Engineering Electromagnetics 8th Edition William H. Hayt Original (235 241) .En - Id [PDF]

Citation preview

217



BAB 7 Medan Magnet yang Mantap



7.7 DERIVASI HUKUM LAPANGAN STEADY-MAGNETIC Kami sekarang akan memberikan bukti yang dijanjikan dari beberapa hubungan antara



jumlah medan magnet. Semua hubungan ini dapat diperoleh dari definisi H,



Indo L × Sebuah R



H=



(3)



4 π R2



dari B ( di ruang kosong),



B = µ 0 H.



(32)



dan dari SEBUAH,



(46)



B = ∇ × SEBUAH Pertama-tama, mari kita berasumsi bahwa kita mungkin mantan "pers SEBUAH dengan persamaan terakhir dari Bagian 7.6,



µ0 J d ν



A=



vol 4



(51)



πR



dan kemudian mendemonstrasikan kebenaran dari (51) dengan menunjukkan bahwa (3) mengikuti. Pertama, kita harus menambahkan subskrip untuk menunjukkan titik di mana curre nt element terletak



( x 1, y 1, z 1) dan titik di mana SEBUAH diberikan ( x 2, y 2, z 2). Volume diferensial elemen d



Variab ν kemudian file integrasi ditulisadν r 1 dan dalam e x 1,koordinat y 1, dan z 1.persegi Dengan panjang menggunakan akanlangganan menjadi dx ini,1 dy 1 dz 1. SEBUAH 2 =



µ0 J1 d ν1 vol 4



(52)



π R 12



Dari (32) dan (46) kami punya



(53)



H = B = ∇ × SEBUAH



µ0



µ0



Untuk menunjukkan bahwa (3) mengikuti dari (52), maka perlu untuk mengganti (52) menjadi (53). Ini



langkah melibatkan mengambil ikal SEBUAH 2, sebuah kuantitas expre ss ed in istilah variabel x 2,



y 2, dan z 2, dan curl karena itu melibatkan turunan parsial sehubungan dengan x 2, y 2, dan z 2. Kami melakukan ini, menempatkan subskrip pada operator del untuk mengingatkan kami tentang variabel yang terlibat dalam proses diferensiasi parsial,



"



H. 2 = ∇ 2 × SEBUAH 2 = 1 ∇ 2 ×



µ0



µ0



µ0 J1 d ν1 vol 4



π R 12



Urutan diferensiasi parsial "dan integrasi tidak material, dan µ 0 / 4 π adalah konstan, memungkinkan kita untuk menulis



H. 2 = 1



4 π vol



∇2× J1 d ν1 R 12



Operasi keriting dalam integrand mewakili diferensiasi parsial sehubungan dengan x 2, y 2, dan z 2. Elemen volume diferensial d ν 1 adalah skalar dan fungsi



218



TEKNIK ELEKTROMAGNETIK



hanya dari x 1, y 1, dan z 1. Akibatnya, "itu m% ay menjadi facto & merah dari operasi curl sebagai



konstanta lainnya, pergi H. 2 = 1



∇× 2 J1



4 π vol



d ν1



R 12



(54)



Kerutan produk skalar dan vektor diberikan oleh identitas yang dapat diperiksa dengan ekspansi dalam coord persegi panjang di sebuah tes atau dapatkan ed dari Lampiran A.3,



∇ × ( S V) ≡ (∇ S) × V + S ( ∇ × V)



(55)



Identitas ini digunakan untuk exp "dan * t% he integr & dan dari (54),



1 H. 2 = 4 π vol



+ × J 1 + 1 ( ∇ 2 × J 1) d ν 1 R 12



∇ 12 R 12



(56)



Suku kedua dari integral ini adalah nol karena ∇ × J menunjukkan turunan parsial dari kumpulan variabel



tives dari fungsi x, y, dan z, ta ken dengan re Spe ct t 2 o the 1 va ria bles x, y, dan z; pertama 1 adalah 1 bukan fu 1 nction set kedua, dan semua partia 2 l de 2 rivatif 2 s adalah nol.



