferensial yang kompleks diperoleh dari Persamaan. (45) dan (46) (Pengukur Coulomb) hD il ł fC , li = ł. V, (64) e irk Á-1 km e mnl ł A C l, nr + g m v ł fC , v r + j. ł A C v, r -h D il j. ł fC , l -. 2 ł A C l -j.h B im e mrk ł A C k, r = 0 (65) dan dari Persamaan. (57) dan (58) (pengukur Lorenz)



hD il ł fL , li -j.Áln e irk Á-1 km g mn ł fL , r -. 2 Áln h D ni ł fL + h B im e mrk j.Ákn h D no ł fL , i -Ákn e rpo Á-1 ov g v n ł fL , pi = ł. V, (66) e irk Á-1 km e mnl ł A L l, nr + j.g m v ł A L v, r +. 2 jam D il AAL l -j.h B im e mrk ł A L k, r -Á-1 ln łAL n, il = 0. (67) Formulasi lemah Persamaan. (64) diperoleh dengan memperkenalkan fungsi pembobotan yang w sewenang-wenang dan pengintegrasian atas domain V:



VhD il ł fC , li -ł. Vw d V = 0. (68) Menafsirkan ł fC (x l) sebagai solusi perkiraan, integand dari Persamaan. (68) menunjukkan sisa dari persamaan diferensial, ditimbang oleh fungsi tes w (x l). Ini residu tertimbang dengan demikian dipostulasikan untuk lenyap rata-rata dalam domain V. Memasukkan relasi berikut hD il ł fC , lw, i = h D il ł fC , li w + h D il ł fC , aku, aku (69) menjadi Persamaan. (68) hasil



VhD il ł fC , saya w, saya -h D il ł fC , aku, i -ł. Vw d V = 0. (70) Menerapkan teorema divergensi ke Persamaan. (70) mengarah ke



VhD il ł fC , saya w, saya + ł. Vw d V +



hD il ł fC , saya wn i d = 0. (71) Mengikuti pendekatan Galerkin dan memilih variasi pertama dari potensi skalar sebagai fungsi pembobotan w = dł fC (72) formulasi lemah Persamaan. (64) diperoleh sebagai



V dl fC ,ihD il ł fC ,ldV+ V dl fC ł. V d V -



dl fC h D il ł fC , l n i d = 0. (73) Istilah h D



il ł fC , n i pada pengurangan integral terakhir ke densitas muatan permukaan yang bekerja pada batas, jika magnetoelectric coupling diabaikan, lihat Persamaan. (20), dan kasus elektrostatik diasumsikan, lihat Persamaan. (13). Persamaan (73) adalah titik awal yang cocok untuk skema diskritisasi numerik menggantikan dł fC dan ł fC dengan jumlah nodal tersendiri dan interpolasi yang sesuai fungsi [14]. Formulasi lemah Persamaan. (65) diperoleh sama. Pertama, Persamaan. (65) dikalikan dengan fungsi berat bebas linear tions w i dan terintegrasi melalui domain:



Vari es mnl Á-1 km łAC l, nr + e irk h B kv ł fC , v r + j.e irk h B kv łAC v, rw i d V VhD il j. ł fC , l -. 2 ł A C l + j.h B im e mrk ł A C k, rw i d V = 0, (74) di mana Persamaan. (21) diperhitungkan. Mengganti hubungan berikut



e rki e mnl Á-1 km łAC l, n w i, r = e rki e mnl Á-1 km łAC l, nr w i + e rki e mnl Á-1 km łAC l, n w i, r = e irk e mnl Á-1 km łAC l, nr w i-e kri e mnl Á-1 km łAC l, n w i, r, (75) e rki h B kv ł fC , v w i, r = e irk h B kv ł fC , v rw i -e kri h B kv ł fC , vw i, r (76)



menjadi Persamaan. (74) menghasilkan



V e rki e mnl Á-1 km łAC l, n w i, r + e rki h B kv ł fC , vw i, r -h D il j. ł fC , l -. 2 ł A C lw i d V + V e kri e mnl Á-1 km łAC l, n w i, r + e kri h B kv ł fC , vw i, r + j. e irk h B k v -e mrv h B im ł A C v, rw i d V = 0. (77) Dengan menerapkan teorema divergensi ke Persamaan. (77) dan memilihw i = dł A C saya, yang mengikuti formulasi lemah dariEQ. (65) isobtained:



V e kri e mnl Á-1 km



łAC l, n dł A C i, r + j. e irk h B k v -e mrv h B im ł A C v, r dł A C saya +. 2 jam D il łAC l dł A C idV + V e kri h B kv ł fC , v dł A C i, r -j.h D il ł fC , l dł A C idV+ e rki e mnl Á-1 km łAC l, n + e rki h B kv ł fC , v dł A C i n r d = 0. (78)



Persamaan (78) mengandung thescalarpotential ł fC, oleh karena itu solusi diperoleh dengan memecahkan Persamaan. (73) pertama dan memperlakukan ł fC sebagai yang diketahui kuantitas. Formulasi lemah untuk Persamaan. (66) dan (67) diperoleh dengan cara yang sama, akhirnya mengarah ke:



VdD aku p ł fL , p dł fL , saya +. 2 jam D il Áln h D ni ł fL dł fL -j .d B saya ł fL , saya dl fL d V + V ł. V dł fL d V -



DD aku p ł fL , p dł fL n i d = 0, (79)



V e kri e mnl Á-1 km AAL l, n dł A L saya, r + Á-1



nl AAL l, saya dł A L saya, n +. 2 jam D il AAL l dł A L i + j. e irk Á-1 km g ml -e mrl h B im ł A L l, r dł A L idV + e rki e mnl Á-1 km AAL l, n-Á 1 rn AAL n, i dł A L i n r d = 0, (80) dengan DD ip = h D ip -e rpo e mrk h B im Ákn Á-1 ov g v n, (81) dB i = e mrk h B



im Ákn h D nr -e rik h D rl Áln Á-1 km g mn. (82) Perlu dicatat bahwa integral batas dalam Persamaan. (73), (78) ľ (80) adalah kuantitas yang diketahui berdasarkan batas yang tepat kondisi. 5.



Contoh



Dalam contoh sederhana ini pengaruh kopling konstitutif medan listrik dan magnet pada gelombang elektromagnetik propagasi akan ditunjukkan. Solusi Persamaan yang paling sederhana. (64) dan (65) atau Persamaan. (66) dan (67) adalah satu untuk satumasalah dimensional, dimana yang tidak diketahui hanya bergantung pada x1 -kordinat. Solusinya adalah gelombang elektromagnetik menyebarkan di x1 -direction. Akibatnya, turunan parsial dari potensi lenyap, yaitu. . ł fC .x 2 , . ł fC .x 3 , .łAC l .x 2 , .łAC l



.x 3 = 0. (83) Mengabaikan biaya volume. V = 0, Persamaan. (64) dan (65) memberikan persamaan diferensial biasa berikut, di mana i = j adalah tidak diizinkan untuk .ij, Áij, g ij dan dengan demikian untuk h D ij dan h B aku j : ł fC , 11 = 0, (84) łAC 1= j . ł fC , 1, (85) łAC 2, 11 + j. g 33 g 22 Á33 Á22 ł A C 3, 1 +. 2 Á33 .22 g2 22 Á22 ł A C 2 = 0, (86) łAC 3, 11 + j. g 33 Á22 Á33-g 22 ł A C 2, 1 +. 2 Á22 .33 g2 33



Á33 ł A C 3 = 0. (87)



Dua kasus akan dipertimbangkan sekarang, dimulai dengan yang paling sederhana, di mana x 2-x 3pesawat diasumsikan isotropik, yaitu .ij = .11 0 0 0, 22 0 0 0,22



, Áij = Á11 0 0 0 Á22 0 0 0 Á22



, g ij = g 11 0 0 0 g 22 0 0 0 g 22



. (88) Persamaan. (86) dan (87) kemudian dipisahkan, menghasilkan łAC 2, 11 + k 2 ł A C 2 = 0, (89) łAC 3, 11 + k 2 ł A C



3 = 0, (90) dengan nomor ombak k =.