Suku pertama dari integrand dapat ditentukan dengan menyatakan R dengan kondisi



nilai koordinat,



12



# R 12 = ( x 2 - x 1) 2 + ( y 2 - y 1) 2 + ( z 2 - z 1) 2



dan mengambil gradien kebalikannya. Soal 7.42 menunjukkan bahwa hasilnya adalah



∇ 12 R = 12 - R 12 = - Sebuah 12



R 12 3



R



R 12 2



Mengganti hasil ini menjadi (56), w 1 "e punyaSebuah R 12 × J 1 d ν 1 H. 2 = - 4 " π vol



R 12 2



atau



H. 2 =



J 1 × Sebuah R 12 d ν 1 vol 4



π R2



12



yang setara dengan (3) dalam hal kepadatan arus. Mengganti J d oleh Indo L,



1ν1



1



1



kita dapat menulis ulang integral volume a! sa integral garis tertutup,



H. 2 =



saya 1 d L 1 × Sebuah R 12



4 π R12 2



Persamaan (51) karena itu benar dan setuju dengan tiga definisi (3), (32), dan (46). Selanjutnya kita akan membuktikan hukum sirkuital Ampère dalam bentuk poin,



∇×H=J



(28)



Menggabungkan (28), (32), dan (46), kami dapatkan



∇ × H = ∇ × B = 1 ∇ × ∇ × SEBUAH



µ0



µ0



(57)



219



BAB 7 Medan Magnet yang Mantap



Kami sekarang membutuhkan ekspansi dalam koordinat persegi panjang untuk ∇ × ∇ × SEBUAH Melakukan diferensiasi parsial yang ditunjukkan dan mengumpulkan istilah yang dihasilkan, w. e dapat menulis hasilnya sebagai



(58)



∇ × ∇ × SEBUAH ≡ ∇ (∇ · SEBUAH) - ∇ 2 SEBUAH



dimana



(59)



∇ 2 SEBUAH ≡ ∇ 2 SEBUAH x x a + ∇ 2 SEBUAH y y a + ∇ 2 SEBUAH z Sebuah z



Persamaan (59) adalah definisi (dalam koordinat persegi panjang) dari Laplacian dari a



vektor. Mengganti (58) menjadi (57), kita punya



(60)



∇ × = 1 [H. ∇ (∇ · SEBUAH) - ∇ 2 SEBUAH]



µ0



dan sekarang membutuhkan ekspresi untuk penyelam "gence dan Laplacian of SEBUAH. Kita mungkin menemukan perbedaan dari SEBUAH dengan menerapkan t operasi divergensi ke (52),



ν1



∇2· J1d



∇ 2 · SEBUAH 2 = µ 0



4 π vol



R 12



(61)



dan menggunakan identitas vektor (44) dari Bagian 4.8,



∇ · "( S V *) ≡ V. · ( ∇ S) + S ( ∇ · V)



Jadi, %



µ0



J 1 · ∇ 2 R 12



∇ 2 · SEBUAH 2 = 4 π vol



&



1



+



+ 1 ( ∇ 2 · J 1) d ν 1



(62)



R 12



Bagian kedua dari integrand adalah nol karena J 1 bukan merupakan fungsi dari x, y,



2



2



dan z 2.



Kami telah menggunakan hasil itu ∇ ( 1 R) = - R 122/12 / R3



1,2dan



itu sama



dengan mudah menunjukkan itu



∇ 11 R=12R 12



R 12 3



atau itu



∇ 11 R=12−∇ 1



2 R 12



Persamaan (62) karenanya dapat ditulis "en a * s



µ0



∇ 2 · SEBUAH 2 = 4 π vol



&+



%



- J1· ∇ 1



1 R 12%



d ν1



dan identitas vektor diterapkan "aga * 1 ( ∇ di, · J) - ∇ · ∇ 2 · SEBUAH 2 = µ 0



4 π vol R 12



J1 1



1



1



R 12



&+



d ν1



(63)



220



TEKNIK ELEKTROMAGNETIK



Karena kita hanya memperhatikan medan magnet yang stabil, persamaan kontinuitas Gambar menunjukkan bahwa suku pertama dari (63) adalah nol !. Penerapan teorema divergensi pada suku kedua memberikan ∇ 2 · SEBUAH 2 = - µ 0



J1· d S1



4 π S 1 R 12



dimana permukaannya S 1 membungkus volume di mana kita mengintegrasikan. Volume ini harus mencakup semua arus, untuk i asli nte gral exp resi untuk SEBUAH adalah sebuah



integrasi seperti memasukkan efek semua arus. Karena tidak ada arus di luar volume ini (jika tidak kita harus menambah volume untuk memasukkannya), kita dapat mengintegrasikan pada volume yang sedikit lebih besar atau permukaan penutup yang sedikit lebih besar. tanpa berubah SEBUAH. Pada permukaan yang lebih besar ini terjadi rapat arus J 1 harus nol, dan oleh karena itu integral permukaan tertutup adalah nol, karena integralnya adalah nol. Oleh karena itu divergensi SEBUAH adalah nol.