.22 Á22 -g 2 22. (91) Solusi untuk persamaan Persamaan Laplace satu dimensi. (84) adalah ł fC = a + bx 1 (92) dan sebagai konsekuensinya solusi untuk ł A C 1 adalah łAC 1= j . b. (93) Solusi untuk Persamaan Helmholtz satu dimensi. (89) dan (90) łAC 2 = ce -jkx 1, (94) łAC 3 = de -jkx 1 (95) mendeskripsikan gelombang yang menyebar di arah x 1 yang positif. Memasukkan Persamaan. (92) ľ (95) dalam Persamaan. (13) diubah menjadi frekuensi hasil domain ł E i = -. . ł fC ,1 ł fC ,2



ł fC ,3 . . -j. . . łAC 1 łAC 2 łAC 3 . . =b 0 0



-j. j b /. ce -jkx 1 d e -jkx 1



= -j. 0 c d



e -jkx 1. (96) Medan listrik sinusoidal tegak lurus terhadap arah propagasi x 1. Orientasinya dalam x 2-x 3-pesawat tergantung pada konstanta c dan d yang ditentukan oleh kondisi batas. Pada kasus ini ł E i (0) = 0 E0 E0



(97) terpilih. Konstanta yang tidak diketahui c dan d kemudian dihitung sebagai c=d=E0 j. . (98) Akhirnya, solusi untuk medan listrik dalam domain waktu adalah E i (x 1, t) = E 0 0 1 1



e j (.t-kx 1) (99) dan solusi untuk induksi magnetik dengan Persamaan. (12) adalah B i (x 1, t) = e ikl ł A C l, k e j.t = B 0 0 -1 1



e j (.t-kx 1). (100)



dengan B 0 = k . E 0. Harus dicatat bahwa bidang fisik adalah bagian nyata dari fungsi-fungsi kompleks ini. Selanjutnya, Persamaan. (57) dan (58) memberikan solusi yang sama untuk medan elektromagnetik. Pada Gambar. 2 medan listrik dan induksi magnetik menurut untuk Persamaan. (99) dan (100) diplot untuk E 0, B 0, k = 1 dan t = 0. Medan listrik dan induksi magnetik tegak lurus to each other and to the direction of propagation constituting a transverse electromagnetic (TEM) wave. With Eq. (91) the phase velocity comes out as cK=|Ei| |Bi|= . k= 1



.22 Á22 -g 2 22 . (101)



Image of Fig. 2 Fig. 2. Harmonic plane electomagnetic wave in a transversely isotropic magnetoelectric material for E 0 , B 0 , k = 1 and t = 0 . It is obvious that the coupling tensor g ij influences the velocity of the electromagnetic wave, insofar as c K is augmented compared to the propagation in a non-magnetoelectric solid. So it can be concluded that the constitutive coupling influences the electromagnetic properties of functional magnetoelectric surfaces like reflection and refraction.



Now, an orthotropic ME material is considered, however imposing the restriction that the ratios of anisotropy in x 2 -/ x 3 directions are equal for all coefficients, i.e. g 33 g 22 = Á33 Á22 = .33 .22 . (102) In that case Eqs. (86) and (87) still decouple, after some algebraic transformations finally leading to Eqs. (89) and (90) , however with the modified wave number k=.



.33 Á22 -g 22 g 33 = .



.22 Á33 -g 22 g 33 . (103) The phase velocity then reads cK= 1 v .22 Á33 -g 22 g 33 . (104) 6



Kesimpulan



The complete system of partial differential equations for the linear magnetoelectroelastic problem including electromag-



netic forces has been derived. The partial differential equations for anisotropic non-functional and for rigid magnetoelectric materials could be decoupled with generalized Coulomb and Lorenz gauges. The Coulomb gauge provides one simple equation for the scalar potential, resembling the one for anisotropic stationary heat transfer with sources. The vector potential evolves from the second differential equation, inserting the solution of the first. Compared to the governing set of equations without any gauging, the differential equation for the scalar potential is not just decoupled but also exhibits a simpler structure. Concerning the Lorenz gauge, both vector and scalar potentials are determined independently from two completely decoupled differential equations. On the one hand, this is supposed to be feasible from the numerical point of view. On the other hand, the equation for the scalar potential is more complex compared to the Coulomb gauge, involving a second order time derivative for anisotropic non-functional materials, and in the case of magnetoelectric materials exhibiting additional first order time and mixed derivatives. Weak formulations for the decoupled differential equations for magnetoelectric materials have then been derived in order to provide the framework of a numerical solution with a discretization approach. Finally the influence of the constitutive coupling of electric and magnetic fields on an electromagnetic wave was shown with simple examples. The phase velocity comes out to be increased, providing the perspective of controlling reflection and refraction angles at magnetoelectric surfaces or interfaces.



Referensi



[1] J. Velev, S. Jaswal, E. Tsymbal, Multi-ferroic and magnetoelectric materials and interfaces, Phil. Trans. R. Soc. A 369 (2011) 3069ľ3097, doi: 10.1098/rsta. 2010.0344 . [2] J. Scott, Data storage: multiferroic memories, Nat. Mater. 6 (2007) 256ľ257, doi: 10.1038/nmat1868 . [3] M. Fiebig, Revival of the magnetoelectric effect, J. Phys. D: Appl. Phys. 38 (2005) R123ľR152, doi: 10.1088/0022-3727/38/8/R01 . [4] A. Avakian, R. Gellmann, A. Ricoeur, Nonlinear modeling and finite element simulation of magnetoelectric coupling and residual stress in multiferroic composites, Acta Mech. 226 (2015) 2789ľ2806, doi: 10.10 07/s0 0707- 015- 1336- 0 . [5] X. Lu, H. Li, B. Wang, Theoretical analysis of electric, magnetic and magnetoelectric properties of nano-structured multiferroic composites, J. Mech. Phys. Solids 59 (2011) 1966ľ1977, doi: 10.1016/j.jmps.2011.07.007 . [6] F. Ma, Y. Jin, Y. Wang, S. Kampe, S. Dong, Effect of magnetic domain structure on longitudinal and transverse magnetoelectric response of particulate magnetostrictive-piezoelectric composites, Appl. Phys. Lett. 104 (2014) 112903, doi: 10.1063/1.4869304 . [7] C. Helrich , The Classical Theory of Fields, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012 . [8] J. Jackson, From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations, Am. J. Physics 70 (2002) 917ľ928, doi: 10.1119/1.1491265 . [9] J. Aboudi, Micromechanical analysis of fully coupled electro-magneto-thermo-elastic multiphase composites, Smart Mater. Struct. 10 (2001) 867ľ877, doi: 10.1088/0964-1726/10/5/303 . [10] C.-W. Nan, Magnetoelectric effect in composites of piezoelectric and piezomagnetic phases, Phys. Rev. B 50 (1994) 6082ľ6088, doi: 10.1103/PhysRevB. 50.6082 . [11] M. Auslender, E. Liverts, B. Zadov, A. Elmalem, A. Zhdanov, A. Grosz, E. Paperno, Inverse effect of magnetostriction in magnetoelectric laminates, Appl. Phys. Lett. 103 (2013) 22907, doi: 10.1063/1.4 8124 83 . [12] F. Scheck , Classical Field Theory: On Electrodynamics, Non-Abelian Gauge Theories and Gravitation, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012 . [13] D. Griffiths , Introduction to electrodynamics, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1999 . [14] K.-J. Bathe , Finite-Elemente-Methoden, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2002 .



Please cite this article as: A. Ricoeur, E. Merkel, Electrodynamic-mechanical boundary value problems and gauge transformations in rigid dielectrics with constitutive magnetoelectric coupling, Applied Mathematical Modelling (2016), http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2016.09.015