Untuk menemukan vektor Lapla "cian SEBUAH, mari kita bandingkan x komponen (51) dengan ekspresi yang sama untuk potensial elektrostatis, SEBUAH x =



µ 0 J x d ν V. vol 4



πR



" =



ρνd ν vol 4



π• 0 R



Kami mencatat bahwa satu ekspresi dapat diperoleh dari yang lain dengan lugas perubahan variabel, J x untuk ρ ν, µ 0 untuk 1 / • 0, dan SEBUAH x untuk V. Namun, kami telah memperoleh beberapa informasi tambahan tentang potensial elektrostatis yang tidak kami miliki



ulangi sekarang untuk x komponen potensial magnet vektor. Ini mengambil bentuk persamaan Poisson,



∇2 V = - ρν



•0



yang menjadi, setelah perubahan variabel, ∇ 2 SEBUAH x = - µ 0 J x Demikian pula yang kita miliki ∇ 2 SEBUAH y = - µ 0 J y



dan ∇ 2 SEBUAH z = - µ 0 J z atau



∇2 A = - µ0 J



(64)



Kembali ke (60), sekarang kita dapat mengganti divergensi dan Laplacian dari SEBUAH dan dapatkan jawaban yang diinginkan,



∇×H=J



(28)



Kami telah menunjukkan penggunaan teorema Stokes dalam memperoleh bentuk integral dari hukum sirkuital Ampère dari (28) dan tidak perlu mengulangi kerja tersebut di sini.



221



BAB 7 Medan Magnet yang Mantap



Dengan demikian, kami telah berhasil menunjukkan bahwa setiap hasil yang pada dasarnya kami tarik dari udara tipis 11 untuk bidang magnet mengikuti dari definisi dasar H, B, dan SEBUAH.



Derivasi tidak sederhana, tetapi harus dimengerti secara bertahap. Akhirnya, mari kita kembali ke (64) dan menggunakan persamaan diferensial parsial vektor orde-2 orde-2 yang hebat ini untuk menemukan potensial magnetis vektor dalam satu contoh sederhana. Kami memilih bidang antara konduktor kabel koaksial, dengan jari-jari Sebuah



dan b seperti biasa, dan saat ini saya dalam Sebuah z arah di konduktor dalam. Di antara konduktor, J = 0, dan karenanya



∇2 A = 0 Kita telah diberi tahu (dan Soal 7.44 memberi kita kesempatan untuk memeriksa sendiri hasilnya) bahwa vektor Laplacian dapat diperluas sebagai penjumlahan vektor skalar Laplasia dari tiga komponen dalam koordinat persegi panjang, ∇ 2 A = ∇ 2 SEBUAH x a + x∇ 2 SEBUAH a + Y y∇ 2 SEBUAH z Sebuah z



tetapi hasil yang relatif sederhana seperti itu tidak mungkin dilakukan dalam sistem koordinat lain. Yaitu, dalam koordinat silinder, misalnya, 2 SEBUAH z Sebuah z ∇ 2 SEBUAH ̸ ≠ ∇ 2 SEBUAH ρ Sebuah ρ + ∇ 2 SEBUAH φ Sebuah φ + ∇



Namun, tidak sulit untuk menunjukkan koordinat silinder $$ bahwa z komponen dari vektor Laplacian adalah skalar Lap $ lacian dari z komponen dari SEBUAH, atau



(65)



∇ 2 A = ∇ 2 SEBUAH z z



dan karena arus seluruhnya ada di z arah dalam masalah ini, SEBUAH hanya memiliki a



z komponen. Karena itu,



atau



1∂



ρ ∂ρ



%



ρ



& ∇ 2 SEBUAH z = 0 ∂ SEBUAH z + 1 ∂ 2 A + ∂ 2 SEBUAH z=0 z



∂ z2



ρ 2 ∂φ 2



∂ρ



Memikirkan pikiran simetris tentang (51) menunjukkan itu kepada kita SEBUAH adalah fungsi hanya z dari, dan dengan demikian



%



1d



ρdρ



d Az ρdρ



& =0



Kami telah menyelesaikan persamaan ini sebelumnya, dan hasilnya adalah



SEBUAH z = C 1 ln ρ + C 2



Jika kita memilih referensi nol di ρ = b, kemudian SEBUAH z = C 1 ln ρ



11 Ruang



bebas.



b



ρ



222



TEKNIK ELEKTROMAGNETIK



Untuk berhubungan C 1 ke sumber dalam masalah kami, kami dapat mengambil curl dari SEBUAH,



∇ × A = - ∂ SEBUAH z Sebuah φ = - C 1 a = B



∂ρ



ρφ



memperoleh H,



H = - C 1 Sebuah



µ0 ρ φ



dan evaluasi integral garis! " 2πH. · d L = Saya = 0



C 1 Sebuah · ρ d φ Sebuah φ = - 2 π C 1



µ0 ρ φ



µ0



Jadi C 1 = - µ 0 saya



2π



atau



SEBUAH z = µ 0 saya



2π ln b



ρ



(66)



dan



H. φ = 2 πρ



saya



seperti sebelumnya. Sebuah plot SEBUAH z melawan ρ untuk b = 5 Sebuah ditunjukkan pada Gambar 7.20; penurunan | A | dengan jarak dari sou arus terkonsentrasi rce bahwa konduktor dalam



mewakili terbukti. Hasil SoalD7.9 juga telah ditambahkan ke Gambar 7.20. Perpanjangan kurva ke konduktor luar dibiarkan seperti Soal 7.43. Mungkin juga untuk menemukan SEBUAH z antara konduktor dengan menerapkan proses yang sebagian dari kita secara informal disebut "tidak menggulung". Artinya, kami tahu H. atau B untuk membujuk, dan kami mungkin



Gambar 7.20 Potensial magnet vektor ditampilkan di dalam konduktor dalam dan di wilayah antara konduktor untuk kabel koaksial dengan b = 5 Sebuah membawa saya dalam Sebuah z arah. SEBUAH z = 0 dipilih secara sewenang-wenang di ρ = b.



BAB 7 Medan Magnet yang Mantap



oleh karena itu pilih φ komponen dari ∇ × A = B dan berintegrasi untuk mendapatkan SEBUAH z. Cobalah, Anda akan menyukainya!



D7.10. Persamaan (66) jelas juga berlaku untuk eksterior duktor penampang melingkar membawa arus saya dalam Sebuah z arah di ruang kosong. Referensi nol ditetapkan secara sewenang-wenang ρ = b. Sekarang pertimbangkan dua kontra-



ductors, masing-masing jari-jari 1 cm, sejajar dengan z sumbu dengan sumbu mereka terletak di x = 0 pesawat. Satu konduktor yang porosnya berada pada (0, 4 cm, z) membawa 12 A



dalam Sebuah z arah; sumbu lainnya berada di (0, - 4 cm, z) dan membawa 12 A di - Sebuah z arah. Setiap arus memiliki referensi nol untuk SEBUAH terletak 4 cm dari porosnya. Temukan totalnya SEBUAH bidang di: ( Sebuah) ( 0, 0, z); (b) ( 0, 8 cm, z); (c) ( 4 cm, 4 cm, z);



( d) ( 2 cm, 4 cm, z). Ans. 0; 2.64 µ Wb / m; 1.93 µ Wb / m; 3.40 µ Wb / m



REFERENSI 1.



Boast, WB (Lihat Referensi untuk Bab 2.) Potensial magnetik skalar didefinisikan p. 220, dan penggunaannya dalam pemetaan medan magnet dibahas pada hal. 444.



2. Jordan, EC, dan KG Balmain. Gelombang Elektromagnetik dan Sistem Radiasi. 2d ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1968. Potensial magnetik vektor dibahas pada hal. 90–96. 3. Paul, CR, KW Whites, dan SY Nasar. Pengantar Bidang Elektromagnetik. Ed. 3d. New York: McGraw-Hill, 1998. Potensi magnet vektor disajikan pada hal. 216-20. 4.



Skilling, HH (Lihat Referensi untuk Bab 3.) "Roda dayung" diperkenalkan di hlm. 23-25.



BAB 7 MASALAH 7.1



( Sebuah) Temukan H. dalam komponen persegi panjang di P ( 2, 3, 4) jika ada arus



menyesali z sumbu yang membawa 8 mA di Sebuah z arah. ( b) Ulangi jika fi lamen terletak di x = - 1, y



= 2. ( c) Temukan H. jika kedua keluhan muncul. 7.2



Konduktor filamen dibentuk menjadi segitiga sama sisi dengan panjang sisi ℓ membawa arus Aku. Tentukan intensitas medan magnet di tengah segitiga.



7.3



Dua film semi-terbatas pada z sumbu terletak di daerah −∞ < z < - Sebuah dan a